§ 3.2 随机变量的方差和矩
一,方 差
定义 3.3,X 的方差定义为,
2
)]([)( XEXEXD?=
且称 )(XD 为 X 的标准差（均方差）
计算公式,
22
)]([)()( XEXEXD?=
22
）（ EXDXEX +=
证明,
2
)]([)( XEXEXD?= = ])()(2[
22
）（ XEXXEXE +?
=
22
)]([)()(2)( XEXEXEXE +?
=
22
)]([)( XEXE?
例 3.12,设 )1()(,),( pnpXDpnBX?=～
例 3.13,设 λλ =)(,)( XDPX～
解,λ
λ
λ
=?=
∞
=
∑
e
k
kXE
k
k
0
!
)(
λλ
λ
λλ
∞
=
∞
=
=?=
∑∑
e
k
ke
k
kXE
k
kk
k 1
1
0
22
)!1(!
)(
λ
λ
λ
∞
=
=
∑
+= e
i
i
i
i
ki
0
1
!
)1( =
λλ
λ
λ
λ
λ
∞
=
∞
=
+?
∑∑
e
i
e
i
i
i
i
i
i
00
!!
= λλ +
2
λλλλ =?+=?=
2222
)]([)()( XEXEXD
例 3.14：设
2
1
)(,2,1,}{
p
q
XDkpqkXPX
k
====
"～
例 3.15：设
22
)(,),( σσμ =XDNX～
解,.)( μ=XE
dxxpxXEXD )()()()(
22
μμ?=?=
∫
+∞
∞?
= dxex
x
2
2
2
)(
2
2
1
)(
σ
μ
σπ
μ
+∞
∞?
∫
= dtet
t
σ
σπ
σ
2
2
2
2
1
)(
+∞
∞?
∫
dtdx
x
t σ
σ
μ
=
=,
=
2
2
2
2
2
2
σ
π
σ
=
+∞
∞?
∫
dtet
t
).,(),(
2
DXEXNNX =σμ～
例 3.16：设
2
1
)(,)(
λ
λ =XDExpX～
例 3.17：设
12
)(
)(],[
2
ab
XDbaUX
=～
二,方差的性质
(1) D(C) = 0,C 为常数。
0)]([)(
2
=?= CECECD
(2 ),k 为常数 )()(
2
XDkkXD =
（ 3）设 独立，则
n
XXX,,,
21
"
)()(
1
2
1
i
n
i
ii
n
i
i
XDaXaD
∑∑
==
=
特别，若 X,Y 独立，则
)()()(),()()( YDXDYXDYDXDYXD +=?+=+
（ 4） 1)}({0)( ==?= XEXPXD
0)]([)(
2
=?= EXXEXD
（ 5）
2
)()( CXEXD?≤
证明,=
2
)]([)( EXXEXD?=
2
)]()[( CEXCXE
=
222
)()(2)( CEXCEXCXE?+
=
22
)()( CEXCXE
2
)( CXE?≤
(6) 切比谢夫不等式,
0,
)(
}|)({|
2
>?≤≥? ε
ε
ε
XD
XEXP
或者
2
)(
1}|)({|
ε
ε
XD
XEXP?≥<?
证明,设 )(xpX～
考察,0,|)(| >≥? εεXEx
)(
|)(|
1)(
2
2
2
xp
XEx
xp
ε
≤?
dxxpXEXP
XEx
)(}|)({|
|)(|
∫
≥?
=≥?
ε
ε
≤ dxxp
XEx
XEx
)(
))((
2
2
|)(|
ε
ε
∫
≥?
dxxpXEx )())((
1
2
2
≤
∫
+∞
∞?
ε
=
2
)(
ε
XD
证毕 。
令 )(4 XD=ε,则有
})(4|)({| XDXEXP <? 9375.0
16
15
)(16
)(
1 ==?≥
XD
XD
例 3.18：设,估计：)5.0,1000(BX～ }600400{ << XP
解,= =}600400{ << XP
kk
k
k
C
=
∑
1000
599
401
1000
5.05.0
500
599
401
!
500
=
∑
e
k
k
k
由 )5.0,1000(BX～
250)1()(500)( =?=== pnpXDnpXE
}600400{ << XP = 100)(100{ <?<? XEXP }
= 975.0
100
250
1
100
)(
1100|)({|
22
=?=?≥<?
XD
XEXP
三,矩
定义 3.4,X 的 k 阶原 点矩定义为,
nkXE
k
k
,,2,1,)("==α
X的 k 阶中 心矩定义为,
nkEXXE
k
k
,,2,1,)("=?=μ
显然,).(,)(
21
XDXE == μα
原点矩 与中心矩的关系,
∑
=
=
k
i
i
ik
i
kk
C
0
1
αμα
i
ik
k
i
i
kk
C ααμ
=
=
∑
)(
1
0
证明,])([))((
0
ik
k
i
ii
k
k
k
EXXCEEXXE
=
=?=
∑
μ
=
i
ik
k
i
i
k
C αα
=
∑
)(
1
0
例 3.19：设 求,),(
2
σμNX～,,,2,1,)( nkEXXE
k
k
"=?=μ
解,
kk
k
XEEXXE )()( μμ?=?=
= dxex
x
k
2
2
2
)(
2
1
)(
σ
μ
σπ
μ
+∞
∞?
∫
（ dudx
x
u σ
σ
μ
=
=,）
= dueu
u
k
σ
σπ
σ
2
2
2
1
)(
+∞
∞?
∫
= dueuk
u
kk
2
2
2
2
1
)1(
+∞
∞?
∫
π
σ
=

为奇数，
为偶数
k
kkk
k
0
,13)3)(1("σ
所以
4
4
3σμ =
X 的高阶矩用来刻画 X 分布的对称性和峰峭性。
定义 3.6：称 )(
3
3
1
DXg == σ
σ
μ
为 X 的偏度（系数） 。
3
4
4
2
=
σ
μ
g 为 X 的峰度（系数） 。
1
g 描述 X 的分布的对称性,描述 X 的分布的峰峭性
2
g
(陡峭程度 )。
以 作为标准,研究其他分布的对称性和峰峭性,),(
2
σμNX～
对正态分布,0
3
=μ,故 =0。
1
g
故当 =0 时,X 的分布是对称的（关于 EX）
1
g
1
g 0> 时,X 的分布有正偏度，即偏向 E(X)右侧。
1
g <0 时,X 的分 布有负偏度，即偏向 E(X)左侧。
对正态分布,因,0,3
2
4
4
== g故σμ
故 =0,X的密度的峰峭度与正态分布相当。
2
g
,X 的峰峭度高于正态分布 0
2
>g
0
2
<g,X 的峰峭度低于正态分布