第二章 随机变量及其分布
一、教学要求
1、了解随机 变量的概念
2、理解随机 变量分布函 数的概念及 性质，理解 离散型随机 变量的分布 律及其性质,理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。
3、掌握（0-1）分布、二 项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布及相关计算。
4、会求简单 随机变量函数的概率分布。
5、了解二维 随机变量的 联合分布函 数及其性质,二维离散 型随机变量 的联合分布 律及其性质，二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它计算有关事件的概率；
6、掌握二维 随机变量边缘分布的计算，了解二维随机变量的条件分布；
7、理解随机 变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算；
8、会求两个 随机变量的简单函数的分布。
本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,
二,教学内 容
§2.1 一维 随机变量及其分布
一,随机变量的定义,
例 2.1.考虑,抛硬币”试验,{=? 正面 H，反面 T}；
引入变量：,
=
=
==
T
H
XX
ω
ω
ω
0
1
)(?∈ω,
== }1{X {出现正面 H}，
2
1
}1{ ==XP,
一般的，可以把一个随机事件 A 数 量化,
引入?∈
∈
= ω
ω
ω
ω
不发生即发生即
AA
AA
X
A
,0
,1
)(
}1)({)( == ω
A
XPAP ；
定 义 2.1,设 ),,( PF? 为一概率空间,)(ωX 是定义在?
上的单值实函数，若对任一实数,有x FxX ∈≤ })(:{ ωω,
则称 )(ωX 为随机变量，简记为 X 。
定义 2,2 称,+∞<<∞?≤= xxXPxF },{)(
为随机变量 X 的分布函数。
若已知,则有 )(~ xFX
)()(}{}{}{ aFbFaXPbXPbXaP?=≤?≤=≤< ；
分布函数的 性质,
1,； xxF?≤≤,1)(0
2,单调不减，即若 b>a,则 ； )(xF )()( aFbF ≥
3,； 1)(,0)( =+∞=?∞ FF
4,)()(lim)(
0
0
xFxFxF
xx
=
+
→
右连续，即 。
例如,
1,在 n 重贝努 里试验中，用 X 表示事件 A 出现的次数,
=X 0,1,2,……,n
2,某电话总机在一天内接到的呼唤次数 X,
=X 0,1,2,……
3,射击中，弹落点与目标的距离 X,
),0[ +∞∈X 。
二、离散型随机变量
设离散型 X 的所有可能取值为,且 " ",,,
21 n
xxx
或记为 ",2,1,}{ === ipxXP
ii
X,…… … … （由小 到大排列）
1
x
2
x
n
x
,…… … …
i
p
1
p
2
p
n
p
若满足,（1） （ 2）,,0≥
i
p,1
1
=
∑
∞
=i
i
p
称此为离散型随机变量 X 的分布列（律） 。
已知 X 的分布列，可求其分布函数 。 )(xF
设离散型 X ～ ",1,0,}{ === kpkXP
k
，则有
∑∑∑
==≤
=====≤=
][
0
][
0
}{}{}{)(
x
k
k
x
kxk
pkXPkXPxXPxF
离散型常见分布列,
1,退化分布,； 1}{ == CXP
2,两点分布:,1,0,)1(}{
1
=?==
kppkXP
kk
X,0 1
i
p,p?1 p
如：,抛硬币,,X 0 1
i
p 1/2 1/2
3,离散型 的均匀分布,
,,,2,1,
1
}{ nk
n
xXP
k
"===
X,……
1
x
2
x
n
x
,1/n 1/n …… 1 /n
i
p
如“掷骰子”,
X,1 2 3 4 5 6
,1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
i
p
4、二项分布,记为 ),(~ pnBX
,,,2,1,0,}{ nkqpCkXP
knkk
n
"===
其中 pqp?=<< 1,10
例 2.2：在 n重贝努里试验中，用 X 表示事件 A 出 现的次数,
则有,
nkqpCkXP
knkk
n
,,2,1,0,}{ "===
,即 ),(~ pnBX
例 2.3：某人 独立射击 10次，每次命中率为 0.8,求命中次数
X 的分布列。
解,X = 0，1,2，…，1 0
,k = 0,1,2,…，10。
kkk
CkXP
==
10
10
2.08.0}{
5,泊松分 布,X ～ )(λP
,0.,2,1,0,
!
