1
第九章状态空间分析方法
2
第 9章 状态空间分析方法基本要求
9-1 状态空间方法基础
9-2 线性系统的可控性和可观性
9-3 状态反馈和状态观测器
9-4 有界输入、有界输出的稳定性
9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录
3
引言,前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。
经典控制理论
(50年代前 )
现代控制理论
(50年代后 )
研究对象 单输入单输出的线性定常系统 可以比较复杂数学模型 传递函数(输入、输出描述 ) 状态方程(可描述内部行为 )
数学基础 运算微积、复变函数 线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多,经验起很大作用。主要在复数域进行。
设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。
4
基本要求
① 掌握由系统输入 — 输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型 的方法。
② 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。
③ 正确理解可逆线性变换,熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。
④ 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。
返回子目录
5
⑤ 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法,能将可控系统化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。
⑥ 正确理解对偶原理,会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。
⑦ 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、
可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。
⑧ 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响,正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
6
⑨ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
⑩ 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统 BIBO稳定的概念,熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统
BIBO稳定的方法。
11 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
7
9-1 状态空间方法基础
在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。
在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，
为系统的分析研究提供了有力的工具。
返回子目录
8
状态,动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
一、状态空间的基本概念已知 时状态,时的输入，可确定时任一变量的运动状况。
0t 0tt? 0tt?
状态变量,确定动力学系统状态的最小一组变量 。 )(,),(1 txtx n?
9
1
2
n
xt
xt
Xt
xt
状态空间,由 张成的 n维向量空间。)(tX
状态向量,
如果完全描述一个给定系统的动态行为需要 n个状态变量，那么状态向量定义为 X(t)
对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。
10
例 9-2
设一 RLC网络如图所示。
回路方程为
( ) 1( ) ( ) ( )d i te t R i t L i t d t
d t C
图 9-2 RLC网络
11
2 ( ) ( )x t i t d t
)()(1 titx?
选择状态变量
1 1 2
11Rx x x e
L LC L
则有
21xx?
1 1
010
R
uL C L L
xx
写成
2
1)()( x
Ctcty
10
C
x
输出
12
1
1
1
00
R
LL
uL
C
xx
写成
)()(1 titx?
2
1( ) ( )x t i t d t
C
若选另一组状态变量
1 1 2
11 ()Rx x x e t
L L L
12
1 x
cx
则有
13
uyayayay nnnnn 02211
若给出 (t=0) 时的初值,,…,和时就可确定系统的行为 。? 0,?ttu
)0(y )0(y? )0()1(?ny
1
21,,,
n
n yxyxyx?
单输入 -单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式
14
12
23
1nn
xx
xx
xx
（ 9-17）
0 1 1 2 1n n nx a x a x a x u
15
或写成
x A x B x
1
2
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0
,,
0 0 0 1
0
n
n
x
x
x
a a a a
x A B
（ 9-19）
16
系统结构图如图所示图 9-3
17
例 9-3
222y y y u
输入为 u,输出为 y 。
试求系统的状态方程和输出方程。
考虑用下列常微分方程描述的系统
18
解：
12
22
2 1 22
xx
x x x u
11
22
22
0 1 0
2
xx
u
状态方程为写成取状态变量
12,x y x y
19
输出 1
2
10
x
y
x
图 9-4 例 9-3系统的结构图
20
多输入 -多输出系统图 9-6 多变量系统
21
ppnn ububxaxaxax 111112121111
ppnn ububxaxaxax 212122221212………
pnpnnnnnnn ububxaxaxax 112211?
nxxx,,,21
为状态变量；
puuu,,,21
为输入量；
qyyy,,,21
为输出变量。
22
矩阵形式：
x A x Β u
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
A
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
p
p
n n n p
b b b
b b b
b b b
B
式中
23
ppnn ududxcxcxcy 111112121111
ppnn ududxcxcxcy 212122221212………,
pqpqnqnqqq ududxcxcxcy 112211
输出变量方程
24
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
q q q n
c c c
c c c
c c c
C
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
p
p
q q q p
d d d
d d d
d d d
D
y C x D u
式中
25
图 9-7 系统结构图
26
三、线性定常系统状态方程的解式中 均为列向量。)2,1,0(ib
i
x A x （ 9-28）
齐次向量微分方程
kk tbtbtbbtx 2210)(
（ 9-29）
方程的解为
1、齐次状态方程的解
27
)(2 10121 kkkk tbtbbAtkbtbb
可得
()tx?x A x
代入方程将方程两边系数必相等,即
10
2
2 1 0
3
3 2 0
0
11
22
11
3 3 2
1
k
k
b Ab
b Ab A b
b Ab A b
b A b
k
！
28
0)0( bx?
我们定义
0
22 )1
2
1()( xtA
k
tAAtItx kk
！！
（ 9-31）
kKAt tA
k
tAAtIe
！！
1
2
1 22
（ 9-32）
因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入（ 9-29）中得
29
0)( xetx
At?
（ 9-33）
( ) ( )x t A x t? （ 9-34）
)()( 0 sAxxssx
（ 9-35）
Ate
为 n× n矩阵，称矩阵指数。
于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解
30
0
1)()( xAsIsx
0
11 ])[()( xAsILtx
])[( 11 AsILe At
1
2
2 3 1
1
( ) [ ] [ ]
A t k k
k
k
sI A L e L I At A t
k
I A A A
s s s s
！
拉氏反变换后得到
（ 9-37）
（ 9-38）
31
最终得到
与前一种解法所得结果一致。
Atet At e x p
式中
( ) ( 0) ( ) ( 0)Atx t e x t x
（ 9-41）
32
状态转移矩阵具有以下性质：
I )0(,1
)()(,2 1 tt
)()()(,3 020112 tttttt
)()]([,4 ktt k
33
图 9-8 状态转移特性性质 3
34
例 9-5
11
22
01
00
xx
xx
设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。
35
解：
2211()
2 ! !
A t k kt e I A t A t A t
k
23
0 1 0 0
,
0 0 0 0
1 0 0 1
()
0 1 0 0 0 1
nA A A A
tt
t
11
22
1( ) (0 )
01( ) (0 )
tx t x
x t x
求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为
36
例 9-6
x
32
10
x?
设系统状态方程为试求状态方程的解。
37
解：
2s
2
1s
1
2s
2
1s
2
2s
1
1s
1
2s
1
1s
2
)2s)(1s(
s
)2s)(1s(
2
)2s)(1s(
1
)2s)(1s(
3s
s2
13s
)2s)(1s(
1
AsI
)AsI(ad j
)AsI(
3s2
1s
)AsI(
1用拉氏变换求解。先求出矩阵指数
38
状态方程之解为
t2tt2t
t2tt2t
11At
e2ee2e2
eeee2])AsI[(Le
)0(x
)0(x
e2ee2e2
eeee2)0(xe)t(x
2
1
t2tt2t
t2tt2t
At
将上式进行拉氏反变换
39
图 9-9 系统的瞬态解（ a）与相轨迹（ b）
40
改写为
)()()( tButAxtx
用 左乘等式两边
Ate?
2 非齐次状态方程的解非齐次方程
)()()( tButAxtx （ 9-53）
)()]([)]()([ tBuetxedtdtAxtxe AtAtAt
（ 9-54）
41
dBuextxe
t
AAt )()0()(
0
dBuexetx
t
tAAt )()0()(
0
)(
用 左乘上式两边Ate?
