1
第 3章 时域分析法
3－ 1 时域分析基础
3－ 2 一、二阶系统分析与计算
3－ 3 系统稳定性分析
3－ 4 稳态误差分析计算基本要求返回主目录
2
基本要求
1 熟练掌握一,二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点 。 熟练计算性能指标和结构参数,
特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法 。
2 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点 。
3 正确理解系统稳定性的概念,能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算,分析 。
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3
4 正确理解稳态误差的概念,明确终值定理的应用条件 。
5 熟练掌握计算稳态误差的方法 。
6 掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
北京航空航天大学
4
控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，
根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，
都是建立在这个基础上的。
5
3－ 1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。
这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。
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6
二、典型初始状态，典型外作用
1,典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为 零 状态。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。
7
2,典型外作用
① 单位阶跃函数 1(t)
t
f(t)
0
<
==
0t0
0t1)t(1)t(f
其拉氏变换为：
s
1dte1)s(F)]t(f[L
0
st ===?
-
其数学表达式为：
8
t
② 单位斜坡函数
0t
0t
0
t)t(1t)t(f
<
=.=
其拉氏变换为：
2
0
st
s
1dtet)s(F)]t(f[L === -
f(t)
0
其数学表达式为：
9
③ 单位脉冲函数
0
00)()(
=
== t
tttf d
其数学表达式为：
其拉氏变换为：
1)()]([ == sFtfL?
-
=1)( dttd定义：
图中 1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。
10
④ 正弦函数其拉氏变换为：
22
0
sin)()]([ ωs ωdteωtsFtfL st?===?
-
0
0
0
sin)(
<
=
t
tωttf
其数学表达式为：
f(t)
11
三、典型时间响应
初状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。
12
1,单位阶跃响应定义：系统在单位阶跃输入 [r(t)=1(t)]作用下的响应，
常用 h(t)表示。
()s?若系统的闭环传函为,
则 h(t)的拉氏变换为
1( ) ( )h t L H s-=故
1( ) ( ) ( ) ( )H s s R s s
s= =(3 1 1)--
13
2,单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入 [r(t)=t·1(t)]作用下的响应，常用 表示。()
tct
故
1( ) ( )
ttc t L C s
-=
则有
2
1( ) ( ) ( ) ( )
tC s s R s s s= =
(3 1 2 )--
14
3,单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入
r(t)=δ(t)
作用下的响应，常用 k(t)表示。
注：关于正弦响应，将在第五章里讨论故11( ) ( ) ( )k t L K s L s--= =?
则有
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )K s s R s s s= = =?(3 1 3)--
15
4.三种响应之间的关系由式 (3-1-3)可将式 (3-1-1)和式 (3-1-2)写为：
11( ) ( ) ( )H s s K s
ss= =?
22
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
tC s s K s H ss s s= =? =?
相应的时域表达式为
0( ) ( )
th t k d=?
0( ) ( )
t
tc t h d=?
16
四、阶跃响应的性能指标
t
)(th
)( pth
1
pt st
误差带
0
17
1、峰值时间 tp：指 h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。
2、超调量?％,指 h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。
3、调节时间 ts：指响应曲线中,h(t)进入稳态值附近?5%h(?)或?2%h(?)误差带，而不再超出的最小时间。
4、稳态误差 ess：指响应的稳态值与期望值之差。
18
注意事项：
。％和而没有稳态误差入，则只有而言的，对于非阶跃输应三项指标是针对阶跃响及
sss
sss
te
et
,
%,
19
3－ 2 一、二阶系统分析与计算
定义：
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应返回子目录
20
一阶系统数学模型微分方程：
动态结构图：
传递函数：
)()()( trtc
dt
tdcT =?
1
1
)(
)(
=
TssR
sC
Ts
1)( sR )( sC
21
一阶系统单位阶跃响应输入：
输出：
)(1)( ttr =
s
sR 1)( =
sTs
sRssC 1
1
1)()()(?
=?=?
T
t
etC
-
-= 1)(
22
单位阶跃响应曲线初始斜率：
0
( ) 1|
t
d h t
d t T= =
23
性能指标
1,平稳性：
2,快速性 ts：
3.准确性 ess：
非周期、无振荡, ＝ 0
]%5[95.0)(3 误差带对应时,== tcTt
]%2[98.0)(4 误差带对应时,== tcTt
0)(1 =?-= ce ss
举例说明（一阶系统）
一阶系统如图所示，
试求：
1,当 KH＝ 0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间 ts，放大倍数
K，稳态误差 ess；
2,如果要求 ts＝ 0.1秒，
试问系统的反馈系数
KH应调整为何值？
3,讨论 KH的大小对系统性能的影响及 KH
与 ess的关系。
看懂例题 3-1并回答上述各题
s
100)( sR )( sC
H
K
)( sE
)( sB
100
s
HK
25
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义：
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
26
二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：
- 阻 尼 比无阻尼振荡频率-n?
2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
n n n
d c t d c t c t r t
d t d t =
( 0 )n? >
27
二阶系统的反馈结构图
)2(
2
n
n
ss
)( sR
)( sC
2
( 2 )
n
nss
28
二阶系统的传递函数开环传递函数：
2
22
()
( ) 2
n
nn
Cs
R s s s
=
2
()
( 2 )
n
n
Gs
ss
=
闭环传递函数：
29
二阶系统的特征方程为
2220
nnss =
解方程求得特征根,
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
120 1 2() s t s tc t A A e A e=
式中 为由 r(t)和初始条件确定的待定的系数。 0 1 2
,,A A A
s1,s2完全取决于,?n两个参数。
21,2 1nns= -? -
30
此时 s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。
01?<<① 特征根分析 — （欠阻尼）
2
1,2 1nns s j= -? -
31
② 特征根分析 — （ 临界阻尼）
此时 s1,s2为一对相等的负实根。
s1=s2=-?n
2
1,2 1n n ns= -? - = -
1? =
32
⑷ 特征根分析 — （过阻尼）
此时 s1,s2
为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。
2
1,2 1nns= -? -
1? >
33
⑤ 特征根分析 — （零阻尼）
此时 s1,s2为一对纯虚根，
位于虚轴上。
S1,2=?j?n
2
1,2 1n n nsj= -? - =?
0? =
34
⑥ 特征根分析 — （负阻尼）
此时 s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。
2
1,2 1nnsj= -? -
10?- < <
35
⑦ 特征根分析 — （负阻尼）
此时 s1,s2为两个正实根，
且位于复平面的正实轴上。
2
1,2 1nns= -? -
1? <-
36
二阶系统单位阶跃响应
211 1 1 /nnsT= -? - = -
1.过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应
222 1 1 /nnsT= - - - = -
2
1 2 1 2
1 1 1()
( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )
nCs
s s s s s T s T s s
=? =?
- -
取 C(s)拉氏反变换得：
12
11
2 1 1 2
11( ) 1,( 0 )
/ 1 / 1
tt
TTh t e e t
T T T T
--
=
--
(3 1 4 )--
( 1)? >
37
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；
衰减项前的系数一个大，一个小；
二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；
离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。
38
过阻尼系统单位阶跃响应
t
c(t)
0
39
与一阶系统阶跃响应的比较
t
c(t)
0
二阶过阻尼系统一阶系统响应
1
40
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
0.2 =％响应没有振荡?
0)]()([l i m.1 =-= tctre tss误差对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论,
它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定 的表达式是很困难的，
一般根据 （ 3－ 1－ 4） 取相对量 及 经计算机计算后制成曲线或表格。
st
st
1/stT 12/TT
41
2.欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应(0 1)?<<
21,2 1nnsj= -? -
dj-=
2
22
()
( ) 2
n
nn
Cs
R s s s
=
n= 为 根 的 实 部 的 模 值 ；
21
dn=- 为 阻 尼 振 荡 角 频 率
42
二阶欠阻尼系统的输出
2
22
1()
2
n
nn
cs
s s s
=?
