1
第二章自动控制系统的数学模型
2-1 控制系统微分方程的建立
2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数 (transfer function)
2-4 动态结构图
2-5 系统的脉冲响应函数
2-6 典型反馈系统传递函数返回主目录基本要求
2
基本要求
1.了解建立系统动态微分方程的一般方法 。
2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式 。
3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法 。
4.掌握传递函数的概念及性质 。
5.掌握典型环节的传递函数形式 。
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3
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法 。
7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法 。
8.掌握系统的开环传递函数,闭环传递函数,
对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念 。
4
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。
系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
建立数学模型的方法分为解析法和实验法
5
解析法,依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。
实验法,对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型 。
6
总结,解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
7
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤：
分析各元件的工作原理，明确输入、输出量
建立输入、输出量的动态联系
消去中间变量
标准化微分方程返回子目录
8
列写微分方程的一般方法
例 1,列写如图所示 RC网络的微分方程。
R
Cur uc
i
9
解：由基尔霍夫定律得,
式中,i为流经电阻 R和电容 C的电流,消去中间变量 i,可得,
TRC?令 （ 时间常数 ）,则微分方程为：
i d tiRu Cr 1
id tu Cc 1
(2 1)?
(2 3)?c crduT u udt
(2 2)?c
cr
duR C u u
dt
例 2,设有一弹簧?质量?阻尼动力系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力 F(t)与质量块的位移
y(t)之间的动态方程。
其中弹簧的弹性系数为 k，阻尼器的阻尼系数为 f，质量块的质量为 m。
M
F(t) k
f
y (t)
11
0iF
解,分析质量块 m受力，有外力 F,
弹簧恢复力 Ky（ t）
阻尼力惯性力由于 m受力平衡，所以
( ) /fd y t d t
22/m d y d t
式中,Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。
将各力代入上等式，则得
M
F(t) k
f
y (t)
12
2
2
( ) ( ) ( ) ( )d y t d y tm f Ky t F t
d t d t
( 2 4 )?
式中,y—— m的位移（ m）；
f—— 阻尼系数（ N·s/m);
K —— 弹簧刚度（ N/m)。
将式 (2-4)的微分方程标准化
2
2
( ) ( ) 1( ) ( )m d y t f dy t y t F t
K dt K dt K
13
2
2
2
( ) ( )2 ( ) ( )d y t d y tT T y t k F t
d t d t
(2 5)?
T称为时间常数,为阻尼比。显然，
上式描述了 m－ K－ f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。
令,即
/T m K? 2/T f K /2f m K
,则式 可写成(2 4)?1/kK?
14
2－ 2 非线性微分方程的线性化
在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。
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15
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
对弱非线性的线性化如上图（ a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（ b）和（ c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，
也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
16
在平衡点 A（ x0,y0）处，当系统受到干扰,y
只在 A附近变化，则可对 A处的输出 —输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用 A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。
x
17
可得,简记为 y=kx。
若非线性函数由两个自变量，如 z＝ f（ x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）
0
| xdfy x k xdx
0 0 0 0(,) (,)
||x y x y
v
ffz x y
xy
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（ d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
18
叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。
例,设线性微分方程式为
2 ( ) ( )
( ) ( )d c t dc t c t r tdt dt
若 时，方程有解,而 时，
方程有解,分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 ＋ 时，必存在解为,即为可叠加性。
1( ) ( )r t r t? 1()ct 2( ) ( )r t r t?
2()ct
1( ) ( )r t r t? 2()rt
12( ) ( ) ( )c t c t c t
19
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是 叠加原理 。
若 时,为实数，则方程解为,这就是齐次性。
1( ) ( )r t a r t?
1( ) ( )c t a c t?
a
20
2－ 3 传递函数
(transfer function)
传递函数的概念与定义线性定常 系统在输入、输出 初始条件均为零 的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的 传递函数。
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21
这里，“初始条件为零”有两方面含义：
0?
一指输入作用是 t＝ 0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在 t= 时的值为零。
0?
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
即 t= 时,系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。
22
一、传递函数的概念与定义
G(s)Ur(s) Uc(s)
)s(U
)s(U)s(G
r
c?
23
传递函数是关于复变量 s的 有理真分式,它的分子，分母的阶次是,。nm?
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统,否则无法用拉氏变换导出；
传递函数完全取决于系统内部的结构、参数,
而与输入、输出无关；
传递函数只表明一个特定的输入、输出关系,
对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
24
传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数,
因为 ( ) ( ) ( )G s C s R s? ／
当 时，,所以，( ) ( )r t t ( ) 1Rs?
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )c t L C s L G s R s L G s
一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应 。这将在第四章根轨迹中详述。
传递函数是在零初始条件下建立的,因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。
25
三、传递函数举例说明
例 1.
如图所示的 RLC无源网络，图中电感为 L
（亨利），电阻为 R
（欧姆），电容为 C
（法），试求输入电压 ui(t)与输出电压
uo(t)之间的传递函数。
u
i
R
C u
c
L
i
26
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。 无源网络通常由电阻、电容、电感组成,利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为 R、
1∕Cs,Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
则传递函数为
2
() 1 / 1
( ) 1 / 1
o
i
Us sC
U s L s R sC L C s RC s
( ) 1 / ( )iU s L s R s C I s
( ) 1 / ( )oU s s C I s?
27
四、典型环节
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为 典型环节 。常见的几种形式有：
① 比例环节,传递函数为：
()G s K?
28
② 积分环节,传递函数为
1()Gs
s
③ 微分环节,传递函数为
()G s s?
④ 惯性环节,传递函数为
1()
1
Gs
Ts
⑤ 一阶微分环节,传递函数为
( ) 1G s s
式中：,T 为时间常数。
29
⑥ 二阶振荡环节,传递函数为
22
1()
21
Gs
T s Ts?
式中,T为时间常数,为阻尼系数。
⑦ 二阶微分环节,传递函数为
22( ) 2 1G s s s
式中,为时间常数,为阻尼系数
此外，还经常遇到一种 延迟环节,设延迟时间为,该环节的传递函数为：?
() sG s e
30
2－ 4 动态结构图
动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。
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31
一、动态结构图的概念
系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、
综合点和引出点。
1.信号线表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。
32
2,传递方框
G(s)
方框的两侧为输入信号线和输出信号线，
方框内写入该输入、输出之间的传递函数
G(s)。
33
3,综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。
＋
省略时也表示＋
34
4,引出点表示同一信号传输到几个地方。
()Us
()Us
35
二、动态结构图的基本连接形式
1,串联连接
G1(s) G2(s)X(s) Y(s)
方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。
36
2,并联连接
G1(s)
G2(s)
X(s) －
＋
Y(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为 并联连接 。
37
3,反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
G(s)R(s)
－
C(s)
H(s)
38
三、系统动态结构图的构成
构成原则：
按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。
39
以机电随动系统为例，如下图所示举例说明系统动态结构图的构成
40
其象方程组如下：
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
41
系统各元部件的动态结构图 (1)
)( sr?
