第三章 随机变量的数字特征
一,教学要 求,
1,掌握随 机变量的数学期望和方差的概念、性质及计算 ；
2,掌握随 机变量函数的期望 ；
3、熟记 0— 1 分布、二项 分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布的
期望与方差 ；熟练掌握正态分布的标准化及有关概率计算 ；
4、理解协方 差、相关系数的概念 ； 掌握它们的性质及计算 ；
5、了解 k 阶 原点矩,中心 矩与协方差阵的概念 ； 了解它们的性质及计算 。
本章重点：随机变量的数学期望和方差，协方差、相关系数的性质及计算 ；
二、教学 内 容
§ 3.1 随机 变量的数学期望
一,离散型：设,,2,1,}{ "=== ipxXPX
ii
～
定义 3.1,X 的数学期望（或均值）为,
.)(
2211
1
"++==
∑
∞
=
pxpxpxXE
i
i
i
其中 绝对收敛。否则称 不存在。
i
i
i
px
∑
∞
=1
)(XE
说明,表示 X 所取的平均值。 )(XE
例 3.1,设 npXEpnBX =)(,),(～
例 3.2,设 )(λPX～,求 )(XE
解, ",1,0
!
}{ ===
ie
i
iXP
i
λ
λ
λλ
λ
λλ
∞
=
+∞
=
=?=
∑∑
e
i
e
i
iXE
i
i
i
i
1
1
0
)!1(!
)(
λλλ
λ
λλλ
=?=?=
∞
=
=
∑
eee
k
k
k
ik
0
1
!
所以 λ=)(XE 。
例 3.3：设
p
XEkpqkXPX
k
1
)(.,2,1,}{
1
====
"～ 。
解：
pq
p
q
q
pqppkqXE
k
k
k
k
1
)1(
1
1
)(
2
11
1
=
=
′
=
′
==
∑∑
∞
=
∞
=
二,连续型
定义 3.2：设,X 的数学期望（或均值）定义为,)(~ xpX
dxxxpXE )()(
∫
+∞
∞?
=
其 中积分绝对收敛，否则称 不存在。 )(XE
例 3.4：设,则 ),(
2
σμNX～ μ=)(XE
例 3.5：设 )(λExpX～,则
λ
1
)( =XE
例 3.6：设,则],[ baUX～
2
)(
ba
XE
+
=
例 3.7：设 ),( βαΓ～X,即
≤
>
Γ=
0,0
0,
)()(
1
x
xex
xpX
xβα
α
α
β
～
求 )(XE
解,)()(
)(
1
)()(
0
xdexdxxxpXE
x
ββ
αβ
βα?
+∞+∞
∞?
Γ
==
∫∫
dtet
t
xt
+∞
=
∫
Γ
=
α
β
αβ
0
)(
1
=
β
α
αβ
αα
αβ
α
=
Γ
Γ
=
Γ
+Γ
)(
)(
)(
)1(
。
其中,
∫
+∞
=Γ
0
1
)( dxex
xα
α 1)1(),()1( =ΓΓ=+Γ ααα
三,随机变量函数的数学期望
离散型,设,,2,1,}{ "=== ipxXPX
ii
～
则 的数学期望为,)(XfY =
∑
∞
=
==
1
)()]([)(
i
ii
pxfXfEYE
连续型,设,)(xpX
X
～
则 的数学期望为,)(XfY =
dyyypdxxpxfXfEYE
YX
)()()()]([)(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
===
例 3.8：设,求 |。 )1,0(NX～ | XE
解,dxexdxxpxXE
x
2
2
2
1
||)(||||
+∞
∞?
+∞
∞?
∫∫
==
π
=
πππ
2
][
2
2
2
1
2
0
22
0
22
=?=
∞+
+∞
∫
xx
eex
所以
π
2
|| =XE 。
推广到 的数学期望。 ),( YXfZ =
离散型：设,,2,1,,},{),( "==== jipyYxXPYX
jiji
～
则 的数学期望为,),( YXfZ =
∑∑
∞
=
∞
=
==
11
.),()],([)(
ij
jiji
pyxfYXfEZE
连续型：设,),(),( yxpYX ～
则 的数学期望为,),( YXfZ =
dxdyyxpyxfYXfEZE ),(),()],([)(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
==
特别
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxxpXE ),()(
。
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxypYE ),()(
例 3.9：设 X,Y 独立，且
)(,)1,0(),1,0(
22
YXENYNX +求～～ 。
解,)(
22
YXE + =
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+ dxdyyxpyx ),(
22
=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+ dxdyypxpyx
YX
)()(
22
= dxdyeyx
yx )(
2
1
22
22
2
1
+?
+∞
∞?
+∞
∞?