2 2 2 2
1
( ) ( )
nn
n d n d
s
s s s
= - -
拉氏反变换得：
2
( ) 1 [ c o s ( s i n ) ]
1
n t
ddc t e t t
-= -?
-
2
1( ) 1 s i n ( a r c c o s )
1
n t
dc t e t
-= -?
-
43
二阶欠阻尼系统输出分析
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于
1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为
ωd。
44
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
45
下面根据上图来分析系统的结构参数,对阶跃响应的影响? n
平稳性（?％）
21
n te
A
-
=
-
暂 态 分 量 的 振 幅 为,
结论,越大,ω d越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，
越小,ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。
21dn=-振 荡 角 频 率 为,
46
当 ＝ 0时，为零阻尼响应，具有频率为 的不衰减（等幅）振荡。 n
阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示
47
21
dn=-
结论：对于二阶欠阻尼系统而言,大，
小，系统响应的平稳性好。
n?
在 一定的情况下,越大，振荡频率也越高，响应平稳性也越差。
n? d
48
快速性 从图中看出，对于 5％误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量 <5％，
平稳性也较好，故称为最佳阻尼比。
0,7 0 7? =
0,7 0 7? =
总结,越大，调节时间 越短；当 一定时，
越大，快速性越好。
n?
st? n?
49
稳态精度
2
1
( ) 1 s i n ( a r c c o s )
1
n t
dh t e t
-= -?
-
从上式可看出，瞬态分量随时间 t的增长衰减到零，
而稳态分量等于 1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。
50
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
1.上升时间,令,则
st ( ) 1rht =
2
11 s i n ( a r c c o s ) 1
1
n t
det
--? =
-
所以：
ar cc o s
r
d
t
-=
51
根据极值定理有：
0
)(
=
= pttdt
tdc
该项不可能为零
2s i n 1
np t- 21
nptn e
-?
-
0=
2.峰值时间,
pt
52
2s i n 1 0
np t -=
21 ( 0 1,2 )
np t n n-? = =,
取 n=1得,
21p
d n
t
==
-
53
3.超调量,%?
将峰值时间 代入下式/
pdt=
2
1( ) 1 s i n ( a r c c o s )
1
n t
dh t e t
-= -?
-
得,
2
2
/1
/1
m a x 2( ) ( ) 1 si n( a r c c os ) 1
1
p
eh t h t e
--
--= = -? =?
-
所以,
2/1( ) ( )% 10 0% 10 0%
()
ph t h e
h
---?=? =?
54
4.调节时间
st
写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。
当阻尼比 时0.8? <
3.5 (
s
n
t= 取 5 ％ 误 差 带 ）
4.5 (
s
n
t= 取 2 ％ 误 差 带 ）
55
三、二阶系统举例 2
设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为 单位阶跃 时，试计算放大器增益 KA＝ 200,1500，
13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间
tp，调节时间 ts和超调量，并分析比较之。
)5.34(
5
ss
K
A
R C
56
例题解析 (1)
输入：单位阶跃
)(1)( ttr?=
ssR
1)( =
系统的闭环传递函数：
A
A
Kss
Ks
55.34
5)(
2=?
57
例题解析 (2) 当 KA ＝ 200时
1 0 0 05.34
1 0 0 0)(
2= sss?
系统的闭环传递函数：
与标准的二阶系统传递函数对照得：
3 4,5 0,5 4 5
2 n==
2
0,1 2
1p d n
t
= = =
-
峰 值 时 间,秒
21 13%e
-
-==超 调 量,％
3.0 0.17
s
n
t==调 节 时 间,秒
6.311 0 0 0 ==n? 1rad s-?
58
例题解析 (3) 当 KA ＝ 1500时
75005.34
15005)(
2
=
sss?
系统的闭环传递函数：
与标准的二阶系统传递函数对照得：
6.867500 ==n? 34.5 0.2
2 n==
2
0,0 3 78 4,8 5
1p n
t
= = =
-
峰 值 时 间,秒
21 5 2,7 %e
-
-==超 调 量,％
3.0 0.17
s
n
t==调 节 时 间,秒
1rad s-?
59
例题解析 (4) 当 KA ＝ 13.5时
5.675.34
5.67)(
2= sss?
系统的闭环传递函数：
与标准的二阶系统传递函数对照得：
21.85.67 ==n?
3 4,5 2,1
2 n==
=pt峰值时间：
0=％超调量,?
1 ( 6.4 5 1.7 ) 1.4 4
s
n
t= - =调 节 时 间,秒无
1rad s-?
60
系统在单位阶跃作用下的响应曲线
c(t)
1
0
t
K
A
=1500
K
A
=200
K
A
=13.5
61
四 改善二阶系统响应的措施
1.误差信号的比例－微分控制
62
系统开环传函为：
2 ( 1 )()
() ( ) ( 2 )nd
n
TsCsGs
E s s s
==
闭环传函为：
2
2 2 2
( 1 )()()
( ) ( 2 )
nd
n d n n
TsCss
R s s T s
= =
等效阻尼比：
1
2d d n
T=?
63
可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，
因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。
64
前面图的相应的等效结构由此知道：
12( ) ( ) ( )c t c t c t=?
65
和 及 的大致形状如下
1()ct 2()ct ()ct
一方面，增加 项，增大了等效阻尼比,使曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号,加速了 c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。
dT d?
1()ct 1()ct
2()ct
d?
66
总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数 。若 大一些，使 具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
dT dT 1()ct
67
2.输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号 c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号 e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。
68
闭环传函为：
2
2 2 2
()()
( ) ( 2 )
n
n t n n
Css
R s s K s
= =
等效阻尼比：
1
2t t nK=?
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。
69
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
70
五 高阶系统的时域分析
定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。
由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。
通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。
71
这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、
二阶系统。这就是所谓的 主导极点 的概念，将在第四章中详细介绍。
一、二阶系统的极点分布如下：
72
3－ 3 系统稳定性分析本节主要内容：
线性定常系统稳定的概念
系统稳定的条件和稳定性的判定方法。
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73
一、系统稳定的概念
是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。
74
二、稳定性的数学条件设系统的线形化增量方程为：
)(
)()()(
)(
)()()(
11
1
10
11
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
=
--
-
--
-
75
对上式进行拉氏变换得：
)()()(
)()(
01
1
10
1
1
10
sMsRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
=
-
-
-
-
其中,D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子式； M(s)称为输入端算子式。 R(s)为输入,C(s)为输出,M0(s)为总的初始条件，与系统的初始状态有关的多项式。
或简写为：
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )D s C s M s R s M s=?
76
则有：
)(
)()(
)(
)()( 0
sD
sMsR
sD
sMsC?=
假定：
0 1( ) ( )
n
iiiD s a s s s==? - 其 中 互 异 。
将 C(s)等式右的两项分别展开成部分分式，可得
0
1 1 1
()
n l n
jii
i j ii r j i
BAC
Cs
s s s s s s= = =
=
- - -
77
再进行拉氏反变换，得
=)(tc?
=
n
i
ts
i
ieC
1
ts
n
i
i
ieA?
= 1
该部分为稳态分量，
即微分方程的特解，
取决于输入作用。
1
rj
l
st
j
j
Be
=
78
=)(tc?
=
n
i
ts
i
ieC
1
ts
n
i
i
ieA?
= 1 1
rj
l
st
j
j
Be
=
该为瞬态分量，
即微分方程的通解，
运动规律取决于,由系统的结构参数确定。
is
79
系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。
故：稳定性定义可转化为：
式中,Ai,Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根 si的性质。
0
1
l im ( ) 0i
n
st
iit
i
A C e
=
=?
80
特征根的性质对系统稳定性的 影响
当 si为实根时，即 si＝?i，
时：0<i? =?
ts
iit
ieCA )(l i m 0
时：0=i? =?
ts
iit
ieCA )(l i m ii CA?
时：0>i? = tsiit ieCA )(l i m?
81
0<
i
0>
i
0=
i
t
0
)( tc
ii
CA?