)( sc?
)( se?
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
)( sr?
)( sc?
)( se?
42
系统各元部件的动态结构图 (2)
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sU s
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s )( se? sK
)( sU s
43
系统各元部件的动态结构图 (3)
aK
)( sU s )( sU a
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sU s
aK
)( sU a
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
44
系统各元部件的动态结构图 (4)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sU s
aK
)( sU a 1
aaL s R?
()b sE
()a sI
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
45
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
系统各元部件的动态结构图 (5)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
)( sI a
mC
)( sM m
mC
)(sMm
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()b sE
()a sI
46
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
系统各元部件的动态结构图 (6)
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()bsE
()a sI )(sm?
sfJs?2
1
mC
)(sMm
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?)(sM
m
)(sm?
sfJs?2
1
f
47
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
系统各元部件的动态结构图 (7)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
)( sm? sK
b
)( sE b
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()bsE
()a sI )(sm?
sfJs?2
1
mC
)(sMm
bsK
48
系统各元部件的动态结构图 (8)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
)( sm? i1 )( sc?
i1
)( s
c
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()bsE
()a sI )(sm?
sfJs?2
1
mC
)(sMm
bsK
49
四 结构图的等效变换
思路,
在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。
50
1,串联结构的等效变换（１）
串联结构图
G1(s) G2(s)R(s) C(s)
U(s)
51
等效变换证明推导
)()()( 1 sRsGsU?
G1(s) G2(s)R(s) C(s)
U(s)
)()()( 2 sUsGsC?
1,串联结构的等效变换（２）
52
等效变换证明推导
)()(
)(
)(
)()()()(
21
21
sGsG
sR
sC
sRsGsGsC
G1(s) G2(s)R(s) C(s)
U(s)
1,串联结构的等效变换（３）
53
串联结构的等效变换图
G1(s) G2(s)
R(s) C(s)U(s)
G1(s)? G2(s)R(s) C(s)
两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。
1,串联结构的等效变换（４）
54
2,并联结构的等效变换
并联结构图
C1(s)
G1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C2(s)
55
等效变换证明推导 (1)
G1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C1(s)
C2(s)
)()()( 11 sRsGsC?
)()()( 22 sRsGsC?
56
2,并联结构的等效变换
等效变换证明推导
C1(s)G
1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C2(s)
)()(
)(
)(
)()]()([)(
21
21
sGsG
sR
sC
sRsGsGsC
57
并联结构的等效变换图
G1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C1(s)
C2(s)
G1(s)? G2(s)
R(s) C(s)
两个并联的方框可以合并为一个方框，
合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。
58
3,反馈结构的等效变换
反馈结构图
G(s)
R(s)
C(s)
H(s)
B(s)
E(s)
C(s) =?
59
3,反馈结构的等效变换
等效变换证明推导
)(
)()(1
)(
)(
)(),(
)()()(
)()()(
)()()(
sR
sHsG
sG
sC
sBsE
sBsRsE
sHsCsB
sEsGsC
得消去中间变量G(s)R(s)
C(s)
H(s)
B(s)
E(s)
60
3,反馈结构的等效变换
反馈结构的等效变换图
G(s)R(s)
C(s)
H(s)
B(s)
E(s)
R(s) C(s)
)()(1
)(
sGsH
sG
61
4,综合点的移动 （后移）
综合点后移
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
Q(s)？
G(s)R(s) C(s)
62
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
)()]()([)( sGsQsRsC
综合点后移证明推导（ 移动前 ）
63
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
)()()()( sQsGsRsC
综合点后移证明推导（ 移动后 ）
64
)()()()( sQsGsRsC
移动前 )()()()()( sGsQsGsRsC
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
Q(s)
G(s)
R(s) C(s)
？
移动后综合点后移证明推导（ 移动前后 ）
65
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
)(? sG?
)()()()( sQsGsRsC
)()()()( sGsQsGsR
综合点后移证明推导（ 移动后 ）
66
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)G(s)
综合点后移等效关系图
67
G(s)R(s) C(s)
Q(s)
Q(s)？
G(s)?R(s) C(s)
综合点前移
68
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
)()()()( sQsGsRsC
综合点前移证明推导（ 移动前 ）
69
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
)()()()()( sGsQsGsRsC
综合点前移证明推导（ 移动后 ）
70
)()()()( sQsGsRsC
移动前 )()()()( sQsGsRsC
G(s)
R(s) C(s)
Q(s) G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
移动后综合点前移证明推导（ 移动前后 ）
71
4,综合点的移动 （前移）
综合点前移证明推导（ 移动后 ）
)(
1
sG
)()()()()( sGsQsGsRsC
)()()( sQsGsR
G(s)?R(s) C(s)
Q(s)？
72
4,综合点的移动 （前移）
综合点前移等效关系图
G(s)R(s) C(s)
Q(s)
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
1/G(s)
73
综合点之间的移动
R(s) C(s)
Y(s)
X(s)
R(s)
C(s)?
Y(s)
X(s)
74
4.综合点之间的移动
结论：
结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。
R(s) C(s)
Y(s)
X(s)
R(s)
C(s)?
Y(s)
X(s)
75
5,引出点的移动
引出点后移
G(s)R(s) C(s)
R(s)？
G(s)
R(s) C(s)
R(s)
问题：
要保持原来的信号传递关系不变，
？等于什么 。
76
引出点后移等效变换图
G(s)R(s) C(s)
R(s)
G(s)R(s) C(s)
1/G(s)
R(s)
77
引出点前移问题：
要保持原来的信号传递关系不变，
？等于什么。
G(s)
R(s) C(s)
C(s)
G(s)R(s) C(s)
？ C(s)
78
引出点前移等效变换图
G(s)
R(s) C(s)
C(s)
G(s)
R(s) C(s)
G(s)
C(s)
79
引出点之间的移动
A
B R(s) B
A
R(s)
80
引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。
A
B R(s) B
A
R(s)
81
五 举例说明（例 1）
例 1：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数 Qc(s)/Qr(s) 。 K s K a C m
K
b
s
-
M
L
--
r
c
fsJs?
2
1
a
R
1
i
1
82
例题分析
由动态结构图可以看出该系统有两个输入?r,ML
（干扰）。
我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求?c对?r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩
ML＝ 0，即认为 ML不存在。
要点：
结构变换的规律是：由内向外逐步进行。
83
例题化简步骤（ 1)
合并串联环节,
sa
KK
)(
2
fsJsR
C
a
m
i
1
sK
b
r
- -
c
84
例题化简步骤（ 2)
内反馈环节等效变换：
i
KK
sa
)(
mbaa
m
CKfRJ s Rs
C
-
r
c
sa
KK )( 2 fsJsR
C
a
m
i
1
sK
b
r
- -
c
85
例题化简步骤（ 3)
合并串联环节：
iCKRfRJss
KKC
mbaa
sam
][
－
r
c
i
KK
sa
)(
mbaa
m
CKfRJ s Rs
C
-
r
c?
