复变函数与积分变换大学数学教程复变函数与积分变换山东大学网络学院主讲,郑修才复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换函数解析的充要条件22,
一,问 题 的 解 决 思 路分 析 解 析 函 数 所 具 备 的 特 征,再 推 证 具 备 此 特 征 的 函 数 是 否 解 析可微在点点可导在解析在点
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
12
1 2 2 1
12
21
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()
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u i v a ib x i y i x i y
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复 数 相 等 条 件则令
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21
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换 1 2 1 2
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2 2 2 2
12
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| | | |
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又
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12
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z z i
xy
x y x y z
当 时,等 价 于时,
故 同 理 是 比更 高 阶 的 无 穷 小,
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换处可微且在该点处有在点和式等价于义知由二元实函数微分的定
),(),(
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00 yxyxv
yxu，
,x y y xu v a u v b
()f z u i v此 即 为 函 数 在 点 可 导 的必 要 条 件 （ 也 是 点 解 析 的 必 要 条 件 ）
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换方程 称为 柯西
—— 黎曼 (Cauchy— Riemann)方程 (简称 C-R方程 )
,u v u vx y y x
反之，我们自然要问是否满足以上条件的函数必在点可导呢？ 事实上，该条件也是充分的，于是有 ---
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
0 0 0 0 0 0 0 00 (,) (,) (,) (,)
( ) | | | |x y x y x y x yu v u uf z i ix x x y
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(,) (,)
f z u x y iv x y z
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CR
定 理 函 数 在 点 可 导二 元 函 数 和 在点 处 处 可 导 且 满 足 方 程 。
且此时：
,x y y xu v u v
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
2 5 0P zz
证 明,
必 要 性 前 面 已 经 证 明,下 证 充 分 性 （ 将 证 明 中 的 换 即 可 ） 。
0 0 0(,) (,)u x y v x y z x i y由 和 在 可 微 可 知
12
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0
,
,
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k
x
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u x y x y
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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1 3 2 4
2
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f z z f z u i v
u v u v
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CR
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因 此
根 据 方 程
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1 3 2 4
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uv
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xx
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所 以复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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1,1,
( ) ( )
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f z z f z uv
f z i
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故 当 趋 于 零 时,上 式 右 端 的 最 后 两 项 都 趋 于 零 。
于 是即 在 点 可 导,此 时,
35
( ) D z,D C - R
( ) z,,,,,,( 2,2,1 )
f z u v
f z D P
注,在 内 任 一 点 可 导 在 内 任 一 点 可 微 且 方 程 成 立在 内 任 一 点 解 析 见 教 材 定 理复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换二、举例 ---两种判别法 (定义法,C— R条件判可导）
3 ( ) R e ( ) 0
( 0 ),
f z z z z
f
例 试证明函数 仅在点 可导？
并求
2
2
( ) ( ),
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证 因 为 即
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u v C R x y z
f z z z z f u iv
显 然,处 处 可 微,而 方 程 仅 在 即 处 成 立,所 以仅 在 点 可 导,且 有事 实 上,该 题 也 可 用 导 数 的 定 义 求 证,留 给 读 者 练 习复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
12
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例 设 函 数在 区 域 内 处 处 解 析 且 试 证,
曲 线 族 与 曲 线 族正 交,其 中 和 分 别 为 和在 内 某 点 处 的 函 数 值 。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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如 果 和 在 点 处 都 不 为 零,则 由 隐 函 数的 微 分 法 知,曲 线 和 在 该点 处 的 切 线 斜 率 分 别 为
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x x y y y
y
D f z u i v v i u u
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证 由 于 在 内 因 此和 在 内 任 一 点 不 同 时 为 零复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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C R u v u v
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如 果 或 有 一 个 为 零 的 情 形 另 一 个 必 不 为 零由 条 件 且 可 知,其 切 线 斜 率和 分 别 为 零 和 无 穷 大,这 说 明 上 述 两 条 曲 线在 点 处 也 正 交,
。)y,x(，
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处正交这两条曲线在点因此条件得由函数解析的
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21 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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231
2
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21
22
222
见图必相互正交所以曲线族时当例如
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
。z
，)y,x(iv)y,x(u)z(f
表示量试证它一定能单独用变为解析函数设函数例
5
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证 如果把 代入那么 可看作是两个变量 与 的函数,要 证明 仅依赖于 。
只需证明
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22
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因 为 为 解 析 函 数,故 由 柯 西 黎 曼 方 程 知此 即 为 柯 西 黎 曼 方 程 的 一 种 复 数 形 式 。
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复变函数与积分变换
How beautiful the sea is!
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复变函数与积分变换函数解析的充要条件22,
一,问 题 的 解 决 思 路分 析 解 析 函 数 所 具 备 的 特 征,再 推 证 具 备 此 特 征 的 函 数 是 否 解 析可微在点点可导在解析在点
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当 时,等 价 于时,
故 同 理 是 比更 高 阶 的 无 穷 小,
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复变函数与积分变换处可微且在该点处有在点和式等价于义知由二元实函数微分的定
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换方程 称为 柯西
—— 黎曼 (Cauchy— Riemann)方程 (简称 C-R方程 )
,u v u vx y y x
反之，我们自然要问是否满足以上条件的函数必在点可导呢？ 事实上，该条件也是充分的，于是有 ---
复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
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定 理 函 数 在 点 可 导二 元 函 数 和 在点 处 处 可 导 且 满 足 方 程 。
且此时：
,x y y xu v u v
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复变函数与积分变换
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证 明,
必 要 性 前 面 已 经 证 明,下 证 充 分 性 （ 将 证 明 中 的 换 即 可 ） 。
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复变函数与积分变换
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注,在 内 任 一 点 可 导 在 内 任 一 点 可 微 且 方 程 成 立在 内 任 一 点 解 析 见 教 材 定 理复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换二、举例 ---两种判别法 (定义法,C— R条件判可导）
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例 试证明函数 仅在点 可导？
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显 然,处 处 可 微,而 方 程 仅 在 即 处 成 立,所 以仅 在 点 可 导,且 有事 实 上,该 题 也 可 用 导 数 的 定 义 求 证,留 给 读 者 练 习复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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曲 线 族 与 曲 线 族正 交,其 中 和 分 别 为 和在 内 某 点 处 的 函 数 值 。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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证 由 于 在 内 因 此和 在 内 任 一 点 不 同 时 为 零复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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如 果 或 有 一 个 为 零 的 情 形 另 一 个 必 不 为 零由 条 件 且 可 知,其 切 线 斜 率和 分 别 为 零 和 无 穷 大,这 说 明 上 述 两 条 曲 线在 点 处 也 正 交,
。)y,x(，
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处正交这两条曲线在点因此条件得由函数解析的
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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Complex Analysis and Integral Transform
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因 为 为 解 析 函 数,故 由 柯 西 黎 曼 方 程 知此 即 为 柯 西 黎 曼 方 程 的 一 种 复 数 形 式 。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
How beautiful the sea is!
