一、样本空间 样本点三、随机事件间的关系及运算二、随机事件的概念四、小结第二节 样本空间、随机事件问题 随机试验的结果?
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间,记为 S,
样本空间的元素,即试验 E 的每一个结果,称为样本点,
实例 1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况,
}.,{1 THS?
一、样本空间 样本点字面朝上?H
花面朝上?T
实例 2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
}.6,5,4,3,2,1{2?S
实例 3 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况,
}.,,,
,,,,{3
DD DDN DDD NND D
DN NND NNN DNN NS?则
.,次品正品记 DN
实例 4 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数,
}.,2,1,0{4S
实例 5 考察某地区 12月份的平均气温,
}.{ 215 TtTtS
,为平均温度其中 t
实例 6 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命,
}.0{6 ttS
.t 的寿命为灯其中 泡实例 7 记录某城市 120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数,
.},2,1,0{7S
答案
}.18,,5,4,3{,1S
}.,12,11,10{,2S
写出下列随机试验的样本空间,
1,同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和,
2,生产产品直到得到 10件正品,记录生产产品的总件数,
课堂练习
2,同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空 间也不同,
例如 对于同一试验,,将一枚硬币抛掷三次,,若观察正面 H、反面 T 出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为
.}3,2,1,0{?S
}.,,,
,,,,{
TTTT H TTTHH T T
T H HH T HH H TH H HS?
说明 1,试验不同,对应的样本空间也不同,
说明 3,建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型,因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题,
例如 只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面 的模型,也可以作为产品检验中 合格 与 不合格 的模型,又能用于排队现象中 有人排队 与 无人排队 的模型等,
},{ THS?
所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间,
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件,简称事件,
试验中,骰子“出现 1点”,“出现 2点”,…,,出现 6点”,
“点数不大于 4”,“点数为偶数” 等都为随机事件,
实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
1,基本概念二、随机事件的概念实例 上述试验中,点数不大于 6” 就是必然事件,
必然事件 随机试验中必然会出现的结果,
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果,
实例 上述试验中,点数大于 6” 就是不可能事件,
必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为 对立事件,
实例,出现 1点”,“出现 2点”,…,,出现 6点”,
基本事件 由一个样本点组成的单点集,
2,几点说明例如 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
可设 A =,点数不大于 4”,
B =,点数为奇数” 等等,
(1) 随机事件可简称为事件,并以大写英文字母
A,B,C,来表示事件?
(2) 随机试验,样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件,
随机试验 样本空间 子集 随机事件随机事件?
基本事件必然事件不可能事件复合事件
互为对立事件
.),2,1
(,,,
的子集是而的样本空间为设试验
S
kABASE k
1,包含关系 若事件 A 出现,必然导致 B 出现,
则称事件 B 包含事件 A,记作,BAAB 或实例,长度不合格” 必然导致,产品不合格”所以“产品不合格” 包含“长度不合格”,
图示 B 包含 A,SBA
三、随机事件间的关系及运算
2,A等于 B 若事件 A 包含事件 B,而且事件
B 包含事件 A,则称事件 A 与事件 B 相等,记作
A=B.
3,事件 A 与 B 的并 (和事件 )
.
} {
和事件的事件与称为事件或事件
B
ABxAxxBA
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此,产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并,
图示事件 A 与 B 的并,SB
ABA?;,,,21
1
的和事件个事件为称推广 nkn
k
AAAnA
4,事件 A 与 B 的交 (积事件 )
.ABBA 或积事件也可记作?
.,,21
1
的和事件为可列个事件称 AAA k
k
,
}{
积事件的与事件称为事件且事件
BA
BxAxxBA
图示事件 A与 B的积 事件,
S
A BAB
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此,产品合格,是
,长度合格,与,直径合格,的交或积事件,
和事件与积事件的运算性质
,AAA,SS,AA
,AAA,AS,;,,,21
1
的积事件个事件为称推广 n
n
k
k AAAnA
.,,21
1
的积事件为可列个事件称 AAA
k
k
5,事件 A 与 B 互不相容 (互斥 )
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现,B
出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与 B互不相容,即
. ABBA?
实例 抛掷一枚硬币,“出现花面” 与,出现字面”
是互不相容的两个事件,
“骰子出现 1点”,骰子出现 2点”
图示 A 与 B 互斥,
S
A B
互斥实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
6,事件 A 与 B 的差由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的事件称为事件 A 与 B 的差,记作 A- B.
图示 A 与 B 的差,
S
A B
SA
B
AB?
AB?
B? BA?
实例,长度合格但直径不合格,是,长度合格,
与,直径合格,的差,
设 A 表示“事件 A 出现”,则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的 对立事件或逆事件,记作,A
实例,骰子出现 1点”,骰子不出现 1点”
图示 A 与 B 的对立,
S
B A?
若 A 与 B 互逆,则有, ABSBA 且?