86
例题化简步骤（ 4)
反馈环节等效变换：
iR
CKK
s
R
KC
fJs
iRCKK
a
mas
a
bm
amas
)(
2
r
c
iCKRfRJss
KKC
mbaa
sam
][
－
r? c?
87
例题化简步骤（ 5)
求传递函数 Qc(s)/Qr(s),
iR
CKK
s
R
KC
fJs
iRCKK
s
s
s
a
mas
a
bm
amas
r
c
)()(
)(
)(
2?
88
五 举例说明（例 2）
例 2：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数 C(s)/R(s)。
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR )( sC
－
－
－
89
例 2 （例题分析）
本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。
90
例 2 （解题思路）
解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。
91
例 2 （解题方法一之步骤 1）
将综合点 2后移，然后与综合点 3交换。
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
92
例 2 （解题方法一之步骤 2）
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
R( s) C(s)
1
2
3
- -
-
93
例 2 （解题方法一之步骤 3）
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)()(
22
sHsG
R( s) C(s)
1
2
3
- -
-
94
例 2 （解题方法一之步骤 4）
内反馈环节等效变换
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
3
sG )(4 sG
)(
1
sH
)()(
22
sHsG
R( s) C(s)
1
2
3
- -
-
95
例 2 （解题方法一之步骤 5）
内反馈环节等效变换结果
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)()()(1
)(
232
3
sHsGsG
sG
R(s ) C(s)
1 3
- -
96
例 2 （解题方法一之步骤 6）
串联环节等效变换 )(1 sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)()()(1
)(
232
3
sHsGsG
sG
R(s ) C(s)
1 3
- -
97
例 2 （解题方法一之步骤 7）
串联环节等效变换结果
)(
3
sH
)(
1
sH
)()()(1
)()(
232
43
sHsGsG
sGsG
R( s) C(s)
1 3
)()(
21
sGsG
- -
98
例 2 （解题方法一之步骤 8）
内反馈环节等效变换
)(
3
sH
)(
1
sH
)()()(1
)()(
232
43
sHsGsG
sGsG
R( s) C(s)
1 3
)()(
21
sGsG
- -
99
例 2 （解题方法一之步骤 9）
内反馈环节等效变换结果
)(
1
sH
)()()()()()(1
)()(
343232
43
sHsGsGsHsGsG
sGsG
R (s ) C(s)
1
)()(
21
sGsG
-
100
例 2 （解题方法一之步骤 10）
反馈环节等效变换
)(
1
sH
)()()()()()(1
)()(
343232
43
sHsGsGsHsGsG
sGsG
R (s )
C(s)1
)()(
21
sGsG
-
101
例 2 （解题方法一之步骤 11）
等效变换化简结果
14321343232
4343
)()()(1 HGGGGHGGsHsGsG
GGGG
R(s ) C(s)
102
例 2 （解题方法二）
将综合点 ③ 前移，然后与综合点 ② 交换。
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
103
例 2 （解题方法三）
引出点 A后移
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
104
例 2 （解题方法四）
引出点 B前移
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
105
结构图化简步骤小结
确定输入量与输出量 。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，
求得各自的传递函数。
若结构图中有交叉联系，应运用移动规则,首先将交叉消除,化为无交叉的多回路结构 。
对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。
106
结构图化简注意事项：
有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；
尽量避免综合点和引出点之间的移动。
107
五、用梅森（ S.J.Mason）
公式求传递函数
梅森公式的一般式为：
n
K
KK
P
sG
1
)(
108
梅森公式参数解释：
待求的总传递函数；:)( sG
kjijii LLLLLL1 且称为特征式，
数；条前向通路的总传递函从输入端到输出端第 kP k,
称余子式；除去后所余下的部分，
路所在项条前向通路相接触的回中，将与第在 kk,；递函数”之和所有各回路的“回路传?,iL
积之和；其“回路传递函数”乘两两互不接触的回路，:ji LL?
”乘积之和；路，其“回路传递函数所有三个互不接触的回:kji LLL?
前向通道数；:n
109
注意事项：
,回路传递函数,是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，
并且包含代表反馈极性的 正、负号 。
110
举例说明（梅森公式）
例 1：试求如图所示系统的传递函数 C(s)/R(s) G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
111
求解步骤之一（例 1）
找出前向通路数 n G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
112
求解步骤之一（例 1）
前向通路数,n＝ 1
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
6543211 GGGGGGP?
113
求解步骤之二（例 1）
确定系统中的反馈回路数 G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
114
1.寻找反馈回路之一
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路1,
L
1
= －G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
G
6
H
1
1
115
1.寻找反馈回路之二 G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路2,
L
2
= - G
2
G
3
H
2
2
1
116
1.寻找反馈回路之三 G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路3,
L
3
= - G
4
G
5
H
3
1
2 3
117
1.寻找反馈回路之四
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路4,
L
4
= - G
3
G
4
H
4
1
2 3
4
118
利用梅森公式求传递函数 (1)
4
1
1
.1
i
kjijii
LLLLLL?
求
4
1
4321
i
i LLLLL
4433542321654321 HGGHGGHGGHGGGGGG
))(( 35423232 HGGHGGLLLL ji
325432 HHGGGG?
不存在kji LLL?
119
利用梅森公式求传递函数 (1)
325432443
3542321654321
4
1
1
1
HHGGGGHGG
HGGHGGHGGGGGG
LLLLLL
i
kjijii
120
利用梅森公式求传递函数 (2)
kkP?,.2 求
6543211 GGGGGGP?
1
121
求余子式?1 G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
1
2 3
4
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式 的求法，计算?
1?
122
求余式?1
将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故?1=1
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3G 2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
1
2 3
4
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3G 2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
1
2 3
4
123
利用梅森公式求传递函数 (3)
RC求总传递函数.3
11P
R
C?
3254324433542321654321
654321
1 HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGG
GGGGGG
124
例 2：用梅森公式求传递函数
试求如图所示的系统的传递函数。
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
125
求解步骤之一：确定反馈回路
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGL
126
求解步骤之一：确定反馈回路
1212 HGGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
127
求解步骤之一：确定反馈回路
2323 HGGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
128
求解步骤之一：确定反馈回路
414 GGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
129
求解步骤之一：确定反馈回路
245 HGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
130
求解步骤之二：确定前向通路
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGP?