82
特征根与系统稳定性的 关系 (2)
当 si为共轭复根时，即 si,i+1＝?i ± jωi
])()[(l i m )(11)( tjiitjiit iiii eCAeCA -
])()[(lim 11 tjiitjiitt iii eCAeCAe -=
)s i n (l i m iitt tAe i=
则若,0<i? 0)s i n (l i m = iitt tAe i
则若,0=i?
则若,0>i?
)s i n ()s i n (l i m iiiitt tAtAe i=
= )s i n (lim iitt tAe i
83
共轭复根情况下系统的稳定性
84
结论：
系统稳定的充分必要条件是：
系统的特征方程的所有根都具有负实部，
或者说都位于 S平面的虚轴之左。
注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：
SE(S)在 S平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根 Si位于 S平面的虚轴之左。
85
三、稳定性判据
判据之一：赫尔维茨（ Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式 Dk（ k＝ 1,2,3,…,n） 全部为正。
86
赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：
0)( 1110 == -- nnnn asasasasD?
各阶赫尔维茨行列式为：
00 aD = 11 aD =
20
31
2 aa
aaD =
31
420
531
3
0 aa
aaa
aaa
D =
n
n
n
n
n
n
a
aaa
aaa
aaaa
aaaa
D
000
0
0
4220
3231
22420
12531
-
-
-
-
=
（一般规定 ）0 0a >
87
举例：
系统的特征方程为：
010532 234 = ssss
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
88
解,
第一步：由特征方程得到各项系数
=0a =1a =2a =3a =4a２ １ ３ ５
第二步：计算各阶赫尔维茨行列式
200 == aD 111 == aD
20
31
2 aa
aa
D =
32
51
=
75231 -=?-?= 0<
结论,系统不稳定。
１０
010532)( 234 == sssssD
89
三、稳定性判据
判据之二：林纳德－奇帕特（ Lienard-
Chipard)判据系统稳定的充分必要条件为：
１．系统特征方程的各项系数大于零，即
),,2,1,0(0 nia i?=>
２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即
0>偶D0>奇D 或必要条件
90
举例：
单位负反馈系统的开环传递函数为：
)125.0)(11.0()(= sss
KsG
试求开环增益Ｋ的稳定域。
91
解,第一步：求系统的闭环特征方程
0)125.0)(11.0()( == KssssD
035.00 25.0 23 = Ksss
第二步：列出特征方程的各项系数。
0 2 5.00 =a 35.01 =a 12 =a Ka =3
第三步：系统稳定的充分必要条件。
,0)1( >ia 0>K要求
0)2( 2 >D
92
20
31
2 aa
aaD =即：
1025.0
35.0 K= 0025.035.0 >-= K
解得：Ｋ＜１４
开环增益Ｋ的稳定域为,140 << K
由此例可见,K越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。
93
三、稳定性判据
判据之三：劳斯 (Routh)判据系统稳定的充分必要条件是,劳斯表 中第一列所有元素的计算值均大于零。
94
若系统的特征方程为：
01110 = -- nnnn asasasa?
则劳思表中各项系数如下图：
1
302113
a
aaaac -=2-ns
1
5041
23 a
aaaac -=
1
706133
a
aaaac -=
3-ns
13
231313
14 c
caacc -=
13
133513
24 c
acacc -=?
2s 1,1 -nc 1,2 -nc
nc,1
0s nn ac =?1,1
0 2 4 6
1
1 3 5 7
n
n
s a a a a
s a a a a-
s
95
关于劳斯判据的几点说明
如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定；
如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；
第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。
96
例 1
设系统特征方程如下：
05432 234 = ssss
试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。
97
解,将特征方程系数列成劳斯表
4s 1 3 5
3s 2 4 0
2s
2
4132?-? 1=
2
0152?-? 5= 0
1s
1
5241?-? 6-= 0
0s 5
--
结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。
05432 234 = ssss
98
劳斯表判据的特殊情况
在劳斯表的某一行中，第一列项为零。
在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。
在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。
99
例 2
设系统的特征方程为：
0433 =?- ss
试用劳斯判据确定正实部根的个数。
100
解,将特征方程系数列成劳斯表
3
2
1
1
0 4
s
s
s
－ 3
由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况,可用因子 (s+a)乘以原特征式，其中 a可为任意正数,
这里取 a=1。
3 3 4 0ss-? =
101
于是得到新的特征方程为：
043)1)(43( 2343 =-?=- sssssss
将特征方程系数列成劳斯表：
4
3
2
1
0
1 3 4
1 1
4 4
2
4
s
s
s
s
s
-
-
结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。
102
例 3
设系统的特征方程为：
试用劳思判据确定正实部根的个数。
6 5 4 3 22 3 7 4 4 0s s s s s s? - - - - - =
103
解,将特征方程系数列成劳斯表
6 5 4 3 22 3 7 4 4 0s s s s s s? - - - - - =
劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。 这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。
6
5
4
3
1 - 2 - 7 - 4
s 1 - 3 - 4
s 1 - 3 - 4
s 0 0 0
s
104
用 行的系数构造系列辅助方程4s
42F ( s) =s 3 4s--
求导得：
用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到
3() 4 6 0d F s ss
ds = - =
105
6
5
4
3
2
1
0
1 - 2 - 7 - 4
s 1 - 3 - 4
s 1 - 3 - 4
s 4 - 6 0
s - 1,5 - 4
s - 1 6,7 0
s - 4
s
6 5 4 3 22 3 7 4 4 0s s s s s s? - - - - - =
6
5
4
3
1 - 2 - 7 - 4
s 1 - 3 - 4
s 1 - 3 - 4
s 0 0 0
s
3() 4 6 0d F s ss
ds = - =
106
表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再可求出特征方程的其它两个根为 。
( - 1 j 3 ) / 2?
2,j
107
四,结构不稳定及改进措施
某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，
称 结构不稳定系统 。
如下图液位可能控制系统。
108
消除结构不稳定的措施有两种
① 改变积分性质
② 引入比例－微分控制，补上特征方程中的缺项。
该系统的闭环特征方程为：
32
10 0m p mT s s K K K K =
系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。
109
1,改变积分性质用反馈 包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。
HK
2 0
10 H
Xs K
X s s K K
=
2
1 1
m
m m H
Xs K
X s T s s K K=
110
2.引入比例－微分控制在原系统的前向通路中引入比例－微分控制。
20
1
11m
H s K s
H s s T s K s
=
111
其闭环特征方程为：
023 = KsKssT m?
由稳定的充分必要条件：
引入比例－微分控制后，补上了特征方程中 s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，
系统就可以稳定。
2 2 1 2 0 3,
0,,
0,0
i
mm
aK
D D a a a a K K T T
>
> = - - >? >
m则 T 均 大 于 零 ；
故
112
3－ 4 稳态误差分析计算一,误差与稳态误差系统的误差 e(t)常定义为,e(t)=期望值－实际值误差,
(1) e(t)=r(t)-c(t)
(2) e(t)=r(t)-b(t)
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113
稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间 t趋于无穷时,e(t)极限存在，则稳态误差为
tee
tss
= lim
二,稳态误差的计算若 e(t)的拉普拉斯变换为 E(s),且
0l i m ( ) l i m ( )ss tse e t s E s= ＝
0l i m ( ),l i m ( )ts e t s E s 存 在,则 有
114
0l i m ( ),l i m ( )tse t s E s
在计算系统误差的终值 (稳态误差 )时,遇到的误差的象函数 一般是 s的有理分式函数,这时当且仅当 的极点均在左半面,就可保证()sEs
()Es
存在，式就成立。
注：
sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。
0l i m ( ) l i m ( )ss tse e t s E s= ＝
115
对上述系统，若定义 e(t)=r(t)-b(t),则 E(s)=R(s)-B(s)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
B R B N
BR
BN
B s s R s s N s
s
s B s N s
=
其 中 为 B(s) 对 R(s) 的 闭 环 传 函,
为 对 干 扰 信 号 的 闭 环 传 函 。
E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ] ( ) ( ) ( )
B R B N
B R B N
s R s s R s s N s
s R s s N s
= -? -?