}{ >===
λ
λ
λ
"ke
k
kXP
k
如：1、电话 总机在一天内接到的呼唤次数
2,纺纱厂的纱绽在一段时间内的断头次数
泊松定理,
λ
λ
λ
=
≈ e
k
qpC
k
np
knkk
n
!
,( n>10,<0.1) p
如,0185.0
!30
40
6.04.0
40
30
40
703030
100
查表
=≈
=
eC
λ
。
6、几何分布, " ",3,2,1}{
1
===
kpqkXP
k
例 2.4：某射 手命中率为 0.8，现连续 射击直到击中为止,
求射击次数 X 的分布律。
解,X =1,2,3，……
" ",2,1,8.02.0)(}{
1
121
====
kAAAAPkXP
k
kk
例 2.5：在贝 努里试验中，用 X 表示 A首次出现的试验次数,
则有, ",3,2,1,}{
1
===
kpqkXP
k
7、超几何分 布,
}.,min{,,1,0,}{ nMk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
"===
其中 。 NMMmNn <<<,,
例 2.6：设 有 N 件产品,其中 M 件 废品，从中无放回任
取 n 件，求 抽到的 n 件 产品中废品数 X 的分布列。
解,X =0,1,2,…,min{ } nM，
n
N
kn
MN
k
M
C
CC
kXP
== }{,=0,1,2,…，m in{ } k nM，
对有放回 抽样：
N
M
APp == )(
,)1()(}{
knkk
n
N
M
N
M
CkXP
== nk,,2,1,0 "= 。
即 X ～ ),(
N
M
nB,
三、连续型随机变量
定义：对 X,若存在非负可积函数,使 得对任意,有 )(xp x
,
∫
∞?
=
x
dyypxF )()(
称 X 为连续型随机变量。称 为)(xp X 的分布密度（密度函数） 。
)(xp 的性质,
（ 1） （2 ） 0)( ≥xp 1)( =
∫
+∞
∞?
dxxp
(3) (4) )()( xFxp ′=
∫
=≤≤
b
a
dxxpbXaP )(}{
（ 5） ccXP?==,0}{
证,}{}{0 hcXcPcXP +≤≤≤=≤ = 0,0)( →→
∫
+
hdxxp
hc
c
当所以,0}{ == cXP
例 2.7：设连 续型
X ～ = )(xp
≤
>
0,0
0,2
x
xe
xλ
0>λ,
求（1） λ （ 2） （3） }2/12/1{ <<? XP )(xF
解,（1） 由 1)( =
∫
+∞
∞?
dxxp
=1,dxe
x
∫
∞
0
2
λ
2,1
2
== λ
λ
（2） }
2
1
2
1
{ <<? XP = = dxedxxp
x
∫∫
=
2/1
0
2
2/1
2/1
2)(
1
1
e
(3) = )(xF
>?
≤
=
>
≤
=
∞?
∫
∫
01
00
0,2
00
)(
2
0
2
xe
x
xdye
x
dyyp
x
x
y
x
连续型 X 的常见分布,
1,均匀分布,X ～ ],[ baU
X ～ =)(xp
≤≤
其他0
1
bxa
ab
>
≤≤
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
,0
)(
背景,X 在 [a,b]上取 值是等可能的。
2,正态分布,X ～ ),(
2
σμN
X ～ +∞<<?∞=
xexp
x
,
2
1
)(
2
2
2
)(
σ
μ
σπ
,（ 0>σ ）
注,1
2
1 2
2
2
)(
=
∞
∞?
∫
dxe
x
σ
μ
σπ
。
特别当 1,0 == σμ 时,
+∞<<∞?=
xexp
x
,
2
1
)(
2
2
π
称为标准正态分布，记为,)1,0(~ NX
注,1
2
1
2
2
=
∞+
∞?