11
131
求解步骤之二：确定前向通路
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
412 GGP?
2?n前向通路数：
12
132
求解步骤之三：求总传递函数
2441232121321
41321
1 HGGGHGGHGGGGG
GGGGG
R
C
133
例 3：对例 2做简单的修改
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
134
① 求反馈回路 1
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGL
135
② 求反馈回路 2
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
1212 HGGL
136
③ 求反馈回路 3
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
2323 HGGL
137
④ 求反馈回路 4
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
44 GL
138
2,① 两两互不相关的回路 1
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
))(( 121442 HGGGLL
139
② 两两互不相关的回路 2
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
))(( 232443 HGGGLL
140
３,① 求前向通路 1
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGP?
11
141
3,② 求前向通路 2
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
42 GP?
2?n前向通路数：
12 121 HGG? 232 HGG?
142
4.求系统总传递函数
3211 GGGL 1212 HGGL
2323 HGGL 44
GL
))(( 121442 HGGGLL
))(( 232443 HGGGLL
3211 GGGP? 11
42 GP? 12 121 HGG?
232 HGG?
43424321
2211
1 LLLLLLLL
PP
R
C
143
脉冲响应函数即脉冲过渡函数，就是系统对单位脉冲函数 输入的响应，用 k(t)表示。()t?
2－ 5系统的脉冲响应函数由此可知系统（或元件）的传函的拉氏反变换就等于它的脉冲响应。
设系统传函为,而所以有
()s( ) 1,( ) ( )L t L k t K s
( ) ( ) / 1 ( )s K s K s
11( ) ( ) ( )k t L K s L s
概念和定义返回子目录
144
对于任意输入信号 r(t)，系统输出为 c(t)，则
( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s s R s K s R s
用拉氏变换的卷积定理可得：
0( ) ( ) ( )
tc t r k t d
由此可知，对于线性系统，只要知道它的脉冲过渡函数 k(t)，就可以计算出系统对任意输入信号
r(t)的时间响应过程 c(t)。
( 2 5 1)
注：传递函数简称传函（下同）
145
下面用线性系统的叠加原理说明式 (2-5-1)的物理含义
146
设任意输入信号 r(t)，如上图所示，分成一系列宽度为 的相邻矩形脉冲。则一矩形脉冲可表为t?
( ) ( )r n t t t n t(2 5 2)
式中 是发生在 时刻的理想脉冲。
则式 表示的矩形脉冲引起的系统输出为,由物理系统的因果关系，可知当 时，有 。由叠加原理得：
()t n t t n t
( 2 5 2 )
( ) ( )r n t t k t n t
t n t ( ) 0k t n t
0
( ) ( ) ( )
t
nt
c t r n t k t n t t
147
当 时，记,上式可写为0t,t d n t
0( ) ( ) ( )
tc t r k t d
当系统输入为单位阶跃信号时，则 单位阶跃响应 记作 h(t)，由 (2-5-1)式得
00( ) 1 ( ) ( ) ( )
tth t k t d k d
所以知道系统的脉冲响应，就可以惟一确定其单位阶跃响应，反之亦然，即
()() d h tkt
dt?
148
2－ 6 典型反馈系统传递函数
G
1
( s ) G
2
( s )
H (s )
R C
N
B
E
输 入,控制输入 干扰输入输 出,由控制作用产生的输出由干扰作用产生的输出返回子目录
149
一、系统开环传递函数
)()()()( 21 sHsGsGsG?
G
1
(s) G
2
(s)
H(s)
R C
N
B
E不含极性闭环系统 的开环传递函数为：
它是当主反馈回路断开时反馈信号 B(s)与输入信号之间的传递函数。
150
二、系统在 r(t)作用下的闭环传递函数
令 n(t)＝ 0 G 1 (s) G 2 (s)
H(s)
R C
B
E
为：递函数作用下，系统的闭环传在 )()( str?
HGG
GG
sR
sCs
21
21
1)(
)()(
)(1)()()(
21
21 sR
HGG
GGsRssC
151
注：该系统为 负 反馈系统，系统传函中分母为 1+开环传递函数，反之，若主反馈为 正 反馈时，则系统传函为 1－ 开环传函
152
三,系统在 n(t)作用下的闭环传递函数? 令 r(t)＝ 0
G
1
(s)
G
2
(s)
H(s)
N C
函数为：作用下的系统闭环传递干扰 )( tn
HGG
G
sN
sCs
n
21
2
1)(
)()(
)(1)()()(
21
2 sN
HGG
GsNssC
n
153
四、系统总输出线性系统满足叠加原理。
系统总输出的拉氏变换式为：
)()()()()( sRssNssC n
)()()(1
)()()()()(
21
221
sHsGsG
sNsGsRsGsG
154
五、闭环系统的误差传递函数
按上图规定误差为：
G
1
( s ) G
2
( s )
H (s )
R C
N
B
E
e(t) = r(t) - b(t)
E(s)=R(s)-B(s)
155
1,r(t)作用下的系统误差传递函数 ()er s?
此时令 n(t)=0，则结构图如下所示
12
( ) 1()
( ) 1 ( ) ( ) ( )er
Ess
R s G s G s H s
156
此时令 n(t)=0，则结构图如下所示
2,n(t)作用下的系统误差传递函数 ()
en s?
2
12
( ) ( )()()
( ) 1 ( ) ( ) ( )en
G s H sEss
N s G s G s H s
157
3,系统总误差
2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1
( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
e r e nE s s R s s N s
G s H s
R s N s
G s G s H s G s G s H s
G
1
( s ) G
2
( s )
H (s )
R C
N
B
E
158
六、闭环系统的特征方程式
无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一个共同的特点，拥有 相同的分母,这就是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为 闭环系统的特征方程式 。
它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。
159
本章引入了传递函数这一基本概念，概念的引入过程、所介绍的主要内容以及这些内容间的关系可以用示意图表示如下：
考虑负载效应拉氏变换 (零初条件 ) (零初条件 )
(零初条件 )
拉氏变换消元法抽象物理,化学定律简化假定克莱姆法则线性化方法自动控制系统物理模型系统部件微分方程组系统增量动态方程组系统象函数方程组系统动态结构图 (
信号流图 )
梅森公式 结构图等效变换法则
C(s)
系统原理方块图系统输入输出动态关系式传递函数
160
传递函数概念与后几章的关系可用 下 图来表示。
传递函数 单位脉冲响应函数第三章时域分析第四章根轨迹法第五章频率域分析拉氏反变换
sj
第二章自动控制系统的数学模型
2-1 控制系统微分方程的建立
2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数 (transfer function)
2-4 动态结构图
2-5 系统的脉冲响应函数
2-6 典型反馈系统传递函数返回主目录基本要求
2
基本要求
1.了解建立系统动态微分方程的一般方法 。
2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式 。
3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法 。
4.掌握传递函数的概念及性质 。
5.掌握典型环节的传递函数形式 。
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3
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法 。
7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法 。
8.掌握系统的开环传递函数,闭环传递函数,
对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念 。
4
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。
系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
建立数学模型的方法分为解析法和实验法
5
解析法,依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。
实验法,对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型 。
6
总结,解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
7
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤：
分析各元件的工作原理，明确输入、输出量
建立输入、输出量的动态联系
消去中间变量
标准化微分方程返回子目录
8
列写微分方程的一般方法
例 1,列写如图所示 RC网络的微分方程。
R
Cur uc
i
9
解：由基尔霍夫定律得,
式中,i为流经电阻 R和电容 C的电流,消去中间变量 i,可得,
TRC?令 （ 时间常数 ）,则微分方程为：
i d tiRu Cr 1
id tu Cc 1
(2 1)?
