张长华复变函数与积分变换大学数学教程山东大学数学院主讲,郑修才张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
第一章 复数与复变函数
1.1 复数及其运算
1.2 复平面上的曲线和区域
1.3 复变函数
1.4 复变函数的极限和连续性张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.1 复数及其运算一、复数的概念
iyxz),Re()Imy
1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，
iyxz
1i yx,
),R e ( zx? )Im ( zy? z
2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、复数的表示法
1,(复平面上的 )点表示 ------用坐标平面上的点
r
θ
(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。
y
x
),( yxP
x
y
( 2 ) z x iy复 数 与 点 （ x,y ） 构 成一 一 对 应 关 系,复 数 z=x+iy
由 （ x,y ） 唯 一 确 定 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2,(复平面上的 )向量表示 -----
OMyxMiyxz ),(点
22|| yxrz
||zrOM（ 1）模 —— 的长度,记为,则
（ 2）辐角 ( )—— 与 轴正向的夹角 (周期性 )
0?z ox?OM
( ) c o s,s i nA r g z x r y r记,则张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
辐角主值,
()
a r g ( )
a rg z
z
满足 的辐角值（仅有一个），
记作a r g ( z ),-
即：
),2,1,0k(k2)za r g ()z(A r g0z时，
无意义的辐角不确定，,)0(0 A rgz?注其中主值 )arg(z 的确定方法见教材
P3（ 1.1.6）式或借助复数向量表示,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
3、三角（或极坐标）表示 ---
)s in( c o s iriyxz
,|| 22 yxzr
x
ya r c ta n
,c o s?rxs inry?由得
4 iz r e,指 数 表 示 — —
s i nic o se i欧拉公式
5,代数表示 ------ iyxz
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。
N
S
P
y
z
Z
x
6*、复球面表示 ------ 将扩充复平面中
|| z
的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、复数的运算
1、相等 —— 两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。
2、和、差、积、商（分母不为 0） —— 代数式、三角式、
指数式
,iyxz
z x iy 。
3、共轭复数及运算性质
)Re(22 zxzz ),Im(ziyi? 222 )][Im()][Re(|| zzz z
z
y
xo
y
y?
x
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
四、复数的 n次方根
1
( c os si n ),
22
( c os si n )
( 0,1,1 )
n n
z r i
kk
w z r i
nn
kn
若 则
w n r
0?k
的 n个值恰为以原点为中心，
的内接正 边形的顶点，当 时，
为半径 的圆周
n 0w 称为主值。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
答疑解惑答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；
而复数是无序的，所以不能比较大小。
假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取和加以讨论：
1、复数能否比较大小，为什么？
0,0,0 1 0,i i i i i设 则 得 显 然 矛 盾注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，
可比较大小 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？
答：有相同之处，但也有不同之处。
加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
典型例题例 1、判断下列命题是否正确？
（ 1）
（ 2）
（ 3）
7 5 1 2ii
)57a r g ()21a r g ( ii
)57R e ()57I m ( ii
（ × ）
（ ∨ ）
（ × ）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例 2、求下列复数的模与辐角
（ 1） （ 2）
（ 3） （ 4）
i 3
i23
1
iii 2510 4
n
i
2
31
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 22( 3 ) ( 1 ) 2,
15
a r g( ) a r c ta n
63
z
z
（ 1 ）
223 2 1
1 3 1 3 13z
3
2a r c ta n)a r g (z
,13 2133)23)(23( 2323 1 iii ii（ 2）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
,3144 102510 iiiiiii
,103)1(|| 22z 3a r c t a n)a r g (z
（ 3）
,1||?z,23)a r g ( knz
(2 3n kk满 足 的 ）
313 c o s s in
2 3 3
n
ii n nei
313 a r g ( ) a r c ta n 3 )
23
ii ez( 模 为 1,
(4)
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
23 1 2 1 | | 1x x i x例 化 简,
解法一：配方
ixxixxixx 12)1(121 22222
)1()1( 222 ixxixx
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解法二：设原式 = 则,ivu?
u v ivuixx 2121 222
,122 vu 122 2 xxuv
联立解得,,所以xu 12 xv
)1(121 22 xxixx
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例 4、求满足下列条件的复数 z：
（ 1）
（ 2） 且
（ 3）
izz 2||
,3 aiz 2|2|z
,
3
)2a r g (z?