（ 9-54）
0( ) ( ) ( 0) ( ) ( )
tx t t x t B u d
则式（ 9-54）可以写成
（ 9-55）
积分上式得
42
讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法
sBusAxxssx )()( 0
sBuAsIxAsIsx 101 )()()(
)]()[()0(])[()( 1111 sBuAsILxAsILtx
拉氏反变换得
])[( 11 AsILe At
由于
t
tA dBuesBuAsIL
0
)(11 )(])[(
由卷积定理有
43
t
tA dBuesBuAsIL
0
)(11 )(])[(
t
AAt dtBuexetx
0
)()0()(
t
tAAt dBuexetx
0
)( )()0()(
因此由于最后得到
44
例 9-7
uxx?
1
0
32
10
求下述系统状态的时间响应控制量 u为单位阶跃函数。
45
解：
11
22
22
()
2
2 2 2
t t t t
t t t t
t L sI A
e e e e
e e e e
)2)(1()2)(1(
2
)2)(1(
1
)2)(1(
3
][
1
ss
s
ss
ssss
s
AsI
由状态转移矩阵
46
t
tt
tt
A
ee
eedtBue
0
2
25.05.0
)(
tt
tt
ee
ee
xttx
2
25.05.0
)0()()(
2
2
0,5 0,5
()
tt
tt
ee
xt
ee
若初始状态为零状态，则
47
)()()( sBUsAXssX
)()()( sDUsCXsY
四、传递函数矩阵
BuAxx （ 9-58）
系统状态方程
DuCxy （ 9-59）
输出方程拉氏变换为
48
解出定义传递函数矩阵为
)()()( 1 sBUAsIsX
)(])([)( 1 sUDBAsICsY
AsI
AsIa d jAsI
)()( 1
DBAsICsG 1)()( （ 9-63）
49
所以特征方程为
AsI
DAsIBAsIC adjDB
AsI
AsIadjCsG
)()()(
0|| AsI
50
例 9-8
设系统的动态方程为
试求该系统的传递函数矩阵。
1 1 1
2 2 2
11
22
0 1 1 0
0 2 0 1
10
01
x x u
x x u
yx
yx
51
解：
0 1 1 0 1 0,,,0
0 2 0 1 0 1A B C D
已知
1
1
11
1 ( 2 )
()
2 1
0
2
s s s s
sI A
os
s
故
52
1
( ) ( )
11
1 0 1 0( 2)
0 1 0 11
0
2
11
( 2)
1
0
2
G s C sI A B
s s s
s
s s s
s
53
例 9-9
0 1 0 0
0 0 1 0
6 11 6 1
Ab
设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。
54
解：
32
10
| | d e t 0 1 6 1 1 6 0
6 1 1 6
| | ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0
s
s I A s s s s
s
s I A s s s
系统的特征方程为特征方程的根为 -1,-2和 -3。矩阵 A的特征值也为 -1,-2和 -3。两者是一样的。
55
五、动态方程的可逆线性变换
DuCxy
BuAxx
uDxCy
uBxAx
xPx 1
Pxx?
其中 P 是 n× n 矩阵
1 P A PA 1 CPCB P B?
56
特征多项式
AsI
AsIPPAsIPPPAsIP
PAsIPP A Ps P PP A PsIAsI
111
1111
)(
特征多项式没有改变。
57
DBAsIC
DPBPAsIPCP
DPBPAsIPCP
DPBPAPs P PCP
DPBPAPsICPDBAsIC
1
111
111
1111
1111
)(
)(
])([
)(
)()(传递函数阵传递函数阵没有改变
58
例 9-10
对例 9-9之系统进行坐标变换，其变换关系为
试求变换后系统的特征方程和特征值。
11
22
33
1 1 1
1 2 3
1 4 9
xx
xx
xx
59
解：
根据题意求变换矩阵 1
11
1 1 1 3 2,5 0,5
1 2 3,3 4 1
1 4 9 1 1,5 0,5
PP
x P A P x P bu
代入
60
1 3 2| | ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6 1 1 6 0s I P A P s s s s s s
特征方程为特征值为 -1,-2,-3，与例 9-9结果相同。
可得
61
9-2 线性系统的可控性和可观测性
在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。
状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化
可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化’’和“状态的变化能否由输出反映出来’’这样两个问题。
返回子目录
62
一、准备知识设 A 是 n× n 矩阵,x 是 n× 1 向量,齐次方程组若 |A|=0,（ 9-70） 式存在非零解；
若 |A|≠ 0,（ 9-70） 式只有零解 。
Ax=0 （ 9-70）
1、齐次方程组的非零解
63
2,Cayley-Hamilton定理
Cayley-Hamilton定理指出，
矩阵 A满足自己的特征多项式。
则 A满足
1
1 1 0()
nn
nf I A a a a
（ 9-71）
0)( 0111 IaAaAaAAf nnn?
（ 9-72）
A的 特征多项式
64
应用 Cayley-Hamilton 定理
)( 0111 IaAaAaA nnn
1
0
)(
n
k
k
k
At Ate?
（ 9-78）
1 2 0,,,nnA A A A I
,Ate )(,nkA k?对于矩阵指数 可以用来表示。
65
例 9-11
解,
矩阵 A的特征多项式
22| | ( 1 ) 2 1IA
12
01
A
100?A?要求计算矩阵 的
66
矩阵 A满足自己的特征多项式，有
2
32
43
2
32
43
( 1 )
n
A A I
A A A A I
A A A A I
A nA n I
100 1 2 0 01 0 0 9 9
01
A A I
本题中 n=100，故有
67
3 引理
nbAbAAbbr a n k n ][ 12?
的充分必要条件是,存在 使0
1?t
1
0
1 ),0(
t
tATAt dtebbetW T
（ 9-80）
非奇异。这里 A,n× n,b,n× 1.
68
若对任意状态,存在一个有限时刻 和控制量,能在 时刻将状态 转移到 0，则称此系统的状态完全可控。
)( 0tx 0tt f?
)(tu
ft )( 0tx
二、线性系统的可控性
1 定义对于任意时刻 和,若存在控制向量,能将 的每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态,
则称此系统的状态完全可控。
)(tu0t ft
0tt?