(2 3)?c crduT u udt
(2 2)?c
cr
duR C u u
dt
例 2,设有一弹簧?质量?阻尼动力系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力 F(t)与质量块的位移
y(t)之间的动态方程。
其中弹簧的弹性系数为 k，阻尼器的阻尼系数为 f，质量块的质量为 m。
M
F(t) k
f
y (t)
11
0iF
解,分析质量块 m受力，有外力 F,
弹簧恢复力 Ky（ t）
阻尼力惯性力由于 m受力平衡，所以
( ) /fd y t d t
22/m d y d t
式中,Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。
将各力代入上等式，则得
M
F(t) k
f
y (t)
12
2
2
( ) ( ) ( ) ( )d y t d y tm f Ky t F t
d t d t
( 2 4 )?
式中,y—— m的位移（ m）；
f—— 阻尼系数（ N·s/m);
K —— 弹簧刚度（ N/m)。
将式 (2-4)的微分方程标准化
2
2
( ) ( ) 1( ) ( )m d y t f dy t y t F t
K dt K dt K
13
2
2
2
( ) ( )2 ( ) ( )d y t d y tT T y t k F t
d t d t
(2 5)?
T称为时间常数,为阻尼比。显然，
上式描述了 m－ K－ f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。
令,即
/T m K? 2/T f K /2f m K
,则式 可写成(2 4)?1/kK?
14
2－ 2 非线性微分方程的线性化
在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。
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15
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
对弱非线性的线性化如上图（ a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（ b）和（ c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，
也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
16
在平衡点 A（ x0,y0）处，当系统受到干扰,y
只在 A附近变化，则可对 A处的输出 —输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用 A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。
x
17
可得,简记为 y=kx。
若非线性函数由两个自变量，如 z＝ f（ x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）
0
| xdfy x k xdx
0 0 0 0(,) (,)
||x y x y
v
ffz x y
xy
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（ d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
18
叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。
例,设线性微分方程式为
2 ( ) ( )
( ) ( )d c t dc t c t r tdt dt
若 时，方程有解,而 时，
方程有解,分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 ＋ 时，必存在解为,即为可叠加性。
1( ) ( )r t r t? 1()ct 2( ) ( )r t r t?
2()ct
1( ) ( )r t r t? 2()rt
12( ) ( ) ( )c t c t c t
19
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是 叠加原理 。
若 时,为实数，则方程解为,这就是齐次性。
1( ) ( )r t a r t?
1( ) ( )c t a c t?
a
20
2－ 3 传递函数
(transfer function)
传递函数的概念与定义线性定常 系统在输入、输出 初始条件均为零 的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的 传递函数。
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21
这里，“初始条件为零”有两方面含义：
0?
一指输入作用是 t＝ 0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在 t= 时的值为零。
0?
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
即 t= 时,系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。
22
一、传递函数的概念与定义
G(s)Ur(s) Uc(s)
)s(U
)s(U)s(G
r
c?
23
传递函数是关于复变量 s的 有理真分式,它的分子，分母的阶次是,。nm?
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统,否则无法用拉氏变换导出；
传递函数完全取决于系统内部的结构、参数,
而与输入、输出无关；
传递函数只表明一个特定的输入、输出关系,
对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
24
传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数,
因为 ( ) ( ) ( )G s C s R s? ／
当 时，,所以，( ) ( )r t t ( ) 1Rs?
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )c t L C s L G s R s L G s
一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应 。这将在第四章根轨迹中详述。
传递函数是在零初始条件下建立的,因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。
25
三、传递函数举例说明
例 1.
如图所示的 RLC无源网络，图中电感为 L
（亨利），电阻为 R
（欧姆），电容为 C
（法），试求输入电压 ui(t)与输出电压
uo(t)之间的传递函数。
u
i
R
C u
c
L
i
26
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。 无源网络通常由电阻、电容、电感组成,利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为 R、
1∕Cs,Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
则传递函数为
2
() 1 / 1
( ) 1 / 1
o
i
Us sC
U s L s R sC L C s RC s
( ) 1 / ( )iU s L s R s C I s
( ) 1 / ( )oU s s C I s?
27
四、典型环节
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为 典型环节 。常见的几种形式有：
① 比例环节,传递函数为：
()G s K?
28
② 积分环节,传递函数为
1()Gs
s
③ 微分环节,传递函数为
()G s s?
④ 惯性环节,传递函数为
1()
1
Gs
Ts
⑤ 一阶微分环节,传递函数为
( ) 1G s s
式中：,T 为时间常数。
29
⑥ 二阶振荡环节,传递函数为
22
1()
21
Gs
T s Ts?
式中,T为时间常数,为阻尼系数。
⑦ 二阶微分环节,传递函数为
22( ) 2 1G s s s
式中,为时间常数,为阻尼系数
此外，还经常遇到一种 延迟环节,设延迟时间为,该环节的传递函数为：?
() sG s e
30
2－ 4 动态结构图
动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。
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31
一、动态结构图的概念
系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、
综合点和引出点。
1.信号线表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。
32
2,传递方框
G(s)
方框的两侧为输入信号线和输出信号线，
方框内写入该输入、输出之间的传递函数
G(s)。
33
3,综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。
＋
省略时也表示＋
34
4,引出点表示同一信号传输到几个地方。
()Us
()Us
35
二、动态结构图的基本连接形式
1,串联连接
G1(s) G2(s)X(s) Y(s)
方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。
36
2,并联连接
G1(s)
G2(s)
X(s) －
＋
Y(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为 并联连接 。
37
3,反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
G(s)R(s)
－
C(s)
H(s)
38
三、系统动态结构图的构成
构成原则：
按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。
39
以机电随动系统为例，如下图所示举例说明系统动态结构图的构成
40
其象方程组如下：
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
41
系统各元部件的动态结构图 (1)
)( sr?
)( sc?
)( se?
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
)( sr?
)( sc?
)( se?
42
系统各元部件的动态结构图 (2)
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sU s
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s )( se? sK
)( sU s
43
系统各元部件的动态结构图 (3)
aK
)( sU s )( sU a
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sU s
aK
)( sU a
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
44
系统各元部件的动态结构图 (4)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sU s
aK
)( sU a 1
aaL s R?
