一、重点与难点二、主要内容三、典型例题第一章 概率论的基本概念习 题 课一、重点与难点
1.重点随机事件的概念古典概型的概率计算方法概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用
2.难点古典概型的概率计算 全概率公式的应用二、主要内容随机现象随机试验事件的独立性随 机 事 件基本事件必然事件对立事件概 率 古典概型几何概率乘法定理事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式性质定义条件概率不可能事件复合事件在一定条件下可能出现也可能不出现 的现象称为 随机现象,
随机现象可以在相同的条件下重复地进行 ;
每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果 ;
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为 随机试验,
随机试验
o1
o2
o3
样本空间的元素,即试验 E 的每一个结果,称为 样本点,
随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 样本空间,记为 S.
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E
的 随机事件,简称 事件,
随机事件
o1
o2
o3
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果,
必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为 对立事件,
基本事件 由一个样本点组成的单点集,
必然事件 随机试验中必然会出现的结果,
重要的随机事件事件的关系和运算
.
),2,1(,,,
的子集是而的样本空间为设试验
S
kABASE k
(1) 包含关系若事件 A 出现，必然导致事件 B 出现，
则称事件 B 包含事件 A，记作,BAAB 或图示 B 包含 A,
S
BA
(2) A等于 B
(3) 事件 A与 B的并 (和事件 )
.
}{
和事件的事件与称为事件或事件
B
ABxAxxBA
图示事件 A与 B 的并,
SB
A
若事件 A 包含事件 B,而且事件 B 包含事件
A,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B.
(4) 事件 A与 B的交 (积事件 )
.ABBA 或积事件也可记作?
.
}{
积事件的与事件称为事件且事件
B
ABxAxxBA
图示事件 A 与 B 的积,
S
A BAB
(5) 事件 A与 B互不相容 (互斥 )
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现,B
出现也必然导致 A 不出现,则称事件 A 与 B互不相容,即, ABBA?
图示 A 与 B 互不相容（互斥）,
S
A B
(6) 事件 A与 B的差由事件 A出现而事件 B不出现所组成的事件称为事件 A与 B的差,记作 A- B.
图示 A 与 B 的差,
S
A B
SA
B
AB? AB?
B?
BA?
设 A表示“事件 A出现”,则“事件 A不出现”
称为事件 A的 对立事件或逆事件,记作,A
图示 A 与 B 的对立,
S
B A?
若 A 与 B 互逆,则有, ABSBA 且?
A
(7) 事件 A的对立事件说明 对立事件与互斥事件的区别
S SA B A B A?
A,B 对立A,B 互斥
. ABSBA 且AB
互斥 对立事件运算的性质
.,1 o BAABABBA交换律
).()(
),()(2 o
BCACAB
CBACBA
结合律
).)(()()()(
,)()()(
3 o
CBCACBCACBA
BCACCBCACBA
分配律
.,:4 o BABABABA 摩根律德则有为事件设,,,CBA
).(,.
,
,,
AfA
n
n
AnA
nn
n
A
A
并记成发生的频率称为事件比值频数发生的称为事件发生的次数事件试验中次在这次试验进行了在相同的条件下
(1)频率的定义频率设 A 是随机试验 E 的任一事件,则;1)(01 0 Af n;0)(,1)(2 0 fSf
).()()()(
,,,,3
2121
21
0
knnnk
k
AfAfAfAAAf
AAA
则是两两互不相容的事件若
(2)频率的性质
:)(,
,)(,
.,
满足下列条件如果集合函数的概率称为事件记为赋予一个实数每一事件的对于是它的样本空间是随机试验设
P
AAPA
ESE概率的定义;0)(,:1 0?APA 有对于每一个事件非负性;1)(,:2 0?SPS 有对于必然事件规范性则有即对于事件是两两互不相容的设
,,2,1,,,,
,,:3 210
jiAAji
AA
ji
可列可加性
)()()( 2121 APAPAAP
概率的可列可加性
.0)(1 0P
概率的有限可加性则有是两两互不相容的事件,,,,2 210 nAAA?若
).()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
).()()(),()(
,,,3 0
APBPABPBPAP
BABA
则且为两个事件设
.1)(,4 0?APA对于任一事件概率的性质
).(1)(,5 0 APA PAA 则的对立事件是设
).()()()(
,)(6 0
ABPBPAPBAP
BA
有对于任意两事件加法公式
n 个事件和的情况
)( 21 nAAAP
nji
ji
n
i
i AAPAP
11
)()(
).()1()( 211
1
n
n
nkji
kji AAAPAAAP
.
