第六章 习 题
1．设总体 X 的分布函数为
><
>≥?
=
未知，
已知其中参数
1,0
0;,1
),;(
21
11
1
21
2
θθ
θθ
θ
θθ
θ
x
x
x
xF
n
xxx,,,
21
null
是来自该总体的样本值。求未知参数
2
θ
的最大似然估计和矩 估计。
2．已知总体 X 的分布列为
X 1 2 3
P
2
θ
)1(2 θθ?
2
)1( θ?
（参数 未知） 。 是来自该总体的样本值。 求
n
xxx,,,
21
null θ
的最大似然估计。
10 <<θ
3．设总体 X 的分布密度为
+∞<<∞= x
x
xp ),
||
exp(
2
1
);(
σσ
σ
n
XXX,,,
21
null 是来自总体 X 的样本，试求 σ 的矩估计和最大似然估计。
4．设总体 的分布密度为 X
0,,
1
)(
21
2
2
1
>+∞<<=
θθ
θ
θ
θ
xexp
x
),,,(
21 n
XXX null 为来自总体 X 的样本，试求
1
θ 和
2
θ 的矩估计。
5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为
是来自总体),,,(
21 n
XXX null X 的一个样本，试求参数
μ
和 的最大似然估计。
2
σ
0,0,
2
)(ln
exp
2
1
)(
2
2
>>
= σ
σ
σπ
x
ux
x
xp
6．设总体 X 的分布密度为
<
≥
=
θ
θ
θ
x
xe
xp
x
,0
,
)(
)(
),,,(
21 n
XXX null 是来自总体 X 的一个样本，试求参数
θ
的最大似然估计。
7．设 和 都是参数
1
θ
2
θ θ
的两个独立的无偏估计量，且,试求常
21
2
θθ DD =
1
数 α 和 β,使 是
21
θβθα +
θ的无偏估计，且在形如 的无偏估计中方差最小。
21
θβθα +
8．设总体 的分布密度为 X
<<?
=
其它,0
0),(
6
)(
3
θθ
θ
xx
x
xp
),,,(
21 n
XXX null 是它的一个样本,试求参数 θ的矩估计量,是否是
θ
θ
θ的相合估计？
9,设轴承内环的锻压零件的高度,现从中抽取 20只内环,其平均高度
2
~ (,0.4 )Nξμ
32.3x = mm，求 μ 的置信度为 95% 的置信区间,
10,某市教科所进行初中数学教学实验,实验班是从全市初一新生中抽取的一个
n=50 的随机样本。初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为 84.3，标准差为 10.78,如果全市都进行这种教学实验,并实验后全市毕业生的会考成绩服从正态分布，那么，全市初中毕业会考 成绩的平均分不会低于多少(置信度为
0.95)？并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分 71.9进行比较,
11,两种机床生产同一个型号的滚珠,从甲机床生产的滚珠中抽取 8 个,从乙机床生产的滚珠中抽取 9 个，测得这些滚珠的直径（单位,mm）如下,
甲机床,15.0,14.8,15.2,15.4,14.9,15.1,15.2,14.8
乙机床,15.2,15.0,14.8,15.1,14.6,14.8,15.1,14.5,15.0
设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。
（ 1）若 时，求
2
2
2
1
σσ =
21
μμ? 的置信度为 95%的置信区间。
（ 2）求方差比 的置信度为 95%的置信区间。
2
2
2
1
/σσ
12,设 0.50,1.25,0.80,2.00 是来自总体 X 的样本，已知 XY ln= 服从正态分布 )1,(μN,
（ 1） 求 X 的数学期望 EX （记 X 为 b）,
（ 2） 求 μ 的置信度为 0.95 的置信区间,
利用上述结果求 b的置信度为 0.95 的置信区间。
习 题 解 答
2
1 总体 的分布密度函数为 X
22
(1)
21 1;
12 12
1
,
(;,) '(;,)
0,
xx
fx Fx
x
θθ
θ
θθ θθ
θ
+
≥
==
<
（ 1）似然函数为
22 2 2
(1) (1)
12 21 21 1;
11
(;,),
nn n
nn
iii
ii
Lfx x xx
θθ θ θ
i
θ θθθ θ
+?+
== =
=
∏∏ ∏
θ≥
又 221 2
1
ln ln ln (1 ) ln
n
i
i
L nnθθθ θ
=
=+?+
∑
x
得似然方程
1
1
22
ln
ln 0
n
i
i
dLn
nx
d
θ
θθ
=
=+? =
∑
解得
2
11
11
ln ln (ln ln )
nn
ii
ii
xn x
θ
θ θ
==
∑∑
是唯一驻点。又因为
0
)(
ln
2
2
2
2
2
<?=
θθ
n
d
Ld
，所以 是
2
θ
2
θ
最大似然估计。
（ 2）第一步
dxxxXE
)1(
12
2
1
2
)(
+?
