第一章 随机事件及其概率习题及解答
习题
1,个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率,n
2．从一付扑 克牌（52 张 ）中任意抽取两张，求下列各事件的概率
（1）恰好两 张同一花色；
（2）恰好两 张都是红色牌；
（3）其中恰 好有一张 A；
（4）其中至 少有一张 A,
3,甲,乙两人掷均匀硬币,其中甲掷 1n+ 次,乙掷 次,求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率,
n
4,袋中装有 号的球各一只,采用 （1） 有放回； （2） 无放回式摸球,试求在第 k 次摸球时首次摸到 1 号 球 的概率。
N,,2,1 null
5．有两个形 状相同的罐，第一个中有球 2 白 1 黑，第二个中有球 2 白 2 黑，某人从 任一罐中任取 1 个 球，已知取出的是白球，求是从第一个中取出的概率。
6．假设每个 人的生日在 任何月份内 是等可能的 。已知某单 位中至少有 一个人的生 日在一月份的概率不小于 0.96,问该单位有多少人？
7．某人从甲 地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为 0.2,0.4,0.4，乘火车迟到的概率为 0.5,乘 轮船迟到的概率为 0.2,乘飞机不会迟到。 问这个人迟到的概率是多少？如果他迟到了，问他乘轮船的概率是多少？
8,10 个零件 中有 3 个次 品,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回去,求第三次才取得合格品的概率。
9．某人投篮,命中率为 0.8，现独立投 五次，求最多命中两次的概率。
10,某班有 个学生,上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习,跳了 10 分 钟后把绳子放在一堆,进行别的练习,后来每人又随机拿了一根绳子进行练习,问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率,
N
11．设一枚深水炸弹击 沉一潜水艇 的概率为
1
3
，击伤的概率 为
1
2
，击不中 的概率为
1
6
．并设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放 4 枚 深水炸弹能击沉潜水艇的概率,
12．甲、乙 两人进行乒 乓球比赛,每局甲胜的 概率为,问对甲而言,采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立,
,1/pp≥ 2
习题解答
1．解 令 A={甲、乙 两人 相邻而 坐 },设想圆 桌周 围有 1,这 个位 置，由 于 该 问题属于圆排列问题,所以不妨认为甲坐 1 号位置,那么
2,,nnull n
A发生当且仅当乙坐 2 号 或 号位置，从而
n
1,2,
()
2
,2
1
n
PA
n
n
=
=
>
.
2．解（ 1） 235.0
2
52
2
13
1
4
=
C
CC
（ 2） 245.0
2
52
2
26
=
C
C
（ 3） 145.0
2
52
1
48
1
4
=
C
CC
（ 4） 149.01
2
52
2
48
=?
C
C
3．解 令 A={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数},
B ={甲掷出反面 的次数大于乙掷出反面次数},
由硬币的均匀性知，,容易看出，() ()PA PB=,ABSAB= =?∪,由此可知
1
()
2
PA=,
4．解：设 }1{ 号球次摸到第 iA
i
=
（ 1） )|()|()|()()(
1212211121121
=
kkkkkk
AAAAPAAAAPAAPAPAAAAP nullnullnullnull
NN
N
NN
N
N
N
N
N
k
111111
1
=?
