一、等可能概型二、典型例题三、几何概率四、小结第四节 等可能概型 (古典概型 )
,
,)2(; )1(
古典概型验称为等可能概型或具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发有限个元素试验的样本空间只包含
1,定义一、等可能概型 (古典概型 )
设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成,A
为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点,则事件 A 出现的概率记为,
2,古典概型中事件概率的计算公式
.)( 样本点总数所包含样本点的个数AnmAP
称此为概率的古典定义,
3,古典概型的基本模型,摸球模型
(1) 无放回地摸球问题 1 设袋中有 4 只白球和 2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出 2只球,求这 2只球都是白球的概率,
解 },2{ 只球都是白球摸得设?A
基本事件总数为,2
6?
A 所包含 基本事件的个数为,2
4?
2
6
2
4)( AP故
.52?
(2) 有放回地摸球问题 2 设袋中有 4只红球和 6只黑球,现从袋中有放回地摸球 3次,求前 2次摸到 黑球,第 3次摸到红球的概率,
解 }3,2{ 次摸到红球第次摸到黑球前设?A
第 1次摸球 10种第 2次摸球 种第 3 种
6种第 1次摸到黑球 种第 2次摸到黑球4种第 3次摸到红球基本事件总数为,10101010 3
A 所包含 基本事件的个数为,466
310
466)(AP故,144.0?
课堂练习
1o 电话号码问题 在 7位数的电话号码中,第一位不能为 0，求数字 0出现 3次的概率,
2o 骰子问题 掷 3颗均匀骰子,求点数之和为 4的概率,
)109913619:( 633
p答案
)63:( 3?p答案
4.古典概型的基本模型,球放入杯子模型
(1)杯子容量无限问题 1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第 1,2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球,
3 3 3 3
4个球放到 3个杯子的所有放法,33333 4 种
个2
种?
2
4
个2
种?
2
2
因此第 1,2个杯子中各有两个球的概率为
43
2
2
2
4?
p
.272?
(2) 每个杯子只能放一个球问题 2 把 4个球放到 10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第 1 至第 4个杯子各放一个球的概率,
解 第 1至第 4个杯子各放一个球的概率为
4
10
4
4
p
p?p
78910
1234
.2101?
2o 生日问题 某班有 20个学生都是同一年出生的,求有 10个学生生日是 1月 1日,另外 10个学生生日是
12月 31日的概率,
)92:(答案
)36510101020:( 20?
p答案课堂练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五 3人等可能地分配到 3 间房中去,试求每个房间恰有 1人的概率,
解
}.,,,,,,,{ T T TT T HT H TH T TT H HH T HH H TH H HS?则
}.,,{1 TTHT H TH T TA?而,83)( 1?AP得
}.,,,,,,{)2( 2 T T HT H TH T TT H HH T HH H TH H HA?
.87)( 2?AP因此
).(,
)2().(,
)1(.
2
21
1
AP
AAP
A
求次出现正面”
“至少有一为设事件求”次出现正面为“恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次
.,)1( 为出现反面为出现正面设 TH
二、典型例题
1例在 N 件产品中抽取 n件,其中恰有 k 件次品的取法共有,种?
kn
DN
k
D
于是所求的概率为,
n
N
kn
DN
k
Dp
解 在 N件产品中抽取 n件的所有可能取法共有
,种?
n
N
)(,
,,
件次品的概率是多少问其中恰有件今从中任取件次品其中有件产品设有
Dkkn
DN
2例例 3 在 1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
设 A 为事件“取到的数能被 6整除”,B为事件
“取到的数能被 8整除”，则所求概率为 ).( BAP
)()( BAPBAP )(1 BP
) },()()({1 ABPBPAP
解
,33462000333因为,2000333)(?AP所以
,8424200083由于,2 0 0 083)(?ABP得于是所求概率为
)( BAP
2 00 0832 00 02 502 00 03 331
)}()()({1 ABPBPAP
.43?
.2 0 0 0250)(?BP故得,25082 0 0 0?由于例 4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这 15名新生中有 3名是优秀生,问 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数,
5
5
5
10
5
15,
!5!5!5
!15?
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
.)!4!4!4()!12!3( 种?
因此所求概率为
!5!5!5
!15
!4!4!4
!12!3
1
p,
91
25?