∫
dxe
x
π
。
应用背景,（ 1）测量误差 （ 2）各种随 机噪声
（ 3）学生成 绩（ 4）产品 尺寸
称 为标准正态分布函数，即 )(yΦ
=Φ )(y dte
ty
2
2
2
1
∞?
∫
π
正态分布的计算,
1、若,则有 )1,0(~ NX
)()(}{ abbXaP Φ?Φ=≤≤
2、若 X ～ 则有 ),,(
2
σμN
)()(}{
σ
μ
σ
μ?
Φ?
Φ=≤≤
ab
bXaP
特别,)(}{
σ
μ?
Φ=≤
b
bXP,)(1}{
σ
μ?
Φ?=≥
a
aXP
3,。 )(1)( xx Φ?=?Φ
证明 2,
}{}{
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
≤
≤
=≤≤
bXa
PbXaP = }{
σ
μ
σ
μ?
≤≤
b
Y
a
P
).()()1,0(
σ
μ
σ
μ?
Φ?
Φ
ab
NY～
例 2.8：设,求：)4,3(~ NX }5{},61{ ><< XPXP
解,)1()5.1()
2
31
()
2
36
(}61{?Φ?Φ=
Φ?
Φ=<< XP
= 7745.0)8413.01(93319.0))1(1()5.1( ==ΦΦ
5{ >XP } = }55(1}5{1 ≤≤=≤? XPXP
))4()1((1))
2
35
()
2
35
((1?Φ?Φ?=
Φ?
Φ?=
= 1587.09999.08413.02)4(1)1(1 ==Φ?+Φ?
例 2.9：某科 考试成绩,若第 100 名的 成绩为 )10,70(~
2
NX
60 分，求 第 20 名的成绩 约为多少分？
解：设总人数为 n，第 20 名的成绩为,则有 x
,nXP /100}60{ =≥ nxXP /20}{ =≥
}{5}60{ xXPXP ≥=≥
))
10
70
(1(5)
10
7060
(1
Φ?=
Φ?
x
8413.0
5
1
1)1(
5
1
1))1(1(
5
1
1)
10
70
( ×?=Φ?=?Φ=
Φ
x
=0.832 = )97.0(Φ
97.0
10
70
=
x
,= 79.7 x
3、指数分布,)(~ λExpX
)(~ xpX
<
≥
=
00
0
x
xe
xλ
λ
,其中 0>λ
应用背景：各种“寿命”,电子元件的寿命，动物的寿命等。
特点：无记忆性。
设 )(~ λExpX,0,>? ts
=> }{ tXP
t
t
t
t
edtedxxp
λλ
λ
+∞
+∞
==
∫∫
)(
t
s
ts
e
e
e
sXP
tsXP
sXP
sXtsXP
sXtsXP
λ
λ
λ
+?
==
>
+>
=
>
>+>
=>+>
)(
}{
}{
}{
},{
}|{
所以 = }|{ sXtsXP >+> }{ tXP >
假设 X 表示寿命，上式表明如果已经活了 s 年，则再活
t 年的概率与 年龄 s 无关。
，无实根的 概率为，且：设例
2
1
04),(~4
22
=++ XyyNX σμ
则 =μ 。
解 △,,044
2
<?= X 4>X即
2
1
}4{ =>XP
2
1
)
4
(1 =
Φ?
