一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结第六节 独立性一、事件的相互独立性
,,
,,
.
,),23(5
取到绿球第二次抽取取到绿球第一次抽取记地取两次有放回每次取出一个红绿个球盒中有
B
A
则有 ),()( BPABP?
.发生的可能性大小的发生并不影响它表示 BA
)()( BPABP )()()( BPAPABP?
1.引例
.,,,
)()()(
,,
独立简称相互独立则称事件如果满足等式是两事件设
BABA
BPAPABP
BA
事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关,
说明
2.定义两事件相互独立 )()()( BPAPABP?
两事件互斥AB
A
B,21)(,21)( BPAP若
AB
).()()( BPAPABP?则例如由此可见 两事件 相互独立,但两事件 不互斥,
两事件相互独立与两事件互斥的关系,
请同学们思考二者之间没有必然联系
A
B
2
1)(,
2
1)( BPAP若
.)()()( BPAPABP?故由此可见 两事件 互斥 但 不独立,
,0)(?ABP则
,41)()(?BPAP
3.三事件两两相互独立的概念
.,,
),()()(
),()()(
),()()(
,,,
两两相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设定义
CBA
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
注意三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
4.三事件相互独立的概念
.,,
),()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
,,,
相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设定义
CBA
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
),()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
.,,,21 为相互独立的事件则称 nAAA?
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立具有等式任意如果对于任意个事件是设
,1),1(
,,,,
21
21
niiinkk
nAAA
k
n
推广证明 )( )()( AP ABPABP?
)()( )()( BPAP BPAP
).()( BPABP
.).()(,
,.0)(,,
反之亦然则互独立相若且是两事件设
BPABP
BAAPBA
二、几个重要定理定理一证明,独立与先证 BA
,))(( BAABBAABA 且因为?
),()()( BAPABPAP所以
),()()( ABPAPBAP即
.,,
,,,
也相互独立与与与则下列各对事件相互独立若
BABABA
BA定理二
)()()()( BPAPAPBAP因而
))(1)(( BPAP
).()( BPAP?
,相互独立与从而 BA
又因为 A,B 相互独立,所以有
),()()( BPAPABP?
两个结论
.)2(
,)2(,,,.1 21
个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件
nkk
nAAA n
,,
,,,
,)2(,,,.2
21
21
个事件仍相互独立所得的立事件们的对中任意多个事件换成它则将相互独立个事件若
n
AAA
nAAAn
n
n
例 1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是 0.2,
若 10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?
射击问题解,名射手击落飞机”为“第设事件 iA i
事件 B 为“击落飞机”,
,1021 AAAB则三、例题讲解
.10,,2,1i
)()( 1021 AAAPBP
)(1 1021 AAAP
)()()(1 1021 APAPAP
.8 9 3.0)8.0(1 10
)(1 1021 AAAP
例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率,
解,个人击中飞机表示有设 iA i
A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中飞机,
,1 CBACBACBAA由于
,7.0)(,5.0)(,4.0)( CPBPAP则
)()()()()()()()()()( 1 CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP
故得
7.05.06.03.05.06.03.05.04.0
.36.0?
,2 BCACBACABA因为
)()()()()()()()()( CPBPAPCPBPAPCPBPAP
.41.0?
)()( 2 BCACBACABPAP得
,3 ABCA?由 )()( 3 ABCPAP?得
)()()( CPBPAP?
7.05.04.0
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
14.0141.06.036.02.0P
.458.0?
.14.?
伯恩斯坦反例例 3 一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,
第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色,现以 A,B,C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，
问 A,B,C是否相互独立?
解 由于在四面体中红,白、黑分别出现两面，
因此,21)()()( CPBPAP
又由题意知,41)()()( ACPBCPABP
故有因此 A,B,C 不相互独立,
,
4
1
)()()(
,
4
1
)()()(
,
4
1
)()()(
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
则三事件 A,B,C 两两独立,
由于 41)(?ABCP ),()()(81 CPBPAP
例 4 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为 7与 11的概率,
解事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11.
则有 )()( 2121 ABBAPAP )() 2121 ABPBP
)()()()( 2121 APBPBPAP
36
6
36
2
36
2
36
6,
54
1?
.2,17?iiA i 点”次得为“第设事件
.2,111?iiB i 点”次得为“第设事件
.,)4,3,2,1(
,)(
4,3,2,1
4,.)(
)(
试求系统的可靠性个元件的可靠性为设第称为串并联系统联结按先串联再并联的方式工作的元件个独立设有如图所示的可靠性或系统元件能正常工作的概率称为或系统一个元件
i
pi
i
1 2
3 4解
,)4,3,2,1( 个元件正常工作表示事件第以 iiA i?
