§ 2.3 随机变量的函数及其分布
一,一个随 机变量的函数的分布
例如：已知分子运动速度 V 的分布，要求分子
动能
2
2
V
m
E = 的分布。即求 E 的分布。
问题：已知,X 的分布,求,)(XfY = 的分布。
1,离散型,
已知",2,1,}{ === ipxXPX
ii
～,求 )(XfY = 的分布律。
例 2.17,X -1 0 1 2 3
p 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10
求
2
XY = 的分布律。
解,（ 1） 列表计算
p 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10
X -1 0 1 2 3
2
X 1 0 1 4 9
（ 2）所求分 布律为,
Y 0 1 4 9
p 1/10 3/10 3/10 3/10
10
1
}0{}0{}0{
2
====== XPXPYP
10/310/15/1}1{}1{}1{}1{
2
=+==+?===== XPXPXPYP
2,连续型
已知,求 的密度函数 。 )(xpX
X
～ )(XfY = )(yp
Y
例 2.18：若 )(xfy = 为单调函数，其反函数为 )(yhx =,
则有,)(')]([)( yhyhpyp
XY
= 。
证明,
})({}{)( yXfPyYPyF
Y
≤=≤=
=
≥≤<≥
≤≤>≤
)ln,(0)(',)}({
),(0)(',)}({
3
3
yXyexfyhXP
yXyXxfyhXP
x
=
<
>
∫
∫
∞+
∞?
)(
)(
0)(',)(
0)(',)(
yh
X
X
yh
yhdxxp
yhdxxp
<?
>
==
0)(',)(')]([
0)(',)(')]([
)()(
'
yhyhyhp
yhyhyhp
yFyp
X
X
YY
= )(')]([ yhyhp
X
推广：若 在区间 上均单调，反函数分别为 )(xfy =
21
,II
,)(),(
21
yhxyhx ==
则 )()]([)()]([)(
'
22
'
11
yhyhpyhyhpyp
XXY
+=
进一步可以推广到有限个区间情形。
例 2.19：设,求)1,0(NX～
2
XY = 的密度函数 。,)(yp
Y
解,在 上单调，反函数为
2
xy = ),0(,]0,( +∞?∞
,,yxyx =?=
则有 )'()()'()()( yypyypyp
XXY
+=
= 0,
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
>=+?
ye
yy
yp
y
yp
y
XX
π
当 时，0≤y 0)(,0)( == ypyF
YY
>
≤
=?
0,
2
1
0,0
)(
2
ye
y
y
yp
y
Y
π
例 2.20：设 则 ),,(
2
σμNX～ ),(
22
σμ abaNbaXY ++= ～
即正态变量的线性函数仍为正态变量。
留作练 习。
二、两个 随机变量的函数的分布
1,离散型
设 ",2,1,,},{),( ==== jipyYxXPYX
jiji
～
求 的分布律。 ),( YXfZ =
解法,"",,,
21 k
zzzZ =
},{}),({}{
),(
j
zyxf
ikk
yYxXPzYXfPzZP
kji
======
∑
=
"",2,1=k
例 2.21：设 独立，且
21
,XX )(),(
2211
λλ PXPX ～～,
求 的分布律
21
XXZ +=
解,"",2,1,0=Z
}{}{
21
kXXPkZP =+==
= }0,{}1,1{},0{
212121
==++?==+== XkXPkXXPkXXP"
= = },{
2
0
1
ikXiXP
k
i
==
∑
=
∑
=
==
k
i
ikXPiXP
0
21
}{}{
=
21
)!(!
21
0
λλ
λλ
=
∑
e
ik
e
i
ikik
i
=
iki
k
i
iki
k
k
e
=
+?
∑
21
0
)(
)!(!
!
!
21
λλ
λλ
=
iki
k
i
i
k
C
k
e
=
+?
∑ 21
0
)(
!
21
λλ
λλ
=
)(21
21
!
)(
λλ
λλ
+?
+
e
k
k
即 )(
21
λλ +PZ～,——泊松分布具有可加性
2,连续型
设,求 。 ),(),( yxpYX ～ )(),( zpYXfZ
Z
的=
（ 1） 随机变量和的分布
已知 ).(,),(),( zpYXZyxpYX
Z
的求～ +=
解,
}{)( zZPzF
Z
≤=
= = }{ zYXP ≤+ dxdyyxp
zyx
),(
≤+
∫∫
= =
∫∫
+∞
∞?
∞?
xz
dyyxpdx ),( dxyxpdy
yz
),(
∫∫
∞?
+∞
∞?
∫
+∞
∞?
== dxxzxpzFzp
ZZ
),()()(
'
= dyyyzp ),(?
∫
+∞
∞?
特别当 X,Y 独立时，有,
= dxxzpxpzp
YXZ
)()()(?=
∫
+∞
∞?
dyypyzp
YX
)()(?
∫
+∞
∞?
练习推导,
（ 1） YXZ?=
（ 2） 0,>+= aYaXZ
（ 3） 0,>+= bbYXZ
例 2.22：设,且 X 与 Y 独立。 ),(),,(
22
σμσμ NYNX ～～
求 )(zpYXZ
Z
的密度+= 。
解,dxxzpxpzp
YXZ
)()()(?=
∫
+∞
∞?
= dxee
xzx
2
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1
2
1
σ
μ
σ
μ
σπσπ

