§ 1.4 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
一,条件概率
例 1.8 考虑 有两个孩子家庭（假定男女出生率一样） 。
},,,{ （女，男）（女,女）（男，女）（男,男 ）=?； )}(){(}{ 女，男，男，女一男一女 ==A； )}(),(){(}{ 女,男男,女，女,女至少 有 一 女 ==B
4
2
)(
4
3
)(
2
1
)( === ABPBPAP
现在考虑,已知 B 发生 条件下,A 发生的概率,
)(
)(
4
3
4
2
3
2
)|(
BP
ABP
BAP ===
)(
)(
)|(
BP
ABP
BAP =
定义 1.8（条 件概率）,
)(
)(
)|(
BP
ABP
BAP =,>0,)(BP
性质,条件 概率仍具有概率的性质,
1) ； 1)|(0 ≤≤ BAP
2) 1)|( =? BP ；
3) )|()|(
11
BAPBAP
i
i
ii
∑∑
∞
=
∞
=
= ；
4) )|(1)|( BAPBAP?= ；
5) )|()|()|()|)((
212121
BAAPBAPBAPBAAP?+=∪ ；
6) )|()|()|)((
21121
BAAPBAPBAAP?=? ；
证明,
)(
)(
)|)((
21
21
BP
BAAP
BAAP =? =
)(
)(
21
BP
ABAP?
=
)(
)()(
211
BP
BAAPBAP?
= )|()|(
211
BAAPBAP? ；
乘法公式,)|()()|()()( BAPBPABPAPABP ==
推广,)|()|()()( ABCPABPAPABCP =
)|()|()|()()(
12121312121?
…=
nnn
AAAAPAAAPAAPAPAAAP nullnull
例 1.9,某人 忘记了电话号码的最后一位数,随意 拨,求概率,
（ 1）恰好第三次拨通；
（ 2）三次内拨通。
解,设 表示第 次拨通
i
A i
（ 1） )|()|()()(
213121321
AAAPAAPAPAAAP =
10
1
8
1
9
8
10
9
=××= ；
（ 2） )()()()(
321211321211
AAAPAAPAPAAAAAAP ++=++
10
3
10
1
9
1
10
9
10
1
=+×+=
如果已知 最后一位是奇数,
(1)
5
1
3
1
4
3
5
4
)(
321
=××=AAAP
(2)
5
3
)(
321211
=++ AAAAAAP
二、全概率公式和贝叶斯公式
设 A
1
,A
2
，…,A
n
是样本空间?的一个分割,
即 两两互斥且 A，…,,
21
AA
n
A
1
+A
2
+… A
n
=?；则有
全概率公 式,对任意事件 B,有,
∑
=
=
n
i
ii
ABPAPBP
1
)|()()(
推广,
∑
∞
=
=
1
)|()()(
i
ii
ABPAPBP
贝叶斯公 式,
∑
=
==
n
i
ii
iii
i
ABPAP
ABPAP
BP
BAP
BAP
1
)|()(
)|()(
)(
)(
)|(
推广,
∑
∞
=
=
1
)|()(
)|()(
)|(
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
证明,
n
AAA +++=? null
21
BABABAB
n
+++= null
21
)()()()(
21
BAPBAPBAPBP
n
+++= null
= )|()()|()()|()(
2211 nn
ABPAPABPAPABPAP +++ null
例 1.10,设有 10 支枪,
支数 命中 率
精确 校正过 5 0.9
初步 校正过 3 0.6
未校 正过 2 0.2
从 10 支枪中 任取一支射击，求概率,
1、射 击中靶；
2、若 已知射击中靶，所取的枪是初步校正过的。
解,B ={射击中靶 }；
={所取的枪是精确校正过的 }；
1
A
={所取的枪是初步校正过的 }；
2
A
={所取的枪是未校正过的 }；
3
A
10
2
)(,
10
3
)(,
10
5
)(
32!
=== APAPAP ；
由全概率公式,
=)(BP )|()()|()()|()(
332211
ABPAPABPAPABPAP ++
67.02.0
10
2
6.0
10
3
9.0
10
5
=×+×+×=
由贝叶斯公式,
67.0
6.010/3
)(
)|()(
)(
)(
)|(
222
2
×
===
BP
ABPAP
BP
BAP
BAP =0.27 ；
3.0)(27.0)|(
22
=≠= APBAP
例 1.11,盒中 有 12 个球,其中 9 个新 球。第一次比赛从中
任取 3 球,用后放回，第二次比赛从中再取 3 球。求概率,
（ 1） 第二次取出的球都是新球；
（ 2） 若第二次取出的都是新球，第一次取出的都是新球。
解,B={ 第二次取出的都是新球 }；
={第一次取出 个新球 } ；
i
A i 3,2,1,0=i ；
由全概率公式,
∑
=
=
3
0
)|()()(
i
ii
ABPAPBP
=
3
12
3
6
3
12
3
9
3
12
3
7
3
12
1
3
2
9
3
12
3
8
3
12
2
3
1
9
3
12
3
9
3
12
3
3
C
C
C
C
C
C
C
CC
C
C
C
CC
C
C
C
C
×+×+×+×
= 086.0
)(
7056
23
12
=
C
由贝叶斯公 式,
)(
)|()(
)(
)(
)|(
333
3
BP
ABPAP
BP
BAP
BAP ==
=
23
12
23
12
3
6
3
9
]/[7056
]/[
C
CCC
= 0.238
例 5,已知男女的出生率分别为 52%和 48%，由医学统计,
5%的男性和 0.25%的女性 为色盲者，现随机取一人，此人
恰为色盲，问此人是男性的概率是多少？
解,A = { 此人是男性 } ； B = { 此人是色盲 } ；
A = { 此人为 女性 } ；
)|()()|()(
)|()(
)(
)(
)|(
ABPAPABPAP
ABPAP
BP
ABP
BAP
+
==
= 956.0
%25.0%48%5%52
%5%52
=
×+×
×
若去掉男 女出生率的条件；
952.0
%25.02/1%52/1
%52/1
)|( =
×+×
×
=BAP
例 1.12,玻璃 杯成箱出售，每箱 20 只,假设
每箱含 0,1,2 只次品的 概率分别为 0.8,0.1,0.1。一顾客
欲购一箱，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机察看
4 只，若无次 品则买下，否则退回。试求,
1、顾客买下 该箱的概率 ；
2、在顾客买 下的箱中确实没有次品的概率 。
解：设 B = { 顾客买下该 箱 } = { 4 只 中无次品 }；
= { 取 的一箱有 个次品 },=0,1,2
i
A i i
(1) )|()()|()()|()()(
221100
ABPAPABPAPABPAPBP ++=
= 943.01.01.018.0
4
20
4
18
4
20
4
19
=×+×+×
C
C
C
C
(2) 848.0
943.0
18.0
)(
)|()(
)(
)(
)|(
000
0
=
×
===
BP
ABPAP
BP
BAP
BAP