+∞
∫
=
θ
θ
θ
θθ
22
1
12
21 2
21
()
1()
EX
xdx
EX
θθ
θ
θθ
θθ θ
θ θ
+∞
==?=
∫
第二步
()E Xx=
第三步 将
xXE =)(
代入
2
θ 的公式,
得到
1
2
θ
θ
=
x
x
是
2
θ
的矩估计量。
2,X 的分布律为,2,1,0,)1()1(
2
2
=?=+=
xCxXP
xxx
θθ
i
X 的分布律为
nixC
xXP
i
xxx
ii
iii
,,2,1.2,1,0,)1(
)1(
2
2
null==?=
+=
θθ
3
似然函数为
∏∏
==
==
n
i
n
i
xxx
i
iii
CxfL
11
2
2
)1();( θθθ
11
(2 )
2
1
(1 )
nn
ii
iii
n x x
x
i
C θθ
==
=
∑∑
=?
∏
又
2
11 1
ln ln ln(1 ) (2 ) ln
i
nn n
x
ii
ii i
LCx xθ θ
== =
=+?+?
∑∑ ∑
得似然方程
1
1
ln 1
(2 ) 0
1
n
i n
i
i
i
x
dL
nx
dθθθ
=
=
=+?=
∑
∑
解得
1
2
1
1
22
n
i
i
nx
x
n
θ
=
==
∑
是唯一驻点
所以 是
θ
θ的最大似然估计
3,（ 1）,而0EX =
1
2
x
EX x e dx
σ
σ
σ
+∞
∞
==
∫
所以 σ 的矩估计为
1
1
n
i
i
X
n
σ
=
=
∑
（ 2）似然函数为
1
1
() ( )
2
n
i
i
x
n
Le
σ
σ
σ
=
∑
=
,
1
ln ( ) ln 2
n
i
i
x
Lnσσ
σ
=
=
∑
对应的似然方程为
2
1
ln ( ) 1
0
n
i
i
Ln
x
σ
σσσ
=
=? + =
∑；
所以
1
1
n
MLE i
i
X
n
σ
=
=
∑
4．
11
22
11
2
xx
EX e dx de
θ θ
θθ
θθ
θ
+∞ +∞
==?
∫∫
11
22
1
1
1
xx
xe e dx
θθ
θ
θ
2
θ θ
+∞
+∞
=? + = +
∫
4
1
22
1
22
2
1
0
22
1122
()
22
x t
tx
EX e dx e dt
θ
θθ
θ
θ
θθθθ
+∞ +∞
+
==
=+ +
∫∫
2 2
，,
2
()DX EX EX θ=? =
22
2 n
Sθ =
null
2 n
Sθ =
null
，所以
1 n
XSθ =?
null
5．总体 的分布密度为 X
2
2
2
2
1
(ln )
(ln )
22
2
11
(,) ( )
22
n
i
i
i
x
x
nn
n
ii
i
i
Lee
xx
μ
μ
σ
σ
μσ
πσ πσ
=
==
∑
∏∏
1
2
2
1(ln)
() exp,0,0
2
2
x
px x
x
μ
σ
σ
πσ
=? >>
,则似然函数为
2 2
2
11
1
ln (,) ln(2 ) ln ln (ln )
22
nn
ii
ii
n
Lnxxμ σπσ
σ
==
=
∑∑
μ
似然方程为
2
2
1
ln (,) 1
(ln ) 0
n
i
i
L
x
μσ
μ
μσ
=
=?
