第七章 习 题
1,设
∑
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
为来自正态总体 的样本均值，),(
2
σμN μ 未知,欲检验假
（
2
0
2
0
,σσ =H
0
σ 已知） 。应 用 检验法；检验的统计量为 。
2,在非 参数 检验中,欲 检验假设 );()(:
00
θxFxFH =,θ 已知,为已 知分布函 数,可应用
0
F
检验法 ；检验的统计量为 。
3,设
∑
=
=
m
i
i
X
m
X
1
1
和
∑
=
=
n
i
i
Y
n
Y
1
1
分别 为来自两个 独立正态总 体 和的样本均值,参数
),(
2
11
σμN ),(
2
22
σμN
21
,μμ 均未知,欲检验假设,应 用
2
2
2
10
,σσ =H 检验法；
检检验的统计量为 。
4,设 X 为来自总体 的大小 为 的样本均 值,为相应 的样本方差,当 已知时，检 验假 设
),(
2
σμN n
2
n
S
2
σ
000;,μμμμ >≤H （
0
σ 已知） 的统计 量为 ；拒绝域为 ；当 未知时检 验 假 设
2
σ
00
,μμ≥H ；
01
,μμ <H 的统 计量为,拒绝域 为 。
5.某区进行 数学统考，初二年级平均成绩为 75.6 分，标准差为 7.4 分,从该区某中学中抽取 50 位初二 学生,测得平均数学统考成绩为 78 分,试问该中学初二的数学成绩与全区数学成绩有无显著差异？( α =0.05)
6.对 7 岁儿 童作身 高调 查结果 如下 所示,能否 说明性 别对 7 岁 儿 童 的 身高有 显著 影响？
(α =0.05)
性 别 人数( ) n 平均身高( x ) 标准差
男 384 118.64 4.53
女 377 117.86 4.86
7.某中学从 初二年级中各随机抽取若干学生施以两种不同的数学教改实验,一段时间后统一测试结果如下,
实验甲,=25,
1
n
1
x =88,=6,
1
1n
S
实验乙,=27,
2
n
2
x =82,=9,
2
2n
S
在测试成绩均服从正态分布的条件下，问两种实验效果差异是否显著( α =0.1),
1
8.某切割机 在正常工作时,切割每 段金属棒的平均长度为 10.5cm,标准 差 是 0.15cm,今从一批产品中随机的抽取 15 段进行测量,其结果如 下,
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
问：能否认为该机工作正常？( α =0.05)
9.某厂生 产 的某种型 号 的电池,其 寿命长期 以 来服从方 差 为 5000 (小 时 ) 的 正态分 布,
现有一批这 种电池,从它生产情况 来看,寿命的波动性有 所变化,现随机的取 26 只电池,
测出其寿命的样本方差为 9200(小时 ),问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化
2
2
( 0.02)α =？
10.某砖厂制 成两批机制红砖,抽样 检查测量砖的抗折强度(公斤),得到 结果如下,
*
11
*
22
,10,27.3,6.4;
,8,30.5,3.8;
nx s
ny s
== =
== =
第一批第二批
已知砖的抗 折强度服从 正态分布,试检验两批 红砖的抗折 强度的方 差 是否有显 著 差异?