σ
μ
,)0(
2
1
)
4
( Φ==
Φ
σ
μ
4,0
4
==
μ
σ
μ
例 2.10,X,0 1 2
p,1/3 1/6 1/2
求 }
2
3
1{},
2
3
1{),( ≤≤≤< XPXPxF
解
[]
∑
=
==≤=
x
k
kXPxXPxF
0
}{}{)(
>
<≤
<≤
<
=
=≥
==+==<≤
===<≤
=<
2,1
21,
2
1
10,
3
1
0,0
)(
.1)(2;
2
1
}1{}0{)(21;
3
1
}0{)(10;0)(0
x
x
x
x
xF
xFx
XPXPxFx
XPxFx
xFx
时，
时，
时，
时，
一、教学要求
1、了解随机 变量的概念
2、理解随机 变量分布函 数的概念及 性质，理解 离散型随机 变量的分布 律及其性质,理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。
3、掌握（0-1）分布、二 项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布及相关计算。
4、会求简单 随机变量函数的概率分布。
5、了解二维 随机变量的 联合分布函 数及其性质,二维离散 型随机变量 的联合分布 律及其性质，二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它计算有关事件的概率；
6、掌握二维 随机变量边缘分布的计算，了解二维随机变量的条件分布；
7、理解随机 变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算；
8、会求两个 随机变量的简单函数的分布。
本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,
二,教学内 容
§2.1 一维 随机变量及其分布
一,随机变量的定义,
例 2.1.考虑,抛硬币”试验,{=? 正面 H，反面 T}；
引入变量：,
=
=
==
T
H
XX
ω
ω
ω
0
1
)(?∈ω,
== }1{X {出现正面 H}，
2
1
}1{ ==XP,
一般的，可以把一个随机事件 A 数 量化,
引入?∈
∈
= ω
ω
ω
ω
不发生即发生即
AA
AA
X
A
,0
,1
)(
}1)({)( == ω
A
XPAP ；
定 义 2.1,设 ),,( PF? 为一概率空间,)(ωX 是定义在?
上的单值实函数，若对任一实数,有x FxX ∈≤ })(:{ ωω,
则称 )(ωX 为随机变量，简记为 X 。
定义 2,2 称,+∞<<∞?≤= xxXPxF },{)(
为随机变量 X 的分布函数。
若已知,则有 )(~ xFX
)()(}{}{}{ aFbFaXPbXPbXaP?=≤?≤=≤< ；
分布函数的 性质,
1,； xxF?≤≤,1)(0
2,单调不减，即若 b>a,则 ； )(xF )()( aFbF ≥
3,； 1)(,0)( =+∞=?∞ FF
4,)()(lim)(
0
0
xFxFxF
xx
=
+
→
右连续，即 。
例如,
1,在 n 重贝努 里试验中，用 X 表示事件 A 出现的次数,
=X 0,1,2,……,n
2,某电话总机在一天内接到的呼唤次数 X,
=X 0,1,2,……
3,射击中，弹落点与目标的距离 X,
),0[ +∞∈X 。
二、离散型随机变量
设离散型 X 的所有可能取值为,且 " ",,,
21 n
xxx
或记为 ",2,1,}{ === ipxXP
ii
X,…… … … （由小 到大排列）
1
x
2
x
n
x
,…… … …
i
p
1
p
2
p
n
p
若满足,（1） （ 2）,,0≥
i
p,1
1
=
∑
∞
=i
i
p
称此为离散型随机变量 X 的分布列（律） 。
已知 X 的分布列，可求其分布函数 。 )(xF
设离散型 X ～ ",1,0,}{ === kpkXP
k
，则有
∑∑∑
==≤
=====≤=
][
0
][
0
}{}{}{)(
x
k
k
x
kxk
pkXPkXPxXPxF
离散型常见分布列,
1,退化分布,； 1}{ == CXP
2,两点分布:,1,0,)1(}{
1
=?==
kppkXP
kk
X,0 1
i
p,p?1 p
如：,抛硬币,,X 0 1
i
p 1/2 1/2
3,离散型 的均匀分布,
,,,2,1,
1
}{ nk
n
xXP
k
"===
X,……
1
x
2
x
n
x
,1/n 1/n …… 1 /n
i
p
如“掷骰子”,
X,1 2 3 4 5 6
,1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
i
p
4、二项分布,记为 ),(~ pnBX
,,,2,1,0,}{ nkqpCkXP
knkk
n
"===
其中 pqp?=<< 1,10
例 2.2：在 n重贝努里试验中，用 X 表示事件 A 出 现的次数,
则有,
nkqpCkXP
knkk
n
,,2,1,0,}{ "===
,即 ),(~ pnBX
例 2.3：某人 独立射击 10次，每次命中率为 0.8,求命中次数
X 的分布列。
解,X = 0，1,2，…，1 0
,k = 0,1,2,…，10。
kkk
CkXP
==
10
10
2.08.0}{
5,泊松分 布,X ～ )(λP
,0.,2,1,0,
!
