一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结第五节 条件概率将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为,至少有一次为正面”,
事件 B为“两次掷出同一面”,现在来求已知事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率,
分析 }.,,,{ TTTHHTHHS?
.2142)(BP
事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率,记为
),( ABP 31)(?ABP则 ).( BP?43 41? )( )( AP ABP?
.,为反面为正面设 TH
1,引例一、条件概率
},,{},,,{ TTHHBTHHTHHA
)(
)()(
BP
ABPBAP?同理可得为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率,
.
)(
)(
)(
,0)(,,
条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设
BA
AP
ABP
ABP
APBA
2,定义
);()()()( )3( 212121 BAAPBAPBAPBAAP
).(1)( )4( BAPBAP;0)(,1)(,)2( BPBSP规范性则有件是两两不相容的事设可列可加性
,
,,,)5( 21?BB
.)(
11
i
i
i
i ABPABP?
3,性质;0)(,)1(?ABP非负性
).()()(
)()(
1122211
12121
APAAPAAAAP
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nn
nnn
则有且,0)( 121nAAAP?
,2,,,,21?nnAAA n 个事件为设推广?
则有且为事件设,0)(,,,?ABPCBA
).()()()( APABPABCPA B CP?
).()()(,0)( APABPABPAP 则有设二,乘法定理例 1 一盒子装有 4 只产品,其中有 3 只一等品,1只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件 A为“第一次取到的是一等品”,事件 B
为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率
P(B|A).解,4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为号产品号、第别取到第表示第一次、第二次分以
,
),(
j
iji
) },3,4(),2,4(),1,4(
,,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{(S
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由条件概率的公式得
)(
)()(
AP
ABPABP?
129
126?,
3
2?
例 2 某种动物由出生算起活 20岁以上的概率为
0.8,活到 25岁以上的概率为 0.4,如果现在有一个
20岁的这种动物,问它能活到 25岁以上的概率是多少?
设 A 表示,能活 20 岁以上,的事件，
B 表示,能活 25 岁以上”的事件,
则有
,8.0)(?AP因为
.)( )()( AP ABPABP?
,4.0)( BP ),()( BPABP?
.218.0 4.0 )( )()( AP ABPABP?所以解例 3 五个阄,其中两个阄内写着“有”
字,三个阄内不写字,五人依次抓取,
问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解
.5,4,3,2,1?i 则有,52)( 1?AP
)()( 22 SAPAP? ))(( 112 AAAP
抓阄是否与次序有关?
,人抓到有字阄”的事件表示“第设 iA i
))(()()( 212121333 AAAAAAAPSAPAP
)()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP
4
2
5
3
4
1
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)( 2121 AAAAP )()( 2121 AAPAAP
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2,
5
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依此类推,52)()( 54 APAP
故抓阄与次序无关,
摸球试验
.
,
,
,,
.
到白球的概率球且第三、四次取试求第一、二次取到红四次若在袋中连续取球的球与所取出的那只球同色只并再放入观察其颜色然后放回任取一只球每次自袋中只白球只红球、设袋中装有
a
tr
解 次取到红球”“第为事件设 iiA i )4,3,2,1(?
.43 四次取到白球为事件第三则,A、A
例 4
因此所求概率为
)( 4321 AAAAP
)()()()( 1122133214 APAAPAAAPAAAAP?
.23 tr ratr aratr tatr at
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型,
例 5 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为 9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率,
解以 B 表示事件,透镜落下三次而未打破,,
,321 AAAB?因为
)()( 321 AAAPBP?所以 )()()( 112213 APAAPAAAP?
)211)(1071)(1091(,2003?
,"")3,2,1( 次落下打破透镜第表示事件以 iiA i?
.,,,
.)ii(;,,2,1,,,)i(
,
,,,,
21
21
21
的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义
SBBB
SBBB
njijiBB
E
BBBES
n
n
ji
n
1,样本空间的划分
1B2B
3B 1?nB? nB
三、全概率公式与贝叶斯公式
2,全概率公式全概率公式
)()(
)()()()()(
),,,2,1
(0)(,,,,
,,
2211
21
nn
in
BPBAP
BPBAPBPBAPAP
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EASE
则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
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)()()()( 21 nABPABPABPAP
图示 A
1B2B
3B 1?nB? nB
证明 )( 21 nBBBAASA
.21 nABABAB
).()()()()()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAP
化整为零各个击破说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果,
A
1B2B
3B 1?nB? nB
例 6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%,二厂生产的占 50%,三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为 2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
设事件 A 为“任取一件为次品”,
.3,2,1,”,?iiB i 厂的产品任取一件为为事件
,321 SBBB
解
.3,2,1,, jiBB ji
由全概率公式得
,2.0)(,5.0)(,3.0)( 321 BPBPBP
S
30%
20%
50%2%1%1%
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,01.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP
)()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP故称此为 贝叶斯公式,
.,,2,1,
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1
2
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BPBAP
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03.0
01.0
02.0
3
2
1
:.