∑
=
2
2
224
1
ln (,) 1
(ln ) 0
22
n
i
i
Ln
x
μσ
μ
σσσ
=
=?+?=
∑
,解似然方程,
得最大似然估计为
1
1
ln
n
i
i
X
n
μ
=
=
∑
null
，
22
1
1
(ln )
n
i
i
X
n
σ μ
=
=?
∑
nullnull
。
6．设
12
(,,,
n
)X XXnull
的观测值为,由似然函数的表达式,
12
(,,,)
n
xx xnull
当 时，
{}
1
min,,
n
xxθ ≤ …
1
()
()
n
i
i
x
Le
θ
θ
=
∑
= ；
当 时,
{}
1
min,,
n
xxθ > …
() 0L θ =
。
因此当 { }
(1) 1
min,,
n
X XXθ ==
null
…
时,()Lθ 取得最大值，即
θ
的最大似然
估计为 。 {}
(1) 1
min,,
n
XXθ ==
null
… X
7．由题知
12 1 2
() ()EEEαθβθ αθβθ αβθ+=+ =+=
nullnull null null
θ
即
1α β+=
又
22 22
12 1 2
() ()
2
D DD Dαθβθ αθβθ αβ θ+= + =+
nullnull null null null
2
2
(3 2 1)Dα αθ=?+
null；
5
所以当
1
,
3
α =
2
3
β =
时上式取得最小值。
8．
0
()
2
EX xp x dx
θ
θ
==
∫
，令
2
X
θ
=
,
则参数
θ
的矩估计量为
又
22
2
EEX
θ
θ θ==?=
,
4
40(
DX
DDX n
n
θ ==→→)∞,
所以
θ
是
θ
的相合估计。
9,仿假设检验的分析,这里
2
σ =0.4
2
已知,构造一个含未知参数 μ 的子样的函数
nU
σ
μξ?
= ～ )1,0(N
由已知 1 α? =0.95，即水平 α =0.05，根据 {P
1
2
||Uu
α
< }= 95.01 =?α,
查 N(0,1)分布表得分位点 96.1
95.0
2
1
==
uu
α
,代入上式得 {P | | 1.96n
ξμ
σ
< },
上式括号内作恒等变形，得 P{ 1.96 1.96
nn
σ σ
ξμξ?<<+ }=0.95,
即 μ 的置信度为 0.95的置信区间为(
nn
σ
ξ
σ
ξ 96.1,96.1 +? )
将观察数据 32.3x = 及 4.0=σ,n=20代入计算得
0.4
32.3 1.96 32.12
20
θ =? =,48.32
20
4.0
96.13.32 =+=θ,
于是 μ 的一个 95%的置信区间为(32.12,32.48),
10.此处已知总体服从正态分布,且
2
σ 未知,由表 7.1的估计 μ 的公式,查 t(50-1)
分布表得 t
0.975
(49)=2.0141,
于是 μ 的 0.95的置信区间下限、上限分别为,
2.8110.33.8454.10141.23.84
49
78.10
0141.23.84 ≈?=×?=?= nullθ
6
40.8710.33.84
49
78.10
.0141.23.84 =+=+=θ
所以 μ 的置信度为 0.95 的置信区间为(81.2,87.4)，即当全市都进行这项教学实验时,全市初中毕业会考成绩有 95%的把握其最低平均成绩为 81.2,比现在的
71.9高 9.3分,
11,用 表示甲机床生产的滚珠直径,Y 表示乙机床生产的滚珠直径。由题设 X
1
8n =,,
2
9n = 15.05 14.9 0.15XY?=? =,,
*2
1
0.0457S =
*2
2
0.0575S =,,所以
0.025
(15) 2.1315t =
*2 *2
11 2 2
12
( 1) ( 1) (8 1) 0.0457 (9 1) 0.0575
0.228
2892
w
nSnS
S
nn
+ +
==
+? +?