.)2(;)1(
概型典验称为等可能概型或古具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发
有限个元素试验的样本空间只包含
定义等可能概型 (古典概型 )
设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成,A
为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点,则事件 A 出现的概率记为,
古典概型中事件概率的计算公式
.)( 样本点总数所包含样本点的个数AnmAP
称此为概率的古典定义,
.)( SSAP A?
几何概型
.
).
,(
几何概型定的概率称为量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量的子是构成事件是样本空间的度量其中 ASS A
当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度,面积,体积 ) 相同的子区域是等可能的,则事件 A的概率可定义为条件概率
,)( )()( BP ABPBAP?同理可得为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率,
.
)(
)(
)(
,0)(,,
条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设
BA
AP
ABP
ABP
APBA
(1) 条件概率的定义
);()()()(3 2121210 BAAPBAPBAPBAAP
);(1)(4 0 BAPBAP;0)(,1)(:2 0 BPBSP规范性则有是两两不相容的事件设可加可列性,,,:5 210?BB
.)(
11
i
i
i
i ABPABP?;0)(:1 0?ABP非负性
(2) 条件概率的性质则有且,0)( 121nAAAP?
,2,,,,21?nnAAA n 个事件为设推广?
则有且为事件设,0)(,,,?ABPCBA
).()()()( APABPABCPA B CP?
).()()(
)()(
1122211
12121
APAAPAAAAP
AAAAPAAAP
nn
nnn
).()()(,0)( APABPABPAP 则有设乘法定理
.,,,
.2;,,2,1,,1
,
,,,,
21
21
0
0
21
的一个划分为样本空间则称
若的一组事件为的样本空间为试验设 定义
SBBB
SBBB
njiBB
E
BBBES
n
n
ji
n
样本空间的划分全概率公式与贝叶斯公式
1B2B
3B 1?nB? nB
.
)()(
)()()()()(
),,,2
,1(0)(,,,,
,,
2211
21
称为全概率公式则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
nn
in
BPBAP
BPBAPBPBAPAP
n
iBPSBBB
EASE
全概率公式
A
1B2B
3B 1?nB? nB
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果,
A
1B2B
3B nB1?nB?
贝叶斯公式称此为 贝叶斯公式,
.,,2,1,
)()(
)()(
)(
),,,2,1(
0)(,0)(,,,
,,.
1
2
1
ni
BPBAP
BPBAP
ABP
ni
BPAPSBB
BEASE
n
j
jj
ii
i
in
则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
.,,,
).()()(
,,
独立简称相互独立则称事件如果满足等式是两事件设
BABA
BPAPABP
BA
事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事件 B 是否出现无关,
说明事件的相互独立性
(1)两事件相互独立
(2)三事件两两相互独立
.,,
),()()(
),()()(
),()()(
,,,
两两相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设
CBA
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
注意三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
(3)三事件相互独立
.,,
),()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
,,,
相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设
CBA
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
),()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
.,,,21 为相互独立的事件则称 nAAA?