-?
从 而 得
＝ [1-
116
12
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) 1( ) 1 ( )
1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )B R E R
G s G s H sss
G s G s H s G s G s H s? = - = =1-
称之为 系统对输入信号的误差传递函数 。
2
12
( ) ( )( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )B N E N
G s H sss
G s G s H s
= = -?
称 为 系统对干扰的误差传递函数 。()
EN s?
0 0 0
l i m ( ) l i m ( ) l i m ( )s s R N s s r s s n
s s s
e s E s s E s s E s e e
= =? =?
若 具 备 应 用 终 值 定 理 条 件,则
( ) ( ) ( ) ( ) ( )E R E NE s s R s s N s=综 合 上 述 各 式 有,
117
例,系统结构如下图。当输入信号 r(t)=1(t),干扰
n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差
sse
解,① 判别稳定性。 由于是一阶系统，所以只要参数 大于零，系统就稳定。
12,KK
② 求 E(s)。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )E R E NE s s R s s N s=
118
根据结构图可以求出：
12
1()
1 ( )ER
ss
G s s K K? = =
2
12
( ) ( )EN C N Kss s K K-? = -? =?
依题意,R(s)=N(s)=1/s,则
2
1 2 1 2
11() KsEs
s K K s s K K s
-=?
③ 应用终值定理得稳态误差
sse
2
00 1 2 1 2 1
1 1 1l i m ( ) l i m [ ]
ss ss
Kse sE s s
s K K s s K K s K
-= =? = -
119
三 输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系
当系统只有输入 r(t)作用时，系统的开环传递函数为：
)(sG
R E C
)(sH
B
)()(
)(
)( sHsG
sE
sB =
120
将 G(s)H(s)写成典型环节串联形式：
为积分环节的个数。为开环增益；式中,?K
0
R
00
() E ( s ) = E ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )ER
s D ss s R s R s
s D s K N s
=? =?求 得,
当 sE(s)的极点全部在 s平面的左半平面时，可用终值定理求得：
1
0
00
00
()l i m ( ) l i m ( )
( ) ( )ss ss
s D se s E s R s
s D s K N s
==?
上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益 K和积分环节的个数有关。
2 2 '
01 2 2
22
1 2 2 0
()( 1 ) ( 2 1 )( ) ( )
( 1 ) ( 2 1 ) ( )
K N sK s s sG s H s
s T s T s T s s D s
==
121
1.阶跃信号作用下的稳态误差
)(1)( 0 trtr?=
s
rsR 0)( =
K
re
ss?== 10
0时，当?
01 == sse时，当?
02 == sse时，当?
要消除 阶跃信号 作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。 但是，积分环节多会导致系统不稳定。
1
0 0 0 0
00
0 0 0 0
( ) ( )l i m l i m
( ) ( ) ( ) ( )ss ss
s D s r s D s re
s D s K N s s s D s K N s
=? =
122
2,斜坡信号作用下的稳态误差
)(1)( 0 ttVtr?=
2
0)(
s
VsR =
0 sse? =当 时,
K
Ve
ss
01 == 时，当?
02 == sse时，当?
要消除 斜坡信号 作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。
11
0 0 0
0200
0 0 0 0
( ) ( )l i m l i m
( ) ( ) ( ) ( )ss ss
s D s V s D seV
s D s K N s s s D s K N s
-
=? =?
123
3.等加速信号作用下的稳态误差
)(1
2
)(
2
0 ttatr?= 3
0)(
s
asR =
0 sse? =当 时,
1 sse? =当 时,
K
ae
ss
02 == 时，当?
要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。 但是，积分环节多会导致系统不稳定。
12
0 0 0
0300
0 0 0 0
( ) ( )l i m l i m
( ) ( ) ( ) ( )ss ss
s D s a s D sea
s D s K N s s s D s K N s
-
=? =?
124
由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。
系统型别是针对系统的 开环传递 函数中积分环节的个数而言的。
=０的系统称为０型系统；
＝１的系统称为 Ⅰ 型系统；
＝２的系统称为 Ⅱ 型系统；
125
例,系统结构如下图：若输入信号为
21( ) 1
2r t t t=试求系统的稳态误差。
解,① 判别稳定性。 系统的闭环特征方程为
2 3 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 0 0m m m m ms T s K K s T s s K K s K K = =
1
mm
m
T K K
T
>
稳 定 条 件,（ 1 ）,,,均 应 大 于 零 ；
（ 2 ）
126
② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求
sse
从结构图看出，该系统为单位反馈且属 Ⅱ 型系统。因此
1
2
2 0
3
1
1 2 3
1
0
( ) 0
1
1
ss
ss
ss
m
s s s s s s s s
m
e
r t t e
a
te
K K K
e e e e
KK
=
==
==
= =
当 输 入 r(t)=1(t) 时,；
当 输 入 时,；
1
当 输 入 r(t)= 时,
2
所 以 系 统 的 稳 态 误 差
127
注意事项
系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；
以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差；
上述公式中Ｋ必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为１时的系数。
以上规律是根据误差定义 E(s)=R(s)-B(s)推得的。
128
四 干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系用一待定的 来代替上图中的,然后找出消除系统在干扰 n(t)作用下的误差时,需具备的条件。
1()Gs
1K
1()Gs
1
2
0
12
( ) ( )
l im [ ( ) ],( )
()
N
ssn s
G s s E s s
K
e s N s n t
s G s K?
-
=
选 择 首 先 要 保 证 的 所 有 极 点 在 平 面 的 左 半 平 面 。
这 时 当 为 单 位 阶 跃 干 扰 时,有
2
0 12,l im [ ]()ssn s
Ke
s G s K?
-=
1N(s)= 则
s
129
11
1
212
1
00
1 2 1 1 1 2
()
( 1 ) ( 1 )
( ),
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
l im [ ] l im
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
h
k
k
ssn
ss
kh
s
K s s
s
s T s T s
K s T s T sK
e
s G s K s T s T s K s s K
=
--
==
1
1
设 G 具 有 以 下 形 式
G 则
10,( ) 1sse G s?=?要 使 则 中 至 少 要 有 一 个 积 分 环 节,即
1
11
( 1 )( ) ( 0,0 )KsG s K
s
= > >为 保 证 系 统 稳 定,取在 满 足 稳 定 性 前 提 下,就 可 使 系 统 在 阶 跃 干 扰 作 用 下 的 稳 态 误 差 为 零 。
130
以上分析表明,是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰作用下的稳态误差 与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。
1()Gs
ssne
131
例,系统结构图如下，已知干扰 n(t)=1(t),试求干扰作用下的稳态误差解,① 判断稳定性。 系统开环传函为
ssne
1 2 1
2
12
( 1 )()
( 1 )
K K T sGs
s T T s
=
132
所以闭环特征方程为
322 1 2 1 2 1/0T s s K K s K K T =
1 2 1 2
12
1,,,
2
T T K K
TT >
稳 定 条 件,
（ ） 均 应 大 于 零 。
（ ）
② 求稳态误差
ssne
从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有一个积分环节，所以可得出,系统在阶跃干扰作用下的稳态误差 为零。
ssne
133
2
2
2 1 2 1 1
0
( )
( 1 ) ( / ) ( 1 )
l i m ( )
s
Ks
s
s T s K K T T s
ss
-
=
=?
EN
ssn EN
实 际 上在 满 足 稳 定 性 的 条 件 下,因 N(s)=1/s,
所 以 有 e N(s )=0
134
本章知识点及联系误差的定义公式,图线公式,图线劳斯判据,
赫尔维茨判据
()Gs ()s?
()e s?
,n
,K?