ftt?)( 0tx ()fxt
等价的定义
69
例如图 9-10
二维系统状态转移过程如图所示系统可控。
70
2 可控性判据其中 A (n× n),b (n× 1),c (1× n),d (1× 1)
系统可控的 充分必要条件 是
ducxy
buAxx
（ 9-84）
（ 9-85）
nbAAbbr a n k n 1（ 9-86）
单变量线性定常系统
71
证明：
将 u(t) 代入式 (9-54)，可得
]xex)[t,0(Web)t(u 1At0f1tAT fT
（ 9-87）
若式 (9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在 t1>0，使得 (1-30)式定义的 W(0,t1)矩阵非奇异，取 t1为可控性定义中的 tf,且在 [0,tf ]上定义
72
由定义可知式 (9-86)成立时，系统可控。
f
f
T
ff
t
0
1
At
0f
1AT)t(A
0
At
f d]}xex)[t,0(Web{bexe)t(x
11
AtAt
0
At
0
At
1
At
t
0
f
1ATAAt
0
t
0
f
1ATAAt
0
At
xxeexexe
dxe)t,0(Webbee
dx)t,0(Webbeexe
ffff
f
f
T
f
f
T
ff
73
再证明若系统可控，则式 (9-86)成立根据凯莱 — 哈密尔顿定理
d)(bue)0(x
ft
0
A
（ 9-88）
1n
0m
m
m
A A)(e （ 9-89）
假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即
x(tf)=0 。根据 (9-54)式，则有
74
把 (9-89) 式代入 (9-88) 式，得记
d)(u)(bA)0(x
ft
0
m
1n
0m
m
0
( ) ( ) ( 0,1,2,,1 )
ft
mmu d u m n
m
1n
0m
m ubA)0(x
这时
0
11
1
( 0 ) n
n
u
u
x b A b A b
u
（ 9-90）
75
由于 x(0)是任意的 n维向量,(9-90)式要有解，
一定有 (9-86)式成立，
即
n)bAbAAbb(r a n k 1n2
由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于 (9-84)
式中的 A阵和 b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为 S，这样，可控的充要条件就写成,rankS=n 或
detS≠0 。
76
图 9-11 不可控系统
77
例子系统可控
uxx
1
1
0
041
020
122
941
421
210
2 bAAbbP
c
01d e tcP
系统
78
3 约当型方程的可控性判据约当块的一般形式为
1
1
1
1
1
1
001
由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。
79
可控的充分必要条件为
① 同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。
②每一约当块最后一行，所对应的 b中的元素不为零。
这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。
80
例 9-12
u
b
b
b
b
x
1
1
x
4
3
2
1
2
2
1
1
系统状态方程为
i21 b,,
试确定系统可控时,应满足的条件。
81
解：
0bb)( 4221
如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果,
因为 A阵有两个若当块，根据判据的 (1)应有,由判据的 (2),A的第二行所对应的 b中的元素 b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为
21
82
4、可控标准形
uxx
n
1
0
0
0
10000
010
00010
1210
（ 9-92）
则系统一定可控。
一个单输入系统，如果具有如下形式
83
(9-92)式的形式被称为单输入系统的可控标准形 。
对于一般的单输入 n维动态方程
(9-93)
其中 A,b分别为 n× n,n× 1的矩阵。成立以下定理：
若 n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。
buAxx
84
下面给出变换矩阵 P的构成方法
① 计算可控性矩阵 S；
② 计算,并记 的最后一行为 h。
③ 构造矩阵 P
④ 令
1S?
2
1n
h
hA
P hA
hA
Pxx?
1S?
1 P A PA PBB? 1 CPC
DD? 即可求出变换后的系统状态方程。
85
例 9-13
设系统状态方程为
试将系统状态方程化为可控标准形。
u
1
1
0
x
041
020
122
x
86
解：
先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。
故系统可控。
一定可将它化为可控标准形。
0Sd e t
941
421
210
bAAbbS
2
87
此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是 A阵特征式的系数，但符号相反。
则变换矩阵为
112h
112
225
012
S 1
102
121
012
P
324
223
112
P 1
88
可求出 1
2 1 1 2 2 1 2 1 0
3 2 2 0 2 0 1 2 1
4 2 3 1 4 0 2 0 1
0 1 0
0 0 1
2 5 4
A PA P
1
0
0
1
1
0
324
223
112
Pbb
89
5 系统按可控性进行分解
系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，
现在研究不可控的情况，这时应有
nnbAAbbr a n k 11n
下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理
90
若单变量系统 (9-84,85)式的可控性矩阵满足 (9-103）式，则存在可逆线性变换矩阵 P，使得变换后的系统方程具有以下形式式中 是 n1维向量,是 n2维向量，并且
1 2 1 11
422
1
12
2
( 9 1 0 4 )
0 0
( 9 1 0 5 )
A A x bx
u
Axx
x
y c c d u
x
111n1111 nbAbAbr an k 1
db)AsI(cdb)AsI(c 111n11 1
（ 9-106）
（ 9-107）
1x 2x
91
(9-106)式表明下面的动态方程是可控的：
（ 9-107)式表明的动态方程式 (9-108,109)和原来的 n维动态方程式 (9-84,85)具有相同的传递函数。或者说 传递函数中未能反映系统中不可控的部分。
duxcy
ubxAx
11
1111
（ 9-108）
（ 9-109）
92
证明：
nnbAbAbAAbbr a n k 11nn1n 11 （ 9-110）
考察 (9-103)式，并将它重新写出如下
11n nbAAbbr a n k 1
进而可以证明
1nn21 q,,q,q补充选取线性无关的向量
1
1,,,,,,,211 nnn qqqbAAbb并使得向量组线性无关。
93
令
]q,,q,q,bA,,Ab,b[P 11 nn211n1
若将 (9-104,105)式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来,(9-104，
105)式的系统方块图如图 9-12所示。
Pbb,P A PA 1即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。
94
图 9-12 系统按可控性分解
95
从图 9-12中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变,故这一部分状态分量是不受输入影响的，
它是系统中的不可控部分。
由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。
1x 2x2x
96
例 9-14
设有系统方程如下
其传递函数为
试进行可控性分解 。
x001yu
0
1
0
x
110
010
011
x?
2)1s(
1)s(g
97
解：
210
111
210
bAAbbS 2
系统的可控性矩阵由于 S的第 3列是第 1列与第 2列的线性组合，
系统不可控 。
1 ( 0 0 1 ) Tq?
选取
98
计算出
1
0 1 0
1 1 0
0 1 1
P b A b q?
010cPc
,
0
0
1
Pbb,
100
021
010
P A PA
1
1
构成
1 1 0
1 0 0
1 0 1
P
99
故有因而得
10c01b21 10A 111
210 01r a nkbAbr a nk 111
)s(g
)1s(
1
0
1
2s1
1s10b)AsI(c
2
1
1
1
11
100
三、线性系统的可观测性设 n维单变量线性定常系统的动态方程为
cxy,buAxx (9-113,114)
如果在有限时间间隔 [0,t1 ]内，根据输出值 y(t)和输入值 u(t)，能够唯一确定系统的初始状态 x(0)的每一个分量，则称此系统是 完全可观测 的，简称 可观 的。
式中 A,b,c分别为 矩阵。
1,可观测性的定义
,1,1n n n n
101
若系统中至少有一个状态变量是不可观测 (不能被确定 )的，则称系统不可观。
图 9-13 不可观测系统
102
分析 (9-117)式，当知道某一时刻的输出时，
(9-117)式是 n个未知量 x(0)的 (一个 )方程，显然不能唯一确定初值，要解出 x(0),必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将 (9-117)式左乘一个列向量，再从 0到 t1
积分就可得到 n个未知数 x(0)的 n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。
()
0
( ) ( ) (0 ) ( )
t
A t A tg t c x t c e x c e b u d(9-117)
我们考虑没有外作用的系统，可求出
103
2 可观测性判据可观测的 充分必要条件 是
n
cA
cA
c
r a n k
1n
(9-118)
(9-118)式中的矩阵称为 可观性矩阵 。并记为 V。
104
式（ 9-118）又可以写成
d e t 0V?
