复变函数与积分变换大学数学教程复变函数与积分变换山东大学网络学院主讲,郑修才复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换初等函数32,
指数函数一,
yieyezf xx s i nc o s)(
1 2 1 2
( ),( ) ( ),
( ) ( ) ( )
xf x e f x f x
f x f x f x x
)(s i nc o s
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zfyieye
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x
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x
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xx
xx
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
)(
)s i n ()c os (
)s i ns i ns i nc os(
s i ns i nc os
)s i nc os)(s i nc os(
)()(
21
2121
2121
211
2211
21
2121
2121
2121
2211
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yyeyyei
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zfzf
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
I m ( ) 0 ( ) xz z x f z e特 别 地,当 即 时复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
1
( ) c o s s in ( c o s s in )
( )
x x xf z e y ie y e y i y
z E x p o n e n tia lf u n c tio n
,定 义称 为 的 指 数 函 数 记 作
()
( c o s s in ) e x p ( ) ( c o s s in )z x x
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w e e y i y z e y i y
类 似 一 元 实 函 数,记 指 数 函 数 为或
yiye
，iyzxz
ekyeA r gee
iy
zzxz
s i nc o s
0)R e (
0,2)(,||
变为欧拉公式时即当注?
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换性质.2
2( 1 ),2z z k ie e T i周 期 性 。 与 实 指 数 函 数 的 区 别 之 一
1
1 2 1 2 1 2
2
( 2 ),,
z
z z z z z z
z
ee e e e
e
1 2 1 2
1
22 ( ) ( ) iz z z z ie e e e
但,未 必 成 立,如
l i mzz zee即 无 乘 幂 的 意 义,且 不 存 在,与 实 指 数 函 数 的 区 别 之 二
3 ( )zzdw eedz（ ） 解 析 性 － － 全 平 面 处 处 解 析 且复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换指数函数的反函数对数函数二 ——、
定义、1 ( 0 )
()
n l n | | a r g ( ) 2
w
e z z w
z L o g a rithm
w L z z i z k i?
推导称满足方程 的 为复数 的对数 函数记作的分支主值对数 02?k—、
l n l n ( ) l n iz | z | i a r g z,L n z z 2 k π
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
3 l n ( ) kz L n z,解 析 性 － 及 均 在除 去 原 点 和 负 实 轴 的 复 平 面 内 解 析
1
1 2 1 2 1 2
2
l n l n l n,l n ( ) l n l n z z z z z z zz但 未 必 成 立运算性质、4
1
1 2 1 2 1 2
2
n ( ) n n,n ( ) n nzL z z L z L z L L z L z
z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换计算举例
2(1 ) | |ze?
2222 || 2 yxxyiyx ee
1
( 2 ) R e ( )ze? 2 2 2 2
( ) )
22Re [ ] c o s
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xy
3 kie（ ） kkik )1(s i nc o s
( 4 ) n ( 3 4 )Li 4l n 5 ( a r c t a n ) 2
3i k i
( 5 ) ln ( )ie? l n | | a r g ( ) 1
2i e i i e i
( 6 ) ln ( )ie? l n | | a r g ( )iie i e i
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换幂函数三,
定义、1
为定义幂函数及对任意复数 zw，z 0
00zz仅 在 为 正 实 数 的 情 形,补 充 规 定,当 时 有
n ( n | | a r g ( ) 2 )L z l z i z k iw z e e
多值性讨论、2
是单值函数为正整数时当 nz，zn)1(
也是单值函数时当 nz，zn 1)2(
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
( 0 )m m n nn(4) 当 和 为互质的整数,时，
个分支—多值 n
( l n 2 )
( 5 ) ( )
( 0,)z k iz e z k
当 为 无 理 数 或 虚 数 非 实 复 数 时,
为 整 数无穷多个—多值
[ a r g ( ) 2 ] /||
m
i m z k nnz z e
nkzinn ezz，z
n
]2)[ a r g (
1
||1)3( 时当复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
—、解析性3
1()
z
zz
的各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析，
且计算举例：
吗？的任何次幂均为 11
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
3 l n 1 2 3 c o s ( 2 3 ) s i n ( 2 3 )kie e k i k
1[ l n 1 2 ] ( 2 )
n 22i i k i ki L ie e e
31
ii
5 n ( 3) 5 ( l n 3 2 ) 53 [ c o s 5 ( 2 1 ) s i n 5 ( 2 1 ) ]L i k ie e k i k
( 1 ) [ l n 2 ( 2 ) ] [ l n 2 2 ( 2 l n 2 ) ]
( 1 ) n ( 1 ) 4 4 4
2
4
11
2 [ c o s( l n 2 ) sin ( l n 2 ) ]
4 2 4 2
i i k k i k
i L i
k
e e e
ei
5)3(?