(α =0.05)
11.某香烟厂生产两种香 烟，独立地 随机抽取容 量大小相同 的烟叶标本,测量尼古 丁含量的毫克数，实验室分别做了六次测定，数据记录如下,
甲 25 28 23 26 29 22
乙 28 23 30 25 21 27
试问,这两 种香烟 的尼 古丁含 量有 无显著 差异？给定 05.0=α,假 定尼古 丁含 量服从 正态分布且具有公共方差,
12.某种导线,要求其电阻的标准差不得超过 （欧姆）,今 在 生产的一批导线中取样品
9 根，测 得 （欧姆）,设总 体 为 正态分 布,问在水 平
005.0
007.0=s 05.0=α 下能否 认为这批 导线的标准差显著地偏大？
13.盒中有 5 种球，重复抽取 200 次 （每次抽 1 个球）各种球出现的次数见下表。问盒中 5
种球的个数是否相等？显著水平 α=0.05。
第七章 习 题 解 答
1,统计量为
nm
YXU
2
2
2
1
/)(
σσ
+?=；该统计量服从 分布。 )1,0(N
2,用统计量
nm
nmmn
nSmS
YX
T
+
+
+
=
)2(
2
2
2
1
3,检验法；检验的统计量为
2
χ
2
0
1
2
2
)(
σ
∑
=
=
n
i
i
XX
K,
2
4,用 检验法；检验的统计量为F
),(~
2
2
2
1
nmF
S
S
F
n
m
=
5,取 α =0.05时，由 P {
2
1
α
≥ uU }=0.05，查表得 96.1
2
1
=
α
u,
由于
00
75.6,7.4,50,78unxσ====，故 29.250
4.7
6.7578
=u,
因 2.29 1.96u =>,故应拒绝
0
:H
0
μμ=,即认为该中学初二数学成绩与全区成绩有显著差异,
6,检验步骤,
211210
:,μμμμ ≠?= HH
由
1
2
0.05PU u
α
α
≥==
，查表得 96.1
975.0.
=u,拒绝域为 { }96.1,≥= uuC,
22
118.64 117.86
2.29 1.96
4.53 4.86
384 377
u
==
+
>
,
所以在 α =0.05下，拒绝
0
H,接受
1
H,即认为性别对 7岁儿童的身高有显著影响,
7,1、首先 作方差齐性检验
（1）提出假 设
0
H,；
2
2
2
1
σσ =
1
H,,
2
2
2
1
σσ ≠
（2）定临界 值
由
0
1
2
2
(
11 1
2
22 2
1
~ (24,26)
1
H
n
n
nS n
FF
nS n
=
真时)
，查表得
0.95
1
0.95
11
(24,26) (24,26) 1.95,(24,26) 0.508
(26,24) 1.97
ff f
f
αα
== ===,
于是拒绝域为,{ 1.95} { 0.508}Cf f=≥ ≤∪
（3）计算 f值
508.0446.0
99
1325
24927
26625
26/927
24/625
22
2
2
2
≤=
×
×
=
××
××
=
×
×
=f,
（4）作出判 决，因 f∈C故拒绝 H0，认为两子样取自方差有显著差异的总体,
8,．现需检验假设
2
~ (,),0.15XNμσ σ=
01
,10.5,,10.5HHμμ= ≠,
3
因为 15,n = 10.48,x = 0.05α =,所以
0
10.48 10.5
0.516
/0.15/15
x
n
μ
σ
==?,
于是
0
0.05
| | 0.516 1.645
/
x
u
n
μ
σ
=<=,,
0
,H故接受 即认为该 机工作正常
9,
22 2
01 0
22 2 2
/2 0.01 1 /2 0.99
*2 *2
22
00
*2
2
0
,5000,,5000,26,0.02,5000,
( 1) (25) 44.314,( 1) (25) 11.524,
(1) (1)
11.524,44.314,
(1) 25 9200
46 4
5000
nn
n
HH n
nn
ns ns
ns
αα
σσ ασ
χχ χ χ
σσ
σ
=≠==
= =?= =
≤≥
×
==>
解 要检验假 设拒绝域为,或因为
0
4.314,
,H所以拒绝
=
可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化,
10,
22 22
01 2 11 2
*2
1
*2
2
/2 1 2 1 /2 1 2
*2 *2
121
0.025 0.975
0.025
:,:
,,~(1,1
(1,1) (1,1),
10,8,40.96,14.44,
1
(9,7) 4.82,(9,7) 0.283,
(7,9)
40.9
HH
S
FH FFn
S
FF n n FF n n
nns s
FF
F
F
αα
σσ σσ
=≠
2
),n=
≥≤
=== =
=
=
解 假设检验用 检验法 当 为真时 统计量或由得
0
6
2.837,0.283 2.837 4.82,
14.44
,.H
=<<显然所以接受 认为抗折强度的方差没有显著差异
11.要检验的 假设是
01 211
:;:HH
2
μμ μμ=≠,
选取统计量
12
12
~( 2)
11
w
XY
ttn
S
nn
=+
+
,
22
12
25.5,25.67,7.5,11.07xy ss== ==,
22
11 2 2
12
(1) (1)
3.05
2
w
nsns
s
nn
+?