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立有等式具任意意如果对于任个事件是设推广
,1,)1(
,,,,
21
21
niiinkk
nAAA
k
n
.).()(,
,.0)(,,
反之亦然则立相互独若且是两事件设
BPABP
BAAPBA
重要定理及结论定理一
.,,,
,,
也相互独立与与与事件则下列各对是相互独立的两个事件若
BABABA
BA
定理二两个结论
.,
,,,
,)2(,,,)2(
21
21
个事件仍相互独立所得的事件们的对立中任意多个事件换成它则将相互独立个事件若
n
AAA
nAAAn
n
n
,)2(
,)2(,,,)1( 21
个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件
nkk
nAAA n
);()1( 1B品只有第一个零件是合格
);()2( 2B件是合格品三个零件中只有一个零
);(
,)3(
3B个次品一但后两个零件中至少有第一个是合格品三、典型例题
:)3,2,1(
,)3,2,1(
,3
表示下列事件试用个零件是合格品生产的第表示他以事件个零件一个工人生产了
i
Aii
A
i
i
例 1
解 ;)1( 3211 AAAB?;)2( 3213213212 AAAAAAAAAB
);()3( 3213 AAAB
,)4( 3214 AAAB? ;3214 AAAB或
,)5( 3215 AAAB?,3215 AAAB或说明 一个事件往往有多个等价的表达方式,
).()5( 5B三个零件都是次品
);()4( 4B个合格品三个零件中最多只有两
.:
.,,,
ABBCAC
BACABCCBA
证明满足设随机事件证明,BAC?由于,BAC故
BBABC )(从而,A?
BABCBCA,BC?
,ABABCA C B
)( BBACAC故 BACA C B
.ABBC
例 2
.
,6.0
,7.0
率少有一次命中目标的概试求两次独立射击至射击命中目标的概率为这时内的概率为假设目标出现在射程之
[思路 ] 引进事件
};{目标进入射程?A
.2,1},{ iiB i 次射击命中目标第
.
,,
,21
用全概率公式来求解可利因此命中目标的不在射程之内是不可能由于目标的概率故所求概率为事件 BBB
例 3
解 由题意知
)2,1(,6.0)(,7.0)( iABPAP i
,,0)( 表示目标不在射程之内因为由于 ABAP?
有因此由全概率公式,
)()()()( ABPBAPABPBP
)()( ABPAP?
),()( 21 ABBPAP
,21 相互独立与由题意知 BB
由加法公式得
)( 21 ABBP? )()()( 2121 ABBPABPABP
.36.06.06.0
)()()( 2121 ABPABPABBP?从而
36.06.06.0
.84.0?
)()()( 21 ABBPAPBP故
84.07.0,588.0?
.
,,5
73,
251510
两份从中先后抽出名表随机地取一个地区的报份份和份为其中女生的报名表分别生的报名表名考名和名设有来自三个地区的各
、
、;)1( p表的概率求先抽到的一份是女生
.
,)2(
p的一份是女生表的概率求先抽到男生表已知后抽到的一份表是
[思路 ] 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此题要用全概率公式来讨论,
例 4
解 ;3,2,1},{ iH i 抽到地区考生的报名表记
,2,1},{ jjA j 次抽到报名表是男生的第;10 7)();3,2,1(31)( 11 HAPiHP i则有
.2520)(;158)( 3121 HAPHAP
由全概率公式知)1(
3
1
11 )()()(
i
ii HAPHPAPp
25515710331,9029?
,)( )()()2(
2
21
21 AP
AAPAAPq
由全概率公式得
3
1
2121 )()()(
i
ii HAAPHPAAP,)(3
1 3
1
21?
i
iHAAP
又因为,30797103)( 121HAAP
,308148157)( 221HAAP
.3052420255)( 321HAAP
,9230530830731)( 21AAP所以
)()()( 2
3
1
2 i
i
i HAPHPAP?
而
3
1
2 )(3
1
i
iHAP
,9061252015810731
)(
)(
2
21
AP
AAPq?所以,
61
20
90
61
9
2
1A
2A
5A
4A
3A
.),5,,2,1(
),(5
求此系统的可靠性的可靠性为件设元如图所示个元件组成桥式电路系统由
ipA ii
[思路 ] 为了求系统的可靠性,分两种情况讨论,
.
,,,,)1( 43215
并联电路再串联而得与并联相当于工作正常时当 AAAAA
例 5
.
