第四章 中心极限定理习题
1．设为独立随机变量序列,}{
n
X
",2,1,
2
1
1}0{
2
1
}2{
212
=?===±=
+
nXPXP
n
n
n
n
n
证明：服从大数定律。 }{
n
X
2．在一家保险合同里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年中一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向公司领得1000元，问,
（1）保险公司亏本的概率多大？
（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？
3．试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？
（1） ",2,1,
2
1
}{{ ====?= kKXPKXP
kk
（2） ",2,1,0,
3
1
}0{}{}{ =>=====?= kaXPKXPKXP
k
a
k
a
k
4,根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率,
5,有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,
问其中至少有30根短于3米的概率是多少?
6．一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率
3
1
=p，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角大于3°的概率是多少？
7．对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。
求,（1）参加会议的家长数X超过450的概率。
（2）有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
8,某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地抽取100只，设他们的寿命相互独立，求这100只元件的平均寿命大于120h的概率。
9,某学校有1000名住校生，每人以80%的概率去图书馆自习，问：图书馆应至少设多少个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位？
第四章 中心极限定理习题解答
1,证明：0)
2
1
1(0
2
1
)2(
2
1
2)(
21212
=++?=
++ nn
n
n
n
n
XE
1)
2
1
1(0
2
1
)2(
2
1
)2(
)]([)()(
2
2
12
2
12
2
22
=++?=
=
++ nn
n
n
n
nnn
XEXEXD
令 ∑
=
=
n
k
kn
X
n
Y
1
1
，(n=1,2,…) 则 ()0
n
EY =
22
11
11
() ( ) ( ) 0
nn
n
nk k
kk
DY D X D X n
nn n
→∞
==
== =?=?→
∑∑
0
1
}{0,0
22
→?=≤≥?≤>?
∞→nn
nn
n
DY
EYYP
εε
εε
由夹逼准则知,0}{lim =≥?
∞→
ε
nn
n
EYYP,所以服从大数定律。 }{
n
X
2．解 （1） 根据题设条件，所求问题应该以“年”为单位来考虑。在年初，保险
公司总收入为 (元) 1200001210000 =×
设一年中死亡人数为X，则),(~ pnBX，其中n=10000,p=0.006,从而保险公司在这
一年应付出1000X（元），要使保险公司亏本，则必须 1000X >120000，即X >120（人）
因此由德莫佛—拉普拉斯定理,
P{保险公司亏本}=P{X >120}
>
=
)1(
120
)1( pnp
np
pnp
npX
P
7.769 1 (7.7699) 0
(1 )
Xnp
P
np p
= >=?Φ
≈
(2) P{保险公司获利不少于40000元}
}80{}400001000120000{ ≤=≥?= XPXP
≤
=
)1(
80
)1( pnp
np
pnp
npX
P
995.0)59.2(59.2
)1(
==
≤
= Φ
pnp
npX
P
3,解 （1） 0
2
1
)(
2
1
)( =?+= kkEX
k
kkkDX
k
=?+=
2
1
)(
2
1
)(
22；
)1(
2
1
11
2
+=== ∑∑
==
nnkDXB
n
k
n
k
kn
2
122
2
2
1
2
1
δ
δδ
δ
+++
+
=?+= kkkXE
k
∑
=
+
+
n
k
kk
n
EXXE
B
1
2
2
1 δ
δ
= ∑
=
+
+
n
k
k
n
XE
B
1
2
2
1 δ
δ
1
2
11
22
2
1
2
12
[(1 )]
nn
kk
n
B
nn
δ
δ δ
δδ
+
++
+
+
==
==
+
∑∑
取2=δ，则 ∑
=
+
+
n
k
kk
n
EXXE
B
1
2
2
1 δ
δ
∑
=+
=
n
k
k
nn 1
2
2
)]1([
4
0)12)(1(
6
)]1([
4
2
→?++?
+
=
∞→n
nn
n
nn
即李雅普诺夫定理的条件成立，故对于{ }
k
X李雅普诺夫定理成立。
（2） 0
3
1
)(
3
1
)( =?+=
αα
kkEX
k
ααα 2222
3
2
3
1
)(
3
1
)( kkkEXDX
kk
=?+==
∑∑
==
==
n
k
n
k
kn
kDXB
1
2
1
2
3
2
α
,
)2(
22
2
3
2
3
1
3
1
δα
δ
α
δ
α
δ
+
++
+
=?+= kkkXE
k
∑
=
+
+
n
k
kk
n
EXXE
B
1
2
2
1 δ
δ
= ∑
=
+
+
n
k
k
n
XE
B
1
2
2
1 δ
δ
2
1
1
2
1
)2(
]
3
2
[
)
3
2
(
δ
α
δα
+
=
=
+
∑
∑
=
n
k
n
k
k
k
因为 dxx
n
k
n
n
k
n
k
n
n
k
n
∫∑
∑
+=?+=
+
=
∞→
+
=
∞→
1
0
1
1
1
)1()(
1
)1(lim
1
lim
αα
α
α
αα
α
1=
所以 ∑
=
+
+
∞→
n
k
kk
n
n
EXXE
B
1
2
2
1
lim
δ
δ
2
1
12
1)2(
2
)
12
(
1)2(
)
3
2
(lim
δ
α
δα
δ
α
δα
+
+
++
∞→
+
++
=
n
n
n
0
1
1)2(
)12(
)
3
2
(lim
2
2
1
2
=?