()b sE
()a sI
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
45
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
系统各元部件的动态结构图 (5)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
)( sI a
mC
)( sM m
mC
)(sMm
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()b sE
()a sI
46
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
系统各元部件的动态结构图 (6)
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()bsE
()a sI )(sm?
sfJs?2
1
mC
)(sMm
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?)(sM
m
)(sm?
sfJs?2
1
f
47
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M f s s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
系统各元部件的动态结构图 (7)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
)( sm? sK
b
)( sE b
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()bsE
()a sI )(sm?
sfJs?2
1
mC
)(sMm
bsK
48
系统各元部件的动态结构图 (8)
( ) ( ) ( )
( )
a a a a a
b
U s R I s L s I s
Es
( ) ( ) ( )e r cs s s
( ) ( )s s eU s K s
( ) ( )a a sU s K U s?
( ) ( )m m aM s C I s?
2 ( ) ( )m m mJ s s M fs s
1( ) ( )
cmssi
( ) ( )b b mE s K s s
)( sm? i1 )( sc?
i1
)( s
c
)( sr?
)( sc?
)( se?
sK
)(sUs
aK
)(sU a 1
aaLs R?
()bsE
()a sI )(sm?
sfJs?2
1
mC
)(sMm
bsK
49
四 结构图的等效变换
思路,
在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。
50
1,串联结构的等效变换（１）
串联结构图
G1(s) G2(s)R(s) C(s)
U(s)
51
等效变换证明推导
)()()( 1 sRsGsU?
G1(s) G2(s)R(s) C(s)
U(s)
)()()( 2 sUsGsC?
1,串联结构的等效变换（２）
52
等效变换证明推导
)()(
)(
)(
)()()()(
21
21
sGsG
sR
sC
sRsGsGsC
G1(s) G2(s)R(s) C(s)
U(s)
1,串联结构的等效变换（３）
53
串联结构的等效变换图
G1(s) G2(s)
R(s) C(s)U(s)
G1(s)? G2(s)R(s) C(s)
两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。
1,串联结构的等效变换（４）
54
2,并联结构的等效变换
并联结构图
C1(s)
G1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C2(s)
55
等效变换证明推导 (1)
G1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C1(s)
C2(s)
)()()( 11 sRsGsC?
)()()( 22 sRsGsC?
56
2,并联结构的等效变换
等效变换证明推导
C1(s)G
1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C2(s)
)()(
)(
)(
)()]()([)(
21
21
sGsG
sR
sC
sRsGsGsC
57
并联结构的等效变换图
G1(s)
G2(s)
R(s)?
C(s)
C1(s)
C2(s)
G1(s)? G2(s)
R(s) C(s)
两个并联的方框可以合并为一个方框，
合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。
58
3,反馈结构的等效变换
反馈结构图
G(s)
R(s)
C(s)
H(s)
B(s)
E(s)
C(s) =?
59
3,反馈结构的等效变换
等效变换证明推导
)(
)()(1
)(
)(
)(),(
)()()(
)()()(
)()()(
sR
sHsG
sG
sC
sBsE
sBsRsE
sHsCsB
sEsGsC
得消去中间变量G(s)R(s)
C(s)
H(s)
B(s)
E(s)
60
3,反馈结构的等效变换
反馈结构的等效变换图
G(s)R(s)
C(s)
H(s)
B(s)
E(s)
R(s) C(s)
)()(1
)(
sGsH
sG
61
4,综合点的移动 （后移）
综合点后移
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
Q(s)？
G(s)R(s) C(s)
62
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
)()]()([)( sGsQsRsC
综合点后移证明推导（ 移动前 ）
63
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
)()()()( sQsGsRsC
综合点后移证明推导（ 移动后 ）
64
)()()()( sQsGsRsC
移动前 )()()()()( sGsQsGsRsC
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
Q(s)
G(s)
R(s) C(s)
？
移动后综合点后移证明推导（ 移动前后 ）
65
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
)(? sG?
)()()()( sQsGsRsC
)()()()( sGsQsGsR
综合点后移证明推导（ 移动后 ）
66
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)G(s)
综合点后移等效关系图
67
G(s)R(s) C(s)
Q(s)
Q(s)？
G(s)?R(s) C(s)
综合点前移
68
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
)()()()( sQsGsRsC
综合点前移证明推导（ 移动前 ）
69
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
)()()()()( sGsQsGsRsC
综合点前移证明推导（ 移动后 ）
70
)()()()( sQsGsRsC
移动前 )()()()( sQsGsRsC
G(s)
R(s) C(s)
Q(s) G(s)
R(s) C(s)
Q(s)？
移动后综合点前移证明推导（ 移动前后 ）
71
4,综合点的移动 （前移）
综合点前移证明推导（ 移动后 ）
)(
1
sG
)()()()()( sGsQsGsRsC
)()()( sQsGsR
G(s)?R(s) C(s)
Q(s)？
72
4,综合点的移动 （前移）
综合点前移等效关系图
G(s)R(s) C(s)
Q(s)
G(s)
R(s) C(s)
Q(s)
1/G(s)
73
综合点之间的移动
R(s) C(s)
Y(s)
X(s)
R(s)
C(s)?
Y(s)
X(s)
74
4.综合点之间的移动
结论：
结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。
R(s) C(s)
Y(s)
X(s)
R(s)
C(s)?
Y(s)
X(s)
75
5,引出点的移动
引出点后移
G(s)R(s) C(s)
R(s)？
G(s)
R(s) C(s)
R(s)
问题：
要保持原来的信号传递关系不变，
？等于什么 。
76
引出点后移等效变换图
G(s)R(s) C(s)
R(s)
G(s)R(s) C(s)
1/G(s)
R(s)
77
引出点前移问题：
要保持原来的信号传递关系不变，
？等于什么。
G(s)
R(s) C(s)
C(s)
G(s)R(s) C(s)
？ C(s)
78
引出点前移等效变换图
G(s)
R(s) C(s)
C(s)
G(s)
R(s) C(s)
G(s)
C(s)
79
引出点之间的移动
A
B R(s) B
A
R(s)
80
引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。
A
B R(s) B
A
R(s)
81
五 举例说明（例 1）
例 1：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数 Qc(s)/Qr(s) 。 K s K a C m
K
b
s
-
M
L
--
r
c
fsJs?
2
1
a
R
1
i
1
82
例题分析
由动态结构图可以看出该系统有两个输入?r,ML
（干扰）。
我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求?c对?r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩
ML＝ 0，即认为 ML不存在。
要点：
结构变换的规律是：由内向外逐步进行。
83
例题化简步骤（ 1)
合并串联环节,
sa
KK
)(
2
fsJsR
C
a
m
i
1
sK
b
r
- -
c
84
例题化简步骤（ 2)
内反馈环节等效变换：
i
KK
sa
)(
mbaa
m
CKfRJ s Rs
C
-
r
c
sa
KK )( 2 fsJsR
C
a
m
i
1
sK
b
r
- -
c
85
例题化简步骤（ 3)
合并串联环节：
iCKRfRJss
KKC
mbaa
sam
][
－
r
c
i
KK
sa
)(
mbaa
m
CKfRJ s Rs
C
-
r
c?