A
7,事件 A 的对立事件对立对立事件与互斥事件的区别
S SA B A B A?
A,B 对立A,B 互斥
ABSBA 且AB
互 斥 对 立事件间的运算规律
.,)1( BAABABBA交换律
),()()2( CBACBA结合律
,)()()(
)3(
BCACCBCACBA
分配律
.,:(4 ) BABABABA 摩根律德则有为事件设,,,CBA
).()( BCACAB?
).)(()()()( CBCACBCACBA
例 1 设 A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用 A,B,C 表示出来,
(1) A 出现,B,C 不出现 ;
(5) 三个事件都不出现 ;
(2) A,B都出现,C 不出现 ;
(3) 三个事件都出现 ;
(4) 三个事件至少有一个出现 ;
(6) 不多于一个事件出现 ;
(7) 不多于两个事件出现 ;
(8) 三个事件至少有两个出现 ;
(9) A,B 至少有一个出现,C 不出现 ;
(10) A,B,C 中恰好有两个出现,
解 ;)1( CBA ;)2( CAB ;)3( ABC;)4( CBA ;)5( CBA;)8( BCACBACABABC;)()9( CBA?
.)10( BCACBACAB;ABC或;)6( CBACBACBACBA
,
)7(
BCACBA
CABCBACBACBACBA
(1)没有一个是次品 ; (2)至少有一个是次品 ;
(3)只有一个是次品 ; (4)至少有三个不是次品 ;
(5)恰好有三个是次品 ; (6)至多有一个是次品,
解 ;)1( 4321 AAAA
:
,)4,3,2,1(
,
示下列各事件表试用个零件是正品产的第表示他生零件设一个工人生产了四个
i
i
Aii
A
2例
4321432143214321)2( AAAAAAAAAAAAAAAA
4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA
43214321 AAAAAAAA 43214321 AAAAA
43214321 AAAAAAAA,4321 AA?;4321 AAAA或;)3( 4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA
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)5(
4321
432143214321
AAAA
AAAAAAAAAAAA
.
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4321
4321432143214321
AAAA
AAAAAAAAAAAAAAAA
随机试验 样本空间 子集 随机事件随机事件?
基本事件必然事件不可能事件复合事件四、小结
1,随机试验,样本空间与随机事件的关系
2,概率论与集合论之间的对应关系记号 概率论 集合论
S 样本空间，必然事件 空间
不可能事件 空集
e 基本事件 元素
A 随机事件 子集
A A的对立事件 A的补集
BA? A出现必然导致 B出现 A是 B的子集
BA? 事件 A与事件 B相等 集合 A与集合 B相等
BA? 事件 A与事件 B的差 A与 B两集合的差集
AB 事件 A与 B互不相容 A与 B 两集合中没有相同的元素
BA? 事件 A与事件 B的和 集合 A与集合 B的并集
AB 事件 A与事件 B的积事件 集合 A与集合 B的交集
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间,记为 S,
样本空间的元素,即试验 E 的每一个结果,称为样本点,
实例 1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况,
}.,{1 THS?
一、样本空间 样本点字面朝上?H
花面朝上?T
实例 2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
}.6,5,4,3,2,1{2?S
实例 3 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况,
}.,,,
,,,,{3
DD DDN DDD NND D
DN NND NNN DNN NS?则
.,次品正品记 DN
实例 4 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数,
}.,2,1,0{4S
实例 5 考察某地区 12月份的平均气温,
}.{ 215 TtTtS
,为平均温度其中 t
实例 6 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命,
}.0{6 ttS
.t 的寿命为灯其中 泡实例 7 记录某城市 120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数,
.},2,1,0{7S
答案
}.18,,5,4,3{,1S
}.,12,11,10{,2S
写出下列随机试验的样本空间,
1,同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和,
2,生产产品直到得到 10件正品,记录生产产品的总件数,
课堂练习
2,同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空 间也不同,
例如 对于同一试验,,将一枚硬币抛掷三次,,若观察正面 H、反面 T 出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为
.}3,2,1,0{?S
}.,,,
,,,,{
TTTT H TTTHH T T
T H HH T HH H TH H HS?
说明 1,试验不同,对应的样本空间也不同,
说明 3,建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型,因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题,
例如 只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面 的模型,也可以作为产品检验中 合格 与 不合格 的模型,又能用于排队现象中 有人排队 与 无人排队 的模型等,
},{ THS?
所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间,
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件,简称事件,
试验中,骰子“出现 1点”,“出现 2点”,…,,出现 6点”,
“点数不大于 4”,“点数为偶数” 等都为随机事件,
实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
1,基本概念二、随机事件的概念实例 上述试验中,点数不大于 6” 就是必然事件,
必然事件 随机试验中必然会出现的结果,
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果,
实例 上述试验中,点数大于 6” 就是不可能事件,
必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为 对立事件,
实例,出现 1点”,“出现 2点”,…,,出现 6点”,
基本事件 由一个样本点组成的单点集,
2,几点说明例如 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
可设 A =,点数不大于 4”,
B =,点数为奇数” 等等,
(1) 随机事件可简称为事件,并以大写英文字母
A,B,C,来表示事件?