∫∫
+
π
= θ
π
π
drder
r
2
2
2
00
2
2
1
+∞
∫∫
=
2
2
2
2
0
2
π
=
+∞
∫
drer
r
其中 θθθ rdrddxdyryrx ===,sin,cos
四,数学期 望的性质
性质,
（ 1） 为常数。 CCCE,)( =
（ 2）,)()( XCECXE =
)()(3
11
i
n
i
ii
n
i
i
XEaXaE
∑∑
==
=）（
特别 )()()(
2121
XEXEXXE ±=±
（ 4）设 X,Y 相互独立，则有 )()()( YEXEXYE =
证明,=
∫∫
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxxypXYE ),()(
+∞
∞?
+∞
∞?
dxdyypxxyp
YX
)()(
= = dyyypdxxxp
YX
)()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
)()( YEXE
五、应用举例
例 3.10：公 共汽车起点站分别于每小时的 10 分,30 分和 55 分钟发车,
设乘客不知道发车时间，在每小时内随机到达车站，求乘客
在车站的平均等候时间。
解,设乘客 到达时刻为 X,则,]60,0[UX～
Y 为乘客等候的时间，则有
<≤+?
<≤?
<≤?
<≤?
==
6055,1060
5530,55
3010,30
100,10
)(
XX
XX
XX
XX
XfY
∫
+∞
∞?
== dxxpxfXfEYE
X
)()()]([)(
=
∫∫∫∫
+?+?+?
55
30
60
55
30
10
10
0
60
)70(
60
)55(
60
)30(
60
)10(
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
=10 分 25 秒
例 3.11,r 个 人在一楼进入电梯，楼上有 n 层,设每个乘客在任何
一层下电梯的概率相同，试求直到电梯中的乘客出空为止
时，电梯需停次数的数学期望（有人下电梯才停） 。
解,设,,,2,1
0
,1
ni
i
i
X
i
"=
=,
层不停电梯在第，
层停电梯在第
r
r
i
n
n
XP
)1(
}0{
==
r
r
i
n
n
XP
)1(
1}1{
==
设 X 表示电梯停的次数，则
∑
=
=
n
i
i
XX
1
]
)1(
1[)
)1(
1()()(
111
r
rn
i
r
rn
i
i
n
i
i
n
n
n
n
n
EXXEXE
=
===
∑∑∑
===
令 r=25,n=9,则,E(X) = 8.5269 次
一,教学要 求,
1,掌握随 机变量的数学期望和方差的概念、性质及计算 ；
2,掌握随 机变量函数的期望 ；
3、熟记 0— 1 分布、二项 分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布的
期望与方差 ；熟练掌握正态分布的标准化及有关概率计算 ；
4、理解协方 差、相关系数的概念 ； 掌握它们的性质及计算 ；
5、了解 k 阶 原点矩,中心 矩与协方差阵的概念 ； 了解它们的性质及计算 。
本章重点：随机变量的数学期望和方差，协方差、相关系数的性质及计算 ；
二、教学 内 容
§ 3.1 随机 变量的数学期望
一,离散型：设,,2,1,}{ "=== ipxXPX
ii
～
定义 3.1,X 的数学期望（或均值）为,
.)(
2211
1
"++==
∑
∞
=
pxpxpxXE
i
i
i
其中 绝对收敛。否则称 不存在。
i
i
i
px
∑
∞
=1
)(XE
说明,表示 X 所取的平均值。 )(XE
例 3.1,设 npXEpnBX =)(,),(～
例 3.2,设 )(λPX～,求 )(XE
解, ",1,0
!
}{ ===
ie
i
iXP
i
λ
λ
λλ
λ
λλ
∞
=
+∞
=
=?=
∑∑
e
i
e
i
iXE
i
i
i
i
1
1
0
)!1(!
)(
λλλ
λ
λλλ
=?=?=
∞
=
=
∑
eee
k
k
k
ik
0
1
!
所以 λ=)(XE 。
例 3.3：设
p
XEkpqkXPX
k
1
)(.,2,1,}{
1
====
"～ 。
解：
pq
p
q
q
pqppkqXE
k
k
k
k
1
)1(
1
1
)(
2
11
1
=
=
′
=
′
==
∑∑
∞
=
∞
=
二,连续型
定义 3.2：设,X 的数学期望（或均值）定义为,)(~ xpX
dxxxpXE )()(
∫
+∞
∞?
=
其 中积分绝对收敛，否则称 不存在。 )(XE
例 3.4：设,则 ),(
2
σμNX～ μ=)(XE
例 3.5：设 )(λExpX～,则
λ
1
)( =XE
例 3.6：设,则],[ baUX～
2
)(
ba
XE
+
=
例 3.7：设 ),( βαΓ～X,即
≤
>
Γ=
0,0
0,
)()(
1
x
xex
xpX
xβα
α
α
β
～
求 )(XE
解,)()(
)(
1
)()(
0
xdexdxxxpXE
x
ββ
αβ
βα?
