张长华复变函数与积分变换大学数学教程山东大学数学院主讲,郑修才张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例 3、求满足下列条件的复数 z：
（ 1）
（ 3）
izz 2||
,
3
)2a r g (z
（ 2） 且
3,z a i 2|2|z
6
5)2a r g (z
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z x i y解,（ 1 ） 设,则
22 2x iy x y i
22 32 1,
4x x y y x i
3由,得,故 z=
4
2( 2 ) 3,2 3 2 1 2z a i z a i a则
a? 的 值 为 ( - 3,3 ) 内 任 一 实 数,
故 满 足 条 件 的 z 有 无 穷 多 个,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 1 1
13( 3 ) 2 c o s s in
3 3 2 2z r i r r i
设
2 2 2
5 5 3 12 c o s s in
6 6 2 2
z r i r r i
1 1 2 2
1 3 3 122
2 2 2 2z r r i r r i
则张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
0123 zzz
123 zzz
例 4 求方程 的根。并将分解因式。
1)1)(1( 423 zzzzz解 ∵,
1 0 1z0而 的 根 为 z
014z则 的其余三个根即为所求
014z
4
20s i n
4
20c o s14 kikz
得由张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
iizk 23s i n23c o s,3 3时
0s in0c o s1 i
10s in0cos,0 0 izk 时
iizk 2s i n2c o s,1 1时
1s incos,2 2 izk 时
32 1 0,1,z z z i i根 为
32 1 ( ) ( 1 ) ( )z z z z i z z i且张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.2 复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程
0),(?yxF
)(
)(
tyy
txx
平面曲线有直角坐标方程和参数方程 两种形式。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
i2
zzy,
2
zzx
0),(?yxF
由 代入 知曲线 C的方程可改写成复数形式
0)
2
,
2
(
i
zzzzF
iyxz )()()( tiytxtz
)(tzz?
若令,而,则曲线 C的参数方程等价于复数形式 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( )
()
z t x t iy t a t b x t y t
t z t
,连 续 曲 线 — — 设,其 中是 实 变 量 的 连 续 函 数,则 表 示 复 平 面 上 的 连 续 曲 线 C 。
二、简单曲线与光滑曲线
222 [,] [ ( ) ] [ ( ) ] 0
( ) ( ) ( )
t a b x t y t
z t z a z b C
,光 滑 曲 线 － 若 对,有,
则 称 为 光 滑 曲 线 。 称 和 为 曲 线 的 起 点 和 终 点 。
1 2 1 2 1 2 13,( ) ( ) ( )a t b a t b t t z t z t z t C,若 对,当 而 有 ＝ 时,点 称 为 曲 线 的 重 点 。
没 有 重 点 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 或 约 当 （ Jardan ） 曲 线 。
（ 识 别 曲 线 的 类 型 － 教 材 P9 ）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、区域
1、去心邻域 )(
0zN?
3、区域及分类
2、内点与开集区域 —— 连通的开集。
有洞或有瑕点多连通域无瑕点无洞单连通域
—
、—
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
属于 D内的任一条简单闭曲线，在 D内可以经过连续的变形而收缩成一点。
覆盖不可被半径有限的圆域无界域盖可被半径有限的圆域覆有界域
—
—
注：①闭区域 的边界区域 DDD,它不是区域。
② 任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。 （典型例题见教材
8P
例 1.2.1,例 1.2.2）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.3 复变函数一、复变函数的概念
1、定义 )( zfw? —— 对于集合 G中给定的
iyxz,总有一个（或几个）确定的复数
ivuw 与之对应，并称 G为定义集合，而
GzzfwwG ),(|* 称为函数值集合 (值域 ).
多值函数单值函数分类 ——
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、复变函数 )( zfw? 与实函数的关系
),(),,(
)(
),(),( yxvvyxuu
zfw
vuyx
wz
f
f
讨论一个复变函数 )z(fw?