++
+
=
+
∞→
δ
δ
δ
δα
α
n
n；故对于所给的{ }
k
X李雅普诺夫定理成立。
4,解:以表示第只电器的使用寿命,则)16,...,2,1( =kX
k
k,10000)(,100)( ==
kk
XDXE记,
即
∑
=
=
16
1k
k
XX
X表示这16只电器的使用寿命之和,据独立同分布的中心极限定理有,
2119.07881.01)8.0(1}
1000016
100161920
1000016
10016
{}1920{ =?=Φ?≈
×
×?
×
×?
= ; ;
X
PXP
5,解:以X表示100根木柱中长度小于3米的根树,则X是一个随机变量,由题意:,据棣莫弗-拉普拉斯定理,)3/1,100(~ bX
0062.0)5.2(1
5
4
5
1
100
5
1
10030
5
4
5
1
100
5
1
100
{}30{ l
X
PXP =Φ?≈
××
×?
××
×?
=≥ ;
6．解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定：各次试验是独立的。
记随机变量X = {在90000次波浪冲击中，纵摇角大于3°的次数}
则 )
3
1
,90000(~ BX,
3
1
,9000 == pn,由德莫佛–拉普拉斯定理，得
P{29500 X 30500}≤ ≤ }
)1(
30500
)1()1(
29500
{
pnp
np
pnp
npX
pnp
np
P
≤
≤
=
)
)1(
29500
()
)1(
30500
(
pnp
np
pnp
np
≈ ΦΦ
9995.01)
2
25
(2)
2
25
()
2
25
( ≈?== ΦΦΦ
7,解 (1) 记 )400,,2,1(}{ "== kkX
k
的家长人数个学生，来参加家长会对于第则 X
k
分布律为
X
k
0 1 2
P 0.05 0.8 0.15
易知 )400,,2,1(19.0)(,1.1)( "=== kXDXE
kk
,
且随机变量序列{X
k
}独立同分布，故由林德贝格-列维中心极限定知 ),,,( 40021 "=k
∑
=
=
400
1k
k
XX的标准化随机变量
19.0400
1.1400
)(
)(
400
1
×?
=
∑
=k
k
X
XD
XEX
近似地服从标准正态分布N(1,0),于是
}
19.0400
1.1400450
19.0400
1.1400
{1}450{1}450{
×?
≤
×?
=≤?=>
X
PXPXP
1357.0)147.1(1}147.1
19.0400
1.1400
{1 ≈?≈≤
×?
= Φ
X
P
(2) 记 Y = {有1名家长来参加会议的学生数}，则,)8.0,400(~ BY
由德莫佛–拉普拉斯定理，得
}
2.08.0400
8.0400340
2.08.0400
8.0400
{}340{
××
×?
≤
××
×?
=≤
Y
PYP
,9938.0)5.2(}5.2
2.08.0400
8.0400
{ =Φ≈≤
××
×?
=
Y
P
8,解：设 {} 只元件的寿命第iX
i
= )100,,2,1( "=i
则
∑
=
=
100
1
1
i
i
X
n
X )100( =n
所以
>
=>
∑
=
n
n
nX
PXP
n
i
i
σ
μ
σ
120
}120{
1
02275.0
120
1 =
Φ?= n
σ
μ
9,解：设X={同时去图书馆上自习的人数}，并设图书馆至少应设n个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位，即n满足
99.0}0{ ≥≤< nXP
因为 X~B(1000,0.8)
所以，由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理，得
}
2.08.01000
8.01000
2.08.01000
8.01000
2.08.01000
8.010000
{}0{
××
×?
≤
××
×?
≤
××
×?
=≤<
nX
PnXP
()24.63
65.12
800
Φ?
Φ≈
n
99.00
65.12
800
≥?
