第三章 随机变量的数字特征习题解答
1．解,X 的概率密度函数为
≤<
==
其它0
40
4
1
d
)(d
)(
x
x
xF
xp
X
则 X 服从 区间上的均匀分布，所以 ]4,0[
2
2
40
)( =
+
=XE
3
4
12
)04(
)(
2
=
=XD
2．解 (1)联 合分布律为
Y X 1 2 3 Σ
1
2
3
9/1 9/2 9/2
0 9/1 9/2
0 0 9/1
9/5
9/3
9/1
Σ 9/1 9/3 9/5 1
(2),9/229/539/329/11)( =×+×+×=XE
3．解,(1)
22
00
1
sin( ) 1
2
Axydxdy A
ππ
+==
∫∫
因为,则
(2)
22 2
00 0
11
( ) sin( ) (cos( ) cos )) ( )
24
E X x x y dxdy x x x dx E Y
ππ π
ππ
=+=?+?=
∫∫ ∫
2
() () 2
16 2
DX DY
ππ
==+?
2222
00
(3) cov(,) ( ) ( ) ( )
1
= sin( ) 1
21626
x yEXYEXEY
xy x y dxdy
ππ
πππ
=?
+?=?
∫∫
cov(,)
0.245
() ()
XY
XY
DX DY
ρ =≈
+
3
1
)(
2
1
)(
3
1
)( =+= YEXEZE 4．解（ 1）
)
2
()
3
(2)(
4
1
)(
9
1
)
23
()(
Y
D
X
DYDXD
YX
DZD
XY
ρ++=+=
32)
2
1
(24
4
1
9
9
1
2
=×?×+×+×=
（ 2） )
2
,()
3
,()
23
,(),(
Y
XCOV
X
XCOV
YX
XCOVZXCOV +=+=
033)()(
2
1
3
3
1
2
=?=+× YDXD
XY
ρ
5．解 (1)
≤
>?
=
.0,0
,0,1
)(
y
ye
yF
y
,
1
21
1}1{}2,1{}0,0{
=≤=≤≤=== eYPYYPXXP
2
X
1
X 0 1
0
1
1
1
e
21
ee
0
2?
e
0}2,1{}1,0{
21
=>≤=== YYPXXP
}21{}2,1{}0,1{
21
≤<=≤>=== yPYYPXXP
,
2112
)1(1

== eeee
2
21
}2{}2,1{}1,1{
=>=>>=== eYPYYPXXP,
(2) 服从 0-1分布
k
X
k
X 0 1
p
k
e
1
k
e
故
6．解 （ 1）
k
k
eXE
=)(,
21
21
)(

+=+ eeXXE
dxxxdxXXXE
∫∫
+∞+∞
∞?
==
0
)exp()exp(
2
1
)( 1)2( =Γ=
1)exp(
2
1
)()()(
2
2
2
=?=
∫
+∞
∞?
dxxxXEXEXD
11)3(1)exp(
0
2
=?Γ==
∫
∞
dxxx
（ 2） XXE(
dxxxdxxx )exp(
2
1
)exp(
2
1
0
2
0
2
+?=
∫∫
+∞
∞?
dxxx
x
)exp(
2
)?=
∫
+∞
∞?
0)3(
2
1
)3(
2
1
=Γ+Γ?=
0)exp(
2
1
)( =?=
∫
+∞
∞?
dxxxXE
0010)()()(),cov(?XXX
X
=×?== XEXEEX
所以,X 关 。
YXZ?=,则 )1,0(~ NZ
与 不 相令7,解,
)()()()(
22
ZEZEZDYXD?==?
101)()()(
22
=+=+= ZEZDZE
dz
z
zdz
z
ZZE
∫∫
∞+∞+
∞?
=?=
0
22
)
2
exp(
2
2
)
2
exp(
2
1
)(
ππ
π
π
2
)
2
exp(
2
2
0
2
=
=
∞+
z
所以
22
)()( EXYXYE
ππ
2
1)
2
(1)(
2
=?=?YXD
8．解,DX
2222
)()( EYEXEYEX?=
Y?=
2
)()()()()()( EYEXEYEXEXDYEYDXDXDY?+++=
DY +
9．解,由于
2222
)()(])(][)([ EYEXEYDYEXDX?++=
2222
2
22
)()( EYDXDYEX DX +=
)
4
1
,10(~ BX,则
10
10
10
0
10
22 2 10 2
10
0
11
() ()(1 ) 2.5,
44
11
( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (2.5) 1.875
44
kk k
k
kk k
k
EX kC
DX EX E X kC
=
=
=?=
=?=? =
∑
∑
10．解,（1）
2
2
2
1
1
21
1 | | 1
0
x
X
x
x
x
pdy
π
π

≤
==
∫
其他
同理
2
2
2
1
1
21
1
|y | 1
0
y
Y
y
y
pdy
π
π

≤
==
∫
其他
因为,所以二者不独立。
X
YX
pp p≠
Y
（2 ）
2
2
11
1
1
1
cov(,) ( ) ( ) ( )
x
x
X YEXYEXEY xdx ydy
π

=? =
∫∫
2
2
22
1
11 1
11
[][
y
x
xy
]x dy dx y dx dy
ππ


∫∫ ∫∫
i
=0
XY与不 相 关 。 因而，
(1000,0.5),500,250,XB EX DX= =～ 11,解,
2
250
{400 600} {| | 100} 1 0.975
100
PX PXEX<< =? < ≥? ≈
由 于 因而