6
5)2a r g (z
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z x i y解,（ 1 ） 设,则
22 2x iy x y i
22 32 1,
4x x y y x i
3由,得,故 z=
4
2( 2 ) 3,2 3 2 1 2z a i z a i a则
a? 的 值 为 ( - 3,3 ) 内 任 一 实 数,
故 满 足 条 件 的 z 有 无 穷 多 个,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 1 1
13( 3 ) 2 c o s s in
3 3 2 2z r i r r i
设
2 2 2
5 5 3 12 c o s s in
6 6 2 2z r i r r i
1 1 2 2
1 3 3 122
2 2 2 2z r r i r r i
则张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
0123 zzz
123 zzz
例 5 求方程 的根。并将分解因式。
1)1)(1( 423 zzzzz解 ∵,
1 0 1z0而 的 根 为 z
014z则 的其余三个根即为所求
014z
4
20s in
4
20c o s14 kikz
得由张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
iizk 23s in23c o s,3 3时
0s in0c o s1 i
10s in0cos,0 0 izk 时
iizk 2s in2c o s,1 1时
1s incos,2 2 izk 时
32 1 0,1,z z z i i根 为
32 1 ( ) ( 1 ) ( )z z z z i z z i且张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.2 复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程
0),(?yxF
)(
)(
tyy
txx
平面曲线有直角坐标方程和参数方程 两种形式。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
i2
zzy,
2
zzx
0),(?yxF
由 代入 知曲线 C的方程可改写成复数形式
0)
2
,
2
(
i
zzzzF
iyxz )()()( tiytxtz
)(tzz?
若令,而,则曲线 C的参数方程等价于复数形式 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( )
()
z t x t iy t a t b x t y t
t z t
,连 续 曲 线 — — 设,其 中是 实 变 量 的 连 续 函 数,则 表 示 复 平 面 上 的 连 续 曲 线 C 。
二、简单曲线与光滑曲线
222 [,] [ ( ) ] [ ( ) ] 0
( ) ( ) ( )
t a b x t y t
z t z a z b C
,光 滑 曲 线 － 若 对,有,
则 称 为 光 滑 曲 线 。 称 和 为 曲 线 的 起 点 和 终 点 。
1 2 1 2 1 2 13,( ) ( ) ( )a t b a t b t t z t z t z t C,若 对,当 而 有 ＝ 时,点 称 为 曲 线 的 重 点 。
没 有 重 点 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 或 约 当 （ Jardan ） 曲 线 。
（ 识 别 曲 线 的 类 型 － 教 材 P9 ）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、区域
1、去心邻域 )(
0zN?
3、区域及分类
2、内点与开集区域 —— 连通的开集。
有洞或有瑕点多连通域无瑕点无洞单连通域
—
、—
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
属于 D内的任一条简单闭曲线，在 D内可以经过连续的变形而收缩成一点。
覆盖不可被半径有限的圆域无界域盖可被半径有限的圆域覆有界域
—
—
注：①闭区域 的边界区域 DDD,它不是区域。
② 任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，
称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。
（典型例题见教材
8P
例 1.2.1，例 1.2.2）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
How beautiful the sea is!
Complex Analysis and Integral Transform
第一章 复数与复变函数
1.1 复数及其运算
1.2 复平面上的曲线和区域
1.3 复变函数
1.4 复变函数的极限和连续性张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.1 复数及其运算一、复数的概念
iyxz),Re()Imy
1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，
iyxz
1i yx,
),R e ( zx? )Im ( zy? z
2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、复数的表示法
1,(复平面上的 )点表示 ------用坐标平面上的点
r
θ
(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。
y
x
),( yxP
x
y
( 2 ) z x iy复 数 与 点 （ x,y ） 构 成一 一 对 应 关 系,复 数 z=x+iy
由 （ x,y ） 唯 一 确 定 。
张长华复变函数与积分变换
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2,(复平面上的 )向量表示 -----
OMyxMiyxz ),(点
22|| yxrz
||zrOM（ 1）模 —— 的长度,记为,则
（ 2）辐角 ( )—— 与 轴正向的夹角 (周期性 )
0?z ox?OM
( ) c o s,s i nA r g z x r y r记,则张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
辐角主值,
()
a r g ( )
a rg z
z
满足 的辐角值（仅有一个），
记作a r g ( z ),-
即：
),2,1,0k(k2)za r g ()z(A r g0z时，
无意义的辐角不确定，,)0(0 A rgz?注其中主值 )arg(z 的确定方法见教材
P3（ 1.1.6）式或借助复数向量表示,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
3、三角（或极坐标）表示 ---
)s in( c o s iriyxz
,|| 22 yxzr
x
ya r c ta n
,c o s?rxs inry?由得
4 iz r e,指 数 表 示 — —
s i nic o se i欧拉公式
5,代数表示 ------ iyxz
张长华复变函数与积分变换
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复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。
N
S
P
y
z
Z
x
6*、复球面表示 ------ 将扩充复平面中
|| z
的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。
张长华复变函数与积分变换
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三、复数的运算
1、相等 —— 两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。
2、和、差、积、商（分母不为 0） —— 代数式、三角式、
指数式
,iyxz
z x iy 。
3、共轭复数及运算性质
)Re(22 zxzz ),Im(ziyi? 222 )][Im()][Re(|| zzz z
z
y
xo
y
y?