ii 1)1(
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换三角函数和双曲函数四,
c o s s i n,
c o s s i n
iz
iz
e z i z
e z i z?
将欧拉公式推广到任意复数情形得定义.1 s in,c o s
22
i z i z i z i ze e e e
zz i
性质.2
等差角公式及和角的是的是零点奇偶性周期性
1c oss i n)4(
)
2
1
(c os,s i n—)3(
)2(
2)1(
22
zz、
nzznzz
T
性质以上为类似实三角函数复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
| s i n | 1,| c o s | 1 zz 还 成 立 否？
模的无界性)5(
1
| s in | 1,1 7 5 2 1,2eei
未 必,与 实 三 角 函 数 的 重 要 区 别 !
3,( s i n ) c o s ( c o s ) s i nz z z z解 析 性 － 全 平 面 处 处 解 析 且双曲函数的定义.4
11
( ),( )
22
,c oth
z z z z
shz e e c hz e e
shz c hz
thz z
c hz shz
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换双曲函数的性质.5
( 1 ) ( ),( )s h z c h z c h z s h z 处处解析
( 2 ) z z 2s h c h T i奇 函 数,偶 函 数,都 是 的 周 期 函 数
22
( 3 ) ( ) c o s,c o s( )
( ) sin,sin ( )
1
c h iz z iz c h z
sh iz i z iz ish z
c h z sh z
多值函数数反三角函数与反双曲函五 —、
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换计算举例
3( 1 ) ; ( 2) c os 5
z
ez试求下列函数的周期；
2
2 33
11
2 ( 6 )
3 3 3 3
( 1 ) ( 2 )
6
zz
i
w i w
zz
i z i z
e e T i e e
e e e e i
解又,故 的 周 期 为
( 2 ) c o s( 2 ) c o s c o s( 5 2 ) c o s 5
22c o s( 5 2 ) c o s 5 ( ) c o s 5
55
w w z z
z z z T
又 故复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
21 s i n 1 i ; 2 s i n z?求 下 列 函 数 值
][
2
1)1s i n ()1( )1()1( iiii ee
i
i
]1c os)(1s i n)[(
2
1
)]1s i n1( c os)1s i n1( c os[
2
11
1
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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i
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c o ss i n
)(
2
1
)(
2
1
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2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22
| sin | sin c os
sin ( ) ( c os sin )
sin
z x c h y x sh y
x c h y sh y x x sh y
x sh y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
How beautiful the sea is!
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换初等函数32,
指数函数一,
yieyezf xx s i nc o s)(
1 2 1 2
( ),( ) ( ),
( ) ( ) ( )
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
)(
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21
2121
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I m ( ) 0 ( ) xz z x f z e特 别 地,当 即 时复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
1
( ) c o s s in ( c o s s in )
( )
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,定 义称 为 的 指 数 函 数 记 作
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类 似 一 元 实 函 数,记 指 数 函 数 为或
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0,2)(,||
变为欧拉公式时即当注?
