张长华复变函数与积分变换大学数学教程山东大学数学院主讲,郑修才张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
典 型 例 题
2zw?例 1、求 z平面上的下列图形在映射 下的象。
,zr0 1 ；4,40 2 20 r
,Cyx 122 3 ；22 Cxy,x 4,y
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 (1)
xyvyxuzw 2,222
)a r g (2)a r g (,|||| 2 zwzw
乘法的模与辐角定理张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u
v
4i
图 a
4
π20 )(,rrezew ii
,22,40映为虚轴上从点 0到 4i的一段（见图 a ）。
(1)记,则即 w平面内
0,0 2
4
0,0 4
2
r
（ 2 ） 同 理 知,z 平 面 上,
映 为 w 平 面 上 扇 形 域 （ 见 图 b ）,
即
4
图 b
v
u
4i
（ 3）见教材 14P 例 1.3.4（ 3）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
映为x
vu,
（ 4） 将直线建立 所满足的象曲线方程
yv,yu 222 y，消,
)(4 222 uv
是以原点为焦 点，开口向左的抛物线（见图 c1)
v
u
图 c
1 2
)(4 222 uv
其是以原点为焦点,开口向右的抛物线（见图 c2）。
y 22,2u x v x将 线 映为,消 x 得张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22 9xy（ 1 ） 22( 1 ) 1xy（ 2 ）
zw
1?例 2,求下列曲线在映射 下的象解法一 （ 1）
2222,
1
yx
yv
yx
xu
zw?
消 x,y 建立 u,v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u,v),y=y (u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程
9
11
22
22?
yx
vu
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22
111
vu
ivu
ivuiyxwzzw?
（ 2）
22
22
vu
v
y
vu
u
x
2
11)1()( 2
22
2
22
v
vu
v
vu
u
代入原象曲线方程，得
w平面内的一条直线。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解法二
)3||(9 zzz 或
wz,wzzw
111
22 9xy（ 1 ） 将 化 为
911 ww代入原象方程得 91 ww 1|| 3w?（ 或 ）
9
122 vu化为实方程形式
（ 2）留作练习。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 2 2 2
11
3 ( ) ( 1 ) ( 1 )
f z x iy
x y x y
z
例 将 函 数改 写 成 关 于 的 解 析 式,
z
zzf
zz
i
yzzx
1
)(
)(
2
1
,)(
2
1
)(
代入得将共轭法解法一
22
( ) ( )
1 1 1
( ) ( ) ( )
f z x iy
f z x iy x iy z z z
x y z z z
解 法 二 拼 凑 法 将 的 表 达 式 凑 成 的 因 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2
()
0 ( ) ( )
1 1 1
( ) ( 1 ) ( )
y f x z x f z
f x x x f z z
x x z
解 法 三 设 零 法令 得 的 表 达 式,再 以 代 换 得注,象 曲 方 程 与 原 象 曲 线 方 程 的 表 示多 采 用 一 致 形 式,即 要 么 均 为 实 方 程形 式,要 么 均 为 复 数 方 程 的 形 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数的极限一,
§ 1.4 复变函数的极限和连续性定义、1
0
0
0
l i m ( )
( ) ( ),
( )
l i m ( )
zz
zz
f z A
z z f z
A
fz
形 式 与 一 元 实 函 数 的 极 限 一 致,记理 解 与 二 元 多 元 实 函 数 的 极 限 一 致 几 何 描 述对 任 何 的 方 式 路 径,趋 近 于 同 一 个确 定 的 复 数掌 握 判 别 不 存 在 的 方 法张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
0
00
16
0 0 0 0 0
00
( 1.4,1 ) ( ) (,) (,),
,,l i m ( )
l i m (,),l i m (,)
zz
x x x x
y y y y
P f z u x y i v x y
A u i v z x i y f z A
u x y u v x y v
见 教 材 定 理 设则
3,四 则 运 算 法 则 类 似 一 元 实 函 数 的 极 限张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
