复变函数与积分变换大学数学教程复变函数与积分变换山东大学网络学院主讲,郑修才复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
2
).4(;)(a r g).3(
)](R e [).2(;0)().1(
)(
),(),()(.6
vuzf
zfzf
。zf，
，Dyxivyxuzf：
为常数
为常数
是常数则一 且满足下列条件之内解析在区域如果证明例
( 1 )
( ) 0 0,0,
,( )
u u v v
fz
x y x y
u v f z
证 明,由 导 数 表 达 式 知
所 以 为 常 数 。 故 为 常 数复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
1
2
( 2) Re [ ( ) ] 0
()
0,( ),( )
uu
f z u c
xy
f z C R
vv
v c f z
yx
为 常 数,即
解 析,方 程 成 立
故 常 数 即 为 常 数 。
Czfkzf，zf )(,)(a r g)()3( 证且解析已知
( ) (,) (,),
0,0x y x y
f z u x y i v x y u v
u u v v
需 证 中 的 均 为 常 数即 证复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
( ),
ta n,ta n
x y y x
x y y x
f z u v u v
v u u k u u k
又 解 析,故消
22
2
ta n,( 1 ta n ) 0
0 ( 1 ta n 1 )
x x x
x
u u k k u
u k k
为实数，
C)z(f,vvu yxy 即，代入，得 00
kuvkuv
kuvk
u
v
zf
yyxx t a n,t a n
t a na r c t a n)(a r g
由复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
y
v
v
y
u
x
v
x
v
v
x
u
y
v
RCyxvu
2,2
)4( 2
条件得求偏导数并由和两端分别对
。zf，u
y
u
x
u
，
v
x
v
y
v
y
v
v
为常数故也为常数即从而是常数
)(,0
000)41(
2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
22
7 ( )
( ) ( 4 ) (,) (,),
f z u iv z
u v x y x x y y u x y v x y
例 若 是 的 解 析 函 数,而 且
,试 求 与
22
22
x
22
(,,,
,,,
( ) ( 4 )
4 ( ) ( 2 4 )
4 ( ) ( 4 2 )
x y x y
x
yy
u v u v
u u v v
u v x y x x y y
u v x x y y x y x y
u v x x y y x y x y
解 分 析 ) 欲 求 需 再 列 出 的 另 一 个 方 程或 先 求,再 积 分 而 得 。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
22,,6,3 3x y y x x yu v u v u x y u x y又 联 立 得
2 2 2 2 3 ( ) 3 ( ) 3 3yu x y y u x y x y故 由 得
' 2 3 2 3 ( ) 3,( ) 3y y y y C u x y y C故
Cxxyv 323 同理可得
CCC 21由已知等式可知：
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
33
12
3
3,0,
y z x
f x C i C i x C i x
f z C i z
化 归 技 巧 － － 令 则故
2 3 2 3121,3 3f z f z x y y C i x y x C注,若 求 则
2,( )f z z解 析 函 数 可 化 为 单 独 变 量 表 示如 何 验 证 这 一 结 论?
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
—
11
,
u v v u
zw
r r r r
证 明 柯 西 黎 曼 方 程 的 极 坐 标 形 式 是
平 面 取 极 坐 标,平 面 取 直 角 坐 标 。
拓展练习
c o s,sin,(,),(,)x r y r u u x y v v x y
CR
解 设由 复 合 函 数 的 求 导 法 则 与 直 角 坐 标 下 条 件 可 得
y
u
c osr
x
u
s i nr
y
y
ux
x
uu
y
u
s i n
x
u
c os
r
y
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x
x
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u
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
x
u
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y
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vx
x
vv
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v
u
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v
,
v
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u
，、，、
11
得三式第二四式比较第一
？、
？D，、
：
哪些方法判别函数可导与解析有内呢在区域有何不同函数在一点可导与解析拓展思考
2
1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换初等函数32,
指数函数一,
yieyezf xx s i nc o s)(
1 2 1 2
( ),( ) ( ),
( ) ( ) ( )
xf x e f x f x
f x f x f x x
)(s i nc o s
)s i n()c o s()(
zfyieye
ye
x
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x
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xx
xx
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
)(
)s i n ()c os (
)s i ns i ns i nc os(
s i ns i nc os
)s i nc os)(s i nc os(
)()(
21
2121
2121
211
2211
21
2121
2121
2121
2211
zzf
yyieyye
yyeyyei
yyeye
yieyeyieye
zfzf
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
I m ( ) 0 ( ) xz z x f z e特 别 地,当 即 时复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
1
( ) c o s s in ( c o s s in )
( )
x x xf z e y ie y e y i y
z E x p o n e n tia lf u n c tio n
,定 义称 为 的 指 数 函 数 记 作
()
( c o s s in ) e x p ( ) ( c o s s in )z x x
fz
w e e y i y z e y i y
类 似 一 元 实 函 数,记 指 数 函 数 为或
yiye
，iyzxz
ekyeA r gee
iy
zzxz
s i nc o s
0)R e (
0,2)(,||
变为欧拉公式时即当注?