+∞
∞?
∫
dtee
z
t
z
xt
2
2
2
2
)2/(2
)
2
2
(
)2(2
)2(
)2/(2
1
)2(2
1
σ
μ
σ
μ
μ
σπσπ
∞+
∞?
=
∫
=
=
2
2
)2(2
)2(
)2(2
1
σ
μ
σπ
z
e
即 ).2,2(
2
σμNZ～
（ 2） 随机变量商的分布
已知,求),(),( yxpYX ～
Y
X
Z = 的 。 )(zp
Z
解,}{}{)( z
Y
X
PzZPzF
Z
≤=≤= = dxdyyxp
zyx
),(
/ ≤
∫∫
= dxyxpdydxyxpdy
zy
zy
∫∫∫∫
+∞ +∞
∞?∞?
+
0
0
),(),(
∫∫
∞?
+∞
+?==
0
0
'
),(),()()( dyyyzypdyyyzypzFzp
ZZ
= dyyzypy ),(
∫
+∞
∞?
(3) 关于 极值分布
已知,X,Y 独立且,)(),( yFYxFX
YX
～～
求：① 的分布函数。 },max{ YXM =
② },min{ YXN = 的 分布函数。
解：① }},{max{}{)( zYXPzMPzF
M
≤=≤=
= }{}{},{ zYPzXPzYzXP ≤≤=≤≤
= )()( zFzF
YX
所以 )()()( zFzFzF
YXM
=
② }},{min{}{)( zYXPzNPzF
N
≤=≤=
= =}},{min{1 zYXP >? },{1 zYzXP >>?
= =}{}{1 zYPzXP >>? }){1})({1(1 zYPzXP ≤?≤
= ))(1)((1(1 zFzF
YX

所以 ))(1))((1(1)( zFzFzF
YXN
=
特别若 X,Y 独立同分布，即 )(),( yFYxFX ～～
则有,
22
))(1(1)(,))(()( zFzFzFzF
NM
==
推广：若 独立且每个 。
n
XXX,,,
21
"))(()( xpxFX
i
或～
令 },,,max{
21 n
XXXM"=
},,,min{
21 n
XXXN"=
则有
n
N
n
M
zFzFzFzF ))(1(1)()]([)(==
且 )())(()('))(()()(
11'
zpzFnzFzFnzFzp
nn
MM

===
)())(1()('))(1()()(
11'
zpzFnzFzFnzFzp
nn
NN

=?==
例 2.23：设 X,Y 独立同分布，且
3,2,1,
3
1
}{ === iiXP
求 的分布律。 ),min(,),max( YXNYXM ==
解,M=1,2,3
9/13/13/1}1{}1{}1,1{}1{ =×======== YPXPYXPMP
}2,2{}2,1{}1,2{}2{ ==+==+==== YXPYXPYXPMP
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
=×+×+×=
9
5
}2{}1{1}3{ ==?=?== MPMPMP
M 1 2 3
p 1/9 3/9 5/9
求 N 的分布律留作练习。
例 2.24,设系 统 L 由独 立的子系统 串联而成，已知
21
,LL
的寿命
1
L 0),( >ααExpX～,的寿命
2
L 0),( >ββExpY～
求系统 L 的寿命 Z 的 分布。
解：由题意 L的寿命 ),min( YXZ =
≤
>
=
0,0
0,
)(
x
xe
xp
x
X
α
α
≤
>?
=
≤
>
==
∞?
∫
∫
00
01
0,0
0,
)()(
0
x
xe
x
xdxe
dxxpxF
x
x
x
X
x
X
α
α
α
同理
≤
>?
=
00
01
)(
y
ye
yF
y
Y
β
故 Z 的分布 函数为,
≤
>?
==
+?
00
01
))(1))((1(1)(
)(
z
ze
zFzFzF
z
YXZ
βα
≤
>+
=′=
+?
0,0
0,)(
)()(
)(
z
ze
zFzp
z
ZZ
βα
βα
即 )(),min( βα += ExpYXZ ～