,,pstt?％
T
sse
一阶系统标准式二阶系统标准式闭环特征式 稳定性
()Es
终值定理判稳等效单位负反馈系统开环传递函数
,,p v aK K K()Hs 判稳误差系数
第 3章 时域分析法
3－ 1 时域分析基础
3－ 2 一、二阶系统分析与计算
3－ 3 系统稳定性分析
3－ 4 稳态误差分析计算基本要求返回主目录
2
基本要求
1 熟练掌握一,二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点 。 熟练计算性能指标和结构参数,
特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法 。
2 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点 。
3 正确理解系统稳定性的概念,能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算,分析 。
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3
4 正确理解稳态误差的概念,明确终值定理的应用条件 。
5 熟练掌握计算稳态误差的方法 。
6 掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
北京航空航天大学
4
控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，
根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，
都是建立在这个基础上的。
5
3－ 1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。
这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。
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6
二、典型初始状态，典型外作用
1,典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为 零 状态。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。
7
2,典型外作用
① 单位阶跃函数 1(t)
t
f(t)
0
<
==
0t0
0t1)t(1)t(f
其拉氏变换为：
s
1dte1)s(F)]t(f[L
0
st ===?
-
其数学表达式为：
8
t
② 单位斜坡函数
0t
0t
0
t)t(1t)t(f
<
=.=
其拉氏变换为：
2
0
st
s
1dtet)s(F)]t(f[L === -
f(t)
0
其数学表达式为：
9
③ 单位脉冲函数
0
00)()(
=
== t
tttf d
其数学表达式为：
其拉氏变换为：
1)()]([ == sFtfL?
-
=1)( dttd定义：
图中 1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。
10
④ 正弦函数其拉氏变换为：
22
0
sin)()]([ ωs ωdteωtsFtfL st?===?
-
0
0
0
sin)(
<
=
t
tωttf
其数学表达式为：
f(t)
11
三、典型时间响应
初状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。
12
1,单位阶跃响应定义：系统在单位阶跃输入 [r(t)=1(t)]作用下的响应，
常用 h(t)表示。
()s?若系统的闭环传函为,
则 h(t)的拉氏变换为
1( ) ( )h t L H s-=故
1( ) ( ) ( ) ( )H s s R s s
s= =(3 1 1)--
13
2,单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入 [r(t)=t·1(t)]作用下的响应，常用 表示。()
tct
故
1( ) ( )
ttc t L C s
-=
则有
2
1( ) ( ) ( ) ( )
tC s s R s s s= =
(3 1 2 )--
14
3,单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入
r(t)=δ(t)
作用下的响应，常用 k(t)表示。
注：关于正弦响应，将在第五章里讨论故11( ) ( ) ( )k t L K s L s--= =?
则有
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )K s s R s s s= = =?(3 1 3)--
15
4.三种响应之间的关系由式 (3-1-3)可将式 (3-1-1)和式 (3-1-2)写为：
11( ) ( ) ( )H s s K s
ss= =?
22
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
tC s s K s H ss s s= =? =?
相应的时域表达式为
0( ) ( )
th t k d=?
0( ) ( )
t
tc t h d=?
16
四、阶跃响应的性能指标
t
)(th
)( pth
1
pt st
误差带
0
17
1、峰值时间 tp：指 h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。
2、超调量?％,指 h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。
3、调节时间 ts：指响应曲线中,h(t)进入稳态值附近?5%h(?)或?2%h(?)误差带，而不再超出的最小时间。
4、稳态误差 ess：指响应的稳态值与期望值之差。
18
注意事项：
。％和而没有稳态误差入，则只有而言的，对于非阶跃输应三项指标是针对阶跃响及
sss
sss
te
et
,
%,
19
3－ 2 一、二阶系统分析与计算
定义：
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应返回子目录
20
一阶系统数学模型微分方程：
动态结构图：
传递函数：
)()()( trtc
dt
tdcT =?
1
1
)(
)(
=
TssR
sC
Ts
1)( sR )( sC
21
一阶系统单位阶跃响应输入：
输出：
)(1)( ttr =
s
sR 1)( =
sTs
sRssC 1
1
1)()()(?
=?=?
T
t
etC
-
-= 1)(
22
单位阶跃响应曲线初始斜率：
0
( ) 1|
t
d h t
d t T= =
23
性能指标
1,平稳性：
2,快速性 ts：
3.准确性 ess：
非周期、无振荡, ＝ 0
]%5[95.0)(3 误差带对应时,== tcTt
]%2[98.0)(4 误差带对应时,== tcTt
0)(1 =?-= ce ss
举例说明（一阶系统）
一阶系统如图所示，
试求：
1,当 KH＝ 0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间 ts，放大倍数
K，稳态误差 ess；
2,如果要求 ts＝ 0.1秒，
试问系统的反馈系数
KH应调整为何值？
3,讨论 KH的大小对系统性能的影响及 KH
与 ess的关系。
看懂例题 3-1并回答上述各题
s
100)( sR )( sC
H
K
)( sE
)( sB
100
s
HK
25
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义：
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
26
二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：
- 阻 尼 比无阻尼振荡频率-n?
2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
n n n
d c t d c t c t r t
d t d t =
( 0 )n? >
27
二阶系统的反馈结构图
)2(
2
n
n
ss
)( sR
)( sC
2
( 2 )
n
nss
28
二阶系统的传递函数开环传递函数：
2
22
()
( ) 2
n
nn
Cs
R s s s
=
2
()
( 2 )
n
n
Gs
ss
=
闭环传递函数：
29
二阶系统的特征方程为
2220
nnss =
解方程求得特征根,
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
120 1 2() s t s tc t A A e A e=
式中 为由 r(t)和初始条件确定的待定的系数。 0 1 2
,,A A A
s1,s2完全取决于,?n两个参数。
21,2 1nns= -? -
30
此时 s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。
01?<<① 特征根分析 — （欠阻尼）
2
1,2 1nns s j= -? -
31
② 特征根分析 — （ 临界阻尼）
此时 s1,s2为一对相等的负实根。
s1=s2=-?n
2
1,2 1n n ns= -? - = -
1? =
32
⑷ 特征根分析 — （过阻尼）
此时 s1,s2
为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。
2
1,2 1nns= -? -
1? >
33
⑤ 特征根分析 — （零阻尼）
此时 s1,s2为一对纯虚根，
位于虚轴上。
S1,2=?j?n
2
1,2 1n n nsj= -? - =?
0? =
34
⑥ 特征根分析 — （负阻尼）
此时 s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。
2
1,2 1nnsj= -? -
10?- < <
35
⑦ 特征根分析 — （负阻尼）
此时 s1,s2为两个正实根，
且位于复平面的正实轴上。
2
1,2 1nns= -? -
1? <-
36
二阶系统单位阶跃响应
211 1 1 /nnsT= -? - = -
1.过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应
222 1 1 /nnsT= - - - = -
2
1 2 1 2
1 1 1()
( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )
nCs
s s s s s T s T s s
=? =?
- -
取 C(s)拉氏反变换得：
12
11
2 1 1 2
11( ) 1,( 0 )
/ 1 / 1
tt
TTh t e e t
T T T T
--
=
--
(3 1 4 )--
( 1)? >
37
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；
衰减项前的系数一个大，一个小；
二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；
离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。
38
过阻尼系统单位阶跃响应
t
c(t)
0
39
与一阶系统阶跃响应的比较
t
c(t)
0
二阶过阻尼系统一阶系统响应
1
40
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
0.2 =％响应没有振荡?
0)]()([l i m.1 =-= tctre tss误差对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论,
它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定 的表达式是很困难的，
一般根据 （ 3－ 1－ 4） 取相对量 及 经计算机计算后制成曲线或表格。
st
st
1/stT 12/TT
41
2.欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应(0 1)?<<
21,2 1nnsj= -? -
dj-=
2
22
()
( ) 2
n
nn
Cs
R s s s
=
n= 为 根 的 实 部 的 模 值 ；
21
dn=- 为 阻 尼 振 荡 角 频 率
42
二阶欠阻尼系统的输出
2
22
1()
2
n
nn
cs
s s s
=?