概率求它是次品的元件在仓库中随机地取一只无区别的标志且仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在提供元件的份额次品率元件制造厂的数据根据以往的记录有以下件制造厂提供的的元件是由三家元某电子设备制造厂所用例 7
..
,,
,)2(
试求这些概率是多少家工厂生产的概率分别需求出此次品由三为分析此次品出自何厂次品若已知取到的是元件在仓库中随机地取一只解,“取到的是一只次品”表示设 A
.家工厂提供的”“所取到的产品是由第表示 i
)3,2,1(?iB i
,,,321 的一个划分是样本空间则 SBBB
,05.0)(,80.0)(,15.0)( 321 BPBPBP且
.03.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP
(1) 由 全概率公式得
)()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP
.0125.0?
(2) 由 贝叶斯公式得
)(
)()()( 11
1 AP
BPBAPABP?
0125.0
15.002.0,24.0?
,64.0)( )()()( 222 AP BPBAPABP
.12.0)( )()()( 333 AP BPBAPABP
.2 家工厂的可能性最大故这只次品来自第
,
.%95,
.%55,
,%98,
,
概率是多少机器调整得良好的品时早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为时每天早上机器开动其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得明对以往数据分析结果表解,“产品合格”为事件设 A
.“机器调整良好”为事件B
则有
,55.0)(,98.0)( BAPBAP
例 8
,05.0)(,95.0)( BPBP
由 贝叶斯公式得所求概率为
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)()()(
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BPBAPABP
05.055.095.098.0
95.098.0
,97.0?
.97.0
,
整良好的概率为此时机器调是合格品时即当生产出第一件产品上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,叫做 先验概率,
而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97
叫做 后验概率,
先验概率与后验概率
).(,0 0 5.0)(
,0 0 5.0,
.95.0)(,95.0)(
,,
:
,
ACPCP
CAPCAP
C
A
试求即的概率为设被试验的人患有癌症进行普查现在对自然人群有则有癌症”表示事件“被诊断者患以为阳性”
表示事件“试验反应若以验具有如下的效果某种诊断癌症的试根据以往的临床记录
解,95.0)(?CAP因为
,9 9 5.0)(,0 0 5.0)( CPCP
例 9
,05.0)(1)( CAPCAP
由 贝叶斯公式得所求概率为
)()()()(
)()()(
CPCAPCPCAP
CPCAPACP
.087.0?
即平均 1000个具有阳性反应的人中大约只有 87人患有癌症,
1.条件概率 )(
)()(
AP
ABPABP?
全概率公式贝叶斯公式四、小结
)()()()()()()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP
ni
BPBAP
BPBAP
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)(
1
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乘法定理
.)()(,
,)(
,)(
,.
,)(,
,)(
大比一般来说中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数则用古典概率公式发生的概率中表示在缩小的样本空间而概率发生的中表示在样本空间
ABPABP
S
AB
ABP
S
AB
ABP
B
SABP
ABSABP
A
A
.)()(,2 的区别与积事件概率条件概率 ABPBAP
事件 B为“两次掷出同一面”,现在来求已知事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率,
分析 }.,,,{ TTTHHTHHS?
.2142)(BP
事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率,记为
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.,为反面为正面设 TH
1,引例一、条件概率
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.
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条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设
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2,定义
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则有且为事件设,0)(,,,?ABPCBA
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).()()(,0)( APABPABPAP 则有设二,乘法定理例 1 一盒子装有 4 只产品,其中有 3 只一等品,1只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件 A为“第一次取到的是一等品”,事件 B
为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率
P(B|A).解,4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为号产品号、第别取到第表示第一次、第二次分以
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由条件概率的公式得
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AP
ABPABP?
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2?
例 2 某种动物由出生算起活 20岁以上的概率为
0.8,活到 25岁以上的概率为 0.4,如果现在有一个
20岁的这种动物,问它能活到 25岁以上的概率是多少?
