§3.3 协方差及相关系数
定义3.7,X,Y的协方差定义为,
)])([(),cov( EYYEXXEYX=
X,Y的相关系数定义为,
DYDX
YX
YX
),cov(
=ρ
说明：
YX
ρ表征了X,Y线性相关的程度。
协方差的性质,
1．DXXXXYYX == ),cov(),,cov(),cov(
2,（计算式） EXEYXYEYX?= )(),cov(
3,),cov(),cov( YXabbYaX =
4．),cov(),cov(),cov(
2121
YXYXYXX +=+
5．若X与Y独立，则 0),cov( =YX
6,),cov(2)()()( YXYDXDYXD ±+=±
证6,
2
)]()[()( YXEYXEYXD ±?±=± =
2
)]()[( EYYEXXE?±?
= ] ))((2)()[(
22
EYYEXXEYYEXXE±?+?
= ),cov(2)()( YXYDXD ±+
若X与Y独立
)])([(),cov( EYYEXXEYX=
= 0)()( = EYYEEXXE
例3.20：设为随机变量，为常数
n
XXX,,,
21
"
n
aaa ",,
21
求。 )(
1
∑
=
n
i
ii
XaD
解：= = )(
1
∑
=
n
i
ii
XaD
2
11
)]([
i
n
i
ii
n
i
i
XaEXaE
∑∑
==
2
1
)]([
ii
n
i
i
EXXaE?
∑
=
= = )])(([
11
jjii
n
i
n
j
ji
EXXEXXaaE
∑∑
==
),cov(
11
ji
n
i
n
j
ji
XXaa
∑∑
==
= ).,cov(2)(
1
2
jij
ji
ii
n
i
i
XXaaXDa
∑∑∑
<=
+
若独立，则
n
XXX,,,
21
"
= )(
1
∑
=
n
i
ii
XaD )(
1
2
i
n
i
i
XDa
∑
=
例3.21：设(X,Y)的密度函数为
≤≤≤≤+
=
其它,0
20,10,)(
3
1
),(
yxyx
yxp
求)832( +? YXD。
解：=)832( +? YXD ),cov(1294)32( YXDYDXYXD?+=?
10,)1(
3
2
)(
3
1
)(
2
0
≤≤+=+=
∫
xxdyyxxp
X
9
5
)1(
3
2
)(
1
0
=+=
∫
dxxxXE
18
7
)1(
3
2
)(
1
0
22
=+=
∫
dxxxXE
162
13
)()()(
22
=?= EXXEXD 同理：
81
23
)( =YD
3
2
)(
3
1
)(
1
0
2
0
=+=
∫∫
dydxyxxyXYE
81
1
)(),cov(?=?= EXEYXYEYX
025.3
81
245
)832( ==+? YXD
例3.22：设（X,Y）～，求),,,,(
2
2
2
121
ρσσμμN
YX
ρ。
解：))((),cov( EYYEXXEYX=
= =dxdyyxpyxYXE ),())(())((
2121
μμμμ=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
21
σρσ
ρ
σσ
σρσ
ρ ===
21
21
),cov(
DYDX
YX
YX
YX
ρ的性质,
1．|
YX
ρ | 1≤
2．|
YX
ρ |=1，即X,Y几乎处处呈线性相关。 1}{ =+=? baXYP
证明,
YX
ρ = ),cov(
DY
EYY
DX
EXX
1,构造：
DY
EYY
DX
EXX
Z
±
=
),cov(2)()(
][)(
DY
EYY
DX
EXX
DY
EYY
D
DX
EXX
D
DY
EYY
DX
EXX
DZD

±
+
=
±
=
= 0)1(2211 ≥±=±+
YXYX
ρρ
所以 11 ≤≤?
YX
ρ 即 |
YX
ρ | 1≤。
2,充分性,设1}{ =+= baXYP
sabaXY,,+= DXaDYbaEXEY
2
,=+=
YX
ρ =
||
)())((
2
2
a
a
DXaDX
EXXaE
DYDX
EYYEXXE
=
=

|
YX
ρ |= |
|| a
a
| =1
必要性：设|
YX
ρ |=1，即
YX
ρ = 1±。
由于 )1(2)(
YX
ρ±=
±
DY
EYY
DX
EXX
D
当
YX
ρ =1时，有0)1(2)( =?=
YX
DY
EYY
DX
EXX
D ρ
所以 1}0{ ==
DY
EYY
DX
EXX
P
即 1}{ =?+= EX
DX
DY
EYX
DX
DY
YP
令EX
DX
DY
EYb
DX
DY
a?==,
则有 1}{ =+= baXYP
同理可证 1?=
YX
ρ时，有1}{ =+= baXYP 证毕！
定义3.8 若
YX
ρ =0时，则称X,Y不相关
X,Y独立与X,Y不相关的关系,
X,Y独立则它们不相关，反之不真。
例3.23：设X～N(0,1),Y=
2
X,求
YX
ρ。
解,EX=0,DX=1,EY=1,DY=2
YX
ρ =
21
)]1([))((?
=
YXE
DYDX
EYYEXXE
= 0
2
1
2
1
3
== EXEXY
故X,Y不相关，但X,Y存在非线性关系。
定理：设，则有 ),,,,(),(
2
2
2
121
ρσσμμNYX～
X,Y独立? X,Y不相关
证明：ρρ =
YX
,由P41——例2.12,
X,Y独立0=? ρ 即
YX
ρ =0，即X,Y不相关。
设n维随机变量,
Τ
= ),,,(
21 n
XXXX "
X的数学期望定义为,μ
Τ
== ),,,()(
21 n
EXEXEXXE "
X的协方差阵定义为,
]))([(),cov(
Τ
= EXXEXXEXX
= ()

nn
nn
EXXEXXEXX
EXX
EXX
EXX
E,,,
2211
22
11
"
#
=
_,cov(),cov(),cov(
),cov(),cov(),cov(
).cov(),cov(),cov(
21
22212
12111
nnnn
n
n
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
""
####
""
""
∑

=
=
nnnn
n
n
σσσ
σσσ
σσσ
""
####
""
""
21
22221
11211
协方差阵
∑
是一个对称非负定矩阵。
n维正态分布,).,(),,,(
21 ∑
Τ
μ
nn
NXXXX～～"
∑
=

Τ
∑
)]()[(
2
1
2
1
2
1
||)2(
1
)(
μμ
π
xx
n
expX～
其中
Τ
= ),,,(
21 n
xxxx "
例3.24：设 ),(,),(
2
22
2
11
σμσμ NYNX～～
且X,Y独立，令YXVYXU?=+=,。求
UV
ρ。
解,
2121
,μμμμ?=+= EVEU
2
2
2
1
2
2
2
1
,σσσσ +=+= DVDU
2222
)( EYEXYXEEUV?=?= = ])([)(
22
EYDYEXDX +?+
= )(
2
2
2
2
2
1
2
1
μσμσ +?+
2
2
2
1
),cov( σσ?=?= EUEVEUVVU
2
2
2
1
2
2
2
1
),cov(
σσ
σσ
ρ
+
==
DVDU
VU
VU