2 2 2 2
1
( ) ( )
nn
n d n d
s
s s s
= - -
拉氏反变换得：
2
( ) 1 [ c o s ( s i n ) ]
1
n t
ddc t e t t
-= -?
-
2
1( ) 1 s i n ( a r c c o s )
1
n t
dc t e t
-= -?
-
43
二阶欠阻尼系统输出分析
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于
1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为
ωd。
44
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
45
下面根据上图来分析系统的结构参数,对阶跃响应的影响? n
平稳性（?％）
21
n te
A
-
=
-
暂 态 分 量 的 振 幅 为,
结论,越大,ω d越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，
越小,ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。
21dn=-振 荡 角 频 率 为,
46
当 ＝ 0时，为零阻尼响应，具有频率为 的不衰减（等幅）振荡。 n
阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示
47
21
dn=-
结论：对于二阶欠阻尼系统而言,大，
小，系统响应的平稳性好。
n?
在 一定的情况下,越大，振荡频率也越高，响应平稳性也越差。
n? d
48
快速性 从图中看出，对于 5％误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量 <5％，
平稳性也较好，故称为最佳阻尼比。
0,7 0 7? =
0,7 0 7? =
总结,越大，调节时间 越短；当 一定时，
越大，快速性越好。
n?
st? n?
49
稳态精度
2
1
( ) 1 s i n ( a r c c o s )
1
n t
dh t e t
-= -?
-
从上式可看出，瞬态分量随时间 t的增长衰减到零，
而稳态分量等于 1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。
50
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
1.上升时间,令,则
st ( ) 1rht =
2
11 s i n ( a r c c o s ) 1
1
n t
det
--? =
-
所以：
ar cc o s
r
d
t
-=
51
根据极值定理有：
0
)(
=
= pttdt
tdc
该项不可能为零
2s i n 1
np t- 21
nptn e
-?
-
0=
2.峰值时间,
pt
52
2s i n 1 0
np t -=
21 ( 0 1,2 )
np t n n-? = =,
取 n=1得,
21p
d n
t
==
-
53
3.超调量,%?
将峰值时间 代入下式/
pdt=
2
1( ) 1 s i n ( a r c c o s )
1
n t
dh t e t
-= -?
-
得,
2
2
/1
/1
m a x 2( ) ( ) 1 si n( a r c c os ) 1
1
p
eh t h t e
--
--= = -? =?
-
所以,
2/1( ) ( )% 10 0% 10 0%
()
ph t h e
h
---?=? =?
54
4.调节时间
st
写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。
当阻尼比 时0.8? <
3.5 (
s
n
t= 取 5 ％ 误 差 带 ）
4.5 (
s
n
t= 取 2 ％ 误 差 带 ）
55
三、二阶系统举例 2
设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为 单位阶跃 时，试计算放大器增益 KA＝ 200,1500，
13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间
tp，调节时间 ts和超调量，并分析比较之。
)5.34(
5
ss
K
A
R C
56
例题解析 (1)
输入：单位阶跃
)(1)( ttr?=
ssR
1)( =
系统的闭环传递函数：
A
A
Kss
Ks
55.34
5)(
2=?
57
例题解析 (2) 当 KA ＝ 200时
1 0 0 05.34
1 0 0 0)(
2= sss?
系统的闭环传递函数：
与标准的二阶系统传递函数对照得：
3 4,5 0,5 4 5
2 n==
2
0,1 2
1p d n
t
= = =
-
峰 值 时 间,秒
21 13%e
-
-==超 调 量,％
3.0 0.17
s
n
t==调 节 时 间,秒
6.311 0 0 0 ==n? 1rad s-?
58
例题解析 (3) 当 KA ＝ 1500时
75005.34
15005)(
2
=
sss?
系统的闭环传递函数：
与标准的二阶系统传递函数对照得：
6.867500 ==n? 34.5 0.2
2 n==
2
0,0 3 78 4,8 5
1p n
t
= = =
-
峰 值 时 间,秒
21 5 2,7 %e
-
-==超 调 量,％
3.0 0.17
s
n
t==调 节 时 间,秒
1rad s-?
59
例题解析 (4) 当 KA ＝ 13.5时
5.675.34
5.67)(
2= sss?
系统的闭环传递函数：
与标准的二阶系统传递函数对照得：
21.85.67 ==n?
3 4,5 2,1
2 n==
=pt峰值时间：
0=％超调量,?
1 ( 6.4 5 1.7 ) 1.4 4
s
n
t= - =调 节 时 间,秒无
1rad s-?
60
系统在单位阶跃作用下的响应曲线
c(t)
1
0
t
K
A
=1500
K
A
=200
K
A
=13.5
61
四 改善二阶系统响应的措施
1.误差信号的比例－微分控制
62
系统开环传函为：
2 ( 1 )()
() ( ) ( 2 )nd
n
TsCsGs
E s s s
==
闭环传函为：
2
2 2 2
( 1 )()()
( ) ( 2 )
nd
n d n n
TsCss
R s s T s
= =
等效阻尼比：
1
2d d n
T=?
63
可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，
因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。
64
前面图的相应的等效结构由此知道：
12( ) ( ) ( )c t c t c t=?
65
和 及 的大致形状如下
1()ct 2()ct ()ct
一方面，增加 项，增大了等效阻尼比,使曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号,加速了 c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。
dT d?
1()ct 1()ct
2()ct
d?
66
总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数 。若 大一些，使 具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
dT dT 1()ct
67
2.输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号 c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号 e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。
68
闭环传函为：
2
2 2 2
()()
( ) ( 2 )
n
n t n n
Css
R s s K s
= =
等效阻尼比：
1
2t t nK=?
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。
69
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
70
五 高阶系统的时域分析
定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。
由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。
通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。
71
这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、
二阶系统。这就是所谓的 主导极点 的概念，将在第四章中详细介绍。
一、二阶系统的极点分布如下：
72
3－ 3 系统稳定性分析本节主要内容：
线性定常系统稳定的概念
系统稳定的条件和稳定性的判定方法。
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73
一、系统稳定的概念
是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。
74
二、稳定性的数学条件设系统的线形化增量方程为：
)(
)()()(
)(
)()()(
11
1
10
11
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
=
--
-
--
-
75
对上式进行拉氏变换得：
)()()(
)()(
01
1
10
1
1
10
sMsRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
=
-
-
-
-
其中,D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子式； M(s)称为输入端算子式。 R(s)为输入,C(s)为输出,M0(s)为总的初始条件，与系统的初始状态有关的多项式。
或简写为：
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )D s C s M s R s M s=?
76
则有：
)(
)()(
)(
)()( 0
sD
sMsR
sD
sMsC?=
假定：
0 1( ) ( )
n
iiiD s a s s s==? - 其 中 互 异 。
将 C(s)等式右的两项分别展开成部分分式，可得
0
1 1 1
()
n l n
jii
i j ii r j i
BAC
Cs
s s s s s s= = =
=
- - -
77
再进行拉氏反变换，得
=)(tc?
=
n
i
ts
i
ieC
1
ts
n
i
i
ieA?
= 1
该部分为稳态分量，
即微分方程的特解，
取决于输入作用。
1
rj
l
st
j
j
Be
=
78
=)(tc?
=
n
i
ts
i
ieC
1
ts
n
i
i
ieA?
= 1 1
rj
l
st
j
j
Be
=
该为瞬态分量，
即微分方程的通解，
运动规律取决于,由系统的结构参数确定。
is
79
系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。
故：稳定性定义可转化为：
式中,Ai,Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根 si的性质。
0
1
l im ( ) 0i
n
st
iit
i
A C e
=
=?
80
特征根的性质对系统稳定性的 影响
当 si为实根时，即 si＝?i，
时：0<i? =?
ts
iit
ieCA )(l i m 0
时：0=i? =?
ts
iit
ieCA )(l i m ii CA?
时：0>i? = tsiit ieCA )(l i m?
81
0<
i
0>
i
0=
i
t
0
)( tc
ii
CA?