+?
,
4
样本观测值
25.5 25.67
0.099
11
3.05
66
t
=≈
+
,
12
2
0.099 2 2281 ( 2)ttn
α
= <=+?.,
故接受原假设，即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异,
12,
00 10
,0.005,,0.005HHσ σσσ== >=,
选用统计量 为真时
222
0
1) / (nS Hχσ=?（
2
1)nχ?～）（,
22
0.005
1) 9 1) 15.507n
α
χχ?=?=（（,
故拒绝域为,
2
15.507χ >
222 22
1) / 8 0.007 / 0.005 15.68 15.507nSχσ=? =× = >（,
因而
2
χ 的观察值落入拒绝域之中，有理由拒绝
0
H,认为在水平 0.05α = 下，这批导 线 的标准差显著地偏大,
13,H
0
：,5 种球的个数相等,,H
1
：,5 种球的个数不等,。
由已知 n=200,m=5,如果 H
0
正确。 则每次抽得第 i种球概率 p
i
=1/5。 拟合优度检验法计算表为,
i n
i
n
i
p? n
i
-n
i
p? (n
i
-n )
i
p?
2
/n
i
p?
1
2
3
4
5
35
40
43
38
44
40
40
40
40
40
-5
0
3
-2
4
0.625
0
0.225
0.1
0.4
∑ 200 200 0 1.35
计算出,35.1
)?(
1
2
2
=
=
∑
=
m
i
i
ii
pn
pnn
χ
查 分布表得 。因 为 1.35<9.448，接 受 H
2
χ () 448.94
2
05.0
=χ
0
,认为盒中 5 种球的 个数相等。
5
1,设
∑
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
为来自正态总体 的样本均值，),(
2
σμN μ 未知,欲检验假
（
2
0
2
0
,σσ =H
0
σ 已知） 。应 用 检验法；检验的统计量为 。
2,在非 参数 检验中,欲 检验假设 );()(:
00
θxFxFH =,θ 已知,为已 知分布函 数,可应用
0
F
检验法 ；检验的统计量为 。
3,设
∑
=
=
m
i
i
X
m
X
1
1
和
∑
=
=
n
i
i
Y
n
Y
1
1
分别 为来自两个 独立正态总 体 和的样本均值,参数
),(
2
11
σμN ),(
2
22
σμN
21
,μμ 均未知,欲检验假设,应 用
2
2
2
10
,σσ =H 检验法；
检检验的统计量为 。
4,设 X 为来自总体 的大小 为 的样本均 值,为相应 的样本方差,当 已知时，检 验假 设
),(
2
σμN n
2
n
S
2
σ
000;,μμμμ >≤H （
0
σ 已知） 的统计 量为 ；拒绝域为 ；当 未知时检 验 假 设
2
σ
00
,μμ≥H ；
01
,μμ <H 的统 计量为,拒绝域 为 。
5.某区进行 数学统考，初二年级平均成绩为 75.6 分，标准差为 7.4 分,从该区某中学中抽取 50 位初二 学生,测得平均数学统考成绩为 78 分,试问该中学初二的数学成绩与全区数学成绩有无显著差异？( α =0.05)
6.对 7 岁儿 童作身 高调 查结果 如下 所示,能否 说明性 别对 7 岁 儿 童 的 身高有 显著 影响？
(α =0.05)
性 别 人数( ) n 平均身高( x ) 标准差
男 384 118.64 4.53
女 377 117.86 4.86
7.某中学从 初二年级中各随机抽取若干学生施以两种不同的数学教改实验,一段时间后统一测试结果如下,
实验甲,=25,
1
n
1
x =88,=6,
1
1n
S
实验乙,=27,
2
n
2
x =82,=9,
2
2n
S
在测试成绩均服从正态分布的条件下，问两种实验效果差异是否显著( α =0.1),
1
8.某切割机 在正常工作时,切割每 段金属棒的平均长度为 10.5cm,标准 差 是 0.15cm,今从一批产品中随机的抽取 15 段进行测量,其结果如 下,
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
问：能否认为该机工作正常？( α =0.05)
9.某厂生 产 的某种型 号 的电池,其 寿命长期 以 来服从方 差 为 5000 (小 时 ) 的 正态分 布,
现有一批这 种电池,从它生产情况 来看,寿命的波动性有 所变化,现随机的取 26 只电池,
测出其寿命的样本方差为 9200(小时 ),问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化
2
2
( 0.02)α =？
10.某砖厂制 成两批机制红砖,抽样 检查测量砖的抗折强度(公斤),得到 结果如下,
*
11
*
22
,10,27.3,6.4;
,8,30.5,3.8;
nx s
ny s
== =
== =
第一批第二批
已知砖的抗 折强度服从 正态分布,试检验两批 红砖的抗折 强度的方 差 是否有显 著 差异?
