§ 1.5 事件的独立性
一、事件的独立性
定义 1.9 若,
)()()( BPAPABP =
称 （相互）独立。 BA，
性质,
1) Φ?,与任意 A 独立 ；
2) 若 A,B 相互 独立，则
BABABA,;,;,
均相互独立。
证明,
)(1)()( BAPBAPBAP ∪∪?==
= )]()()([1 ABPBPAP?+?
独立BA,
==
)]()()()([1 BPAPBPAP?+?
= )()())(1))((1( BPAPBPAP =
定义 1.10 对,若 CBA,，
)()()()(
)()()(
)()()(
)()()(
CPBPAPABCP
APCPCAP
CPBPBCP
BPAPABP
=
=
=
=
两两独立
称 相互独立 CBA,，
定义 1.11 对,若
n
AAA,,,
21
null
n
nnn
nkjikji
njiji
CAPAPAPAAAPn
CAPAPAPAAAPkji
CAPAPAAPji
)()()()(
)()()()(,
)()()(,
2121
3
2
nullnull
nullnull
=
=<<?
=<?
个：取则称 (相互 )独立,
n
AAA,,,
21
null
.12)11(
1032
个等式成 立nCCCCC
n
nn
nn
nnn
=+=+++ null
二、事件的独立性与概率计算
设 A
1
,A
2
,…,A
n
相互独立，则
)()()(1)(
)()()(1)(1
)(1)(:
)()()(1)(
321
321
21
21
2121
21
21
APAPAPAAAP
APAPAPAAAP
AAAPAAAP
APAPAPAAAP
nn
nn
n
n
=
=?=
=
=
∪∪
nullnull
∪null∪∪∪null∪∪
null∪null∪∪
特别证
例 1,A
1
,A
2
,A
3
射击某一目标,命中率分别为 0.6,0.5,0.4,
求击中目标的概率。
解,设 B={击中目标 },则有
88.06.05.04.01
)()()(1)()( 32
1321
321
=××?=
==
=
APAPAPAAAPBP
AAAB
∪∪
∪∪
若只有 A
1
,A
2
射击,则有
80.05.04.01)(
21
=×?=AAP ∪
例 1.13,A={搏彩中头奖 }的概率为ε =10
-8
,
试证,当购 买次数充分大时,A 迟 早 会出现的概率为 1,
证明,设 Ak表示第k次出现 A,则有 P(Ak)=ε
.1)1(1
)()()(1)( 21
21
时当 ∞→→=
=
n
APAPAPAAAP
n
n
n
ε
null∪null∪∪
三、独立试验序列概型
n 重贝努里试 验,
设试验 E 只 有两个可能的结果:
AA和
,每次试验
.1)(,)( qpAPpAP =?==
将 E 独立重 复进行 n 次,
这种试验称为 n 重贝努 里试验,
定理,在 n 重贝努里试验中,若记
={事 件A恰 好 出 现k次 },则 有
k
B
nkqpCBP
knkk
nk
,,1,0,)( null==
且,称此 为二项分布,
∑
=
=
n
k
k
BP
0
1)(
证明,设 ={第 i次试验出现A},
i
A ni,，,null21=
knk
nkn
kn
nkn
kn
knk
nk
k
nk
k
k
nnkn
knnk
kk
qpAPAPAPAPAAAAP
qpAPAPAPAPAPAAAAAP
CAAAAAAAAAB
+?
+?
++
+?
+
==
==
++=
)()()()()(
)()()()()()(
1
1
1
1
1
21
1
21
1
11
21
nullnullnullnull
nullnull
nullnullnullnull
nullnullnullnullnull
则有
1)()(
)(
00
=+==
=
∑∑
=
=
n
n
k
knkk
n
n
k
k
knkk
nk
qpqpCBP
qpCBP
推论,
1,A 至多出现 次的概率为,
m
knk
m
k
k
n
m
k
k
qpCBP
==
∑∑
=
00
)( ；
2．
A
至少出现 次的概率为,
m
knk
n
mk
k
n
n
mk
k
qpCBP
==
∑∑
=)( ；
3．
A
至少出现 1 次的概率为,
)(1)(
0
1
BPBP
n
k
k
=
∑
=
nn
n
pqpC )1(11
000
=?=
定理,设 ={第 次首次出现
k
B k A}，则有
null2,1,)(
1
==
kpqBP
k
k
且
∑
,称此为几 何分布。
∞
=
=
0
1)(
k
k
BP
证明,.
121 kkk
AAAAB
= null
,pqBP
k
k
1
)(
=
利用 n重贝努里试验计算概率,
(1)转化为 重贝努里试验； n
两个要 点：1.每次 试验只有两个对立的结果;
2.将该 试验独立重复进行 次,n
(2)求出,利用定理即可。 kpn,,
例 1.14 把 10 个球随机投 入 4 个盒中,设每球落在每盒
中的可能性相同；
1、求落在第 1 个盒中恰 有 3 球的概 率；
2、求落在第 1 个盒中至少 有 1 球的概 率。
解,
设 =A {落在第 1个盒中}
3),(4/1,10 ==== kAPpn
（ 1） 25.0)4/3()4/1()(
31033
103
==
CBP
（ 2）
kkk
k
CBP
=
10
10
)4/3()4/1()(
01000
100
10
1
)4/3()4/1(1)(1)(
=
=?==
∑
CBPBPp
k
k
= 994.0)4/3(1
10
=?
例 1.15 甲 乙每人投篮的命中率分别为 0.7 和 0.6，每人
投篮 3 次,求两人进球数相等的概率。
解,甲进 个球 的概率为,k
k
A
3,2,1,03.07.0)(
3
3
==
kCAP
kkk
k
，
乙进 个球 的概率为,k
k
B
3,2,1,0,4.06.0)(
3
3
==
kCBP
kkk
k
所求概率为,
)()()(
3
0
3
0
k
k
kkk
k
BPAPBAPp
∑∑
==
==
321.03.06.03.07.0
3
3
3
3
0
3
=×=

=
∑
kkkkk
k
k
CC
例 1.16 某实 验室在器皿中繁殖成 个细菌的概率为 k
,0,,2,1,0,
!
>==
λ
λ
λ
nullke
k
P
k
k
设所繁殖的每个细菌变为甲类菌或乙类菌的概率相等,
求所繁殖的细菌有 i个成为甲类菌的概率。
解,=B {繁殖的 细菌中有 i个成为甲类菌}；
={繁殖了 k 个细菌}
k
A
null,2,1,0,
!
)( ==
ke
k
AP
k
k
λ
λ
>
≤
=
>
≤?
=
ki
kiC
ki
kiC
ABP
k
i
k
ikii
k
k
,0
,
2
1;,0;,)2/11()2/1(
)|(
所求概率为,
= )|()()(
0
k
k
k
ABPAPBP
∑
∞
=
= )|()(
k
ik
k
ABPAP
∑
∞
=
=
k
i
k
ik
k
Ce
k 2
1
!
λ
λ
∞
=
∑
=
k
ik
k
iki
k
k
e
2
1
)!(!
!
!
∑
∞
=
λ
λ
=
ikl
ik
ik
i
iki
e
=
∞
=
=
∑
)
2
(
)!(
1
)
2
(
!
λλ
λ
l
l
i
li
e
)
2
(
!
1
)
2
(
!
0
λλ
λ
∑
∞
=
=
2
)
2
(
!
λ
λ
λ
e
i
e
i
=
2
!
)
2
( λ
λ
e
i
i
,null,2,1,0=i