(2) 随机试验,样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件,
随机试验 样本空间 子集 随机事件随机事件?
基本事件必然事件不可能事件复合事件
互为对立事件
.),2,1
(,,,
的子集是而的样本空间为设试验
S
kABASE k
1,包含关系 若事件 A 出现,必然导致 B 出现,
则称事件 B 包含事件 A,记作,BAAB 或实例,长度不合格” 必然导致,产品不合格”所以“产品不合格” 包含“长度不合格”,
图示 B 包含 A,SBA
三、随机事件间的关系及运算
2,A等于 B 若事件 A 包含事件 B,而且事件
B 包含事件 A,则称事件 A 与事件 B 相等,记作
A=B.
3,事件 A 与 B 的并 (和事件 )
.
} {
和事件的事件与称为事件或事件
B
ABxAxxBA
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此,产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并,
图示事件 A 与 B 的并,SB
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1
的和事件个事件为称推广 nkn
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4,事件 A 与 B 的交 (积事件 )
.ABBA 或积事件也可记作?
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积事件的与事件称为事件且事件
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图示事件 A与 B的积 事件,
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实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此,产品合格,是
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和事件与积事件的运算性质
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的积事件个事件为称推广 n
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k AAAnA
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1
的积事件为可列个事件称 AAA
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5,事件 A 与 B 互不相容 (互斥 )
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现,B
出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与 B互不相容,即
. ABBA?
实例 抛掷一枚硬币,“出现花面” 与,出现字面”
是互不相容的两个事件,
“骰子出现 1点”,骰子出现 2点”
图示 A 与 B 互斥,
S
A B
互斥实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数,
6,事件 A 与 B 的差由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的事件称为事件 A 与 B 的差,记作 A- B.
图示 A 与 B 的差,
S
A B
SA
B
AB?
AB?
B? BA?
实例,长度合格但直径不合格,是,长度合格,
与,直径合格,的差,
设 A 表示“事件 A 出现”,则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的 对立事件或逆事件,记作,A
实例,骰子出现 1点”,骰子不出现 1点”
图示 A 与 B 的对立,
S
B A?
若 A 与 B 互逆,则有, ABSBA 且?
A
7,事件 A 的对立事件对立对立事件与互斥事件的区别
S SA B A B A?
A,B 对立A,B 互斥
ABSBA 且AB
互 斥 对 立事件间的运算规律
.,)1( BAABABBA交换律
),()()2( CBACBA结合律
,)()()(
)3(
BCACCBCACBA
分配律
.,:(4 ) BABABABA 摩根律德则有为事件设,,,CBA
).()( BCACAB?
).)(()()()( CBCACBCACBA
例 1 设 A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用 A,B,C 表示出来,
(1) A 出现,B,C 不出现 ;
(5) 三个事件都不出现 ;
(2) A,B都出现,C 不出现 ;
(3) 三个事件都出现 ;
(4) 三个事件至少有一个出现 ;
(6) 不多于一个事件出现 ;
(7) 不多于两个事件出现 ;
(8) 三个事件至少有两个出现 ;
(9) A,B 至少有一个出现,C 不出现 ;
(10) A,B,C 中恰好有两个出现,
解 ;)1( CBA ;)2( CAB ;)3( ABC;)4( CBA ;)5( CBA;)8( BCACBACABABC;)()9( CBA?
.)10( BCACBACAB;ABC或;)6( CBACBACBACBA
,
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BCACBA
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(1)没有一个是次品 ; (2)至少有一个是次品 ;
(3)只有一个是次品 ; (4)至少有三个不是次品 ;
(5)恰好有三个是次品 ; (6)至多有一个是次品,
解 ;)1( 4321 AAAA
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2例
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4321432143214321
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AAAAAAAAAAAAAAAA
随机试验 样本空间 子集 随机事件随机事件?
基本事件必然事件不可能事件复合事件四、小结
1,随机试验,样本空间与随机事件的关系
2,概率论与集合论之间的对应关系记号 概率论 集合论
S 样本空间，必然事件 空间
不可能事件 空集
e 基本事件 元素
A 随机事件 子集
A A的对立事件 A的补集
BA? A出现必然导致 B出现 A是 B的子集
BA? 事件 A与事件 B相等 集合 A与集合 B相等
BA? 事件 A与事件 B的差 A与 B两集合的差集
AB 事件 A与 B互不相容 A与 B 两集合中没有相同的元素
BA? 事件 A与事件 B的和 集合 A与集合 B的并集
AB 事件 A与事件 B的积事件 集合 A与集合 B的交集