}{ >===
λ
λ
λ
"ke
k
kXP
k
如：1、电话 总机在一天内接到的呼唤次数
2,纺纱厂的纱绽在一段时间内的断头次数
泊松定理,
λ
λ
λ
=
≈ e
k
qpC
k
np
knkk
n
!
,( n>10,<0.1) p
如,0185.0
!30
40
6.04.0
40
30
40
703030
100
查表
=≈
=
eC
λ
。
6、几何分布, " ",3,2,1}{
1
===
kpqkXP
k
例 2.4：某射 手命中率为 0.8，现连续 射击直到击中为止,
求射击次数 X 的分布律。
解,X =1,2,3，……
" ",2,1,8.02.0)(}{
1
121
====
kAAAAPkXP
k
kk
例 2.5：在贝 努里试验中，用 X 表示 A首次出现的试验次数,
则有, ",3,2,1,}{
1
===
kpqkXP
k
7、超几何分 布,
}.,min{,,1,0,}{ nMk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
"===
其中 。 NMMmNn <<<,,
例 2.6：设 有 N 件产品,其中 M 件 废品，从中无放回任
取 n 件，求 抽到的 n 件 产品中废品数 X 的分布列。
解,X =0,1,2,…,min{ } nM，
n
N
kn
MN
k
M
C
CC
kXP
== }{,=0,1,2,…，m in{ } k nM，
对有放回 抽样：
N
M
APp == )(
,)1()(}{
knkk
n
N
M
N
M
CkXP
== nk,,2,1,0 "= 。
即 X ～ ),(
N
M
nB,
三、连续型随机变量
定义：对 X,若存在非负可积函数,使 得对任意,有 )(xp x
,
∫
∞?
=
x
dyypxF )()(
称 X 为连续型随机变量。称 为)(xp X 的分布密度（密度函数） 。
)(xp 的性质,
（ 1） （2 ） 0)( ≥xp 1)( =
∫
+∞
∞?
dxxp
(3) (4) )()( xFxp ′=
∫
=≤≤
b
a
dxxpbXaP )(}{
（ 5） ccXP?==,0}{
证,}{}{0 hcXcPcXP +≤≤≤=≤ = 0,0)( →→
∫
+
hdxxp
hc
c
当所以,0}{ == cXP
例 2.7：设连 续型
X ～ = )(xp
≤
>
0,0
0,2
x
xe
xλ
0>λ,
求（1） λ （ 2） （3） }2/12/1{ <<? XP )(xF
解,（1） 由 1)( =
∫
+∞
∞?
dxxp
=1,dxe
x
∫
∞
0
2
λ
2,1
2
== λ
λ
（2） }
2
1
2
1
{ <<? XP = = dxedxxp
x
∫∫
=
2/1
0
2
2/1
2/1
2)(
1
1
e
(3) = )(xF
>?
≤
=
>
≤
=
∞?
∫
∫
01
00
0,2
00
)(
2
0
2
xe
x
xdye
x
dyyp
x
x
y
x
连续型 X 的常见分布,
1,均匀分布,X ～ ],[ baU
X ～ =)(xp
≤≤
其他0
1
bxa
ab
>
≤≤
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
,0
)(
背景,X 在 [a,b]上取 值是等可能的。
2,正态分布,X ～ ),(
2
σμN
X ～ +∞<<?∞=
xexp
x
,
2
1
)(
2
2
2
)(
σ
μ
σπ
,（ 0>σ ）
注,1
2
1 2
2
2
)(
=
∞
∞?
∫
dxe
x
σ
μ
σπ
。
特别当 1,0 == σμ 时,
+∞<<∞?=
xexp
x
,
2
1
)(
2
2
π
称为标准正态分布，记为,)1,0(~ NX
注,1
2
1
2
2
=
∞+
∞?