设 A 表示,能活 20 岁以上,的事件，
B 表示,能活 25 岁以上”的事件,
则有
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,4.0)( BP ),()( BPABP?
.218.0 4.0 )( )()( AP ABPABP?所以解例 3 五个阄,其中两个阄内写着“有”
字,三个阄内不写字,五人依次抓取,
问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解
.5,4,3,2,1?i 则有,52)( 1?AP
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抓阄是否与次序有关?
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故抓阄与次序无关,
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.
,
,
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到白球的概率球且第三、四次取试求第一、二次取到红四次若在袋中连续取球的球与所取出的那只球同色只并再放入观察其颜色然后放回任取一只球每次自袋中只白球只红球、设袋中装有
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解 次取到红球”“第为事件设 iiA i )4,3,2,1(?
.43 四次取到白球为事件第三则,A、A
例 4
因此所求概率为
)( 4321 AAAAP
)()()()( 1122133214 APAAPAAAPAAAAP?
.23 tr ratr aratr tatr at
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型,
例 5 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为 9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率,
解以 B 表示事件,透镜落下三次而未打破,,
,321 AAAB?因为
)()( 321 AAAPBP?所以 )()()( 112213 APAAPAAAP?
)211)(1071)(1091(,2003?
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.,,,
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21
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的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义
SBBB
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1,样本空间的划分
1B2B
3B 1?nB? nB
三、全概率公式与贝叶斯公式
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则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
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图示 A
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证明 )( 21 nBBBAASA
.21 nABABAB
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化整为零各个击破说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果,
A
1B2B
3B 1?nB? nB
例 6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%,二厂生产的占 50%,三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为 2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
设事件 A 为“任取一件为次品”,
.3,2,1,”,?iiB i 厂的产品任取一件为为事件
,321 SBBB
解
.3,2,1,, jiBB ji
由全概率公式得
,2.0)(,5.0)(,3.0)( 321 BPBPBP
S
30%
20%
50%2%1%1%
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.0 1 3.02.001.05.001.03.002.0
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.,,2,1,
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3,贝叶斯公式 贝叶斯资料证明
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概率求它是次品的元件在仓库中随机地取一只无区别的标志且仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在提供元件的份额次品率元件制造厂的数据根据以往的记录有以下件制造厂提供的的元件是由三家元某电子设备制造厂所用例 7
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,,
,)2(
试求这些概率是多少家工厂生产的概率分别需求出此次品由三为分析此次品出自何厂次品若已知取到的是元件在仓库中随机地取一只解,“取到的是一只次品”表示设 A
.家工厂提供的”“所取到的产品是由第表示 i
)3,2,1(?iB i
,,,321 的一个划分是样本空间则 SBBB
,05.0)(,80.0)(,15.0)( 321 BPBPBP且
.03.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP
(1) 由 全概率公式得
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.0125.0?
(2) 由 贝叶斯公式得
)(
)()()( 11
1 AP
BPBAPABP?
0125.0
15.002.0,24.0?
,64.0)( )()()( 222 AP BPBAPABP
.12.0)( )()()( 333 AP BPBAPABP
.2 家工厂的可能性最大故这只次品来自第
,
.%95,
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,%98,
,
概率是多少机器调整得良好的品时早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为时每天早上机器开动其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得明对以往数据分析结果表解,“产品合格”为事件设 A
.“机器调整良好”为事件B
则有
,55.0)(,98.0)( BAPBAP
例 8
,05.0)(,95.0)( BPBP
由 贝叶斯公式得所求概率为
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05.055.095.098.0
95.098.0
,97.0?
.97.0
,
整良好的概率为此时机器调是合格品时即当生产出第一件产品上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,叫做 先验概率,
而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97
叫做 后验概率,
先验概率与后验概率
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,0 0 5.0,
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C
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试求即的概率为设被试验的人患有癌症进行普查现在对自然人群有则有癌症”表示事件“被诊断者患以为阳性”
表示事件“试验反应若以验具有如下的效果某种诊断癌症的试根据以往的临床记录
解,95.0)(?CAP因为
,9 9 5.0)(,0 0 5.0)( CPCP
例 9
,05.0)(1)( CAPCAP
由 贝叶斯公式得所求概率为
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CPCAPCPCAP
CPCAPACP
.087.0?
即平均 1000个具有阳性反应的人中大约只有 87人患有癌症,
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全概率公式贝叶斯公式四、小结
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