(2)将 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 3种,
对于每一种分法,其余 12名新生的分法有,!5!5!2 !12 种因此 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
,)!5!5!2()!123( 种? 因此所求概率为
!5!5!5
!15
!5!5!2
!123
2
p,
91
6?
例 5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的,
假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,
解周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
.712种
1 2 3 4 12?7 7 7 7 7?
故一周内接待 12 次来访共有
.212种
12
12
7
2?p,30 0 00 0 0.0?
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的,
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
1 2 3 4 12?2 2 2 2?
12 次接待都是在周二和周四进行的共有故 12 次接待都是在周二和周四进行的概率为例 6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,求 64 个人中至少有 2人生日相同的概率,
64 个人生日各不相同的概率为
.3 6 5 )1643 6 5( 3 6 43 6 5 641p
故 64 个人中至少有 2人生日相同的概率为
643 6 5
)1643 6 5( 3 6 43 6 51p,997.0?
解率为概他们的生日各不相同的个人随机选取,)365(?n
.365 )1365(364365 n np
日相同的概率为个人中至少有两个人生而 n
.3 6 5 )13 6 5(3 6 43 6 51 n np
说明我们利用软件包进行数值计算,
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度,面积,体积 ) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
.)( SSAP A?
说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,
就归结为几何概型,
三、几何概型
.
.)
,(
几何概型定的概率称为量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量的子是构成事件是样本空间的度量其中 ASS A
那么,0,0 TyTx
两人会面的充要条件为,tyx
例 7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定地点会面,先到的人等候另一个人,经过时间 t
( t<T ) 后离去,设每人在 0 到 T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连,求甲、乙两人能会面的概率,
会面问题解
,
,
时刻的分别为甲、乙两人到达设 yx
故所求的概率为正方形面积阴影部分面积?p
2
22 )(
T
tTT
.)1(1 2Tt
xo
y txy
tyx
若以 x,y 表示平面上点的坐标,则有
t?T
T
例 8 甲、乙两人约定在下午 1 时到 2 时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，
它们的开车时刻分别为 1:15,1:30,1:45,2:00.
如果甲、乙约定 (1) 见车就乘 ; (2) 最多等一辆车,求甲、乙同乘一车的概率,
假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在
1 时到 2 时的任何时刻到达车站是等可能的,
xo
y
1
2
见车就乘的概率为 正方形面积阴影部分面积?p
2
2
)12(
)41(4
,
4
1?
45:1
30:1
15:1
1?2?15:1?30:1?45:1
设 x,y 分别为甲、乙两人到达的时刻,
则有
,21 x
.21 y
解
最多等一辆车,甲、乙同乘一车的概率为,8
52
1
)161(3
4
1p
xo
y
1
2
45:1
30:1
15:1
1?2?15:1?30:1?45:1
蒲丰投针试验例 9 1777年,法国科学家蒲丰 (Buffon)提出了投针试验问题,平面上画有等距离为 a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为 b( b<a )的针,试求针与某一平行直线相交的概率,
解
,
,
直线的距离到最近的一条平行针的中点表示针投到平面上时 以
M
x
a
x?
M
.夹角表示针与该平行直线的?
.),( 完全确定置可由那么针落在平面上的位?x
蒲丰资料
a
x?
M矩形区域果与投针试验的所有可能结
}π0,20),{( axxS
.中的所有点一一对应由投掷的任意性可知,
这是一个几何概型问题,
中的点满足发生的充分必要条件为针与某一平行直线相交所关心的事件
S
A }{?
.π0,s i n20bx
o
的面积的面积
S
G
S
GAP
)(μ
)(μ)(
π
2
ds i n
2
π
0
a
b
.
π
2
π
2
a
b
a
b
o
蒲丰投针试验的应用及意义
π
2)(
a
bAP?