n]c)A(c)A(cAc[r a n k T1nTT2TTTT
取 x(0)= α,这一非零的初始状态引起的输出为
AtAt ce)0(xce)t(y （ 9-120）
0dtceced e t)t,0(Vd e t At
t
0
TtA
1
1
T
根据准备知识中的引理，存在
105
将 代入上式，
得显然 α 不可能由 y(t)=0来确定。即系统不可观测。
1n
0k
k
k
At A)t(e
1
0
0 1 1
1
( ) ( ) ( 0)
( ) ( ) ( ) 0
n
k
k
k
n
n
y t c t A x
c
cA
t t t
cA
106
2 0 3
0 1 1
10
x x u
yx
试判断系统的可观测性。
设系统动态方程为例题 9-15
107
解：
系统的可观性矩阵是奇异的，故系统不可观测。
02
01
cA
c
V
系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。
108
事实上
11
1n1n11
11
1
1n
VPP
cA
cA
c
)P A P(cP
P A PcP
cP
Ac
Ac
c
V
1P?因为 是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。
109
3 对偶原理
上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统 Ⅰ,Ⅱ 是互为 对偶 的系统。
cxy,buAxx
zbw,vczAz TTT
系统 Ⅰ
系统 Ⅱ
110
对偶原理
系统 Ⅰ 的可控性 (可观性 )等价于系统 Ⅱ 的可观性
(可控性 )。
只要写出系统 Ⅰ 的可控性矩阵 (可观性矩阵 )和系统
Ⅱ 的可观性矩阵 (可控性矩阵 )即可证明以上结论。
利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。
111
应用：
若式 (9— 113)和式 (9— 114)的动态方程中 A阵具有约当标准形，则系统可观测的 充分必要条件 为
①同一特征值对应的约当块只有一块。
②每一约当块的第 1列所对应的 c中的元素非零。
上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。
112
例 9-16
设动态方程为
试确定系统可观测时应满足的条件。 ii c,?
xccccy
u
2
0
1
0
x
1
1
x
4321
2
2
1
1
113
解：
x2010y
u
c
c
c
c
x
1
0
1
0
x
4
3
2
1
2
2
1
1
由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为
.0c,0c,3121
这也就是原系统可观测的条件。
构造原系统的对偶系统如下：
114
4 可观测标准形
一个单输出系统如果其 A,c 阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。
（ 9-122） 式称为单输出系统的可观测标准形。
0
1
2
1
0 0 0 0
1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0
0 0 1
n
Ac
（ 9-122）
115
xcy,ubxAx
通过对偶原理证明：
给定系统方程如下
cxy,buAxx
)xMx(xMx 1 （ 9-123）
若有等价变换
将其化为可观测标准形式中 具有 (9-122)的形式。Ac和
116
构造原系统的对偶系统根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。
zbw,uczAz TTT
Pzz? 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为 P.
zcw,ubzAz 111
11111 PbcPcbPPAA TTT,，
117
因此有
TT
1
1TT
1
T1TT
1
cPb
b)P(c
AP)P(A
cMc
bMb
AMMA
1
1
TPM? （ 9-134）
比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。
118
例 9-17
系统动态方程为
将系统动态方程化为可观标准形，
并求出变换矩阵。
x11y,u
1
1
x
11
11
x
119
解：
显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的 A,b阵，分别为
1
1
b,
11
11
A
根据 A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出 P阵：
120
计算可控性矩阵 S
01
21
AbbS
5.05.0h
5.05.0
10
01
21S 11
01
5.05.0
hA
h
P
由 (9-128)式求出 P阵
11
20
M,
05.0
15.0
01
5.05.0
PM 1
T
T
由 (1-60)式求出 M阵
121
式中
10
05.0
15.0
11cMc
0
2
1
1
11
20
bMb
21
20
05.0
15.0
11
11
11
20
AMMA
1
1
122
5 系统按可观性进行分解
系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。
现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。
若 (9-113,114)的系统不可观测，且
nn
cA
cA
c
r an k
2
1n
123
则存在可逆矩阵 P，将动态方程化为式中 是 n2维向量,是 n-n2维向量，并且
1x 2x
nn
Ac
Ac
c
r a n k 2
1n
11
11
1
2
（ 9-137）
2
1
1
2
1
2
1
43
1
2
1
x
x
0cy
u
b
b
x
x
AA
0A
x
x
（ 9-135）
（ 9-136）
124
(9-135,136)的式子也可用图 9-14表示。
这可以用前面证明可观标准形的方法论证。
(9-137)式表明 n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)
式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。 2
x
11111 )()( 1 bAsIcbAsIc n
系统按可观性分解的结果 (9-138)
125
图 9— 14 系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。
126
四、可控性、可观测性与传递函数的关系
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(cad jb)AsI(c)s(g 1?
（ 9-141）
对应的传递函数为
cxy,buAxx （ 9-140）
考虑单变量系统，其动态方程为
1,可控性、可观测性与零、极点对消问题
127
式中：
AsI)s(D
b)AsI(c a dj)s(N
N(s)=0的根称为传递函数 g(s)的零点,D(s)=0的根称为传递函数 g(s)的极点。下面是本段的主要结果。
定理 动态方程式 (9-140)可控、可观测的充分必要条件是 g(s) 无零、极点对消，即 D(s)和 N(s)
无非常数的公因式 。
128
证明：
首先用反证法证明条件的必要性，若有 s=s0既使
N(s0)=0，又使 D(s0)=0，由 (9-141)式即得
0b)AIs(c a d j,0AIs 00
(9-143)利用恒等式
IAsI b)AsI(ca d j)AsI()AsI)(AsI( 1
I)s(D)AsI(adj)AsI(
可得
(9-144)
129
将 s= s0代入 (9-144)式，并利用 (9-143)式，可得
)AIs(A a d j)AIs(adjs 000
(9-145)
将上式前乘 c、后乘 b后即有
0)s(Nsb)AIs(c a d jsb)AIs(c A a d j 00000
（ 9-146）
将 (9-145)式前乘 cA、后乘 b后即有
0b)AIs(cA a d jsb)AIs(a d jcA 0002
（ 9-147）
130
依次类推可得
0b)AIs(adjcA
0b)AIs(adjcA
0b)AIs(cA a d j
0b)AIs(ca d j)s(N
0
1n
0
2
0
0
这组式子又可写成
0b)AIs(adj
cA
cA
c
0
1n
131
出现矛盾，矛盾表明 N(s)和 D(s)无相同因子，即 g(s)
不会 出现零、极点相消的现象。
因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，
故有
0b)AIs(a d j 0
0
s
s
1
b)AIs(a d j
1n
0
0
0
又由于系统可控，不妨假定 A,b具有可控标准形 (9-92)
的形式，直接计算可知
（ 9-148）
132
例 9-18
设系统动态方程为
10
10
10
1 4 6 4 1
1 2 1 0
x x u
yx
不难验证系统是可控、可观测的。
133
显然 N(s)和 D(s)无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上
4
2
234
2
)1s(
)1s(
1s4s6s4s
1s2s)s(g
1s4s6s4sAsI)s(D
1s2sb)AsI(c a d j)s(N
234
2
分别计算
134
2 传递函数的最小阶动态方程实现已知动态方程，可以用 (9-64)式计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为 传递函数的实现 问题。
如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为 传递函数的最小实现 问题。
135
设给定有理函数
01
1n
1n
n
01
1n
1n
01
1n
1n
n
01
1n
1n
n
0
asasas
bsbsb
d
asasas
dsdsdds
)s(g
(9-149)
(9-149)式中的 d 就是下列动态方程中的直接传递部分
ducxy,buAxx (9-150)
所以只需讨论 (9-149)式中的严格真有理分式部分。
136
给定严格真有理函数
01
1n
1n
n
01
1n
1n
asasas
bsbsb
)s(g
(9-151)
要求寻找 A,b,c，使得
)s(gb)AsI(c 1
(9-152)
并且在所有满足 (9-152)式的 A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面分两种情况讨论
137
① 可控标准形的最小阶实现式 (9-153)
对 (9-151)式，可构造出如下的实现 (A,b,c)
1n10
1n210
bbbc
1
0
0
0
b
10000
010
00010
A
(9-153)
（ 1） g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况
138
1000c
b
b
b
b
100
010
01
000
A
1n
1
0
1n
2
1
0
(9-154)
② 可观标准形的最小阶实现
(9-153)式给出的 (A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是 (9-151)的传递函数。由于 g(s)无零、极点对消，故可知 (9-153)式对应的动态方程也一定可观。同样可以说明 (9-154)式是 (9-151)的可观标准形的最小实现。
139
若 g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设 g(s)有以下的形式
)s(
c
)s(
c
)s(
c
)s(
c
)s()s(
bsbsbsb
)s(g
)s(u
)s(y
4
4
1
3
2
1
2
3
1
1
4
3
1
01
2
2
3
3
(9-155)
③ 约当标准形的最小阶实现因为 g(s)无零、极点对消，故可知上式中 c1c4均不为零。
140
令
)s(u
s
1
)s(x
)s(x
s
1
)s(u
)s(
1
)s(x
)s(x
s
1
)s(u
)s(
1
)s(x
)s(u
s
1
)s(x
4
4
2
1
3
1
1
3
1
2
1
2
1
3
uxx
xxx
xxx
uxx
444
2111
3212
313
分别对应于
141
而
44332211 xcxcxcxcy
综合上面各式并令 x=[x1 x2 x3 x4]T
可得
xccccy
u
1
1
0
0
x
0
01
001
x
4321
4
1
1
1
由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是 g(s)一个最小阶实现。
142
若 g(s)的分母是 n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时 n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现,(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的 )。 g(s)的最小实现的维数一定小于 n。
（ 2） g(s)的分子和分母有相消因式的情况
143
例 9-19
设 g(s)的分子 N(s)=s+1,而分母 D(s)=,
分子与分母有公因子 (s+1) 。
1s2s2s 23
仿照 (9-153)式，可写出 g(s)的一个三维的可控标准形实现
x011y
u
1
0
0
x
221
100
010
x
无须验证这个实现是可控的
144
x100y
u
0
1
1
x
210
201
100
x
因此这一实现是不可观的。同理，如果按 (9-154)式构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。
2r a n k V
121
110
011
V?