86
例题化简步骤（ 4)
反馈环节等效变换：
iR
CKK
s
R
KC
fJs
iRCKK
a
mas
a
bm
amas
)(
2
r
c
iCKRfRJss
KKC
mbaa
sam
][
－
r? c?
87
例题化简步骤（ 5)
求传递函数 Qc(s)/Qr(s),
iR
CKK
s
R
KC
fJs
iRCKK
s
s
s
a
mas
a
bm
amas
r
c
)()(
)(
)(
2?
88
五 举例说明（例 2）
例 2：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数 C(s)/R(s)。
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR )( sC
－
－
－
89
例 2 （例题分析）
本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。
90
例 2 （解题思路）
解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。
91
例 2 （解题方法一之步骤 1）
将综合点 2后移，然后与综合点 3交换。
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
92
例 2 （解题方法一之步骤 2）
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
R( s) C(s)
1
2
3
- -
-
93
例 2 （解题方法一之步骤 3）
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)()(
22
sHsG
R( s) C(s)
1
2
3
- -
-
94
例 2 （解题方法一之步骤 4）
内反馈环节等效变换
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
3
sG )(4 sG
)(
1
sH
)()(
22
sHsG
R( s) C(s)
1
2
3
- -
-
95
例 2 （解题方法一之步骤 5）
内反馈环节等效变换结果
)(
1
sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)()()(1
)(
232
3
sHsGsG
sG
R(s ) C(s)
1 3
- -
96
例 2 （解题方法一之步骤 6）
串联环节等效变换 )(1 sG
)(
3
sH
)(
2
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)()()(1
)(
232
3
sHsGsG
sG
R(s ) C(s)
1 3
- -
97
例 2 （解题方法一之步骤 7）
串联环节等效变换结果
)(
3
sH
)(
1
sH
)()()(1
)()(
232
43
sHsGsG
sGsG
R( s) C(s)
1 3
)()(
21
sGsG
- -
98
例 2 （解题方法一之步骤 8）
内反馈环节等效变换
)(
3
sH
)(
1
sH
)()()(1
)()(
232
43
sHsGsG
sGsG
R( s) C(s)
1 3
)()(
21
sGsG
- -
99
例 2 （解题方法一之步骤 9）
内反馈环节等效变换结果
)(
1
sH
)()()()()()(1
)()(
343232
43
sHsGsGsHsGsG
sGsG
R (s ) C(s)
1
)()(
21
sGsG
-
100
例 2 （解题方法一之步骤 10）
反馈环节等效变换
)(
1
sH
)()()()()()(1
)()(
343232
43
sHsGsGsHsGsG
sGsG
R (s )
C(s)1
)()(
21
sGsG
-
101
例 2 （解题方法一之步骤 11）
等效变换化简结果
14321343232
4343
)()()(1 HGGGGHGGsHsGsG
GGGG
R(s ) C(s)
102
例 2 （解题方法二）
将综合点 ③ 前移，然后与综合点 ② 交换。
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
103
例 2 （解题方法三）
引出点 A后移
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
104
例 2 （解题方法四）
引出点 B前移
)(
1
sG )(
2
sG )(
3
sG )(
4
sG
)(
1
sH
)(
3
sH
)(
2
sH
)( sR
)( sC
－
－
－
1
2
3
A
B C
105
结构图化简步骤小结
确定输入量与输出量 。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，
求得各自的传递函数。
若结构图中有交叉联系，应运用移动规则,首先将交叉消除,化为无交叉的多回路结构 。
对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。
106
结构图化简注意事项：
有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；
尽量避免综合点和引出点之间的移动。
107
五、用梅森（ S.J.Mason）
公式求传递函数
梅森公式的一般式为：
n
K
KK
P
sG
1
)(
108
梅森公式参数解释：
待求的总传递函数；:)( sG
kjijii LLLLLL1 且称为特征式，
数；条前向通路的总传递函从输入端到输出端第 kP k,
称余子式；除去后所余下的部分，
路所在项条前向通路相接触的回中，将与第在 kk,；递函数”之和所有各回路的“回路传?,iL
积之和；其“回路传递函数”乘两两互不接触的回路，:ji LL?
”乘积之和；路，其“回路传递函数所有三个互不接触的回:kji LLL?
前向通道数；:n
109
注意事项：
,回路传递函数,是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，
并且包含代表反馈极性的 正、负号 。
110
举例说明（梅森公式）
例 1：试求如图所示系统的传递函数 C(s)/R(s) G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
111
求解步骤之一（例 1）
找出前向通路数 n G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
112
求解步骤之一（例 1）
前向通路数,n＝ 1
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
6543211 GGGGGGP?
113
求解步骤之二（例 1）
确定系统中的反馈回路数 G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
114
1.寻找反馈回路之一
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路1,
L
1
= －G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
G
6
H
1
1
115
1.寻找反馈回路之二 G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路2,
L
2
= - G
2
G
3
H
2
2
1
116
1.寻找反馈回路之三 G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路3,
L
3
= - G
4
G
5
H
3
1
2 3
117
1.寻找反馈回路之四
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
反馈回路4,
L
4
= - G
3
G
4
H
4
1
2 3
4
118
利用梅森公式求传递函数 (1)
4
1
1
.1
i
kjijii
LLLLLL?
求
4
1
4321
i
i LLLLL
4433542321654321 HGGHGGHGGHGGGGGG
))(( 35423232 HGGHGGLLLL ji
325432 HHGGGG?
不存在kji LLL?
119
利用梅森公式求传递函数 (1)
325432443
3542321654321
4
1
1
1
HHGGGGHGG
HGGHGGHGGGGGG
LLLLLL
i
kjijii
120
利用梅森公式求传递函数 (2)
kkP?,.2 求
6543211 GGGGGGP?
1
121
求余子式?1 G 1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3
G
2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
1
2 3
4
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式 的求法，计算?
1?
122
求余式?1
将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故?1=1
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3G 2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
1
2 3
4
G
1
H
1
H
2
H
3
G
6
H
4
G
5
G
4
G
3G 2
R (s ) C (s )
-
-
-
-
1
2 3
4
123
利用梅森公式求传递函数 (3)
RC求总传递函数.3
11P
R
C?