=
2
故
1
μ μ? 的置信上限：
12
2
12
11
( 2) 0.38614
w
XYt nn S
nn
α
+ +? + =
置信下限：
12
2
12
11
( 2) 0.08614
w
XYt nn S
nn
α
+? + =?
1
的置信度为 95%的置信区间为 [ 0.08614,0.38614]? 。
2
（ 2）,
0.025
(8,7) 4.9F =
μ μ?
0.975
0.025
11
(8,7) 0.221
(7,8) 4.53
F
F
===
2
1
/
2
2
σ σ 的置信度为 95%的置信区间为
2
*2 *2
11
21 21*2 *2
1
222
[(1,1) (1,1)]
0.0457 0.0457
[0.221 4.9 ] [0.1756,3.8944]
0.0575 0.0575
SS
Fn n Fn n
α
α
=× × =
12.（ 1）
2
() 1
22
1
[]
2
y
Yy
bEXEe ee dye
μ
μ
π
+∞? +
∞
== = =
∫
（ 2） 0.05α = 时,μ 的 1 α? 置信区间为
22
11
[]
44
yu yu
αα
+
1
(ln 0.5 ln1.25 ln 0.8 ln 2.0) 0
4
y =+++=
所以 μ 的置信度为 0.95 的置信区间为
11
[ 1.96 1.96 ] [ 0.98,0.98]
22
× ×=?
（ 3）由 ()
x
f xe= 的单调递增性得
1
0.48 1.48
2
1
0.95 ( 0.98 0.98) ( 0.48 1.48) ( )
2
PP Pe
μ
μμ
+
=? ≤≤ =? ≤+≤ = ≤ ≤e
]
所以 b的置信度为 0.95 的置信区间为 。
0.48 1.48
[,ee
7
1．设总体 X 的分布函数为
><
>≥?
=
未知，
已知其中参数
1,0
0;,1
),;(
21
11
1
21
2
θθ
θθ
θ
θθ
θ
x
x
x
xF
n
xxx,,,
21
null
是来自该总体的样本值。求未知参数
2
θ
的最大似然估计和矩 估计。
2．已知总体 X 的分布列为
X 1 2 3
P
2
θ
)1(2 θθ?
2
)1( θ?
（参数 未知） 。 是来自该总体的样本值。 求
n
xxx,,,
21
null θ
的最大似然估计。
10 <<θ
3．设总体 X 的分布密度为
+∞<<∞= x
x
xp ),
||
exp(
2
1
);(
σσ
σ
n
XXX,,,
21
null 是来自总体 X 的样本，试求 σ 的矩估计和最大似然估计。
4．设总体 的分布密度为 X
0,,
1
)(
21
2
2
1
>+∞<<=
θθ
θ
θ
θ
xexp
x
),,,(
21 n
XXX null 为来自总体 X 的样本，试求
1
θ 和
2
θ 的矩估计。
5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为
是来自总体),,,(
21 n
XXX null X 的一个样本，试求参数
μ
和 的最大似然估计。
2
σ
0,0,
2
)(ln
exp
2
1
)(
2
2
>>
= σ
σ
σπ
x
ux
x
xp
6．设总体 X 的分布密度为
<
≥
=
θ
θ
θ
x
xe
xp
x
,0
,
)(
)(
),,,(
21 n
XXX null 是来自总体 X 的一个样本，试求参数
θ
的最大似然估计。
7．设 和 都是参数
1
θ
2
θ θ
的两个独立的无偏估计量，且,试求常
21
2
θθ DD =
1
数 α 和 β,使 是
21
θβθα +
θ的无偏估计，且在形如 的无偏估计中方差最小。
21
θβθα +
8．设总体 的分布密度为 X
<<?