x
张长华复变函数与积分变换
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四、复数的 n次方根
1
( c os si n ),
22
( c os si n )
( 0,1,1 )
n n
z r i
kk
w z r i
nn
kn
若 则
w n r
0?k
的 n个值恰为以原点为中心，
的内接正 边形的顶点，当 时，
为半径 的圆周
n 0w 称为主值。
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答疑解惑答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；
而复数是无序的，所以不能比较大小。
假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取和加以讨论：
1、复数能否比较大小，为什么？
0,0,0 1 0,i i i i i设 则 得 显 然 矛 盾注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，
可比较大小 。
张长华复变函数与积分变换
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2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？
答：有相同之处，但也有不同之处。
加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。
张长华复变函数与积分变换
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典型例题例 1、判断下列命题是否正确？
（ 1）
（ 2）
（ 3）
7 5 1 2ii
)57a r g ()21a r g ( ii
)57R e ()57I m ( ii
（ × ）
（ ∨ ）
（ × ）
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例 2、求下列复数的模与辐角
（ 1） （ 2）
（ 3） （ 4）
i 3
i23
1
iii 2510 4
n
i
2
31
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 22( 3 ) ( 1 ) 2,
15
a r g( ) a r c ta n
63
z
z
（ 1 ）
223 2 1
1 3 1 3 13z
3
2a r c ta n)a r g (z
,13 2133)23)(23( 2323 1 iii ii（ 2）
张长华复变函数与积分变换
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,3144 102510 iiiiiii
,103)1(|| 22z 3a r c t a n)a r g (z
（ 3）
,1||?z,23)a r g ( knz
(2 3n kk满 足 的 ）
313 c o s s in
2 3 3
n
ii n nei
313 a r g ( ) a r c ta n 3 )
23
ii ez( 模 为 1,
(4)
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23 1 2 1 | | 1x x i x例 化 简,
解法一：配方
ixxixxixx 12)1(121 22222
)1()1( 222 ixxixx
张长华复变函数与积分变换
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解法二：设原式 = 则,ivu?
u v ivuixx 2121 222
,122 vu 122 2 xxuv
联立解得,,所以xu 12 xv
)1(121 22 xxixx
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例 4、求满足下列条件的复数 z：
（ 1）
（ 2） 且
（ 3）
izz 2||
,3 aiz 2|2|z
,
3
)2a r g (z?
6
5)2a r g (z
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z x i y解,（ 1 ） 设,则
22 2x iy x y i
22 32 1,
4x x y y x i
3由,得,故 z=
4
2( 2 ) 3,2 3 2 1 2z a i z a i a则
a? 的 值 为 ( - 3,3 ) 内 任 一 实 数,
故 满 足 条 件 的 z 有 无 穷 多 个,
张长华复变函数与积分变换
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1 1 1
13( 3 ) 2 c o s s in
3 3 2 2z r i r r i
设
2 2 2
5 5 3 12 c o s s in
6 6 2 2z r i r r i
1 1 2 2
1 3 3 122
2 2 2 2z r r i r r i
则张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
0123 zzz
123 zzz
例 5 求方程 的根。并将分解因式。
1)1)(1( 423 zzzzz解 ∵,
1 0 1z0而 的 根 为 z
014z则 的其余三个根即为所求
014z
4
20s in
4
20c o s14 kikz
得由张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
iizk 23s in23c o s,3 3时
0s in0c o s1 i
10s in0cos,0 0 izk 时
iizk 2s in2c o s,1 1时
1s incos,2 2 izk 时
32 1 0,1,z z z i i根 为
32 1 ( ) ( 1 ) ( )z z z z i z z i且张长华复变函数与积分变换
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§ 1.2 复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程
0),(?yxF
)(
)(
tyy
txx
平面曲线有直角坐标方程和参数方程 两种形式。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
i2
zzy,
2
zzx
0),(?yxF
由 代入 知曲线 C的方程可改写成复数形式
0)
2
,
2
(
i
zzzzF
iyxz )()()( tiytxtz
)(tzz?
若令,而,则曲线 C的参数方程等价于复数形式 。
张长华复变函数与积分变换
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1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( )
()
z t x t iy t a t b x t y t
t z t
,连 续 曲 线 — — 设,其 中是 实 变 量 的 连 续 函 数,则 表 示 复 平 面 上 的 连 续 曲 线 C 。
二、简单曲线与光滑曲线
222 [,] [ ( ) ] [ ( ) ] 0
( ) ( ) ( )
t a b x t y t
z t z a z b C
,光 滑 曲 线 － 若 对,有,
则 称 为 光 滑 曲 线 。 称 和 为 曲 线 的 起 点 和 终 点 。
1 2 1 2 1 2 13,( ) ( ) ( )a t b a t b t t z t z t z t C,若 对,当 而 有 ＝ 时,点 称 为 曲 线 的 重 点 。
没 有 重 点 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 或 约 当 （ Jardan ） 曲 线 。
（ 识 别 曲 线 的 类 型 － 教 材 P9 ）
张长华复变函数与积分变换
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三、区域
1、去心邻域 )(
0zN?
3、区域及分类
2、内点与开集区域 —— 连通的开集。
有洞或有瑕点多连通域无瑕点无洞单连通域
—
、—
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
属于 D内的任一条简单闭曲线，在 D内可以经过连续的变形而收缩成一点。
覆盖不可被半径有限的圆域无界域盖可被半径有限的圆域覆有界域
—
—
注：①闭区域 的边界区域 DDD,它不是区域。
② 任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，
称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。
（典型例题见教材
8P
例 1.2.1，例 1.2.2）
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