82
特征根与系统稳定性的 关系 (2)
当 si为共轭复根时，即 si,i+1＝?i ± jωi
])()[(l i m )(11)( tjiitjiit iiii eCAeCA -
])()[(lim 11 tjiitjiitt iii eCAeCAe -=
)s i n (l i m iitt tAe i=
则若,0<i? 0)s i n (l i m = iitt tAe i
则若,0=i?
则若,0>i?
)s i n ()s i n (l i m iiiitt tAtAe i=
= )s i n (lim iitt tAe i
83
共轭复根情况下系统的稳定性
84
结论：
系统稳定的充分必要条件是：
系统的特征方程的所有根都具有负实部，
或者说都位于 S平面的虚轴之左。
注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：
SE(S)在 S平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根 Si位于 S平面的虚轴之左。
85
三、稳定性判据
判据之一：赫尔维茨（ Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式 Dk（ k＝ 1,2,3,…,n） 全部为正。
86
赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：
0)( 1110 == -- nnnn asasasasD?
各阶赫尔维茨行列式为：
00 aD = 11 aD =
20
31
2 aa
aaD =
31
420
531
3
0 aa
aaa
aaa
D =
n
n
n
n
n
n
a
aaa
aaa
aaaa
aaaa
D
000
0
0
4220
3231
22420
12531
-
-
-
-
=
（一般规定 ）0 0a >
87
举例：
系统的特征方程为：
010532 234 = ssss
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
88
解,
第一步：由特征方程得到各项系数
=0a =1a =2a =3a =4a２ １ ３ ５
第二步：计算各阶赫尔维茨行列式
200 == aD 111 == aD
20
31
2 aa
aa
D =
32
51
=
75231 -=?-?= 0<
结论,系统不稳定。
１０
010532)( 234 == sssssD
89
三、稳定性判据
判据之二：林纳德－奇帕特（ Lienard-
Chipard)判据系统稳定的充分必要条件为：
１．系统特征方程的各项系数大于零，即
),,2,1,0(0 nia i?=>
２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即
0>偶D0>奇D 或必要条件
90
举例：
单位负反馈系统的开环传递函数为：
)125.0)(11.0()(= sss
KsG
试求开环增益Ｋ的稳定域。
91
解,第一步：求系统的闭环特征方程
0)125.0)(11.0()( == KssssD
035.00 25.0 23 = Ksss
第二步：列出特征方程的各项系数。
0 2 5.00 =a 35.01 =a 12 =a Ka =3
第三步：系统稳定的充分必要条件。
,0)1( >ia 0>K要求
0)2( 2 >D
92
20
31
2 aa
aaD =即：
1025.0
35.0 K= 0025.035.0 >-= K
解得：Ｋ＜１４
开环增益Ｋ的稳定域为,140 << K
由此例可见,K越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。
93
三、稳定性判据
判据之三：劳斯 (Routh)判据系统稳定的充分必要条件是,劳斯表 中第一列所有元素的计算值均大于零。
94
若系统的特征方程为：
01110 = -- nnnn asasasa?
则劳思表中各项系数如下图：
1
302113
a
aaaac -=2-ns
1
5041
23 a
aaaac -=
1
706133
a
aaaac -=
3-ns
13
231313
14 c
caacc -=
13
133513
24 c
acacc -=?
2s 1,1 -nc 1,2 -nc
nc,1
0s nn ac =?1,1
0 2 4 6
1
1 3 5 7
n
n
s a a a a
s a a a a-
s
95
关于劳斯判据的几点说明
如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定；
如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；
第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。
96
例 1
设系统特征方程如下：
05432 234 = ssss
试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。
97
解,将特征方程系数列成劳斯表
4s 1 3 5
3s 2 4 0
2s
2
4132?-? 1=
2
0152?-? 5= 0
1s
1
5241?-? 6-= 0
0s 5
--
结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。
05432 234 = ssss
98
劳斯表判据的特殊情况
在劳斯表的某一行中，第一列项为零。
在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。
在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。
99
例 2
设系统的特征方程为：
0433 =?- ss
试用劳斯判据确定正实部根的个数。
100
解,将特征方程系数列成劳斯表
3
2
1
1
0 4
s
s
s
－ 3
由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况,可用因子 (s+a)乘以原特征式，其中 a可为任意正数,
这里取 a=1。
3 3 4 0ss-? =
101
于是得到新的特征方程为：
043)1)(43( 2343 =-?=- sssssss
将特征方程系数列成劳斯表：
4
3
2
1
0
1 3 4
1 1
4 4
2
4
s
s
s
s
s
-
-
结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。
102
例 3
设系统的特征方程为：
试用劳思判据确定正实部根的个数。
6 5 4 3 22 3 7 4 4 0s s s s s s? - - - - - =
103
解,将特征方程系数列成劳斯表
6 5 4 3 22 3 7 4 4 0s s s s s s? - - - - - =
劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。 这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。
6
5
4
3
1 - 2 - 7 - 4
s 1 - 3 - 4
s 1 - 3 - 4
s 0 0 0
s
104
用 行的系数构造系列辅助方程4s
42F ( s) =s 3 4s--
求导得：
用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到
3() 4 6 0d F s ss
ds = - =
105
6
5
4
3
2
1
0
1 - 2 - 7 - 4
s 1 - 3 - 4
s 1 - 3 - 4
s 4 - 6 0
s - 1,5 - 4
s - 1 6,7 0
s - 4
s
6 5 4 3 22 3 7 4 4 0s s s s s s? - - - - - =
6
5
4
3
1 - 2 - 7 - 4
s 1 - 3 - 4
s 1 - 3 - 4
s 0 0 0
s
3() 4 6 0d F s ss
ds = - =
106
表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再可求出特征方程的其它两个根为 。
( - 1 j 3 ) / 2?
2,j
107
四,结构不稳定及改进措施
某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，
称 结构不稳定系统 。
如下图液位可能控制系统。
108
消除结构不稳定的措施有两种
① 改变积分性质
② 引入比例－微分控制，补上特征方程中的缺项。
该系统的闭环特征方程为：
32
10 0m p mT s s K K K K =
系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。
109
1,改变积分性质用反馈 包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。
HK
2 0
10 H
Xs K
X s s K K
=
2
1 1
m
m m H
Xs K
X s T s s K K=
110
2.引入比例－微分控制在原系统的前向通路中引入比例－微分控制。
20
1
11m
H s K s
H s s T s K s
=
111
其闭环特征方程为：
023 = KsKssT m?
由稳定的充分必要条件：
引入比例－微分控制后，补上了特征方程中 s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，
系统就可以稳定。
2 2 1 2 0 3,
0,,
0,0
i
mm
aK
D D a a a a K K T T
>
> = - - >? >
m则 T 均 大 于 零 ；
故
112
3－ 4 稳态误差分析计算一,误差与稳态误差系统的误差 e(t)常定义为,e(t)=期望值－实际值误差,
(1) e(t)=r(t)-c(t)
(2) e(t)=r(t)-b(t)
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113
稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间 t趋于无穷时,e(t)极限存在，则稳态误差为
tee
tss
= lim
二,稳态误差的计算若 e(t)的拉普拉斯变换为 E(s),且
0l i m ( ) l i m ( )ss tse e t s E s= ＝
0l i m ( ),l i m ( )ts e t s E s 存 在,则 有
114
0l i m ( ),l i m ( )tse t s E s
在计算系统误差的终值 (稳态误差 )时,遇到的误差的象函数 一般是 s的有理分式函数,这时当且仅当 的极点均在左半面,就可保证()sEs
()Es
存在，式就成立。
注：
sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。
0l i m ( ) l i m ( )ss tse e t s E s= ＝
115
对上述系统，若定义 e(t)=r(t)-b(t),则 E(s)=R(s)-B(s)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
B R B N
BR
BN
B s s R s s N s
s
s B s N s
=
其 中 为 B(s) 对 R(s) 的 闭 环 传 函,
为 对 干 扰 信 号 的 闭 环 传 函 。
E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ] ( ) ( ) ( )
B R B N
B R B N
s R s s R s s N s
s R s s N s
= -? -?