,,,)2( 42315
串联电路进行并联而得串联再与相当于失效时当 AAAAA
解,5,,2,1},{ iAB ii 正常工作元件记
}.{ 系统正常工作?C
从而由全概率公式知
).()()()()( 5555 BCPBPBCPBPCP
)]()[()( 43215 BBBBPBCP而
) ],1)(1(1) ] [1)(1(1[ 4321 pppp
)()( 42315 BBBBPBCP
),1)(1(1 4231 pppp
所以
)]1)(1(1) ] [1)(1(1[)( 43215 pppppCP
)].1)(1(1)[1( 42315 ppppp
备 用 例 题
1.重点随机事件的概念古典概型的概率计算方法概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用
2.难点古典概型的概率计算 全概率公式的应用二、主要内容随机现象随机试验事件的独立性随 机 事 件基本事件必然事件对立事件概 率 古典概型几何概率乘法定理事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式性质定义条件概率不可能事件复合事件在一定条件下可能出现也可能不出现 的现象称为 随机现象,
随机现象可以在相同的条件下重复地进行 ;
每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果 ;
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为 随机试验,
随机试验
o1
o2
o3
样本空间的元素,即试验 E 的每一个结果,称为 样本点,
随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 样本空间,记为 S.
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E
的 随机事件,简称 事件,
随机事件
o1
o2
o3
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果,
必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为 对立事件,
基本事件 由一个样本点组成的单点集,
必然事件 随机试验中必然会出现的结果,
重要的随机事件事件的关系和运算
.
),2,1(,,,
的子集是而的样本空间为设试验
S
kABASE k
(1) 包含关系若事件 A 出现，必然导致事件 B 出现，
则称事件 B 包含事件 A，记作,BAAB 或图示 B 包含 A,
S
BA
(2) A等于 B
(3) 事件 A与 B的并 (和事件 )
.
}{
和事件的事件与称为事件或事件
B
ABxAxxBA
图示事件 A与 B 的并,
SB
A
若事件 A 包含事件 B,而且事件 B 包含事件
A,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B.
(4) 事件 A与 B的交 (积事件 )
.ABBA 或积事件也可记作?
.
}{
积事件的与事件称为事件且事件
B
ABxAxxBA
图示事件 A 与 B 的积,
S
A BAB
(5) 事件 A与 B互不相容 (互斥 )
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现,B
出现也必然导致 A 不出现,则称事件 A 与 B互不相容,即, ABBA?
图示 A 与 B 互不相容（互斥）,
S
A B
(6) 事件 A与 B的差由事件 A出现而事件 B不出现所组成的事件称为事件 A与 B的差,记作 A- B.
图示 A 与 B 的差,
S
A B
SA
B
AB? AB?
B?
BA?
设 A表示“事件 A出现”,则“事件 A不出现”
称为事件 A的 对立事件或逆事件,记作,A
图示 A 与 B 的对立,
S
B A?
若 A 与 B 互逆,则有, ABSBA 且?
A
(7) 事件 A的对立事件说明 对立事件与互斥事件的区别
S SA B A B A?
A,B 对立A,B 互斥
. ABSBA 且AB
互斥 对立事件运算的性质
.,1 o BAABABBA交换律
).()(
),()(2 o
BCACAB
CBACBA
结合律
).)(()()()(
,)()()(
3 o
CBCACBCACBA
BCACCBCACBA
分配律
.,:4 o BABABABA 摩根律德则有为事件设,,,CBA
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,
,,
AfA
n
n
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并记成发生的频率称为事件比值频数发生的称为事件发生的次数事件试验中次在这次试验进行了在相同的条件下
(1)频率的定义频率设 A 是随机试验 E 的任一事件,则;1)(01 0 Af n;0)(,1)(2 0 fSf
).()()()(
,,,,3
2121
21
0
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则是两两互不相容的事件若
(2)频率的性质
:)(,
,)(,
.,
满足下列条件如果集合函数的概率称为事件记为赋予一个实数每一事件的对于是它的样本空间是随机试验设
P
AAPA
ESE概率的定义;0)(,:1 0?APA 有对于每一个事件非负性;1)(,:2 0?SPS 有对于必然事件规范性则有即对于事件是两两互不相容的设
,,2,1,,,,
,,:3 210
jiAAji
AA
ji
可列可加性
)()()( 2121 APAPAAP
概率的可列可加性
.0)(1 0P
概率的有限可加性则有是两两互不相容的事件,,,,2 210 nAAA?若
).()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
).()()(),()(
,,,3 0
APBPABPBPAP
BABA
则且为两个事件设
.1)(,4 0?APA对于任一事件概率的性质
).(1)(,5 0 APA PAA 则的对立事件是设
).()()()(
,)(6 0
ABPBPAPBAP
BA
有对于任意两事件加法公式
n 个事件和的情况
)( 21 nAAAP
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n
i
i AAPAP
11
)()(
).()1()( 211
1
n
n
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.