那么的近似值代入上式作为即可则频率值的次数测出针与平行直线相交很大时当投针试验次数 根据频率的稳定性
,)(
,
,,
AP
n
m
m
n
π
2
a
b
n
m?,2π
am
bn
,π 的近似值利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果 (直线距离 a=1)
3.179585925200.54191925Reina
3.1415929180834080.831901Lazzerini
3.159548910300.751884Fox
3.1373826001.01860De Morgan
3.1554121832040.61855Smith
3.1596253250000.81850Wolf
相交次数投掷次数针长时间试验者 的近似值π
利用 蒙特卡罗 (Monte Carlo)法 进行计算机模拟,
.85.0,1 ba取 单击图形播放 /暂停 ESC键退出最简单的随机现象 古典概型古典概率样本点总数所包含样本点的个数A
n
mAP)(
几何概型试验结果连续无穷四、小结
,
,)2(; )1(
古典概型验称为等可能概型或具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发有限个元素试验的样本空间只包含
1,定义一、等可能概型 (古典概型 )
设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成,A
为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点,则事件 A 出现的概率记为,
2,古典概型中事件概率的计算公式
.)( 样本点总数所包含样本点的个数AnmAP
称此为概率的古典定义,
3,古典概型的基本模型,摸球模型
(1) 无放回地摸球问题 1 设袋中有 4 只白球和 2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出 2只球,求这 2只球都是白球的概率,
解 },2{ 只球都是白球摸得设?A
基本事件总数为,2
6?
A 所包含 基本事件的个数为,2
4?
2
6
2
4)( AP故
.52?
(2) 有放回地摸球问题 2 设袋中有 4只红球和 6只黑球,现从袋中有放回地摸球 3次,求前 2次摸到 黑球,第 3次摸到红球的概率,
解 }3,2{ 次摸到红球第次摸到黑球前设?A
第 1次摸球 10种第 2次摸球 种第 3 种
6种第 1次摸到黑球 种第 2次摸到黑球4种第 3次摸到红球基本事件总数为,10101010 3
A 所包含 基本事件的个数为,466
310
466)(AP故,144.0?
课堂练习
1o 电话号码问题 在 7位数的电话号码中,第一位不能为 0，求数字 0出现 3次的概率,
2o 骰子问题 掷 3颗均匀骰子,求点数之和为 4的概率,
)109913619:( 633
p答案
)63:( 3?p答案
4.古典概型的基本模型,球放入杯子模型
(1)杯子容量无限问题 1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第 1,2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球,
3 3 3 3
4个球放到 3个杯子的所有放法,33333 4 种
个2
种?
2
4
个2
种?
2
2
因此第 1,2个杯子中各有两个球的概率为
43
2
2
2
4?
p
.272?
(2) 每个杯子只能放一个球问题 2 把 4个球放到 10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第 1 至第 4个杯子各放一个球的概率,
解 第 1至第 4个杯子各放一个球的概率为
4
10
4
4
p
p?p
78910
1234
.2101?
2o 生日问题 某班有 20个学生都是同一年出生的,求有 10个学生生日是 1月 1日,另外 10个学生生日是
12月 31日的概率,
)92:(答案
)36510101020:( 20?
p答案课堂练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五 3人等可能地分配到 3 间房中去,试求每个房间恰有 1人的概率,
解
}.,,,,,,,{ T T TT T HT H TH T TT H HH T HH H TH H HS?则
}.,,{1 TTHT H TH T TA?而,83)( 1?AP得
}.,,,,,,{)2( 2 T T HT H TH T TT H HH T HH H TH H HA?
.87)( 2?AP因此
).(,
)2().(,
)1(.
2
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1
AP
AAP
A
求次出现正面”
“至少有一为设事件求”次出现正面为“恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次
.,)1( 为出现反面为出现正面设 TH
二、典型例题
1例在 N 件产品中抽取 n件,其中恰有 k 件次品的取法共有,种?
kn
DN
k
D
于是所求的概率为,
n
N
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解 在 N件产品中抽取 n件的所有可能取法共有
,种?
n
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)(,
,,
件次品的概率是多少问其中恰有件今从中任取件次品其中有件产品设有
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2例例 3 在 1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
设 A 为事件“取到的数能被 6整除”,B为事件
“取到的数能被 8整除”，则所求概率为 ).( BAP
)()( BAPBAP )(1 BP
) },()()({1 ABPBPAP
解
,33462000333因为,2000333)(?AP所以
,8424200083由于,2 0 0 083)(?ABP得于是所求概率为
)( BAP
2 00 0832 00 02 502 00 03 331
)}()()({1 ABPBPAP
.43?
.2 0 0 0250)(?BP故得,25082 0 0 0?由于例 4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这 15名新生中有 3名是优秀生,问 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数,
5
5
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10
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!15?