=
其它,0
0),(
6
)(
3
θθ
θ
xx
x
xp
),,,(
21 n
XXX null 是它的一个样本,试求参数 θ的矩估计量,是否是
θ
θ
θ的相合估计？
9,设轴承内环的锻压零件的高度,现从中抽取 20只内环,其平均高度
2
~ (,0.4 )Nξμ
32.3x = mm，求 μ 的置信度为 95% 的置信区间,
10,某市教科所进行初中数学教学实验,实验班是从全市初一新生中抽取的一个
n=50 的随机样本。初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为 84.3，标准差为 10.78,如果全市都进行这种教学实验,并实验后全市毕业生的会考成绩服从正态分布，那么，全市初中毕业会考 成绩的平均分不会低于多少(置信度为
0.95)？并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分 71.9进行比较,
11,两种机床生产同一个型号的滚珠,从甲机床生产的滚珠中抽取 8 个,从乙机床生产的滚珠中抽取 9 个，测得这些滚珠的直径（单位,mm）如下,
甲机床,15.0,14.8,15.2,15.4,14.9,15.1,15.2,14.8
乙机床,15.2,15.0,14.8,15.1,14.6,14.8,15.1,14.5,15.0
设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。
（ 1）若 时，求
2
2
2
1
σσ =
21
μμ? 的置信度为 95%的置信区间。
（ 2）求方差比 的置信度为 95%的置信区间。
2
2
2
1
/σσ
12,设 0.50,1.25,0.80,2.00 是来自总体 X 的样本，已知 XY ln= 服从正态分布 )1,(μN,
（ 1） 求 X 的数学期望 EX （记 X 为 b）,
（ 2） 求 μ 的置信度为 0.95 的置信区间,
利用上述结果求 b的置信度为 0.95 的置信区间。
习 题 解 答
2
1 总体 的分布密度函数为 X
22
(1)
21 1;
12 12
1
,
(;,) '(;,)
0,
xx
fx Fx
x
θθ
θ
θθ θθ
θ
+
≥
==
<
（ 1）似然函数为
22 2 2
(1) (1)
12 21 21 1;
11
(;,),
nn n
nn
iii
ii
Lfx x xx
θθ θ θ
i
θ θθθ θ
+?+
== =
=
∏∏ ∏
θ≥
又 221 2
1
ln ln ln (1 ) ln
n
i
i
L nnθθθ θ
=
=+?+
∑
x
得似然方程
1
1
22
ln
ln 0
n
i
i
dLn
nx
d
θ
θθ
=
=+? =
∑
解得
2
11
11
ln ln (ln ln )
nn
ii
ii
xn x
θ
θ θ
==
∑∑
是唯一驻点。又因为
0
)(
ln
2
2
2
2
2
<?=
θθ
n
d
Ld
，所以 是
2
θ
2
θ
最大似然估计。
（ 2）第一步
dxxxXE
)1(
12
2
1
2
)(
+?
+∞
∫
=
θ
θ
θ
θθ
22
1
12
21 2
21
()
1()
EX
xdx
EX
θθ
θ
θθ
θθ θ
θ θ
+∞
==?=
∫
第二步
()E Xx=
第三步 将
xXE =)(
代入
2
θ 的公式,
得到
1
2
θ
θ
=
x
x
是
2
θ
的矩估计量。
2,X 的分布律为,2,1,0,)1()1(
2
2
=?=+=
xCxXP
xxx
θθ
i
X 的分布律为
nixC
xXP
i
xxx
ii
iii
,,2,1.2,1,0,)1(
)1(
2
2
null==?=
+=
θθ
3
似然函数为
∏∏
==
==
n
i
n
i
xxx
i
iii
CxfL
11
2
2
)1();( θθθ
11
(2 )
2
1
(1 )
nn
ii
iii
n x x
x
i
C θθ
==
=
∑∑
=?
∏
又
2
11 1
ln ln ln(1 ) (2 ) ln
i
nn n
x
ii
ii i
LCx xθ θ
== =
=+?+?