0
0
0
0
1 ( 1 ) ( ) ( 2 ) l im ( )
( 3 ) l im ( ) ( )
zz
zz
f z f z
f z f z
,定 义 — 存 在 ； 存 在 ；
两 值 相 等,即
0
00
2
( )
(,) (,) (,)
f z z
u x y v x y x y
,存 在 判 别 法 -- 转 化 为 实 函 数 的 连 续 性在 点 连 续 实,虚 部 函 数
,均 在 点 处 连 续 。
复变函数的连续性二,
173 1,4,4P T h,四 则 运 算 性 质 及 复 合 函 数 的 连 续 性 。 见 教 材
4 D,有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 最 大 小 模 存 在 定 理 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 0 1 6 a r g ( )P T z
三,举 例例 １ （ 见 教 材 ） 试 证 在 原 点 和 负 实 轴 上 不 连 续 。
0
0
0
0
0
0
zz
a r g( 0),a r g( ) 0
l i m a r g( )
,l i m a r g( )
l i m a r g ( z ),a r g( )
zz
zz
w z z
z
z y z z
z y z z
z
证 明 无 意 义 在 点 不 连 续 ；
对 负 实 轴 上 任 一 点当 沿 平 行 于 轴 正 向 趋 于 时,
而 当 沿 平 行 于 轴 负 向 趋 于 时不 存 在 函 数 在 负 实 轴 上 不 连 续 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
复 杂 函 数 的 几 何 描 述 — — 映 射 ；难 点复 杂 函 数 的 极 限 概 念 — — 理 解 。
( - ( ) )
()
a r g z
复 数 的 辐 角 主 值 范 围 及 其 确 定 ；
重 点 复 数 代 数 形 式,三 角 式 及 指 数 式 的 互 化 ；
确 定 原 象 在 映 射 下 的 象 或 象 曲 线 方 程 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数；
几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射；
代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是 z平面上集合 G与 w平面上集合 G*之间的一种对应。
121 z z
2
思 考 题,
,如 何 理 解 两 个 复 数 与 乘 积 与 商 的 辐 角 形 式？
,函 数,映 射 和 变 换 是 否 为 同 一 个 概 念？
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
结 束
Complex Analysis and Integral Transform
典 型 例 题
2zw?例 1、求 z平面上的下列图形在映射 下的象。
,zr0 1 ；4,40 2 20 r
,Cyx 122 3 ；22 Cxy,x 4,y
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解 (1)
xyvyxuzw 2,222
)a r g (2)a r g (,|||| 2 zwzw
乘法的模与辐角定理张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u
v
4i
图 a
4
π20 )(,rrezew ii
,22,40映为虚轴上从点 0到 4i的一段（见图 a ）。
(1)记,则即 w平面内
0,0 2
4
0,0 4
2
r
（ 2 ） 同 理 知,z 平 面 上,
映 为 w 平 面 上 扇 形 域 （ 见 图 b ）,
即
4
图 b
v
u
4i
（ 3）见教材 14P 例 1.3.4（ 3）
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
映为x
vu,
（ 4） 将直线建立 所满足的象曲线方程
yv,yu 222 y，消,
)(4 222 uv
是以原点为焦 点，开口向左的抛物线（见图 c1)
v
u
图 c
1 2
)(4 222 uv
其是以原点为焦点,开口向右的抛物线（见图 c2）。
y 22,2u x v x将 线 映为,消 x 得张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22 9xy（ 1 ） 22( 1 ) 1xy（ 2 ）
zw
1?例 2,求下列曲线在映射 下的象解法一 （ 1）
2222,
1
yx
yv
yx
xu
zw?
消 x,y 建立 u,v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u,v),y=y (u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程
9
11
22
22?
yx
vu
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
22
111
vu
ivu
ivuiyxwzzw?