-?
从 而 得
＝ [1-
116
12
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) 1( ) 1 ( )
1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )B R E R
G s G s H sss
G s G s H s G s G s H s? = - = =1-
称之为 系统对输入信号的误差传递函数 。
2
12
( ) ( )( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )B N E N
G s H sss
G s G s H s
= = -?
称 为 系统对干扰的误差传递函数 。()
EN s?
0 0 0
l i m ( ) l i m ( ) l i m ( )s s R N s s r s s n
s s s
e s E s s E s s E s e e
= =? =?
若 具 备 应 用 终 值 定 理 条 件,则
( ) ( ) ( ) ( ) ( )E R E NE s s R s s N s=综 合 上 述 各 式 有,
117
例,系统结构如下图。当输入信号 r(t)=1(t),干扰
n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差
sse
解,① 判别稳定性。 由于是一阶系统，所以只要参数 大于零，系统就稳定。
12,KK
② 求 E(s)。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )E R E NE s s R s s N s=
118
根据结构图可以求出：
12
1()
1 ( )ER
ss
G s s K K? = =
2
12
( ) ( )EN C N Kss s K K-? = -? =?
依题意,R(s)=N(s)=1/s,则
2
1 2 1 2
11() KsEs
s K K s s K K s
-=?
③ 应用终值定理得稳态误差
sse
2
00 1 2 1 2 1
1 1 1l i m ( ) l i m [ ]
ss ss
Kse sE s s
s K K s s K K s K
-= =? = -
119
三 输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系
当系统只有输入 r(t)作用时，系统的开环传递函数为：
)(sG
R E C
)(sH
B
)()(
)(
)( sHsG
sE
sB =
120
将 G(s)H(s)写成典型环节串联形式：
为积分环节的个数。为开环增益；式中,?K
0
R
00
() E ( s ) = E ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )ER
s D ss s R s R s
s D s K N s
=? =?求 得,
当 sE(s)的极点全部在 s平面的左半平面时，可用终值定理求得：
1
0
00
00
()l i m ( ) l i m ( )
( ) ( )ss ss
s D se s E s R s
s D s K N s
==?
上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益 K和积分环节的个数有关。
2 2 '
01 2 2
22
1 2 2 0
()( 1 ) ( 2 1 )( ) ( )
( 1 ) ( 2 1 ) ( )
K N sK s s sG s H s
s T s T s T s s D s
==
121
1.阶跃信号作用下的稳态误差
)(1)( 0 trtr?=
s
rsR 0)( =
K
re
ss?== 10
0时，当?
01 == sse时，当?
02 == sse时，当?
要消除 阶跃信号 作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。 但是，积分环节多会导致系统不稳定。
1
0 0 0 0
00
0 0 0 0
( ) ( )l i m l i m
( ) ( ) ( ) ( )ss ss
s D s r s D s re
s D s K N s s s D s K N s
=? =
122
2,斜坡信号作用下的稳态误差
)(1)( 0 ttVtr?=
2
0)(
s
VsR =
0 sse? =当 时,
K
Ve
ss
01 == 时，当?
02 == sse时，当?
要消除 斜坡信号 作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。
11
0 0 0
0200
0 0 0 0
( ) ( )l i m l i m
( ) ( ) ( ) ( )ss ss
s D s V s D seV
s D s K N s s s D s K N s
-
=? =?
123
3.等加速信号作用下的稳态误差
)(1
2
)(
2
0 ttatr?= 3
0)(
s
asR =
0 sse? =当 时,
1 sse? =当 时,
K
ae
ss
02 == 时，当?
要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。 但是，积分环节多会导致系统不稳定。
12
0 0 0
0300
0 0 0 0
( ) ( )l i m l i m
( ) ( ) ( ) ( )ss ss
s D s a s D sea
s D s K N s s s D s K N s
-
=? =?
124
由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。
系统型别是针对系统的 开环传递 函数中积分环节的个数而言的。
=０的系统称为０型系统；
＝１的系统称为 Ⅰ 型系统；
＝２的系统称为 Ⅱ 型系统；
125
例,系统结构如下图：若输入信号为
21( ) 1
2r t t t=试求系统的稳态误差。
解,① 判别稳定性。 系统的闭环特征方程为
2 3 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 0 0m m m m ms T s K K s T s s K K s K K = =
1
mm
m
T K K
T
>
稳 定 条 件,（ 1 ）,,,均 应 大 于 零 ；
（ 2 ）
126
② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求
sse
从结构图看出，该系统为单位反馈且属 Ⅱ 型系统。因此
1
2
2 0
3
1
1 2 3
1
0
( ) 0
1
1
ss
ss
ss
m
s s s s s s s s
m
e
r t t e
a
te
K K K
e e e e
KK
=
==
==
= =
当 输 入 r(t)=1(t) 时,；
当 输 入 时,；
1
当 输 入 r(t)= 时,
2
所 以 系 统 的 稳 态 误 差
127
注意事项
系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；
以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差；
上述公式中Ｋ必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为１时的系数。
以上规律是根据误差定义 E(s)=R(s)-B(s)推得的。
128
四 干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系用一待定的 来代替上图中的,然后找出消除系统在干扰 n(t)作用下的误差时,需具备的条件。
1()Gs
1K
1()Gs
1
2
0
12
( ) ( )
l im [ ( ) ],( )
()
N
ssn s
G s s E s s
K
e s N s n t
s G s K?
-
=
选 择 首 先 要 保 证 的 所 有 极 点 在 平 面 的 左 半 平 面 。
这 时 当 为 单 位 阶 跃 干 扰 时,有
2
0 12,l im [ ]()ssn s
Ke
s G s K?
-=
1N(s)= 则
s
129
11
1
212
1
00
1 2 1 1 1 2
()
( 1 ) ( 1 )
( ),
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
l im [ ] l im
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
h
k
k
ssn
ss
kh
s
K s s
s
s T s T s
K s T s T sK
e
s G s K s T s T s K s s K
=
--
==
1
1
设 G 具 有 以 下 形 式
G 则
10,( ) 1sse G s?=?要 使 则 中 至 少 要 有 一 个 积 分 环 节,即
1
11
( 1 )( ) ( 0,0 )KsG s K
s
= > >为 保 证 系 统 稳 定,取在 满 足 稳 定 性 前 提 下,就 可 使 系 统 在 阶 跃 干 扰 作 用 下 的 稳 态 误 差 为 零 。
130
以上分析表明,是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰作用下的稳态误差 与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。
1()Gs
ssne
131
例,系统结构图如下，已知干扰 n(t)=1(t),试求干扰作用下的稳态误差解,① 判断稳定性。 系统开环传函为
ssne
1 2 1
2
12
( 1 )()
( 1 )
K K T sGs
s T T s
=
132
所以闭环特征方程为
322 1 2 1 2 1/0T s s K K s K K T =
1 2 1 2
12
1,,,
2
T T K K
TT >
稳 定 条 件,
（ ） 均 应 大 于 零 。
（ ）
② 求稳态误差
ssne
从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有一个积分环节，所以可得出,系统在阶跃干扰作用下的稳态误差 为零。
ssne
133
2
2
2 1 2 1 1
0
( )
( 1 ) ( / ) ( 1 )
l i m ( )
s
Ks
s
s T s K K T T s
ss
-
=
=?
EN
ssn EN
实 际 上在 满 足 稳 定 性 的 条 件 下,因 N(s)=1/s,
所 以 有 e N(s )=0
134
本章知识点及联系误差的定义公式,图线公式,图线劳斯判据,
赫尔维茨判据
()Gs ()s?
()e s?
,n
,K?
,,pstt?％
T
sse
一阶系统标准式二阶系统标准式闭环特征式 稳定性
()Es
终值定理判稳等效单位负反馈系统开环传递函数
,,p v aK K K()Hs 判稳误差系数