=
null
（ 2） )|()|()|()()(
1212211121121
=
kkkkkk
AAAAPAAAAPAAPAPAAAAP nullnullnullnull
NkNkN
kN
N
N
N
N 1
)1(
1
)2(
)1(
1
21
=
= null
5．设 =“取到第 i个罐中的球”,
i
A 2,1=i,B =“取到白球”,则
2
1
)()(
21
== APAP,
3
2
)|(
1
=ABP,
2
1
4
2
)|(
2
==ABP
则全概率公式
)|()()|()()(
2211
ABPAPABPAPBP =
12
7
2
1
2
1
3
2
2
1
=×+×=
由 bayes 公式有
7
4
12
7
3
2
2
1
)(
)|()(
)|(
11
1
=
×
==
BP
ABPAP
BAP
6,解：设 该单位 有 个人,=,第 个 人生日 在 一月份,,则n
i
A i ),,2,1( ni null=
12
1
)( =
i
AP ),,2,1( ni null= 。由题设知
)(1)(
2121 nn
AAAPAAAP null∪null∪∪?=
)()()(1
21 n
APAPAP null?=
96.0)
12
11
(1 ≥?=
解此不等式，得 993735.36
12
11
lg
04.0lg
=≥n
所以，该单位至少有 37 人。
7．解：设某 人乘火车、轮船、飞机的事件分别为,=“迟到乙 地” 。 CBA,,D
由全概率公式
)|()()|()()|()()( CDPCPBDPBPADPAPDP ++=
04.02.04.05.02.0 ×+×+×=
18.0=
由 bayes 公式
9
4
18.0
2.04.0
)(
)|()(
)|( =
×
==
DP
BDPBP
DBP
8．解,058.0
8
7
9
2
10
3
=
9．解,05792.0)(.2,8.0,5
2
0
=≤==
∑
=k
k
BPkpn
10．解,令 {第 个学生拿到自己原先使用的绳子}（
i
A = i 1,2,,iN= null ）,
A={至少有一个 学生拿到自己原先使用的绳子},
则
111
() ( ) ( ) ( )
N N
ii i
iijNi
PA P A PA PAA
=≤<≤=
==?
∑∑∪ j
+
)
1
12
1
()(1)(
N
ijk N
ijkN
PAAA PAA A
≤<<≤
+?
∑
nullnull
12 3 1
11 1
(1)
(1) (1)(2)
NN
NN N N
CC C C
N NN
=? +?+?
null
1
!
1
11 1
1()
2! 3! !
N
N
=? +? +?null,
11,解 令 ｛第 枚炸弹击沉潜水艇｝,
n
A = n
n
B =｛第 枚炸弹击伤潜水艇｝,｛第n
n
C = n
枚炸弹击不中潜水艇｝,（ ）,1,2,3,4n = A=｛潜水艇被击沉｝,则
1234 1234 1234 1234 1234
A CCCC BCCC CBCC CCBC CCCB= ∪∪∪∪,
于是
1234 1234 1234 1234 1234
()()()()()()PA PCCCC PBCCC PCBCC PCCBC PCCCB=++++
43
(1/ 6) 4 (1/ 2) (1/ 6) 0.01=+××=,
所以 () 0.99PA=
12．解 采 用三局二胜 制，甲最终 获胜，其胜 局的情况是：,甲甲”或,乙甲甲” 或“甲乙甲”,而这三 种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为
22
1
2(1 )pp p p= +?,
采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛 3 局 （可能赛 3 局,也可能赛 4 局 或 5 局）,
且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局．例如，共赛 4 局，则甲的胜局情况是：,甲乙甲甲”,,乙甲甲甲”,,甲甲乙甲”,且这三种结 局互不相容,由独立性 得在五局三 胜制下甲最终获胜的概率为
33 3
2
34
(1 ) (1 )
22
2
p pppp
=+?+?
p
1
,
而,
23 2 2 2
21
(6 15 12 3) 3 ( 1) (2 1)pppp p p pp p?=?+?=
当 时1/2p >
2
p p> ；当 时1/2p =
21
1/2pp= =,故当 时,对甲来说 采 用 五局三胜制为有利．当 时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是 50%,
1/2p >
1/2p =
习题
1,个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率,n
2．从一付扑 克牌（52 张 ）中任意抽取两张，求下列各事件的概率
（1）恰好两 张同一花色；
（2）恰好两 张都是红色牌；
（3）其中恰 好有一张 A；
（4）其中至 少有一张 A,
3,甲,乙两人掷均匀硬币,其中甲掷 1n+ 次,乙掷 次,求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率,
n
4,袋中装有 号的球各一只,采用 （1） 有放回； （2） 无放回式摸球,试求在第 k 次摸球时首次摸到 1 号 球 的概率。
N,,2,1 null
5．有两个形 状相同的罐，第一个中有球 2 白 1 黑，第二个中有球 2 白 2 黑，某人从 任一罐中任取 1 个 球，已知取出的是白球，求是从第一个中取出的概率。
6．假设每个 人的生日在 任何月份内 是等可能的 。已知某单 位中至少有 一个人的生 日在一月份的概率不小于 0.96,问该单位有多少人？
7．某人从甲 地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为 0.2,0.4,0.4，乘火车迟到的概率为 0.5,乘 轮船迟到的概率为 0.2,乘飞机不会迟到。 问这个人迟到的概率是多少？如果他迟到了，问他乘轮船的概率是多少？
8,10 个零件 中有 3 个次 品,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回去,求第三次才取得合格品的概率。
9．某人投篮,命中率为 0.8，现独立投 五次，求最多命中两次的概率。
10,某班有 个学生,上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习,跳了 10 分 钟后把绳子放在一堆,进行别的练习,后来每人又随机拿了一根绳子进行练习,问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率,
N
11．设一枚深水炸弹击 沉一潜水艇 的概率为
1
3
，击伤的概率 为
1
2
，击不中 的概率为
1
6
．并设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放 4 枚 深水炸弹能击沉潜水艇的概率,
12．甲、乙 两人进行乒 乓球比赛,每局甲胜的 概率为,问对甲而言,采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立,