（ 2）
22
22
vu
v
y
vu
u
x
2
11)1()( 2
22
2
22
v
vu
v
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代入原象曲线方程，得
w平面内的一条直线。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解法二
)3||(9 zzz 或
wz,wzzw
111
22 9xy（ 1 ） 将 化 为
911 ww代入原象方程得 91 ww 1|| 3w?（ 或 ）
9
122 vu化为实方程形式
（ 2）留作练习。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 2 2 2
11
3 ( ) ( 1 ) ( 1 )
f z x iy
x y x y
z
例 将 函 数改 写 成 关 于 的 解 析 式,
z
zzf
zz
i
yzzx
1
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代入得将共轭法解法一
22
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1 1 1
( ) ( ) ( )
f z x iy
f z x iy x iy z z z
x y z z z
解 法 二 拼 凑 法 将 的 表 达 式 凑 成 的 因 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2
()
0 ( ) ( )
1 1 1
( ) ( 1 ) ( )
y f x z x f z
f x x x f z z
x x z
解 法 三 设 零 法令 得 的 表 达 式,再 以 代 换 得注,象 曲 方 程 与 原 象 曲 线 方 程 的 表 示多 采 用 一 致 形 式,即 要 么 均 为 实 方 程形 式,要 么 均 为 复 数 方 程 的 形 式,
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数的极限一,
§ 1.4 复变函数的极限和连续性定义、1
0
0
0
l i m ( )
( ) ( ),
( )
l i m ( )
zz
zz
f z A
z z f z
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形 式 与 一 元 实 函 数 的 极 限 一 致,记理 解 与 二 元 多 元 实 函 数 的 极 限 一 致 几 何 描 述对 任 何 的 方 式 路 径,趋 近 于 同 一 个确 定 的 复 数掌 握 判 别 不 存 在 的 方 法张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
0
00
16
0 0 0 0 0
00
( 1.4,1 ) ( ) (,) (,),
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见 教 材 定 理 设则
3,四 则 运 算 法 则 类 似 一 元 实 函 数 的 极 限张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
0
0
0
0
1 ( 1 ) ( ) ( 2 ) l im ( )
( 3 ) l im ( ) ( )
zz
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f z f z
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,定 义 — 存 在 ； 存 在 ；
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00
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,存 在 判 别 法 -- 转 化 为 实 函 数 的 连 续 性在 点 连 续 实,虚 部 函 数
,均 在 点 处 连 续 。
复变函数的连续性二,
173 1,4,4P T h,四 则 运 算 性 质 及 复 合 函 数 的 连 续 性 。 见 教 材
4 D,有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 最 大 小 模 存 在 定 理 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 0 1 6 a r g ( )P T z
三,举 例例 １ （ 见 教 材 ） 试 证 在 原 点 和 负 实 轴 上 不 连 续 。
0
0
0
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z y z z
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证 明 无 意 义 在 点 不 连 续 ；
对 负 实 轴 上 任 一 点当 沿 平 行 于 轴 正 向 趋 于 时,
而 当 沿 平 行 于 轴 负 向 趋 于 时不 存 在 函 数 在 负 实 轴 上 不 连 续 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
复 杂 函 数 的 几 何 描 述 — — 映 射 ；难 点复 杂 函 数 的 极 限 概 念 — — 理 解 。
( - ( ) )
()
a r g z
复 数 的 辐 角 主 值 范 围 及 其 确 定 ；
重 点 复 数 代 数 形 式,三 角 式 及 指 数 式 的 互 化 ；
确 定 原 象 在 映 射 下 的 象 或 象 曲 线 方 程 。
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数；
几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射；
代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是 z平面上集合 G与 w平面上集合 G*之间的一种对应。
121 z z
2
思 考 题,
,如 何 理 解 两 个 复 数 与 乘 积 与 商 的 辐 角 形 式？
,函 数,映 射 和 变 换 是 否 为 同 一 个 概 念？
张长华复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
结 束