3254324433542321654321
654321
1 HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGG
GGGGGG
124
例 2：用梅森公式求传递函数
试求如图所示的系统的传递函数。
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
125
求解步骤之一：确定反馈回路
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGL
126
求解步骤之一：确定反馈回路
1212 HGGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
127
求解步骤之一：确定反馈回路
2323 HGGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
128
求解步骤之一：确定反馈回路
414 GGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
129
求解步骤之一：确定反馈回路
245 HGL
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
130
求解步骤之二：确定前向通路
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGP?
11
131
求解步骤之二：确定前向通路
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
412 GGP?
2?n前向通路数：
12
132
求解步骤之三：求总传递函数
2441232121321
41321
1 HGGGHGGHGGGGG
GGGGG
R
C
133
例 3：对例 2做简单的修改
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
134
① 求反馈回路 1
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGL
135
② 求反馈回路 2
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
1212 HGGL
136
③ 求反馈回路 3
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
2323 HGGL
137
④ 求反馈回路 4
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
44 GL
138
2,① 两两互不相关的回路 1
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
))(( 121442 HGGGLL
139
② 两两互不相关的回路 2
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
))(( 232443 HGGGLL
140
３,① 求前向通路 1
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
3211 GGGP?
11
141
3,② 求前向通路 2
G
1
H
1
H
2
G
4
G
3
G
2
R C
42 GP?
2?n前向通路数：
12 121 HGG? 232 HGG?
142
4.求系统总传递函数
3211 GGGL 1212 HGGL
2323 HGGL 44
GL
))(( 121442 HGGGLL
))(( 232443 HGGGLL
3211 GGGP? 11
42 GP? 12 121 HGG?
232 HGG?
43424321
2211
1 LLLLLLLL
PP
R
C
143
脉冲响应函数即脉冲过渡函数，就是系统对单位脉冲函数 输入的响应，用 k(t)表示。()t?
2－ 5系统的脉冲响应函数由此可知系统（或元件）的传函的拉氏反变换就等于它的脉冲响应。
设系统传函为,而所以有
()s( ) 1,( ) ( )L t L k t K s
( ) ( ) / 1 ( )s K s K s
11( ) ( ) ( )k t L K s L s
概念和定义返回子目录
144
对于任意输入信号 r(t)，系统输出为 c(t)，则
( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s s R s K s R s
用拉氏变换的卷积定理可得：
0( ) ( ) ( )
tc t r k t d
由此可知，对于线性系统，只要知道它的脉冲过渡函数 k(t)，就可以计算出系统对任意输入信号
r(t)的时间响应过程 c(t)。
( 2 5 1)
注：传递函数简称传函（下同）
145
下面用线性系统的叠加原理说明式 (2-5-1)的物理含义
146
设任意输入信号 r(t)，如上图所示，分成一系列宽度为 的相邻矩形脉冲。则一矩形脉冲可表为t?
( ) ( )r n t t t n t(2 5 2)
式中 是发生在 时刻的理想脉冲。
则式 表示的矩形脉冲引起的系统输出为,由物理系统的因果关系，可知当 时，有 。由叠加原理得：
()t n t t n t
( 2 5 2 )
( ) ( )r n t t k t n t
t n t ( ) 0k t n t
0
( ) ( ) ( )
t
nt
c t r n t k t n t t
147
当 时，记,上式可写为0t,t d n t
0( ) ( ) ( )
tc t r k t d
当系统输入为单位阶跃信号时，则 单位阶跃响应 记作 h(t)，由 (2-5-1)式得
00( ) 1 ( ) ( ) ( )
tth t k t d k d
所以知道系统的脉冲响应，就可以惟一确定其单位阶跃响应，反之亦然，即
()() d h tkt
dt?
148
2－ 6 典型反馈系统传递函数
G
1
( s ) G
2
( s )
H (s )
R C
N
B
E
输 入,控制输入 干扰输入输 出,由控制作用产生的输出由干扰作用产生的输出返回子目录
149
一、系统开环传递函数
)()()()( 21 sHsGsGsG?
G
1
(s) G
2
(s)
H(s)
R C
N
B
E不含极性闭环系统 的开环传递函数为：
它是当主反馈回路断开时反馈信号 B(s)与输入信号之间的传递函数。
150
二、系统在 r(t)作用下的闭环传递函数
令 n(t)＝ 0 G 1 (s) G 2 (s)
H(s)
R C
B
E
为：递函数作用下，系统的闭环传在 )()( str?
HGG
GG
sR
sCs
21
21
1)(
)()(
)(1)()()(
21
21 sR
HGG
GGsRssC
151
注：该系统为 负 反馈系统，系统传函中分母为 1+开环传递函数，反之，若主反馈为 正 反馈时，则系统传函为 1－ 开环传函
152
三,系统在 n(t)作用下的闭环传递函数? 令 r(t)＝ 0
G
1
(s)
G
2
(s)
H(s)
N C
函数为：作用下的系统闭环传递干扰 )( tn
HGG
G
sN
sCs
n
21
2
1)(
)()(
)(1)()()(
21
2 sN
HGG
GsNssC
n
153
四、系统总输出线性系统满足叠加原理。
系统总输出的拉氏变换式为：
)()()()()( sRssNssC n
)()()(1
)()()()()(
21
221
sHsGsG
sNsGsRsGsG
154
五、闭环系统的误差传递函数
按上图规定误差为：
G
1
( s ) G
2
( s )
H (s )
R C
N
B
E
e(t) = r(t) - b(t)
E(s)=R(s)-B(s)
155
1,r(t)作用下的系统误差传递函数 ()er s?
此时令 n(t)=0，则结构图如下所示
12
( ) 1()
( ) 1 ( ) ( ) ( )er
Ess
R s G s G s H s
156
此时令 n(t)=0，则结构图如下所示
2,n(t)作用下的系统误差传递函数 ()
en s?
2
12
( ) ( )()()
( ) 1 ( ) ( ) ( )en
G s H sEss
N s G s G s H s
157
3,系统总误差
2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1
( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
e r e nE s s R s s N s
G s H s
R s N s
G s G s H s G s G s H s
G
1
( s ) G
2
( s )
H (s )
R C
N
B
E
158
六、闭环系统的特征方程式
无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一个共同的特点，拥有 相同的分母,这就是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为 闭环系统的特征方程式 。
它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。
159
本章引入了传递函数这一基本概念，概念的引入过程、所介绍的主要内容以及这些内容间的关系可以用示意图表示如下：
考虑负载效应拉氏变换 (零初条件 ) (零初条件 )
(零初条件 )
拉氏变换消元法抽象物理,化学定律简化假定克莱姆法则线性化方法自动控制系统物理模型系统部件微分方程组系统增量动态方程组系统象函数方程组系统动态结构图 (
信号流图 )
梅森公式 结构图等效变换法则
C(s)
系统原理方块图系统输入输出动态关系式传递函数
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传递函数概念与后几章的关系可用 下 图来表示。
传递函数 单位脉冲响应函数第三章时域分析第四章根轨迹法第五章频率域分析拉氏反变换
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