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换性质.2
2( 1 ),2z z k ie e T i周 期 性 。 与 实 指 数 函 数 的 区 别 之 一
2 21
2
1
2121,e
e
e,eee zz
z
z
zzzz
1 2 1 2
1
22 ( ) ( ) iz z z z ie e e e
但,未 必 成 立,如
l i mzz zee即 无 乘 幂 的 意 义,且 不 存 在,与 实 指 数 函 数 的 区 别 之 二
3 ( )zzdw eedz（ ） 解 析 性 － － 全 平 面 处 处 解 析 且复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换指数函数的反函数对数函数二 ——、
定义、1 ( 0 )
()
n l n | | a r g ( ) 2
w
e z z w
z L o g a r i t h m
w L z z i z k i?
称 满 足 方 程 的 为复 数 的 对 数 函 数记 作 推 导的分支主值对数 02?k—、
l n l n l n iz | z | i a r g ( z ),L n z z 2 k π
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
3 l n ( ) kz L n z,解 析 性 － 及 均 在除 去 原 点 和 负 实 轴 的 复 平 面 内 解 析
1
1 2 1 2 1 2
2
l n l n l n,l n ( ) l n l n z z z z z z zz但 未 必 成 立运算性质、4
1
1 2 1 2 1 2
2
n ( ) n n,n ( ) n nzL z z L z L z L L z L z
z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换计算举例
2(1 ) | |ze?
2222 || 2 yxxyiyx ee
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( 5 ) ln ( )ie? l n | | a r g ( ) 1
2i e i i e i
( 6 ) ln ( )ie? l n | | a r g ( )iie i e i
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
How beautiful the sea is!
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
2
).4(;)(a r g).3(
)](R e [).2(;0)().1(
)(
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是常数则一 且满足下列条件之内解析在区域如果证明例
( 1 )
( ) 0 0,0,
,( )
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证 明,由 导 数 表 达 式 知
所 以 为 常 数 。 故 为 常 数复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
1
2
( 2) Re [ ( ) ] 0
()
0,( ),( )
uu
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为 常 数,即
解 析,方 程 成 立
故 常 数 即 为 常 数 。
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需 证 中 的 均 为 常 数即 证复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
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又 解 析,故消
22
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由复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
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2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
22
7 ( )
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例 若 是 的 解 析 函 数,而 且
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解 分 析 ) 欲 求 需 再 列 出 的 另 一 个 方 程或 先 求,再 积 分 而 得 。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
22,,6,3 3x y y x x yu v u v u x y u x y又 联 立 得
2 2 2 2 3 ( ) 3 ( ) 3 3yu x y y u x y x y故 由 得
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Cxxyv 323 同理可得
CCC 21由已知等式可知：
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
33
12
3
3,0,
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
—
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得三式第二四式比较第一
？、
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换初等函数32,
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Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
1
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( )
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换性质.2
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3 ( )zzdw eedz（ ） 解 析 性 － － 全 平 面 处 处 解 析 且复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换指数函数的反函数对数函数二 ——、
定义、1 ( 0 )
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n l n | | a r g ( ) 2
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称 满 足 方 程 的 为复 数 的 对 数 函 数记 作 推 导的分支主值对数 02?k—、
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
3 l n ( ) kz L n z,解 析 性 － 及 均 在除 去 原 点 和 负 实 轴 的 复 平 面 内 解 析
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l n l n l n,l n ( ) l n l n z z z z z z zz但 未 必 成 立运算性质、4
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1 2 1 2 1 2
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换计算举例
2(1 ) | |ze?
2222 || 2 yxxyiyx ee
1( 2 ) R e ( )
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2 2 2 2( ) )
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How beautiful the sea is!