.)2(;)1(
概型典验称为等可能概型或古具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发
有限个元素试验的样本空间只包含
定义等可能概型 (古典概型 )
设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成,A
为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点,则事件 A 出现的概率记为,
古典概型中事件概率的计算公式
.)( 样本点总数所包含样本点的个数AnmAP
称此为概率的古典定义,
.)( SSAP A?
几何概型
.
).
,(
几何概型定的概率称为量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量的子是构成事件是样本空间的度量其中 ASS A
当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度,面积,体积 ) 相同的子区域是等可能的,则事件 A的概率可定义为条件概率
,)( )()( BP ABPBAP?同理可得为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率,
.
)(
)(
)(
,0)(,,
条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设
BA
AP
ABP
ABP
APBA
(1) 条件概率的定义
);()()()(3 2121210 BAAPBAPBAPBAAP
);(1)(4 0 BAPBAP;0)(,1)(:2 0 BPBSP规范性则有是两两不相容的事件设可加可列性,,,:5 210?BB
.)(
11
i
i
i
i ABPABP?;0)(:1 0?ABP非负性
(2) 条件概率的性质则有且,0)( 121nAAAP?
,2,,,,21?nnAAA n 个事件为设推广?
则有且为事件设,0)(,,,?ABPCBA
).()()()( APABPABCPA B CP?
).()()(
)()(
1122211
12121
APAAPAAAAP
AAAAPAAAP
nn
nnn
).()()(,0)( APABPABPAP 则有设乘法定理
.,,,
.2;,,2,1,,1
,
,,,,
21
21
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0
21
的一个划分为样本空间则称
若的一组事件为的样本空间为试验设 定义
SBBB
SBBB
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E
BBBES
n
n
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样本空间的划分全概率公式与贝叶斯公式
1B2B
3B 1?nB? nB
.
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,,
2211
21
称为全概率公式则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
nn
in
BPBAP
BPBAPBPBAPAP
n
iBPSBBB
EASE
全概率公式
A
1B2B
3B 1?nB? nB
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果,
A
1B2B
3B nB1?nB?
贝叶斯公式称此为 贝叶斯公式,
.,,2,1,
)()(
)()(
)(
),,,2,1(
0)(,0)(,,,
,,.
1
2
1
ni
BPBAP
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n
j
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i
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则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
.,,,
).()()(
,,
独立简称相互独立则称事件如果满足等式是两事件设
BABA
BPAPABP
BA
事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事件 B 是否出现无关,
说明事件的相互独立性
(1)两事件相互独立
(2)三事件两两相互独立
.,,
),()()(
),()()(
),()()(
,,,
两两相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设
CBA
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
注意三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
(3)三事件相互独立
.,,
),()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
,,,
相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设
CBA
CPBPAPABCP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
CBA
),()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
.,,,21 为相互独立的事件则称 nAAA?
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立有等式具任意意如果对于任个事件是设推广
,1,)1(
,,,,
21
21
niiinkk
nAAA
k
n
.).()(,
,.0)(,,
反之亦然则立相互独若且是两事件设
BPABP
BAAPBA
重要定理及结论定理一
.,,,
,,
也相互独立与与与事件则下列各对是相互独立的两个事件若
BABABA
BA
定理二两个结论
.,
,,,
,)2(,,,)2(
21
21
个事件仍相互独立所得的事件们的对立中任意多个事件换成它则将相互独立个事件若
n
AAA
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n
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,)2(
,)2(,,,)1( 21
个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件
nkk
nAAA n
);()1( 1B品只有第一个零件是合格
);()2( 2B件是合格品三个零件中只有一个零
);(
,)3(
3B个次品一但后两个零件中至少有第一个是合格品三、典型例题
:)3,2,1(
,)3,2,1(
,3
表示下列事件试用个零件是合格品生产的第表示他以事件个零件一个工人生产了
i
Aii
A
i
i
例 1
解 ;)1( 3211 AAAB?;)2( 3213213212 AAAAAAAAAB
);()3( 3213 AAAB
,)4( 3214 AAAB? ;3214 AAAB或
,)5( 3215 AAAB?,3215 AAAB或说明 一个事件往往有多个等价的表达方式,
).()5( 5B三个零件都是次品
);()4( 4B个合格品三个零件中最多只有两
.:
.,,,
ABBCAC
BACABCCBA
证明满足设随机事件证明,BAC?由于,BAC故
BBABC )(从而,A?