例 5
,表示系统正常工作以 A
.4321 AAAAA则有
:,得系统的可靠性由事件的独立性
)()()()( 43214321 AAAAPAAPAAPAP
)()()()()()()()( 43214321 APAPAPAPAPAPAPAP
.43214321 pppppppp
例 6 要验收一批 (100件 )乐器,验收方案如下,自该批乐器中随机地取 3件测试 (设 3件乐器的测试是相互独立的 ),如果 3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收,设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 0.95;
而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01.如果已知这 100件乐器中恰有 4件是音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是多少?
解
,3
)3,2,1,0(
件乐器随机地取出“件表示事设以?iH i
,件音色不纯”其中恰有 i
.接收”表示事件“这批乐器被以 A
纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为 0.99,
已知一件音色而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为 0.05,并且三件乐器的测试是相互独立的,
于是有
,)99.0()( 30?HAP,05.0)99,2
,)05.0(99.0 2,)05.0( 3?
,,,,3210 的一个划分是 SHHHH
)( 1HAP
)( 2HAP )( 3HAP
,310019624)( 2?
HP,
3
100
3
4)(
3
HP
)()()(
3
0
ii
i
HPHAPAP?
故
0000 55.085 74.0,8629.0?
,3100396)( 0?
HP而
,310029614)( 1?
HP
.
.,
,,)21(
,7
互独立设各局胜负相利还是采用五局三胜制有有利采用三局二胜制问对甲而言概率为每局甲胜的比赛甲、乙两人进行乒乓球
pp
例解,,甲最终获胜采用三局二胜制
:胜局情况可能是
“甲甲,,“乙 甲甲,,“甲 乙 甲,;
,容由于这三种情况互不相
:获胜的概率为于是由独立性得甲最终
).1(2 221 pppp
,3,,局至少需比赛甲最终获胜采用五局三胜制
.,局而前面甲需胜二且最后一局必需是甲胜
,,比赛四局例如,则甲的胜局情况可能是
“甲 乙 甲甲,,“乙 甲甲甲,,“甲甲 乙 甲,;
,容由于这三种情况互不相
:,甲最终获胜的概率为在五局三胜制下
.)1(24)1(23 23332 pppppp
:于是由独立性得
)312156( 23212 pppppp由于
).12()1(3 22 ppp;,21 12 ppp 时当,21,21 12 ppp 时当
.,21 制有利对甲来说采用五局三胜时故当?p
,
2
1
,
,
2
1
都是相同的概率是两种赛制甲最终获胜的时 当?p
四、小结
)()()(,.1 BPAPABPBA两事件独立
).()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
,,
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA 三个事件相互独立
.,,,
.2
相互独立与与与相互独立重要结论
BABABABA?
,,
,,
.
,),23(5
取到绿球第二次抽取取到绿球第一次抽取记地取两次有放回每次取出一个红绿个球盒中有
B
A
则有 ),()( BPABP?
.发生的可能性大小的发生并不影响它表示 BA
)()( BPABP )()()( BPAPABP?
1.引例
.,,,
)()()(
,,
独立简称相互独立则称事件如果满足等式是两事件设
BABA
BPAPABP
BA
事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关,
说明
2.定义两事件相互独立 )()()( BPAPABP?
两事件互斥AB
A
B,21)(,21)( BPAP若
AB
).()()( BPAPABP?则例如由此可见 两事件 相互独立,但两事件 不互斥,
两事件相互独立与两事件互斥的关系,
请同学们思考二者之间没有必然联系
A
B
2
1)(,
2
1)( BPAP若
.)()()( BPAPABP?故由此可见 两事件 互斥 但 不独立,
,0)(?ABP则
,41)()(?BPAP
3.三事件两两相互独立的概念
.,,
),()()(
),()()(
),()()(
,,,
两两相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设定义
CBA
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
注意三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
4.三事件相互独立的概念
.,,
),()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
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相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设定义
CBA
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
),()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
.,,,21 为相互独立的事件则称 nAAA?
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立具有等式任意如果对于任意个事件是设
,1),1(
,,,,
21
21
niiinkk
nAAA
k
n
推广证明 )( )()( AP ABPABP?
)()( )()( BPAP BPAP
).()( BPABP
.).()(,
,.0)(,,
反之亦然则互独立相若且是两事件设
BPABP
BAAPBA
二、几个重要定理定理一证明,独立与先证 BA
,))(( BAABBAABA 且因为?
),()()( BAPABPAP所以
),()()( ABPAPBAP即
.,,
,,,
也相互独立与与与则下列各对事件相互独立若
BABABA
BA定理二
)()()()( BPAPAPBAP因而
))(1)(( BPAP
).()( BPAP?
,相互独立与从而 BA
又因为 A,B 相互独立,所以有
),()()( BPAPABP?