∫
dxe
x
π
。
应用背景,（ 1）测量误差 （ 2）各种随 机噪声
（ 3）学生成 绩（ 4）产品 尺寸
称 为标准正态分布函数，即 )(yΦ
=Φ )(y dte
ty
2
2
2
1
∞?
∫
π
正态分布的计算,
1、若,则有 )1,0(~ NX
)()(}{ abbXaP Φ?Φ=≤≤
2、若 X ～ 则有 ),,(
2
σμN
)()(}{
σ
μ
σ
μ?
Φ?
Φ=≤≤
ab
bXaP
特别,)(}{
σ
μ?
Φ=≤
b
bXP,)(1}{
σ
μ?
Φ?=≥
a
aXP
3,。 )(1)( xx Φ?=?Φ
证明 2,
}{}{
σ
μ
σ
μ
σ
μ?
≤
≤
=≤≤
bXa
PbXaP = }{
σ
μ
σ
μ?
≤≤
b
Y
a
P
).()()1,0(
σ
μ
σ
μ?
Φ?
Φ
ab
NY～
例 2.8：设,求：)4,3(~ NX }5{},61{ ><< XPXP
解,)1()5.1()
2
31
()
2
36
(}61{?Φ?Φ=
Φ?
Φ=<< XP
= 7745.0)8413.01(93319.0))1(1()5.1( ==ΦΦ
5{ >XP } = }55(1}5{1 ≤≤=≤? XPXP
))4()1((1))
2
35
()
2
35
((1?Φ?Φ?=
Φ?
Φ?=
= 1587.09999.08413.02)4(1)1(1 ==Φ?+Φ?
例 2.9：某科 考试成绩,若第 100 名的 成绩为 )10,70(~
2
NX
60 分，求 第 20 名的成绩 约为多少分？
解：设总人数为 n，第 20 名的成绩为,则有 x
,nXP /100}60{ =≥ nxXP /20}{ =≥
}{5}60{ xXPXP ≥=≥
))
10
70
(1(5)
10
7060
(1
Φ?=
Φ?
x
8413.0
5
1
1)1(
5
1
1))1(1(
5
1
1)
10
70
( ×?=Φ?=?Φ=
Φ
x
=0.832 = )97.0(Φ
97.0
10
70
=
x
,= 79.7 x
3、指数分布,)(~ λExpX
)(~ xpX
<
≥
=
00
0
x
xe
xλ
λ
,其中 0>λ
应用背景：各种“寿命”,电子元件的寿命，动物的寿命等。
特点：无记忆性。
设 )(~ λExpX,0,>? ts
=> }{ tXP
t
t
t
t
edtedxxp
λλ
λ
+∞
+∞
==
∫∫
)(
t
s
ts
e
e
e
sXP
tsXP
sXP
sXtsXP
sXtsXP
λ
λ
λ
+?
==
>
+>
=
>
>+>
=>+>
)(
}{
}{
}{
},{
}|{
所以 = }|{ sXtsXP >+> }{ tXP >
假设 X 表示寿命，上式表明如果已经活了 s 年，则再活
t 年的概率与 年龄 s 无关。
，无实根的 概率为，且：设例
2
1
04),(~4
22
=++ XyyNX σμ
则 =μ 。
解 △,,044
2
<?= X 4>X即
2
1
}4{ =>XP
2
1
)
4
(1 =
Φ?
σ
μ
,)0(
2
1
)
4
( Φ==
Φ
σ
μ
4,0
4
==
μ
σ
μ
例 2.10,X,0 1 2
p,1/3 1/6 1/2
求 }
2
3
1{},
2
3
1{),( ≤≤≤< XPXPxF
解
[]
∑
=
==≤=
x
k
kXPxXPxF
0
}{}{)(
>
<≤
<≤
<
=
=≥
==+==<≤
===<≤
=<
2,1
21,
2
1
10,
3
1
0,0
)(
.1)(2;
2
1
}1{}0{)(21;
3
1
}0{)(10;0)(0
x
x
x
x
xF
xFx
XPXPxFx
XPxFx
xFx
时，
时，
时，
时，