BABCBCA,BC?
,ABABCA C B
)( BBACAC故 BACA C B
.ABBC
例 2
.
,6.0
,7.0
率少有一次命中目标的概试求两次独立射击至射击命中目标的概率为这时内的概率为假设目标出现在射程之
[思路 ] 引进事件
};{目标进入射程?A
.2,1},{ iiB i 次射击命中目标第
.
,,
,21
用全概率公式来求解可利因此命中目标的不在射程之内是不可能由于目标的概率故所求概率为事件 BBB
例 3
解 由题意知
)2,1(,6.0)(,7.0)( iABPAP i
,,0)( 表示目标不在射程之内因为由于 ABAP?
有因此由全概率公式,
)()()()( ABPBAPABPBP
)()( ABPAP?
),()( 21 ABBPAP
,21 相互独立与由题意知 BB
由加法公式得
)( 21 ABBP? )()()( 2121 ABBPABPABP
.36.06.06.0
)()()( 2121 ABPABPABBP?从而
36.06.06.0
.84.0?
)()()( 21 ABBPAPBP故
84.07.0,588.0?
.
,,5
73,
251510
两份从中先后抽出名表随机地取一个地区的报份份和份为其中女生的报名表分别生的报名表名考名和名设有来自三个地区的各
、
、;)1( p表的概率求先抽到的一份是女生
.
,)2(
p的一份是女生表的概率求先抽到男生表已知后抽到的一份表是
[思路 ] 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此题要用全概率公式来讨论,
例 4
解 ;3,2,1},{ iH i 抽到地区考生的报名表记
,2,1},{ jjA j 次抽到报名表是男生的第;10 7)();3,2,1(31)( 11 HAPiHP i则有
.2520)(;158)( 3121 HAPHAP
由全概率公式知)1(
3
1
11 )()()(
i
ii HAPHPAPp
25515710331,9029?
,)( )()()2(
2
21
21 AP
AAPAAPq
由全概率公式得
3
1
2121 )()()(
i
ii HAAPHPAAP,)(3
1 3
1
21?
i
iHAAP
又因为,30797103)( 121HAAP
,308148157)( 221HAAP
.3052420255)( 321HAAP
,9230530830731)( 21AAP所以
)()()( 2
3
1
2 i
i
i HAPHPAP?
而
3
1
2 )(3
1
i
iHAP
,9061252015810731
)(
)(
2
21
AP
AAPq?所以,
61
20
90
61
9
2
1A
2A
5A
4A
3A
.),5,,2,1(
),(5
求此系统的可靠性的可靠性为件设元如图所示个元件组成桥式电路系统由
ipA ii
[思路 ] 为了求系统的可靠性,分两种情况讨论,
.
,,,,)1( 43215
并联电路再串联而得与并联相当于工作正常时当 AAAAA
例 5
.
,,,)2( 42315
串联电路进行并联而得串联再与相当于失效时当 AAAAA
解,5,,2,1},{ iAB ii 正常工作元件记
}.{ 系统正常工作?C
从而由全概率公式知
).()()()()( 5555 BCPBPBCPBPCP
)]()[()( 43215 BBBBPBCP而
) ],1)(1(1) ] [1)(1(1[ 4321 pppp
)()( 42315 BBBBPBCP
),1)(1(1 4231 pppp
所以
)]1)(1(1) ] [1)(1(1[)( 43215 pppppCP
)].1)(1(1)[1( 42315 ppppp
备 用 例 题