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换性质.2
2( 1 ),2z z k ie e T i周 期 性 。 与 实 指 数 函 数 的 区 别 之 一
1
1 2 1 2 1 2
2
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1
22 ( ) ( ) iz z z z ie e e e
但,未 必 成 立,如
l i mzz zee即 无 乘 幂 的 意 义,且 不 存 在,与 实 指 数 函 数 的 区 别 之 二
3 ( )zzdw eedz（ ） 解 析 性 － － 全 平 面 处 处 解 析 且复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换指数函数的反函数对数函数二 ——、
定义、1 ( 0 )
()
n l n | | a r g ( ) 2
w
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w L z z i z k i?
推导称满足方程 的 为复数 的对数 函数记作的分支主值对数 02?k—、
l n l n ( ) l n iz | z | i a r g z,L n z z 2 k π
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
3 l n ( ) kz L n z,解 析 性 － 及 均 在除 去 原 点 和 负 实 轴 的 复 平 面 内 解 析
1
1 2 1 2 1 2
2
l n l n l n,l n ( ) l n l n z z z z z z zz但 未 必 成 立运算性质、4
1
1 2 1 2 1 2
2
n ( ) n n,n ( ) n nzL z z L z L z L L z L z
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换计算举例
2(1 ) | |ze?
2222 || 2 yxxyiyx ee
1
( 2 ) R e ( )ze? 2 2 2 2
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22Re [ ] c o s
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( 4 ) n ( 3 4 )Li 4l n 5 ( a r c t a n ) 2
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2i e i i e i
( 6 ) ln ( )ie? l n | | a r g ( )iie i e i
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换幂函数三,
定义、1
为定义幂函数及对任意复数 zw，z 0
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n ( n | | a r g ( ) 2 )L z l z i z k iw z e e
多值性讨论、2
是单值函数为正整数时当 nz，zn)1(
也是单值函数时当 nz，zn 1)2(
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
( 0 )m m n nn(4) 当 和 为互质的整数,时，
个分支—多值 n
( l n 2 )
( 5 ) ( )
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当 为 无 理 数 或 虚 数 非 实 复 数 时,
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1
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Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
—、解析性3
1()
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的各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析，
且计算举例：
吗？的任何次幂均为 11
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
3 l n 1 2 3 c o s ( 2 3 ) s i n ( 2 3 )kie e k i k
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31
ii
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( 1 ) [ l n 2 ( 2 ) ] [ l n 2 2 ( 2 l n 2 ) ]
( 1 ) n ( 1 ) 4 4 4
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换三角函数和双曲函数四,
c o s s i n,
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将欧拉公式推广到任意复数情形得定义.1 s in,c o s
22
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性质.2
等差角公式及和角的是的是零点奇偶性周期性
1c oss i n)4(
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22
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性质以上为类似实三角函数复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
| s i n | 1,| c o s | 1 zz 还 成 立 否？
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1
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未 必,与 实 三 角 函 数 的 重 要 区 别 !
3,( s i n ) c o s ( c o s ) s i nz z z z解 析 性 － 全 平 面 处 处 解 析 且双曲函数的定义.4
11
( ),( )
22
,c oth
z z z z
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换双曲函数的性质.5
( 1 ) ( ),( )s h z c h z c h z s h z 处处解析
( 2 ) z z 2s h c h T i奇 函 数,偶 函 数,都 是 的 周 期 函 数
22
( 3 ) ( ) c o s,c o s( )
( ) sin,sin ( )
1
c h iz z iz c h z
sh iz i z iz ish z
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多值函数数反三角函数与反双曲函五 —、
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换计算举例
3( 1 ) ; ( 2) c os 5
z
ez试求下列函数的周期；
2
2 33
11
2 ( 6 )
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解又,故 的 周 期 为
( 2 ) c o s( 2 ) c o s c o s( 5 2 ) c o s 5
22c o s( 5 2 ) c o s 5 ( ) c o s 5
55
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又 故复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
21 s i n 1 i ; 2 s i n z?求 下 列 函 数 值
][
2
1)1s i n ()1( )1()1( iiii ee
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Complex Analysis and Integral Transform
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
How beautiful the sea is!
