复变函数与积分变换大学数学教程复变函数与积分变换山东大学网络学院主讲,郑修才复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换第二章 解析函数
2.1 解析函数的概念
2.2 函数解析的充要条件
2.3 初等函数复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
2,1 解 析 函 数 的 概 念一,复变函数的导数
1.导数定义 —— 形式上与一元实函数相同 (见教材 P21)；
2.求导举例 —— 关键是复变函数的理解、掌握和计算；
3.求导法则 —— 类似一元函数 (见 P22)；
4.可导与连续的关系 —— 可导 连续。
复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换可微 可导 连续 有定义极限存在二,复变函数的微分
1、定义
2、微分与导数的区别与联系 —
,同生死，共存亡”。
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复变函数与积分变换
1
()
()
f z D D
f z D
23,定 义 （ 见 教 材 P ）
若 在 区 域 内 每 一 点 都 解 析 时,简 称 它 在 区 域 内 解 析或 称 是 的 一 个 解 析 函 数 （ 全 纯 函 数 或 正 则 函 数 ）
三、解析函数的概念
3、函数解析与可导的关系区别 —— 概念不同联系 —— 解析点必是可导点，反之不然。
2 ( )fz,奇 点 － － 的 非 解 析 点
()D f z D区 域 内 的 等 价 性 － － 当 在 某 区 域 内 处 处 可 导 时,可 导 解 析 。
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复变函数与积分变换四、求导举例
00
( ) ( ) I m ( ) I m ( )( ) l im l im
zz
f z z f z z z zfz
zz


00l im l imzz
y y y y
z x i y


∵解当 时，0 ( 0,0 )z x y
0
l im 0
z
y
x i y


1 ( ) I m ( )f z z?例 讨 论 函 数 的 可 导 性
∴ 不存在，即处处不可导。
0
l im
z
y
x i y

0
1l im 0
z
y
x i y i


当 时，0 ( 0,0 )z x y
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复变函数与积分变换例 2 判断下列命题正确性
(1)若函数在某点不可导，则该点必为函数的奇点。
( )
(2)若点为函数的奇点，则点必为函数的不可导点。
( )
(3)函数在某点不解析是在该点不可导的充分条件。
( )×
√
×
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复变函数与积分变换五、解析函数的运算性质 ——
解析函数的＋、－,×,÷ 及复合函数仍为解析函数。
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复变函数与积分变换函数解析的充要条件22,
一,问 题 的 解 决 思 路分 析 解 析 函 数 所 具 备 的 特 征,再 推 证 具 备 此 特 征 的 函 数 是 否 解 析可微在点点可导在解析在点
0
000
z)z(fw
z)z(fz)z(f

)0)(()()(
)()(
0
00


zzzzzf
zfzzfw

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复变函数与积分变换
12
1 2 2 1
12
21
( ) ( ) ( ) ( )
()
@
u i v a ib x i y i x i y
a x b y x y i b x a y x y
u a x b y x y
v b x a y x y








复 数 相 等 条 件则令
,i)z(
,viuw,yixz,iba)z(f
21
0


复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换 1 2 1 2
22
12
2 2 2 2
12
||
|| ( ) ( )
| | | |
| | | |
( ) ( ) ( ) ( )
| | | |
x y x y
z xy
xy
x y x y









又
12
12
1 2 2 1
0 ( ) 0
0,0 0,0
( ) | |
z z i
xy
x y x y z






当 时,等 价 于时,
故 同 理 是 比更 高 阶 的 无 穷 小,
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复变函数与积分变换处可微且在该点处有在点和式等价于义知由二元实函数微分的定
),(),(
),(@
00 yxyxv
yxu，
,x y y xu v a u v b
()f z u i v此 即 为 函 数 在 点 可 导 的必 要 条 件 （ 也 是 点 解 析 的 必 要 条 件 ）
复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换方程 称为 柯西
—— 黎曼 (Cauchy— Riemann)方程 (简称 C-R方程 )
,u v u vx y y x
反之，我们自然要问是否满足以上条件的函数必在点可导呢？ 事实上，该条件也是充分的，于是有 ---
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复变函数与积分变换
0 0 0 0 0 0 0 00 (,) (,) (,) (,)
( ) | | | |x y x y x y x yu v u uf z i ix x x y
0
0 0 0
2,2,1 * ( ) (,) (,)
(,) (,)
f z u x y iv x y z
u x y v x y z x iy
CR


定 理 函 数 在 点 可 导二 元 函 数 和 在点 处 处 可 导 且 满 足 方 程 。
且此时：
,x y y xu v u v
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复变函数与积分变换
2 5 0P zz
证 明,
必 要 性 前 面 已 经 证 明,下 证 充 分 性 （ 将 证 明 中 的 换 即 可 ） 。
0 0 0(,) (,)u x y v x y z x i y由 和 在 可 微 可 知
12
34
0
0
,
,
l i m 0 ( 1,2,3,4)
k
x
y
uu
u x y x y
xy
vv
v x y x y
xy
k











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复变函数与积分变换
00
1 3 2 4
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
f z z f z u i v
u v u v
i x i y i x i y
x x y y
CR
u v v v u
i
y x x y x








因 此 　
根 据 方 程
00
1 3 2 4
00
1 3 2 4
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f z z f z
uv
i x i y i x i y
xx
f z z f z u v x y
i i i
z x x z z









所 以复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
0() x x y y x y y xf z u iv v iu u iu v iv
00
0
0
0
1,1,
( ) ( )
( ) l im
()
z
xy
z
zz
f z z f z uv
f z i
z x x
f z z







故 当 趋 于 零 时,上 式 右 端 的 最 后 两 项 都 趋 于 零 。
于 是即 在 点 可 导,此 时,
35
( ) D z,D C - R
( ) z,,,,,,( 2,2,1 )
f z u v
f z D P
注,在 内 任 一 点 可 导 在 内 任 一 点 可 微 且 方 程 成 立在 内 任 一 点 解 析 见 教 材 定 理复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
How beautiful the sea is!