∑∑ ∑
得似然方程
1
1
ln 1
(2 ) 0
1
n
i n
i
i
i
x
dL
nx
dθθθ
=
=
=+?=
∑
∑
解得
1
2
1
1
22
n
i
i
nx
x
n
θ
=
==
∑
是唯一驻点
所以 是
θ
θ的最大似然估计
3,（ 1）,而0EX =
1
2
x
EX x e dx
σ
σ
σ
+∞
∞
==
∫
所以 σ 的矩估计为
1
1
n
i
i
X
n
σ
=
=
∑
（ 2）似然函数为
1
1
() ( )
2
n
i
i
x
n
Le
σ
σ
σ
=
∑
=
,
1
ln ( ) ln 2
n
i
i
x
Lnσσ
σ
=
=
∑
对应的似然方程为
2
1
ln ( ) 1
0
n
i
i
Ln
x
σ
σσσ
=
=? + =
∑；
所以
1
1
n
MLE i
i
X
n
σ
=
=
∑
4．
11
22
11
2
xx
EX e dx de
θ θ
θθ
θθ
θ
+∞ +∞
==?
∫∫
11
22
1
1
1
xx
xe e dx
θθ
θ
θ
2
θ θ
+∞
+∞
=? + = +
∫
4
1
22
1
22
2
1
0
22
1122
()
22
x t
tx
EX e dx e dt
θ
θθ
θ
θ
θθθθ
+∞ +∞
+
==
=+ +
∫∫
2 2
，,
2
()DX EX EX θ=? =
22
2 n
Sθ =
null
2 n
Sθ =
null
，所以
1 n
XSθ =?
null
5．总体 的分布密度为 X
2
2
2
2
1
(ln )
(ln )
22
2
11
(,) ( )
22
n
i
i
i
x
x
nn
n
ii
i
i
Lee
xx
μ
μ
σ
σ
μσ
πσ πσ
=
==
∑
∏∏
1
2
2
1(ln)
() exp,0,0
2
2
x
px x
x
μ
σ
σ
πσ
=? >>
,则似然函数为
2 2
2
11
1
ln (,) ln(2 ) ln ln (ln )
22
nn
ii
ii
n
Lnxxμ σπσ
σ
==
=
∑∑
μ
似然方程为
2
2
1
ln (,) 1
(ln ) 0
n
i
i
L
x
μσ
μ
μσ
=
=?
∑
=
2
2
224
1
ln (,) 1
(ln ) 0
22
n
i
i
Ln
x
μσ
μ
σσσ
=
=?+?=
∑
,解似然方程,
得最大似然估计为
1
1
ln
n
i
i
X
n
μ
=
=
∑
null
，
22
1
1
(ln )
n
i
i
X
n
σ μ
=
=?
∑
nullnull
。
6．设
12
(,,,
n
)X XXnull
的观测值为,由似然函数的表达式,
12
(,,,)
n
xx xnull
当 时，
{}
1
min,,
n
xxθ ≤ …
1
()
()
n
i
i
x
Le
θ
θ
=
∑
= ；
当 时,
{}
1
min,,
n
xxθ > …
() 0L θ =
。
因此当 { }
(1) 1
min,,
n
X XXθ ==
null
…
时,()Lθ 取得最大值，即
θ
的最大似然
估计为 。 {}
(1) 1
min,,
n
XXθ ==
null
… X
7．由题知
12 1 2
() ()EEEαθβθ αθβθ αβθ+=+ =+=
nullnull null null
θ
即
1α β+=
又
22 22
12 1 2
() ()
2
D DD Dαθβθ αθβθ αβ θ+= + =+
nullnull null null null
2
2
(3 2 1)Dα αθ=?+
null；
5
所以当
1
,
3
α =
2
3
β =
时上式取得最小值。
8．
0
()
2
EX xp x dx
θ
θ
==
∫
，令
2
X
θ
=
,
则参数
θ
的矩估计量为
又
22
2
EEX
θ
θ θ==?=
,
4
40(
DX
DDX n
n
θ ==→→)∞,
所以
θ
是
θ
的相合估计。
9,仿假设检验的分析,这里
2
σ =0.4
2
已知,构造一个含未知参数 μ 的子样的函数
nU
σ
μξ?