计算可观测性矩阵
145
当然也可以构造出 g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。
现在将分子和分母中的公因式消去，
可得
1ss
1
1s2s2s
1s)s(g
223
如果用上式中最后的式子，仿照 (9-153)式或 (9-154)
式，构造出二维的动态方程实现，它是 g(s)的最小实现。
146
9-3 状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下
cxy,buAxx (9-157)
令 kxvu (9-158)
一,状态反馈和极点配置问题式中的 v 是参考输入,k称为 状态反馈增益矩阵,这里它是 1× n 的向量。
返回子目录
147
图 9-15
cxy,bvx)bkA(x (9-159)
图 9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为式中 A-bk为闭环系统的系统矩阵。
将 (9-157)式和 (9-158)式用方框图表示，见图 9-15，它是一个闭环系统。
148
计算 (9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为
)bA,,bA,Ab,b(bAb)bkA(
)bA,Ab,b(bA
))Ab,b(bA)(bkA(b)bkA(
)Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(
bdAbb k bAbb)bkA(
2n21n1n
23
23
22
的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合
1 状态反馈不影响可控性
149
1000
0
10
1
bAAbb
b)bkA(b)bkA(b
1n
1n
上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有
bAAbbr a n k]b)bkA(b)bkA(b[r a n k 1n1n
(9-160)
因此有
150
式 (9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，
不论用什么 k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为 状态反馈不改变系统的可控性。
状态反馈可能改变系统的可观测性 。
即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，
闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。
151
例 9-20
系统的动态方程如下
xccy,u
1
0
x
10
11
x 21
下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。
152
可观任意 可观01
可观[1 1]11
不可观[1 2] 可观11
不可观[0 1]10
可观[1 1] 不可观10
闭环系统k 原系统c2c1
可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。
153
2 状态反馈对闭环特征值的影响闭环方程 (9-159)中的系统矩阵 A-bk的特征值，
一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。
通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为 状态反馈进行极点配置问题 。
154
证明：
定理：
闭环方程 (9-159) 的系统矩阵 A-bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是 (9-157)式的系统可控。
先证充分性因为 (9-157)式的系统可控,则存在可逆矩阵 P，将
(9-157)式的系统通过 的变换化为可控标准形。Pxx?
155
1n10
1n10
cccc
1
0
0
b
aaa
1
0
10
A
xcyubxAx
式中
(9-161)
现引入
1n10 kkkk
（ 9-162）
156
这时 (9-158)式的状态反馈式可写为：
考虑矩阵
xkvxkPvkxvu 1
PkkkPk 1
)ka()ka()ka(
1
1
10
kbA
1n1n1100
157
它的特征式为由于
)]kbA(sId e t [
)ka(s)ka(s)ka(s 00111n1n1nn
)]P b k PP A P(sId e t [)]kbA(sId e t [ 11
)]bkA(sId e t [}P)]kbA(sI[Pd e t { 1
故 的特征式即是 的特征式，所以 和有相同的特征值。
bkA? kbA?
bkA?
kbA?
158
设任意给定的闭环极点为,且n21,,,
011n1nnn21 sss)s()s)(s(
(9-166)
式中 完全由 所决定。比较 (9-165a)
式和 (9-166)式可知，若要 (9-166)的根为,需有
)1n,,2,1i(i i?
i?
iii
iii
ak
)1n,,1,0i(ka
(9-167)
这说明任意给定闭环 n个极点，均可通过 (9-167),(9-163)
式确定，使 A-bk具有给定的 n个特征值，充分性证毕。
159
必要性若系统 (9-157)可任意配置闭环特征值，要证明系统
(9-157)可控。用反证法，若系统 (9-157)不可控，则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将 (9-157)式转换为
(9-104,105)的可控分解形式。考虑矩阵
4
212111
21
1
4
21
A0
kbAkbA
kk
0
b
A0
AA
kbA
kA4的特征值不受 的影响，即 A-bk中的一部分特征值不受 k
的影响，这与可任意配置 A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统 (9-157)可控。
160
以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择 k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下
① 计算 A的特征式
011n1nn asasas)AsId et (
② 由所给的 n 个期望特征值,
计算期望的多项式
n21,,,
011n1nnn21 sss)s()s)(s(
161
④ 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 P
Pkk?⑤ 求出反馈增益阵上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求 k。
)aaa(k 1n1n1100
③ 求 k
162
u
1
0
1
0
x
01100
1000
0100
0010
x
系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为
{-1,-2,-1+j,-1-j}，试求状态反馈增益阵 k。
例 9-21
163
方法一、通过化可控标准形求解
2422 11)11()d e t ( ssssAsI
① 计算 A的特征式
② 由所给的 4 个期望特征值，计算期望的多项式
4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s( 2342
解：
164
⑤ 求出反馈增益阵
1000
0100
1.01.00
01.001.0
P
Pkk? =[-0.4 -1 -21.4 -6 ]
④ 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 P
③ 求
521104]05111001004[k
165
方法二：
令,计算 A-bk的特征式
4321 kkkkk?