研究两个实二元函数
),(
),(
yxv
yxuu
3、复变函数的单值性讨论
(,),(,)u x y v x y对 应 的 两 个 实 二 元 函 数 的 单 值 性 讨 论 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
教材 P12 （例 1.3.2) )0(1 z
zw
是否为单值函数
iyx yyx xyx iyxiyxzivuw 22222211
令,iyxz,ivuw 则
2222,yx
yv
yx
xu
均为单值的实二元函数
)0(1 zzw 是单值函数。故张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
13P
zw?2教材 (例 1.3.3） 是单值函数吗？
2 2 2 2( ) 2,w u i v u v u v i z x i y方 法 一,由 得
yuv
xvu
2
22,均为多值的实二元函数
2
,,x y u y
wz?
对 给 定,存 在 两 组 与 之 对 应,
故 是 多 值 函 数
13P
方法二,见教材张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、映射复变函数的几何图形表示
()y f x x y?实 — 自 变 量 与 因 变 量 都 在 同 一 个 平 面 内 。
其 几 何 描 述,函 数 图 形 为 曲 线 。
( ) (,)
(,)
w f z z x y z
w u v
复 － 自 变 量 的 几 何 描 述 在 平 面 内,
因 变 量 的 几 何 描 述 需 在 另 一 个 平 面 （ w 平 面 ） 内 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
函数 在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集 G （定义域） 变到 w 平面上的一个点集 G*
（值域）的一个映射（或映照）。
;—G—G * 映象象原象的象叫的象叫 GGzw *?
()w f z?注,单 值 函 数 的 反 函 数 存 在 且 为 单 值 函 数 。
*G? 与 G 中的点为一一对应
映射为双射张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
典 型 例 题
2zw?例 1、求 z平面上的下列图形在映射 下的象。
,zr0 1 ；4,40 2 20 r
,Cyx 122 3 ；22 Cxy,x 4,y
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 (1)
xyvyxuzw 2,222
)a r g (2)a r g (,|||| 2 zwzw
乘法的模与辐角定理张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u
v
4i
图 a
4
π20 )(,rrezew ii
,22,40映为虚轴上从点 0到 4i的一段（见图 a ）。
(1)记,则即 w平面内
0,0 2
4
0,0 4
2
r
（ 2 ） 同 理 知,z 平 面 上,
映 为 w 平 面 上 扇 形 域 （ 见 图 b ）,
即
4
图 b
v
u
4i
（ 3）见教材 14P 例 1.3.4（ 3）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
映为x
vu,
（ 4） 将直线建立 所满足的象曲线方程
yv,yu 222 y，消,
)(4 222 uv
是以原点为焦 点，开口向左的抛物线（见图 c1)
v
u
图 c
1 2
)(4 222 uv
其是以原点为焦点,开口向右的抛物线（见图 c2）。
y 22,2u x v x将 线 映为,消 x 得张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22 9xy（ 1 ） 22( 1 ) 1xy（ 2 ）
zw
1?例 2,求下列曲线在映射 下的象解法一 （ 1）
2222,
1
yx
yv
yx
xu
zw?
消 x,y 建立 u,v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u,v),y=y (u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程
9
11
22
22?
yx
vu
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22
111
vu
ivu
ivuiyxwzzw?
（ 2）
22
22
vu
v
y
vu
u
x
2
11)1()( 2
22
2
22
v
vu
v
vu
u
代入原象曲线方程，得
w平面内的一条直线。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解法二
)3||(9 zzz 或
wz,wzzw
111
22 9xy（ 1 ） 将 化 为
911 ww代入原象方程得 91 ww 1|| 3w?（ 或 ）
9
122 vu化为实方程形式
（ 2）留作练习。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 2 2 2
11
3 ( ) ( 1 ) ( 1 )
f z x iy
x y x y
z
例 将 函 数改 写 成 关 于 的 解 析 式,
z
zzf
zz
i
yzzx
1
)(
)(
2
1
,)(
2
1
)(
代入得将共轭法解法一
22
( ) ( )
1 1 1
( ) ( ) ( )
f z x iy
f z x iy x iy z z z
x y z z z
解 法 二 拼 凑 法 将 的 表 达 式 凑 成 的 因 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2
()
0 ( ) ( )
1 1 1
( ) ( 1 ) ( )
y f x z x f z
f x x x f z z
x x z
解 法 三 设 零 法令 得 的 表 达 式,再 以 代 换 得注,象 曲 方 程 与 原 象 曲 线 方 程 的 表 示多 采 用 一 致 形 式,即 要 么 均 为 实 方 程形 式,要 么 均 为 复 数 方 程 的 形 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
结 束