= ～ )1,0(N
由已知 1 α? =0.95，即水平 α =0.05，根据 {P
1
2
||Uu
α
< }= 95.01 =?α,
查 N(0,1)分布表得分位点 96.1
95.0
2
1
==
uu
α
,代入上式得 {P | | 1.96n
ξμ
σ
< },
上式括号内作恒等变形，得 P{ 1.96 1.96
nn
σ σ
ξμξ?<<+ }=0.95,
即 μ 的置信度为 0.95的置信区间为(
nn
σ
ξ
σ
ξ 96.1,96.1 +? )
将观察数据 32.3x = 及 4.0=σ,n=20代入计算得
0.4
32.3 1.96 32.12
20
θ =? =,48.32
20
4.0
96.13.32 =+=θ,
于是 μ 的一个 95%的置信区间为(32.12,32.48),
10.此处已知总体服从正态分布,且
2
σ 未知,由表 7.1的估计 μ 的公式,查 t(50-1)
分布表得 t
0.975
(49)=2.0141,
于是 μ 的 0.95的置信区间下限、上限分别为,
2.8110.33.8454.10141.23.84
49
78.10
0141.23.84 ≈?=×?=?= nullθ
6
40.8710.33.84
49
78.10
.0141.23.84 =+=+=θ
所以 μ 的置信度为 0.95 的置信区间为(81.2,87.4)，即当全市都进行这项教学实验时,全市初中毕业会考成绩有 95%的把握其最低平均成绩为 81.2,比现在的
71.9高 9.3分,
11,用 表示甲机床生产的滚珠直径,Y 表示乙机床生产的滚珠直径。由题设 X
1
8n =,,
2
9n = 15.05 14.9 0.15XY?=? =,,
*2
1
0.0457S =
*2
2
0.0575S =,,所以
0.025
(15) 2.1315t =
*2 *2
11 2 2
12
( 1) ( 1) (8 1) 0.0457 (9 1) 0.0575
0.228
2892
w
nSnS
S
nn
+ +
==
+? +?
=
2
故
1
μ μ? 的置信上限：
12
2
12
11
( 2) 0.38614
w
XYt nn S
nn
α
+ +? + =
置信下限：
12
2
12
11
( 2) 0.08614
w
XYt nn S
nn
α
+? + =?
1
的置信度为 95%的置信区间为 [ 0.08614,0.38614]? 。
2
（ 2）,
0.025
(8,7) 4.9F =
μ μ?
0.975
0.025
11
(8,7) 0.221
(7,8) 4.53
F
F
===
2
1
/
2
2
σ σ 的置信度为 95%的置信区间为
2
*2 *2
11
21 21*2 *2
1
222
[(1,1) (1,1)]
0.0457 0.0457
[0.221 4.9 ] [0.1756,3.8944]
0.0575 0.0575
SS
Fn n Fn n
α
α
=× × =
12.（ 1）
2
() 1
22
1
[]
2
y
Yy
bEXEe ee dye
μ
μ
π
+∞? +
∞
== = =
∫
（ 2） 0.05α = 时,μ 的 1 α? 置信区间为
22
11
[]
44
yu yu
αα
+
1
(ln 0.5 ln1.25 ln 0.8 ln 2.0) 0
4
y =+++=
所以 μ 的置信度为 0.95 的置信区间为
11
[ 1.96 1.96 ] [ 0.98,0.98]
22
× ×=?
（ 3）由 ()
x
f xe= 的单调递增性得
1
0.48 1.48
2
1
0.95 ( 0.98 0.98) ( 0.48 1.48) ( )
2
PP Pe
μ
μμ
+
=? ≤≤ =? ≤+≤ = ≤ ≤e
]
所以 b的置信度为 0.95 的置信区间为 。
0.48 1.48
[,ee
7