Φ≈
n
查表得，从而 ()99.033.2 =Φ
33.2
65.12
800
≥
n
5.829≥n
因此，图书馆至少应设830个座位。
1．设为独立随机变量序列,}{
n
X
",2,1,
2
1
1}0{
2
1
}2{
212
=?===±=
+
nXPXP
n
n
n
n
n
证明：服从大数定律。 }{
n
X
2．在一家保险合同里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年中一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向公司领得1000元，问,
（1）保险公司亏本的概率多大？
（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？
3．试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？
（1） ",2,1,
2
1
}{{ ====?= kKXPKXP
kk
（2） ",2,1,0,
3
1
}0{}{}{ =>=====?= kaXPKXPKXP
k
a
k
a
k
4,根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率,
5,有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,
问其中至少有30根短于3米的概率是多少?
6．一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率
3
1
=p，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角大于3°的概率是多少？
7．对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。
求,（1）参加会议的家长数X超过450的概率。
（2）有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
8,某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地抽取100只，设他们的寿命相互独立，求这100只元件的平均寿命大于120h的概率。
9,某学校有1000名住校生，每人以80%的概率去图书馆自习，问：图书馆应至少设多少个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位？
第四章 中心极限定理习题解答
1,证明：0)
2
1
1(0
2
1
)2(
2
1
2)(
21212
=++?=
++ nn
n
n
n
n
XE
1)
2
1
1(0
2
1
)2(
2
1
)2(
)]([)()(
2
2
12
2
12
2
22
=++?=
=
++ nn
n
n
n
nnn
XEXEXD
令 ∑
=
=
n
k
kn
X
n
Y
1
1
，(n=1,2,…) 则 ()0
n
EY =
22
11
11
() ( ) ( ) 0
nn
n
nk k
kk
DY D X D X n
nn n
→∞
==
== =?=?→
∑∑
0
1
}{0,0
22
→?=≤≥?≤>?
∞→nn
nn
n
DY
EYYP
εε
εε
由夹逼准则知,0}{lim =≥?
∞→
ε
nn
n
EYYP,所以服从大数定律。 }{
n
X
2．解 （1） 根据题设条件，所求问题应该以“年”为单位来考虑。在年初，保险
公司总收入为 (元) 1200001210000 =×
设一年中死亡人数为X，则),(~ pnBX，其中n=10000,p=0.006,从而保险公司在这
一年应付出1000X（元），要使保险公司亏本，则必须 1000X >120000，即X >120（人）
因此由德莫佛—拉普拉斯定理,
P{保险公司亏本}=P{X >120}
>
=
)1(
120
)1( pnp
np
pnp
npX
P
7.769 1 (7.7699) 0
(1 )
Xnp
P
np p
= >=?Φ
≈
(2) P{保险公司获利不少于40000元}
}80{}400001000120000{ ≤=≥?= XPXP
≤
=
)1(
80
)1( pnp
np
pnp
npX
P
995.0)59.2(59.2
)1(
==
≤
= Φ
pnp
npX
P
3,解 （1） 0
2
1
)(
2
1
)( =?+= kkEX
k
kkkDX
k
=?+=
2
1
)(
2
1
)(
22；
)1(
2
1
11
2
+=== ∑∑
==
nnkDXB
n
k
n
k
kn
2
122
2
2
1
2
1
δ
δδ
δ
+++
+
=?+= kkkXE
k
∑
=
+
+
n
k
kk
n
EXXE
B
1
2
2
1 δ
δ
= ∑
=
+
+
n
k
k
n
XE
B
1
2
2
1 δ
δ
1
2
11
22
2
1
2
12
[(1 )]
nn
kk
n
B
nn
δ
δ δ
δδ
+
++
+
+
==
==
+
∑∑
取2=δ，则 ∑
=
+
+
n
k
kk
n
EXXE
B
1
2
2
1 δ
δ
∑
=+
=
n
k
k
nn 1
2
2
)]1([
4
0)12)(1(
6
)]1([
4
2
→?++?
+
=
∞→n
nn
n
nn
即李雅普诺夫定理的条件成立，故对于{ }
k
X李雅普诺夫定理成立。
（2） 0
3
1
)(
3
1
)( =?+=
αα
kkEX
k
ααα 2222
3
2
3
1
)(
3
1
)( kkkEXDX
kk
=?+==
∑∑
==
==
n
k
n
k
kn
kDXB
1
2
1
2
3
2
α
,
)2(
22
2
3
2
3
1
3
1
δα
δ
α
δ
α
δ
+
++
+
=?+= kkkXE
k
∑
=
+
+
n
k
kk
n
EXXE
B
1
2
2
1 δ
δ
= ∑
=
+
+
n
k
k
n
XE
B
1
2
2
1 δ
δ
2
1
1
2
1
)2(
]
3
2
[
)
3
2
(
δ
α
δα
+
=
=
+
∑
∑
=
n
k
n
k
k
k
因为 dxx
n
k
n
n
k
n
k
n
n
k
n
∫∑
∑
+=?+=
+
=
∞→
+
=
∞→
1
0
1
1
1
)1()(
1
)1(lim
1
lim
αα
α
α
αα
α
1=
所以 ∑
=
+
+
∞→
n
k
kk
n
n
EXXE
B
1
2
2
1
lim
δ
δ
2
1
12
1)2(
2
)
12
(
1)2(
)
3
2
(lim
δ
α
δα
δ
α
δα
+
+
++
∞→
+
++
=
n
n
n
0
1
1)2(
)12(
)
3
2
(lim
2
2
1
2
=?