(α =0.05)
11.某香烟厂生产两种香 烟，独立地 随机抽取容 量大小相同 的烟叶标本,测量尼古 丁含量的毫克数，实验室分别做了六次测定，数据记录如下,
甲 25 28 23 26 29 22
乙 28 23 30 25 21 27
试问,这两 种香烟 的尼 古丁含 量有 无显著 差异？给定 05.0=α,假 定尼古 丁含 量服从 正态分布且具有公共方差,
12.某种导线,要求其电阻的标准差不得超过 （欧姆）,今 在 生产的一批导线中取样品
9 根，测 得 （欧姆）,设总 体 为 正态分 布,问在水 平
005.0
007.0=s 05.0=α 下能否 认为这批 导线的标准差显著地偏大？
13.盒中有 5 种球，重复抽取 200 次 （每次抽 1 个球）各种球出现的次数见下表。问盒中 5
种球的个数是否相等？显著水平 α=0.05。
第七章 习 题 解 答
1,统计量为
nm
YXU
2
2
2
1
/)(
σσ
+?=；该统计量服从 分布。 )1,0(N
2,用统计量
nm
nmmn
nSmS
YX
T
+
+
+
=
)2(
2
2
2
1
3,检验法；检验的统计量为
2
χ
2
0
1
2
2
)(
σ
∑
=
=
n
i
i
XX
K,
2
4,用 检验法；检验的统计量为F
),(~
2
2
2
1
nmF
S
S
F
n
m
=
5,取 α =0.05时，由 P {
2
1
α
≥ uU }=0.05，查表得 96.1
2
1
=
α
u,
由于
00
75.6,7.4,50,78unxσ====，故 29.250
4.7
6.7578
=u,
因 2.29 1.96u =>,故应拒绝
0
:H
0
μμ=,即认为该中学初二数学成绩与全区成绩有显著差异,
6,检验步骤,
211210
:,μμμμ ≠?= HH
由
1
2
0.05PU u
α
α
≥==
，查表得 96.1
975.0.