,1/pp≥ 2
习题解答
1．解 令 A={甲、乙 两人 相邻而 坐 },设想圆 桌周 围有 1,这 个位 置，由 于 该 问题属于圆排列问题,所以不妨认为甲坐 1 号位置,那么
2,,nnull n
A发生当且仅当乙坐 2 号 或 号位置，从而
n
1,2,
()
2
,2
1
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2．解（ 1） 235.0
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2
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3．解 令 A={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数},
B ={甲掷出反面 的次数大于乙掷出反面次数},
由硬币的均匀性知，,容易看出，() ()PA PB=,ABSAB= =?∪,由此可知
1
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4．解：设 }1{ 号球次摸到第 iA
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5．设 =“取到第 i个罐中的球”,
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2
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1
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2
1
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2211
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12
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由 bayes 公式有
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6,解：设 该单位 有 个人,=,第 个 人生日 在 一月份,,则n
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12
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12
11
(1 ≥?=
解此不等式，得 993735.36
12
11
lg
04.0lg
=≥n
所以，该单位至少有 37 人。
7．解：设某 人乘火车、轮船、飞机的事件分别为,=“迟到乙 地” 。 CBA,,D
由全概率公式
)|()()|()()|()()( CDPCPBDPBPADPAPDP ++=
04.02.04.05.02.0 ×+×+×=
18.0=
由 bayes 公式
9
4
18.0
2.04.0
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)|( =
×
==
DP
BDPBP
DBP
8．解,058.0
8
7
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2
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9．解,05792.0)(.2,8.0,5
2
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∑
=k
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10．解,令 {第 个学生拿到自己原先使用的绳子}（
i
A = i 1,2,,iN= null ）,
A={至少有一个 学生拿到自己原先使用的绳子},
则
111
() ( ) ( ) ( )
N N
ii i
iijNi
PA P A PA PAA
=≤<≤=
==?
∑∑∪ j
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1
12
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N
ijk N
ijkN
PAAA PAA A
≤<<≤
+?
∑
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12 3 1
11 1
(1)
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NN
NN N N
CC C C
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1
!
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11,解 令 ｛第 枚炸弹击沉潜水艇｝,
n
A = n
n
B =｛第 枚炸弹击伤潜水艇｝,｛第n
n
C = n
枚炸弹击不中潜水艇｝,（ ）,1,2,3,4n = A=｛潜水艇被击沉｝,则
1234 1234 1234 1234 1234
A CCCC BCCC CBCC CCBC CCCB= ∪∪∪∪,
于是
1234 1234 1234 1234 1234
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43
(1/ 6) 4 (1/ 2) (1/ 6) 0.01=+××=,
所以 () 0.99PA=
12．解 采 用三局二胜 制，甲最终 获胜，其胜 局的情况是：,甲甲”或,乙甲甲” 或“甲乙甲”,而这三 种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为
22
1
2(1 )pp p p= +?,
采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛 3 局 （可能赛 3 局,也可能赛 4 局 或 5 局）,
且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局．例如，共赛 4 局，则甲的胜局情况是：,甲乙甲甲”,,乙甲甲甲”,,甲甲乙甲”,且这三种结 局互不相容,由独立性 得在五局三 胜制下甲最终获胜的概率为
33 3
2
34
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22
2
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23 2 2 2
21
(6 15 12 3) 3 ( 1) (2 1)pppp p p pp p?=?+?=
当 时1/2p >
2
p p> ；当 时1/2p =
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1/2p >
1/2p =