++
+
=
+
∞→
δ
δ
δ
δα
α
n
n；故对于所给的{ }
k
X李雅普诺夫定理成立。
4,解:以表示第只电器的使用寿命,则)16,...,2,1( =kX
k
k,10000)(,100)( ==
kk
XDXE记,
即
∑
=
=
16
1k
k
XX
X表示这16只电器的使用寿命之和,据独立同分布的中心极限定理有,
2119.07881.01)8.0(1}
1000016
100161920
1000016
10016
{}1920{ =?=Φ?≈
×
×?
×
×?
= ; ;
X
PXP
5,解:以X表示100根木柱中长度小于3米的根树,则X是一个随机变量,由题意:,据棣莫弗-拉普拉斯定理,)3/1,100(~ bX
0062.0)5.2(1
5
4
5
1
100
5
1
10030
5
4
5
1
100
5
1
100
{}30{ l
X
PXP =Φ?≈
××
×?
××
×?
=≥ ;
6．解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定：各次试验是独立的。
记随机变量X = {在90000次波浪冲击中，纵摇角大于3°的次数}
则 )
3
1
,90000(~ BX,
3
1
,9000 == pn,由德莫佛–拉普拉斯定理，得
P{29500 X 30500}≤ ≤ }
)1(
30500
)1()1(
29500
{
pnp
np
pnp
npX
pnp
np
P
≤
≤
=
)
)1(
29500
()
)1(
30500
(
pnp
np
pnp
np
≈ ΦΦ
9995.01)
2
25
(2)
2
25
()
2
25
( ≈?== ΦΦΦ
7,解 (1) 记 )400,,2,1(}{ "== kkX
k
的家长人数个学生，来参加家长会对于第则 X
k
分布律为
X
k
0 1 2
P 0.05 0.8 0.15
易知 )400,,2,1(19.0)(,1.1)( "=== kXDXE
kk
,
且随机变量序列{X
k
}独立同分布，故由林德贝格-列维中心极限定知 ),,,( 40021 "=k
∑
=
=
400
1k
k
XX的标准化随机变量
19.0400
1.1400
)(
)(
400
1
×?
=
∑
=k
k
X
XD
XEX
近似地服从标准正态分布N(1,0),于是
}
19.0400
1.1400450
19.0400
1.1400
{1}450{1}450{
×?
≤
×?
=≤?=>
X
PXPXP
1357.0)147.1(1}147.1
19.0400
1.1400
{1 ≈?≈≤
×?
= Φ
X
P
(2) 记 Y = {有1名家长来参加会议的学生数}，则,)8.0,400(~ BY
由德莫佛–拉普拉斯定理，得
}
2.08.0400
8.0400340
2.08.0400
8.0400
{}340{
××
×?
≤
××
×?
=≤
Y
PYP
,9938.0)5.2(}5.2
2.08.0400
8.0400
{ =Φ≈≤
××
×?
=
Y
P
8,解：设 {} 只元件的寿命第iX
i
= )100,,2,1( "=i
则
∑
=
=
100
1
1
i
i
X
n
X )100( =n
所以
>
=>
∑
=
n
n
nX
PXP
n
i
i
σ
μ
σ
120
}120{
1
02275.0
120
1 =
Φ?= n
σ
μ
9,解：设X={同时去图书馆上自习的人数}，并设图书馆至少应设n个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位，即n满足
99.0}0{ ≥≤< nXP
因为 X~B(1000,0.8)
所以，由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理，得
}
2.08.01000
8.01000
2.08.01000
8.01000
2.08.01000
8.010000
{}0{
××
×?
≤
××
×?
≤
××
×?
=≤<
nX
PnXP
()24.63
65.12
800
Φ?
Φ≈
n
99.00
65.12
800
≥?
Φ≈
n
查表得，从而 ()99.033.2 =Φ
33.2
65.12
800
≥
n
5.829≥n
因此，图书馆至少应设830个座位。