4 3 2
2 4 1 3 2 1( ) ( 1 1 ) 1 0 1 0
s I A b k
s k k s k k s k s k
比较两个特征式的系数可得
4k10,10k10,1011kk,5kk 123142
所以可得 k=[-0.4 -1 -21.4 -6 ]
166
最后强调：
在极点配置定理中,,任意配置,是和系统可控等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。
167
例 9-22
设系统状态方程为
这一系统是不可控的。
uxx
1
1
1
0
1000
0100
0020
0012
若指定闭环特征值 {-2,-2,-1,-1},{-2,-2,-2,-1}
168
1100
0100
0010
0001
P
1100
0100
0010
0001
1
P
1000
0100
0020
0012
1
PAP
0
1
1
0
Pb
0210 kkkk?令
169
有
1000
01
02
0012
210
210
kkk
kkk
kbA
2
011
2 )2(42)4( skksks
441k
442 01 kk
所以
00816?k00816 Pkk
02?k
令
170
对 {-2,-2,-2,-1}
1000
01
02
0012
210
210
kkk
kkk
kbA
)( kbAsI
)1](442)4()3([ 2102102213 skkkskkkskks
)1()2( 3 ss
8442
124
63
210
210
21
kkk
kkk
kk
171
所以有
但若指定闭环特征值为 {-2,-2,-2,-2},
就找不出 k来达到这一配置要求。
0
9
1
9
80
3
64k
0
9
1
9
80
3
64Pkk
172
例 9-23
)2s)(1s(s
10
)s(u
)s(y
有一系统的传递函数为要求用状态反馈的方法，使得闭环系统的特征值为 -2,-1+j,-1-j。
173
解：
首先要将系统用状态方程写出，即构造出传递函数的实现，为了计算方便，取可控标准形实现
x0010yu
1
0
0
x
320
1
010
x?
反馈增益向量 k可写成
210 kkkk?
闭环系统的特征方程为
0ks)k2(s)k3(s 01223
174
状态反馈系统的方框图如图 9-16所示。
按给定极点，期望多项式为
4s6s4s)j1s)(j1s)(2s( 23
比较上两特征多项式，令 s同次的系数相等，可得
1k4k4k 210
或 k=[4 4 1 ]
175
图 9-16 例 9-23在引入状态反馈后的结构图
176
二、状态观测器为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息
（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。
状态观测器又称状态渐近估计器。
177
图 9-17
状态的开环估计一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，
见图。
178
由于图 9-17中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图 9-17得到的估计值是一个开环估值。
一般系统的输入量 u和输出量 y均为已知，因此希望利用 y=cx与的偏差信号来修正 的值，这样就形成了图 9-18的闭环估计方案。
x?cy
x?
179
图 9-18 状态的闭环估计方案
180
根据图 9-18所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
Hybux?)HcA()x?cy(Hbux?Ax (9-169)
由 (9-169)式和系统方程式可求出观测误差应满足的方程式x?xx~
x~)HcA(
)x?x)(HcA(
)xx?(Hc)x?x(A
]Hc xbux?)HcA[(buAxx?xx~
(9-170)
181
(9-170) 式表明，只要 A-Hc的特征值均在复平面的左半部,随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由 A-Hc 的特征值所决定。于是有下面 极点可任意设置的状态观测器定理
x~
定理,若系统 (A b c)可观测,则 (9-169)式给出了系统的一个 n 维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。
182
例 9-24
系统的动态方程为试设计一个状态观测器，观测器的特征值要求设置在 {-10,-10} 。
x02yu
1
0
x
32
10
x
183
解：
将观测器增益矩阵 H 写成
0h2
0h2
02
h
h
Hc,
h
h
H
2
1
2
1
2
1
观测器的特征方程为
0)2h2h6(s)3h2(s
3sh22
1h2s
)HcA(sI
211
2
2
1
184
根据给定的特征值，可求出期望的多项式为
1 0 0s20s)10s( 22
比较上述两多项式中 s的同次项系数得
5.23h,5.8h 21
因此观测器的方程为
y
5.23
5.8
u
1
0
x?
349
117
x
185
三、由被控对象、观测器和状态反馈构成的闭环系统若原系统 (对象 )方程为
cxy,buAxx (9-171)
现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即
x?
x?kvu (9-172)
而观测器的方程为
Hybux?)HcA(x (9-173)
186
由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如图 9-19所示。
图 9-19 带观测器的状态反馈系统
187
将 (9-172)式代入 (9-171)式和 (9-173)式，
可分别得到
buH c xx?)bkHcA(x?
cxy,bvx?bkAxx
(9-174)
(9-175)
TTT ]x?x[取状态变量为
x?
x
0cy
v
b
b
x?
x
bkHcAHc
bkA
x?
x
(9-176)
(9-177)
188
将 (9-176),(9-177)式的动态方程进行如下的坐标变换
x?
x
II
0I
x~
x (9-178)
II
0IP
II
0IP 1
所得到的动态方程为：
x~
x
0cy
v
0
b
x~
x
HcA0
bkbkA
x~
x
(9-179)
(9-180)
189
b)]bkA(sI[c)s(g 1f
闭环系统的传递函数可以通过 (9-179)式、
(9-180)式来计算。
从 (9-179)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下
)]HcA(sId et [)]bkA(sId et [
HcA0
bkbkA
sId et
nn
n2
(9-181)
190
上式表明,图 9-19所示闭环系统的特征式等于矩阵
A-bk 与矩阵 A-Hc 的特征式的乘积，而 A-bk 是状态反馈系统的系统矩阵,A-Hc是观测器的系统矩阵,(9-181)式表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。
这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵 k，然后按观测器的动态要求选择 H,H的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，
这个原理通常称为 分离定理 。
191
通常把反馈增益阵和观测器一起称为 控制器图 9-20 控制器
192
例 9-25
设系统传递函数为希望用状态反馈使闭环的极点为 -
4± 6j，并求实现这个反馈的状态观测器，观测器的极点设置在 -10,-10。
)6s(s
1)s(G
193
解：
由系统的传递函数可知,其二阶动态方程实现是可控且可观的。为了设计观测器方便，现取可观标准形实现，即
x10yu01x61 00x
根据题意要求闭环特征方程为
052s8s 2
194
122 hs)h6(s)HcA(sI
令两个特征式对应的系数相等，可解出 k1=2,k2=40。
再求观测器，根据极点的要求，期望多项式为
0100s20s 2
令,使T
21 hhH?
求状态反馈 k，令 k=[k1 k2 ] 。求出状态反馈后闭环系统的特征多项式
1212 k6ks)k6(s)bkA(sI
195
与期望多项式相比,得到 h1=100,h2=14。
由式可计算出观测器方程为
y
14
10 0
u
0
1
x
201
10 00
x
由对象、状态反馈和观测器构成的整个闭环系统的方框图如图 9-21所示。
196
图 9-21 例 9-25的反馈控制系统
197
dBuetx
t
tA )()(
0
)( （ 9-183）
它在零初始条件的输出
§ 9-4有界输入、有界输出稳定性设系统的动态方程为
CxyBuAxx （ 9-182）
bcetg At?令
dutgtx
t
)()(
0
（ 9-184）
则有式中 g(t)为脉冲响应函数。
返回子目录
198
传递函数与脉冲响应函数的关系为
bAsIcsG 1
bAsIcbceL At 1定义
Kth
,0t若对于成立,称 h(t)有界 。
199
系统 BIBO稳定的 充分必要条件 为
K是一个实的正数。
0
Kdttg
（ 9-187）
若所有的有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，
则称系统为 有界输入有界输出稳定,即
BIBO稳定 。
200
证明：
充分性
1)( ktu?
tt dutgdutgty
00
)()()()()(
tt dttgkdutg 0 1110 )()()(
Kk 1?