Complex Analysis and Integral Transform
例 3、求满足下列条件的复数 z：
（ 1）
（ 3）
izz 2||
,
3
)2a r g (z
（ 2） 且
3,z a i 2|2|z
6
5)2a r g (z
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z x i y解,（ 1 ） 设,则
22 2x iy x y i
22 32 1,
4x x y y x i
3由,得,故 z=
4
2( 2 ) 3,2 3 2 1 2z a i z a i a则
a? 的 值 为 ( - 3,3 ) 内 任 一 实 数,
故 满 足 条 件 的 z 有 无 穷 多 个,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 1 1
13( 3 ) 2 c o s s in
3 3 2 2z r i r r i
设
2 2 2
5 5 3 12 c o s s in
6 6 2 2
z r i r r i
1 1 2 2
1 3 3 122
2 2 2 2z r r i r r i
则张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
0123 zzz
123 zzz
例 4 求方程 的根。并将分解因式。
1)1)(1( 423 zzzzz解 ∵,
1 0 1z0而 的 根 为 z
014z则 的其余三个根即为所求
014z
4
20s i n
4
20c o s14 kikz
得由张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
iizk 23s i n23c o s,3 3时
0s in0c o s1 i
10s in0cos,0 0 izk 时
iizk 2s i n2c o s,1 1时
1s incos,2 2 izk 时
32 1 0,1,z z z i i根 为
32 1 ( ) ( 1 ) ( )z z z z i z z i且张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.2 复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程
0),(?yxF
)(
)(
tyy
txx
平面曲线有直角坐标方程和参数方程 两种形式。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
i2
zzy,
2
zzx
0),(?yxF
由 代入 知曲线 C的方程可改写成复数形式
0)
2
,
2
(
i
zzzzF
iyxz )()()( tiytxtz
)(tzz?
若令,而,则曲线 C的参数方程等价于复数形式 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( )
()
z t x t iy t a t b x t y t
t z t
,连 续 曲 线 — — 设,其 中是 实 变 量 的 连 续 函 数,则 表 示 复 平 面 上 的 连 续 曲 线 C 。
二、简单曲线与光滑曲线
222 [,] [ ( ) ] [ ( ) ] 0
( ) ( ) ( )
t a b x t y t
z t z a z b C
,光 滑 曲 线 － 若 对,有,
则 称 为 光 滑 曲 线 。 称 和 为 曲 线 的 起 点 和 终 点 。
1 2 1 2 1 2 13,( ) ( ) ( )a t b a t b t t z t z t z t C,若 对,当 而 有 ＝ 时,点 称 为 曲 线 的 重 点 。
没 有 重 点 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 或 约 当 （ Jardan ） 曲 线 。
（ 识 别 曲 线 的 类 型 － 教 材 P9 ）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、区域
1、去心邻域 )(
0zN?
3、区域及分类
2、内点与开集区域 —— 连通的开集。
有洞或有瑕点多连通域无瑕点无洞单连通域
—
、—
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
属于 D内的任一条简单闭曲线，在 D内可以经过连续的变形而收缩成一点。
覆盖不可被半径有限的圆域无界域盖可被半径有限的圆域覆有界域
—
—
注：①闭区域 的边界区域 DDD,它不是区域。
② 任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。 （典型例题见教材
8P
例 1.2.1,例 1.2.2）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.3 复变函数一、复变函数的概念
1、定义 )( zfw? —— 对于集合 G中给定的
iyxz,总有一个（或几个）确定的复数
ivuw 与之对应，并称 G为定义集合，而
GzzfwwG ),(|* 称为函数值集合 (值域 ).
多值函数单值函数分类 ——
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、复变函数 )( zfw? 与实函数的关系
),(),,(
)(
),(),( yxvvyxuu
zfw
vuyx
wz
f
f
讨论一个复变函数 )z(fw?
研究两个实二元函数
),(
),(
yxv
yxuu
3、复变函数的单值性讨论
(,),(,)u x y v x y对 应 的 两 个 实 二 元 函 数 的 单 值 性 讨 论 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
教材 P12 （例 1.3.2) )0(1 z
zw
是否为单值函数
iyx yyx xyx iyxiyxzivuw 22222211
令,iyxz,ivuw 则
2222,yx
yv
yx
xu
均为单值的实二元函数
)0(1 zzw 是单值函数。故张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
13P
zw?2教材 (例 1.3.3） 是单值函数吗？
2 2 2 2( ) 2,w u i v u v u v i z x i y方 法 一,由 得
yuv
xvu
2
22,均为多值的实二元函数
2
,,x y u y
wz?