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
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因此所求概率为
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!15
!4!4!4
!12!3
1
p,
91
25?
(2)将 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 3种,
对于每一种分法,其余 12名新生的分法有,!5!5!2 !12 种因此 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
,)!5!5!2()!123( 种? 因此所求概率为
!5!5!5
!15
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2
p,
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6?
例 5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的,
假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,
解周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
.712种
1 2 3 4 12?7 7 7 7 7?
故一周内接待 12 次来访共有
.212种
12
12
7
2?p,30 0 00 0 0.0?
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的,
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
1 2 3 4 12?2 2 2 2?
12 次接待都是在周二和周四进行的共有故 12 次接待都是在周二和周四进行的概率为例 6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,求 64 个人中至少有 2人生日相同的概率,
64 个人生日各不相同的概率为
.3 6 5 )1643 6 5( 3 6 43 6 5 641p
故 64 个人中至少有 2人生日相同的概率为
643 6 5
)1643 6 5( 3 6 43 6 51p,997.0?
解率为概他们的生日各不相同的个人随机选取,)365(?n
.365 )1365(364365 n np
日相同的概率为个人中至少有两个人生而 n
.3 6 5 )13 6 5(3 6 43 6 51 n np
说明我们利用软件包进行数值计算,
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度,面积,体积 ) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
.)( SSAP A?
说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,
就归结为几何概型,
三、几何概型
.
.)
,(
几何概型定的概率称为量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量的子是构成事件是样本空间的度量其中 ASS A
那么,0,0 TyTx
两人会面的充要条件为,tyx
例 7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定地点会面,先到的人等候另一个人,经过时间 t
( t<T ) 后离去,设每人在 0 到 T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连,求甲、乙两人能会面的概率,
会面问题解
,
,
时刻的分别为甲、乙两人到达设 yx
故所求的概率为正方形面积阴影部分面积?p
2
22 )(
T
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xo
y txy
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若以 x,y 表示平面上点的坐标,则有
t?T
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例 8 甲、乙两人约定在下午 1 时到 2 时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，
它们的开车时刻分别为 1:15,1:30,1:45,2:00.
如果甲、乙约定 (1) 见车就乘 ; (2) 最多等一辆车,求甲、乙同乘一车的概率,
假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在
1 时到 2 时的任何时刻到达车站是等可能的,
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1
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见车就乘的概率为 正方形面积阴影部分面积?p
2
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设 x,y 分别为甲、乙两人到达的时刻,
则有
,21 x
.21 y
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最多等一辆车,甲、乙同乘一车的概率为,8
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30:1
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蒲丰投针试验例 9 1777年,法国科学家蒲丰 (Buffon)提出了投针试验问题,平面上画有等距离为 a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为 b( b<a )的针,试求针与某一平行直线相交的概率,
解
,
,
直线的距离到最近的一条平行针的中点表示针投到平面上时 以
M
x
a
x?
M
.夹角表示针与该平行直线的?
.),( 完全确定置可由那么针落在平面上的位?x
蒲丰资料
a
x?
M矩形区域果与投针试验的所有可能结
}π0,20),{( axxS
.中的所有点一一对应由投掷的任意性可知,
这是一个几何概型问题,
中的点满足发生的充分必要条件为针与某一平行直线相交所关心的事件
S
A }{?
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o
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S
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蒲丰投针试验的应用及意义
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那么的近似值代入上式作为即可则频率值的次数测出针与平行直线相交很大时当投针试验次数 根据频率的稳定性
,)(
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AP
n
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2
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b
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m?,2π
am
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,π 的近似值利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果 (直线距离 a=1)
3.179585925200.54191925Reina
3.1415929180834080.831901Lazzerini
3.159548910300.751884Fox
3.1373826001.01860De Morgan
3.1554121832040.61855Smith
3.1596253250000.81850Wolf
相交次数投掷次数针长时间试验者 的近似值π
利用 蒙特卡罗 (Monte Carlo)法 进行计算机模拟,
.85.0,1 ba取 单击图形播放 /暂停 ESC键退出最简单的随机现象 古典概型古典概率样本点总数所包含样本点的个数A
n
mAP)(
几何概型试验结果连续无穷四、小结