设
201
必要性反证法若有 存在，使得
1t
10 )(t Mdttg
M >0
)]([)( 1 tgs i g nu ],0[ 1t
取有界输入
1 10 0 111 )()()()( t t dtgdutgty
这时
202
令 1t
101 )()( t Mdgty
当系统用传递函数描述时，系统 BIBO稳定的充分必要条件 为 g（ s）的极点具有负实部。
若式（ 9-182）中的 A阵，其特征值均在复平面的左半部，称动态方程是 渐近稳定 的。
203
例 9-26
分析下列系统的输入、输出稳定性和渐近稳定性。
xy
uxx
10
1
2
11
60
204
解：
系统的特征方程为
d e t ( ) ( 1 ) 6 ( 3 ) ( 2 ) 0s I A s s s s
系统传递函数
3
1)()( 1
s
bAsIcsG
传递函数极点位于 S左半平面，故系统是输入、
输出稳定的。
A阵的特征值为 +2,-3。故系统 不是渐近稳定的 。
205
结论：
若系统（ A,b,c）是渐近稳定的，则也是输入、输出稳定的；
若系统（ A,b,c）是输入、输出稳定的，且又是可控和可观的，则系统是渐近稳定的。
渐近稳定 BIBO稳定
206
9-5 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 是通过构造李雅普诺夫函数 (V函数 )来直接判断运动稳定性的一种定性的方法,由于这种方法没有求出微分方程的解，而直接研究方程解的稳定性，因此又称为直接法,目前它仍然是研究系统 (包括时变、非线性 )稳定性的有力工具。
这里只针对时不变线性系统渐近稳定的情况介绍二次型形式的 V函数。
返回子目录
207
定理：
时不变动态方程 的零解是渐近稳定的 充分必要条件 是对给定的任一个正定对称阵 N，都存在唯一的正定对称阵 M，使得
Axx
(9-188) 式的矩阵方程称为李雅普诺夫方程。
NMAMA T
（ 9-188）
208
例 9-27
考虑二维系统
试确定平衡状态 x=0是否渐近稳定。
2
1
2
1
x
x
11
10
x
x
209
解：
令 N=1,M由（ 9-188）式来确定。设代入（ 9-188）式，可以得到
42
21
mm
mm
M
10
01
11
10
mm
mm
mm
mm
11
10
42
21
42
21
1mm
mm
M
2
1
2
1
2
3
42
21
显然 M是正定矩阵。所以系统的平衡状态
x=0渐近稳定。
210
例 9-28
考虑二维系统
试确定平衡状态 x=0渐近稳定时待定参数 a应满足的条件。
a≠0
2
1
2
1
x
x
1a
10
x
x
211
解：
令 N=1,M由（ 9-188）式来确定。设
42
21
mm
mm
M
10
01
1a
10
mm
mm
mm
mm
11
a0
42
21
42
21
代入（ 9-188）式，可以得到
212
解出
2
12
24
11
22
11
22
aa
mm aa
M
mm a
aa
由于二次三项式 大于零,故由 得
a＞ 0，这时 也大于零,即 M阵正定的条件为 a＞ 0，这也就得到了系统渐近稳定时,A中的待定参数 a应满足的条件,a＞ 0。
2 1aa 1 0m?
21 4 2m m m?
定理并不意味着,A渐近稳定,M正定，由（ 9— 188）
式所得的 N一定正定。,
注意
213
例 9-29
设
52
21
M,
31
11
A
显然 A的特征值均有负实部,M正定，
但按式（ 9— 188）计算出的却不是正定的
262
22
N
214
由上述定理可知若 渐近稳定,一定存在正定二次型作为它的李雅普诺夫函数，并且是 负定二次型,这一事实的几何意义可说明如下。
() TV x x M x?
Axx
Tx N x
可认为通过 V函数给状态空间的点赋予了一个正数，于是可把 V函数看作状态空间到原点距离的一种度量。
取一正的数列,
且 。考察曲面
),2,1k(CMxx:S kTk
nC,CCC k21
0Clim kk
215
的非零解 x(t)在状态空间中表示一条曲线，称为 轨线 。 V(x)沿这些曲线的导数另外从几何上看
Axx
Ax
x
)x(v
x
x
x
x
)x(v
x
)x(v
x
)x(v
x
x
)x(v
dt
)x(dv
T
n
2
1
n21
n
1i i
0NxxM A xxMxAxxMxMxx TTTTTT
216
上式中的,即 表示那些椭球面的外法向，而 Ax表示了轨线的方向，
表明椭球面的外法向和轨线方向的夹角为钝角，即轨线应由外向里穿过层层的椭球面，最终趋向于原点 。
x
v
)x(gr a dv
0Ax)xv( T
217
本章主要知识点及线索不可观可观不可 控可 控状态空间模型
( A,b,c,d )
状态方程的解可控标准形对偶原理可观标准形状态反馈 可 任意配置极点分离定理可控性判据可控性分解可观性判据可观 子系统可控标准形实现可观性分解可观标准形实现
n 维状态观测器 可任意配置观测器极点传递函数
t
e
A
可 控子系统对象、观测器、状态反馈组成闭合系统
第九章状态空间分析方法
2
第 9章 状态空间分析方法基本要求
9-1 状态空间方法基础
9-2 线性系统的可控性和可观性
9-3 状态反馈和状态观测器
9-4 有界输入、有界输出的稳定性
9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录
3
引言,前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。
经典控制理论
(50年代前 )
现代控制理论
(50年代后 )
研究对象 单输入单输出的线性定常系统 可以比较复杂数学模型 传递函数(输入、输出描述 ) 状态方程(可描述内部行为 )
数学基础 运算微积、复变函数 线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多,经验起很大作用。主要在复数域进行。
设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。
4
基本要求
① 掌握由系统输入 — 输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型 的方法。
② 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。
③ 正确理解可逆线性变换,熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。
④ 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。
返回子目录
5
⑤ 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法,能将可控系统化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。
⑥ 正确理解对偶原理,会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。
⑦ 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、
可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。
⑧ 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响,正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
6
⑨ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
⑩ 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统 BIBO稳定的概念,熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统
BIBO稳定的方法。
11 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
7
9-1 状态空间方法基础
在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。
在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，
为系统的分析研究提供了有力的工具。
返回子目录
8
状态,动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
一、状态空间的基本概念已知 时状态,时的输入，可确定时任一变量的运动状况。
0t 0tt? 0tt?
状态变量,确定动力学系统状态的最小一组变量 。 )(,),(1 txtx n?
9
1
2
n
xt
xt
Xt
xt
状态空间,由 张成的 n维向量空间。)(tX
状态向量,
如果完全描述一个给定系统的动态行为需要 n个状态变量，那么状态向量定义为 X(t)
对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。
10
例 9-2
设一 RLC网络如图所示。
回路方程为
( ) 1( ) ( ) ( )d i te t R i t L i t d t
d t C
图 9-2 RLC网络
11
2 ( ) ( )x t i t d t
)()(1 titx?
选择状态变量
1 1 2
11Rx x x e
L LC L
则有
21xx?
1 1
010
R
uL C L L
xx
写成
2
1)()( x
Ctcty
10
C
x
输出
12
1
1
1
00
R
LL
uL
C
xx
写成
)()(1 titx?
2
1( ) ( )x t i t d t
C
若选另一组状态变量
1 1 2
11 ()Rx x x e t
L L L
12
1 x
cx
则有
13
uyayayay nnnnn 02211
若给出 (t=0) 时的初值,,…,和时就可确定系统的行为 。? 0,?ttu
)0(y )0(y? )0()1(?ny
1
21,,,
n
n yxyxyx?