对 给 定,存 在 两 组 与 之 对 应,
故 是 多 值 函 数
13P
方法二,见教材张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、映射复变函数的几何图形表示
()y f x x y?实 — 自 变 量 与 因 变 量 都 在 同 一 个 平 面 内 。
其 几 何 描 述,函 数 图 形 为 曲 线 。
( ) (,)
(,)
w f z z x y z
w u v
复 － 自 变 量 的 几 何 描 述 在 平 面 内,
因 变 量 的 几 何 描 述 需 在 另 一 个 平 面 （ w 平 面 ） 内 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
函数 在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集 G （定义域） 变到 w 平面上的一个点集 G*
（值域）的一个映射（或映照）。
;—G—G * 映象象原象的象叫的象叫 GGzw *?
()w f z?注,单 值 函 数 的 反 函 数 存 在 且 为 单 值 函 数 。
*G? 与 G 中的点为一一对应
映射为双射张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
典 型 例 题
2zw?例 1、求 z平面上的下列图形在映射 下的象。
,zr0 1 ；4,40 2 20 r
,Cyx 122 3 ；22 Cxy,x 4,y
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 (1)
xyvyxuzw 2,222
)a r g (2)a r g (,|||| 2 zwzw
乘法的模与辐角定理张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u
v
4i
图 a
4
π20 )(,rrezew ii
,22,40映为虚轴上从点 0到 4i的一段（见图 a ）。
(1)记,则即 w平面内
0,0 2
4
0,0 4
2
r
（ 2 ） 同 理 知,z 平 面 上,
映 为 w 平 面 上 扇 形 域 （ 见 图 b ）,
即
4
图 b
v
u
4i
（ 3）见教材 14P 例 1.3.4（ 3）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
映为x
vu,
（ 4） 将直线建立 所满足的象曲线方程
yv,yu 222 y，消,
)(4 222 uv
是以原点为焦 点，开口向左的抛物线（见图 c1)
v
u
图 c
1 2
)(4 222 uv
其是以原点为焦点,开口向右的抛物线（见图 c2）。
y 22,2u x v x将 线 映为,消 x 得张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22 9xy（ 1 ） 22( 1 ) 1xy（ 2 ）
zw
1?例 2,求下列曲线在映射 下的象解法一 （ 1）
2222,
1
yx
yv
yx
xu
zw?
消 x,y 建立 u,v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u,v),y=y (u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程
9
11
22
22?
yx
vu
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22
111
vu
ivu
ivuiyxwzzw?
（ 2）
22
22
vu
v
y
vu
u
x
2
11)1()( 2
22
2
22
v
vu
v
vu
u
代入原象曲线方程，得
w平面内的一条直线。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解法二
)3||(9 zzz 或
wz,wzzw
111
22 9xy（ 1 ） 将 化 为
911 ww代入原象方程得 91 ww 1|| 3w?（ 或 ）
9
122 vu化为实方程形式
（ 2）留作练习。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 2 2 2
11
3 ( ) ( 1 ) ( 1 )
f z x iy
x y x y
z
例 将 函 数改 写 成 关 于 的 解 析 式,
z
zzf
zz
i
yzzx
1
)(
)(
2
1
,)(
2
1
)(
代入得将共轭法解法一
22
( ) ( )
1 1 1
( ) ( ) ( )
f z x iy
f z x iy x iy z z z
x y z z z
解 法 二 拼 凑 法 将 的 表 达 式 凑 成 的 因 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2
()
0 ( ) ( )
1 1 1
( ) ( 1 ) ( )
y f x z x f z
f x x x f z z
x x z
解 法 三 设 零 法令 得 的 表 达 式,再 以 代 换 得注,象 曲 方 程 与 原 象 曲 线 方 程 的 表 示多 采 用 一 致 形 式,即 要 么 均 为 实 方 程形 式,要 么 均 为 复 数 方 程 的 形 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
结 束