=u,拒绝域为 { }96.1,≥= uuC,
22
118.64 117.86
2.29 1.96
4.53 4.86
384 377
u
==
+
>
,
所以在 α =0.05下，拒绝
0
H,接受
1
H,即认为性别对 7岁儿童的身高有显著影响,
7,1、首先 作方差齐性检验
（1）提出假 设
0
H,；
2
2
2
1
σσ =
1
H,,
2
2
2
1
σσ ≠
（2）定临界 值
由
0
1
2
2
(
11 1
2
22 2
1
~ (24,26)
1
H
n
n
nS n
FF
nS n
=
真时)
，查表得
0.95
1
0.95
11
(24,26) (24,26) 1.95,(24,26) 0.508
(26,24) 1.97
ff f
f
αα
== ===,
于是拒绝域为,{ 1.95} { 0.508}Cf f=≥ ≤∪
（3）计算 f值
508.0446.0
99
1325
24927
26625
26/927
24/625
22
2
2
2
≤=
×
×
=
××
××
=
×
×
=f,
（4）作出判 决，因 f∈C故拒绝 H0，认为两子样取自方差有显著差异的总体,
8,．现需检验假设
2
~ (,),0.15XNμσ σ=
01
,10.5,,10.5HHμμ= ≠,
3
因为 15,n = 10.48,x = 0.05α =,所以
0
10.48 10.5
0.516
/0.15/15
x
n
μ
σ
==?,
于是
0
0.05
| | 0.516 1.645
/
x
u
n
μ
σ
=<=,,
0
,H故接受 即认为该 机工作正常
9,
22 2
01 0
22 2 2
/2 0.01 1 /2 0.99
*2 *2
22
00
*2
2
0
,5000,,5000,26,0.02,5000,
( 1) (25) 44.314,( 1) (25) 11.524,
(1) (1)
11.524,44.314,
(1) 25 9200
46 4
5000
nn
n
HH n
nn
ns ns
ns
αα
σσ ασ
χχ χ χ
σσ
σ
=≠==
= =?= =
≤≥
×
==>
解 要检验假 设拒绝域为,或因为
0
4.314,
,H所以拒绝
=
可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化,
10,
22 22
01 2 11 2
*2
1
*2
2
/2 1 2 1 /2 1 2
*2 *2
121
0.025 0.975
0.025
:,:
,,~(1,1
(1,1) (1,1),
10,8,40.96,14.44,
1
(9,7) 4.82,(9,7) 0.283,
(7,9)
40.9
HH
S
FH FFn
S
FF n n FF n n
nns s
FF
F
F
αα
σσ σσ
=≠
2
),n=
≥≤
=== =
=
=
解 假设检验用 检验法 当 为真时 统计量或由得
0
6
2.837,0.283 2.837 4.82,
14.44
,.H
=<<显然所以接受 认为抗折强度的方差没有显著差异
11.要检验的 假设是
01 211
:;:HH
2
μμ μμ=≠,
选取统计量
12
12
~( 2)
11
w
XY
ttn
S
nn
=+
+
,
22
12
25.5,25.67,7.5,11.07xy ss== ==,
22
11 2 2
12
(1) (1)
3.05
2
w
nsns
s
nn
+?
+?
,
4
样本观测值
25.5 25.67
0.099
11
3.05
66
t
=≈
+
,
12
2
0.099 2 2281 ( 2)ttn
α
= <=+?.,
故接受原假设，即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异,
12,
00 10
,0.005,,0.005HHσ σσσ== >=,
选用统计量 为真时
222
0
1) / (nS Hχσ=?（
2
1)nχ?～）（,
22
0.005
1) 9 1) 15.507n
α
χχ?=?=（（,
故拒绝域为,
2
15.507χ >
222 22
1) / 8 0.007 / 0.005 15.68 15.507nSχσ=? =× = >（,
因而
2
χ 的观察值落入拒绝域之中，有理由拒绝
0
H,认为在水平 0.05α = 下，这批导 线 的标准差显著地偏大,
13,H
0
：,5 种球的个数相等,,H
1
：,5 种球的个数不等,。
由已知 n=200,m=5,如果 H
0
正确。 则每次抽得第 i种球概率 p
i
=1/5。 拟合优度检验法计算表为,
i n
i
n
i
p? n
i
-n
i
p? (n
i
-n )
i
p?
2
/n
i
p?
1
2
3
4
5
35
40
43
38
44
40
40
40
40
40
-5
0
3
-2
4
0.625
0
0.225
0.1
0.4
∑ 200 200 0 1.35
计算出,35.1
)?(
1
2
2
=
=
∑
=
m
i
i
ii
pn
pnn
χ
查 分布表得 。因 为 1.35<9.448，接 受 H
2
χ () 448.94
2
05.0
=χ
0
,认为盒中 5 种球的 个数相等。
5