+∞+∞
∞?
Γ
==
∫∫
dtet
t
xt
+∞
=
∫
Γ
=
α
β
αβ
0
)(
1
=
β
α
αβ
αα
αβ
α
=
Γ
Γ
=
Γ
+Γ
)(
)(
)(
)1(
。
其中,
∫
+∞
=Γ
0
1
)( dxex
xα
α 1)1(),()1( =ΓΓ=+Γ ααα
三,随机变量函数的数学期望
离散型,设,,2,1,}{ "=== ipxXPX
ii
～
则 的数学期望为,)(XfY =
∑
∞
=
==
1
)()]([)(
i
ii
pxfXfEYE
连续型,设,)(xpX
X
～
则 的数学期望为,)(XfY =
dyyypdxxpxfXfEYE
YX
)()()()]([)(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
===
例 3.8：设,求 |。 )1,0(NX～ | XE
解,dxexdxxpxXE
x
2
2
2
1
||)(||||
+∞
∞?
+∞
∞?
∫∫
==
π
=
πππ
2
][
2
2
2
1
2
0
22
0
22
=?=
∞+
+∞
∫
xx
eex
所以
π
2
|| =XE 。
推广到 的数学期望。 ),( YXfZ =
离散型：设,,2,1,,},{),( "==== jipyYxXPYX
jiji
～
则 的数学期望为,),( YXfZ =
∑∑
∞
=
∞
=
==
11
.),()],([)(
ij
jiji
pyxfYXfEZE
连续型：设,),(),( yxpYX ～
则 的数学期望为,),( YXfZ =
dxdyyxpyxfYXfEZE ),(),()],([)(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
==
特别
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxxpXE ),()(
。
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxypYE ),()(
例 3.9：设 X,Y 独立，且
)(,)1,0(),1,0(
22
YXENYNX +求～～ 。
解,)(
22
YXE + =
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+ dxdyyxpyx ),(
22
=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+ dxdyypxpyx
YX
)()(
22
= dxdyeyx
yx )(
2
1
22
22
2
1
+?
+∞
∞?
+∞
∞?
∫∫
+
π
= θ
π
π
drder
r
2
2
2
00
2
2
1
+∞
∫∫
=
2
2
2
2
0
2
π
=
+∞
∫
drer
r
其中 θθθ rdrddxdyryrx ===,sin,cos
四,数学期 望的性质
性质,
（ 1） 为常数。 CCCE,)( =
（ 2）,)()( XCECXE =
)()(3
11
i
n
i
ii
n
i
i
XEaXaE
∑∑
==
=）（
特别 )()()(
2121
XEXEXXE ±=±
（ 4）设 X,Y 相互独立，则有 )()()( YEXEXYE =
证明,=
∫∫
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxxypXYE ),()(
+∞
∞?
+∞
∞?
dxdyypxxyp
YX
)()(
= = dyyypdxxxp
YX
)()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
)()( YEXE
五、应用举例
例 3.10：公 共汽车起点站分别于每小时的 10 分,30 分和 55 分钟发车,
设乘客不知道发车时间，在每小时内随机到达车站，求乘客
在车站的平均等候时间。
解,设乘客 到达时刻为 X,则,]60,0[UX～
Y 为乘客等候的时间，则有
<≤+?
<≤?
<≤?
<≤?
==
6055,1060
5530,55
3010,30
100,10
)(
XX
XX
XX
XX
XfY
∫
+∞
∞?
== dxxpxfXfEYE
X
)()()]([)(
=
∫∫∫∫
+?+?+?
55
30
60
55
30
10
10
0
60
)70(
60
)55(
60
)30(
60
)10(
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
=10 分 25 秒
例 3.11,r 个 人在一楼进入电梯，楼上有 n 层,设每个乘客在任何
一层下电梯的概率相同，试求直到电梯中的乘客出空为止
时，电梯需停次数的数学期望（有人下电梯才停） 。
解,设,,,2,1
0
,1
ni
i
i
X
i
"=
=,
层不停电梯在第，
层停电梯在第
r
r
i
n
n
XP
)1(
}0{
==
r
r
i
n
n
XP
)1(
1}1{
==
设 X 表示电梯停的次数，则
∑
=
=
n
i
i
XX
1
]
)1(
1[)
)1(
1()()(
111
r
rn
i
r
rn
i
i
n
i
i
n
n
n
n
n
EXXEXE
=
===
∑∑∑
===
令 r=25,n=9,则,E(X) = 8.5269 次