两个结论
.)2(
,)2(,,,.1 21
个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件
nkk
nAAA n
,,
,,,
,)2(,,,.2
21
21
个事件仍相互独立所得的立事件们的对中任意多个事件换成它则将相互独立个事件若
n
AAA
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n
n
例 1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是 0.2,
若 10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?
射击问题解,名射手击落飞机”为“第设事件 iA i
事件 B 为“击落飞机”,
,1021 AAAB则三、例题讲解
.10,,2,1i
)()( 1021 AAAPBP
)(1 1021 AAAP
)()()(1 1021 APAPAP
.8 9 3.0)8.0(1 10
)(1 1021 AAAP
例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率,
解,个人击中飞机表示有设 iA i
A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中飞机,
,1 CBACBACBAA由于
,7.0)(,5.0)(,4.0)( CPBPAP则
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故得
7.05.06.03.05.06.03.05.04.0
.36.0?
,2 BCACBACABA因为
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)()( 2 BCACBACABPAP得
,3 ABCA?由 )()( 3 ABCPAP?得
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因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
14.0141.06.036.02.0P
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伯恩斯坦反例例 3 一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,
第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色,现以 A,B,C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，
问 A,B,C是否相互独立?
解 由于在四面体中红,白、黑分别出现两面，
因此,21)()()( CPBPAP
又由题意知,41)()()( ACPBCPABP
故有因此 A,B,C 不相互独立,
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则三事件 A,B,C 两两独立,
由于 41)(?ABCP ),()()(81 CPBPAP
例 4 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为 7与 11的概率,
解事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11.
则有 )()( 2121 ABBAPAP )() 2121 ABPBP
)()()()( 2121 APBPBPAP
36
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.2,17?iiA i 点”次得为“第设事件
.2,111?iiB i 点”次得为“第设事件
.,)4,3,2,1(
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4,3,2,1
4,.)(
)(
试求系统的可靠性个元件的可靠性为设第称为串并联系统联结按先串联再并联的方式工作的元件个独立设有如图所示的可靠性或系统元件能正常工作的概率称为或系统一个元件
i
pi
i
1 2
3 4解
,)4,3,2,1( 个元件正常工作表示事件第以 iiA i?
例 5
,表示系统正常工作以 A
.4321 AAAAA则有
:,得系统的可靠性由事件的独立性
)()()()( 43214321 AAAAPAAPAAPAP
)()()()()()()()( 43214321 APAPAPAPAPAPAPAP
.43214321 pppppppp
例 6 要验收一批 (100件 )乐器,验收方案如下,自该批乐器中随机地取 3件测试 (设 3件乐器的测试是相互独立的 ),如果 3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收,设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 0.95;
而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01.如果已知这 100件乐器中恰有 4件是音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是多少?
解
,3
)3,2,1,0(
件乐器随机地取出“件表示事设以?iH i
,件音色不纯”其中恰有 i
.接收”表示事件“这批乐器被以 A
纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为 0.99,
已知一件音色而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为 0.05,并且三件乐器的测试是相互独立的,
于是有
,)99.0()( 30?HAP,05.0)99,2
,)05.0(99.0 2,)05.0( 3?
,,,,3210 的一个划分是 SHHHH
)( 1HAP
)( 2HAP )( 3HAP
,310019624)( 2?
HP,
3
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HPHAPAP?
故
0000 55.085 74.0,8629.0?
,3100396)( 0?
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,310029614)( 1?
HP
.
.,
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互独立设各局胜负相利还是采用五局三胜制有有利采用三局二胜制问对甲而言概率为每局甲胜的比赛甲、乙两人进行乒乓球
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例解,,甲最终获胜采用三局二胜制
:胜局情况可能是
“甲甲,,“乙 甲甲,,“甲 乙 甲,;
,容由于这三种情况互不相
:获胜的概率为于是由独立性得甲最终
).1(2 221 pppp
,3,,局至少需比赛甲最终获胜采用五局三胜制
.,局而前面甲需胜二且最后一局必需是甲胜
,,比赛四局例如,则甲的胜局情况可能是
“甲 乙 甲甲,,“乙 甲甲甲,,“甲甲 乙 甲,;
,容由于这三种情况互不相
:,甲最终获胜的概率为在五局三胜制下
.)1(24)1(23 23332 pppppp
:于是由独立性得
)312156( 23212 pppppp由于
).12()1(3 22 ppp;,21 12 ppp 时当,21,21 12 ppp 时当
.,21 制有利对甲来说采用五局三胜时故当?p
,
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都是相同的概率是两种赛制甲最终获胜的时 当?p
四、小结
)()()(,.1 BPAPABPBA两事件独立
).()()()(
),()()(
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),()()(
,,
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA 三个事件相互独立
.,,,
.2
相互独立与与与相互独立重要结论
BABABABA?
