§5.3 抽样分布
统计量都是随机变量，统计量的分布称为抽样分布。
定理5.7 设随机变量相互独立，且
n
XXX,,,
21
"
),(~
2
iii
NX σμ ),2,1( ni"=
则它们的任一确定的线性函数
),(~
22
1
∑∑∑
===
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
CCNXC σμ (5.37)
其中常数，，…，不全为零。
1
C
2
C
n
C
证明 由于独立且均为正态变量，故它们的线性函数仍为正态变量，又
n
XXX,,,
21
"
∑
=
n
i
ii
XC
1
,
∑∑∑
===
==
n
i
iii
n
i
n
i
iii
CXECXCE
111
)()( μ
∑∑∑
===
==
n
i
iii
n
i
n
i
iii
CXDCXCD
1
22
11
2
)()( σ
所以
),(~
22
1
∑∑∑
===
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
CCNXC σμ
推论1 设总体，是来自总体),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX"X的一个样本，则样本的任一确定的线性函数
),(~
11
22
1
∑∑∑
===
n
i
n
i
ii
n
i
ii
CCNXC σμ (5.38)
其中，，…，为不全为零的常数。
1
C
2
C
n
C
推论2 设总体，是来自总体),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX"X的一个样本，则样本均值X的分布为
),(~
2
n
NX
σ
μ
或 )1,0(~ N
n
X
σ
μ?
(5.39)
1
推论3 设X与Y为两个独立的正态总体，，为总体
),(~
2
11
σμNX ),,,(
1
21 n
XXX"
X的样本，Y，为总体的样本，则这两个样本均值),(
2
μ~
2
2
σN ),,,(
2
21 n
YYY"Y X与
Y的差YX?的分布为
),(~
2
2
2
1
2
1
21
nn
NYX
σσ
μμ +
或 )1,0(~
)(
2
2
21
2
1
21
N
nn
YX
σσ
μμ
+

(5.40)
其中
∑
=
=
1
1
1
1
n
i
i
X
n
X,
∑
=
=
2
1
2
1
n
i
i
Y
n
Y
定理5.8 设总体，是来自总体),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX"X的一个样本，则有
(1) 样本均值X与样本方差相互独立；
2
n
S
(2) )1(~)(
1)1(
22
1
22
2
*
2
2
=
=
∑
=
nXX
SnnS
n
i
i
nn
χ
σσσ
(5.41)
该定理的证明较复杂，故从略。
推论1 设总体，是来自总体),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX"X的一个样本，则有
)1(~
1
*
=
nt
nS
X
nS
X
nn
μμ
(5.42)
证明 由定理5.7的推论2和定理5.8知
)1,0(~ N
n
X
σ
μ?
,)1(~
)1(
2
2
2
2
2
*
=
n
nSSn
nn
χ
σσ
且
n
X
σ
μ?
与
2
2
2
2
*
)1(
σσ
nn
nSSn
=
相互独立，再由分布的定义得 t
)1(~
)]1([
)]1([)1(
22
2
2
*
=

nt
nnS
n
X
nSn
n
X
n
n
σ
σ
μ
σ
σ
μ
即
)1(~
1
*
=
nt
nS
X
nS
X
nn
μμ
2
推论2 设X与为两个独立且具有相同方差的正态总体，且,为总体
Y ),(~
2
1
σμNX
X的样本，，为总体Y的样本。则有 ),(~
2
2
σμNY ),,,(
2
21 n
YYY"
)2(~
11
)(
21
21
21
+
+

nnt
nnS
YX
w
μμ
(5.43)
其中
2
)1()1(
2
21
2
*
22
*
11
21
2
22
2
11
2
+
+?
=
+
+
=
nn
SnSn
nn
SnSn
S
w
2
1
1
2
1
)(
1
1
∑
=
=
n
i
i
XX
n
S
2
1
1
2
*
1
)(
1
1
1
∑
=
=
n
i
i
XX
n
S
2
1
2
2
2
)(
1
2
∑
=
=
n
i
i
YY
n
S
2
1
2
2
*
2
)(
1
1
2
∑
=
=
n
i
i
YY
n
S
证明 由定理5.7的推论3，得
)1,0(~
11
)(
21
21
N
nn
YX
+

σ
μμ
由定理5.8的(2)及分布的可加性，得
2
χ
)2(~
21
2
2
2
22
2
11
+
+
nn
SnSn
χ
σ
由定理5.8的(1)知X与独立，Y与独立，因此
2
1
S
2
2
S
21
21
11
)(
nn
YX
+

σ
μμ
与
2
2
22
2
11
σ
SnSn +
相互独立，再由t分布的定义，得
)2(~
)]2([
11
)(
21
21
22
22
2
11
21
21
+
++
+

nnt
nnSnSn
nn
YX
σ
σ
μμ
即
)2(~
11
)(
21
21
21
+
+

nnt
nnS
YX
w
μμ
推论3 设X与Y为两个独立的正态总体且，为总体
),(~
2
11
σμNX ),,,(
1
21 n
XXX"
X的样本，Y，为总体Y的样本，则有 ),(μ~
2
22
σN ),,,(
2
21 n
YYY"
3
)1,1(~
21
2
2
2
*
2
2
1
2
*
1
nnF
S
S
σ
σ
(5.44)
或
)1,1(~
)1(
)1(
*
21
2
11
2
22
2
22
2
11

nnF
n
n
Sn
Sn
σ
σ
其中,与，分别为两个总体的样本方差与修正样本方差。
2
1
S
2
*
1
S
2
2
S
2
*
2
S
证明 由定理5.8知
)1(~
)1(
1
2
2
1
2
*
11
n
Sn
χ
σ
,)1(~
)1(
2
2
2
2
2
*
22
n
Sn
χ
σ
由于两个总体独立可知)1(~
)1(
1
2
2
1
2
*
11
n
Sn
χ
σ
与
2
2
2
*
22
)1(
σ
Sn?
独立，再根据分布定义，
得
F
)1,1(~
)]1([)1(
)]1([)1(
21
2
2
2
2
*
22
1
2
1
2
*
11



nnF
nSn
nSn
σ
σ
即
)1,1(~
)1(
)1(
*
21
2
11
2
22
2
22
2
11

nnF
n
n
Sn
Sn
σ
σ
例5.8设总体
2
~(0,)XNσ
12 1 2
(,,,,,,,)
nn n nm
XX X X X X
++ +
""，是来自总体X的容量为n+m的一个样本，试求统计量
1
2
1
n
i
i
nm
i
in
mX
T
nX
=
+
=+
=
∑
∑
的概率分布。
解：由于独立且
12 1 2
,,,,,,,
nn n nm
XX X X X X
++ +
""~(0,1),
i
X
N
σ
则有
1
()~(0,
n
i
i
X
Nn
σ
=
∑
)或
1
()
~(0,1)
n
i
i
X
N
n
σ
=
∑
,
且
22
1
()~(
nm
i
in
X
mχ
σ
+
=+
∑
)
4
又因
1
()
n
i
i
X
n
σ
=
∑
与
2
1
()
nm
i
in
X
σ
+
=+
∑
相互独立，再由t分布的定义，得
1
2
1
/
~( )
/
n
i
i
nm
i
in
Xn
tm
Xm
=
+
=+
∑
∑
即
1
2
1
~( ).
n
i
i
nm
i
in
mX
Tt
nX
=
+
=+
=
∑
∑
m
5