单输入 -单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式
14
12
23
1nn
xx
xx
xx
（ 9-17）
0 1 1 2 1n n nx a x a x a x u
15
或写成
x A x B x
1
2
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0
,,
0 0 0 1
0
n
n
x
x
x
a a a a
x A B
（ 9-19）
16
系统结构图如图所示图 9-3
17
例 9-3
222y y y u
输入为 u,输出为 y 。
试求系统的状态方程和输出方程。
考虑用下列常微分方程描述的系统
18
解：
12
22
2 1 22
xx
x x x u
11
22
22
0 1 0
2
xx
u
状态方程为写成取状态变量
12,x y x y
19
输出 1
2
10
x
y
x
图 9-4 例 9-3系统的结构图
20
多输入 -多输出系统图 9-6 多变量系统
21
ppnn ububxaxaxax 111112121111
ppnn ububxaxaxax 212122221212………
pnpnnnnnnn ububxaxaxax 112211?
nxxx,,,21
为状态变量；
puuu,,,21
为输入量；
qyyy,,,21
为输出变量。
22
矩阵形式：
x A x Β u
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
A
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
p
p
n n n p
b b b
b b b
b b b
B
式中
23
ppnn ududxcxcxcy 111112121111
ppnn ududxcxcxcy 212122221212………,
pqpqnqnqqq ududxcxcxcy 112211
输出变量方程
24
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
q q q n
c c c
c c c
c c c
C
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
p
p
q q q p
d d d
d d d
d d d
D
y C x D u
式中
25
图 9-7 系统结构图
26
三、线性定常系统状态方程的解式中 均为列向量。)2,1,0(ib
i
x A x （ 9-28）
齐次向量微分方程
kk tbtbtbbtx 2210)(
（ 9-29）
方程的解为
1、齐次状态方程的解
27
)(2 10121 kkkk tbtbbAtkbtbb
可得
()tx?x A x
代入方程将方程两边系数必相等,即
10
2
2 1 0
3
3 2 0
0
11
22
11
3 3 2
1
k
k
b Ab
b Ab A b
b Ab A b
b A b
k
！
28
0)0( bx?
我们定义
0
22 )1
2
1()( xtA
k
tAAtItx kk
！！
（ 9-31）
kKAt tA
k
tAAtIe
！！
1
2
1 22
（ 9-32）
因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入（ 9-29）中得
29
0)( xetx
At?
（ 9-33）
( ) ( )x t A x t? （ 9-34）
)()( 0 sAxxssx
（ 9-35）
Ate
为 n× n矩阵，称矩阵指数。
于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解
30
0
1)()( xAsIsx
0
11 ])[()( xAsILtx
])[( 11 AsILe At
1
2
2 3 1
1
( ) [ ] [ ]
A t k k
k
k
sI A L e L I At A t
k
I A A A
s s s s
！
拉氏反变换后得到
（ 9-37）
（ 9-38）
31
最终得到
与前一种解法所得结果一致。
Atet At e x p
式中
( ) ( 0) ( ) ( 0)Atx t e x t x
（ 9-41）
32
状态转移矩阵具有以下性质：
I )0(,1
)()(,2 1 tt
)()()(,3 020112 tttttt
)()]([,4 ktt k
33
图 9-8 状态转移特性性质 3
34
例 9-5
11
22
01
00
xx
xx
设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。
35
解：
2211()
2 ! !
A t k kt e I A t A t A t
k
23
0 1 0 0
,
0 0 0 0
1 0 0 1
()
0 1 0 0 0 1
nA A A A
tt
t
11
22
1( ) (0 )
01( ) (0 )
tx t x
x t x
求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为
36
例 9-6
x
32
10
x?
设系统状态方程为试求状态方程的解。
37
解：
2s
2
1s
1
2s
2
1s
2
2s
1
1s
1
2s
1
1s
2
)2s)(1s(
s
)2s)(1s(
2
)2s)(1s(
1
)2s)(1s(
3s
s2
13s
)2s)(1s(
1
AsI
)AsI(ad j
)AsI(
3s2
1s
)AsI(
1用拉氏变换求解。先求出矩阵指数
38
状态方程之解为
t2tt2t
t2tt2t
11At
e2ee2e2
eeee2])AsI[(Le
)0(x
)0(x
e2ee2e2
eeee2)0(xe)t(x
2
1
t2tt2t
t2tt2t
At
将上式进行拉氏反变换
39
图 9-9 系统的瞬态解（ a）与相轨迹（ b）
40
改写为
)()()( tButAxtx
用 左乘等式两边
Ate?
2 非齐次状态方程的解非齐次方程
)()()( tButAxtx （ 9-53）
)()]([)]()([ tBuetxedtdtAxtxe AtAtAt
（ 9-54）
41
dBuextxe
t
AAt )()0()(
0
dBuexetx
t
tAAt )()0()(
0
)(
用 左乘上式两边Ate?
（ 9-54）
0( ) ( ) ( 0) ( ) ( )
tx t t x t B u d
则式（ 9-54）可以写成
（ 9-55）
积分上式得
42
讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法
sBusAxxssx )()( 0
sBuAsIxAsIsx 101 )()()(
)]()[()0(])[()( 1111 sBuAsILxAsILtx
拉氏反变换得
])[( 11 AsILe At
由于
t
tA dBuesBuAsIL
0
)(11 )(])[(
由卷积定理有
43
t
tA dBuesBuAsIL
0
)(11 )(])[(
t
AAt dtBuexetx
0
)()0()(
t
tAAt dBuexetx
0
)( )()0()(
因此由于最后得到
44
例 9-7
uxx?
1
0
32
10
求下述系统状态的时间响应控制量 u为单位阶跃函数。
45
解：
11
22
22
()
2
2 2 2
t t t t
t t t t
t L sI A
e e e e
e e e e
)2)(1()2)(1(
2
)2)(1(
1
)2)(1(
3
][
1
ss
s
ss
ssss
s
AsI
由状态转移矩阵
46
t
tt
tt
A
ee
eedtBue
0
2
25.05.0
)(
tt
tt
ee
ee
xttx
2
25.05.0
)0()()(
2
2
0,5 0,5
()
tt
tt
ee
xt
ee
若初始状态为零状态，则
47
)()()( sBUsAXssX
)()()( sDUsCXsY
四、传递函数矩阵
BuAxx （ 9-58）
系统状态方程
DuCxy （ 9-59）
输出方程拉氏变换为
48
解出定义传递函数矩阵为
)()()( 1 sBUAsIsX
)(])([)( 1 sUDBAsICsY
AsI
AsIa d jAsI
)()( 1
DBAsICsG 1)()( （ 9-63）
49
所以特征方程为
AsI
DAsIBAsIC adjDB
AsI
AsIadjCsG
)()()(
0|| AsI
50
例 9-8
设系统的动态方程为
试求该系统的传递函数矩阵。
1 1 1
2 2 2
11
22
0 1 1 0
0 2 0 1
10
01
x x u
x x u
yx
yx
51
解：
0 1 1 0 1 0,,,0
0 2 0 1 0 1A B C D
已知
1
1
11
1 ( 2 )
()
2 1
0
2
s s s s
sI A
os
s
故
52
1
( ) ( )
11
1 0 1 0( 2)
0 1 0 11
0
2
11
( 2)
1
0
2
G s C sI A B
s s s
s
s s s
s
53
例 9-9
0 1 0 0
0 0 1 0
6 11 6 1
Ab
设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。
54
解：
32
10
| | d e t 0 1 6 1 1 6 0
6 1 1 6
| | ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0
s
s I A s s s s
s
s I A s s s
系统的特征方程为特征方程的根为 -1,-2和 -3。矩阵 A的特征值也为 -1,-2和 -3。两者是一样的。
55
五、动态方程的可逆线性变换
DuCxy
BuAxx
uDxCy
uBxAx
xPx 1
Pxx?
其中 P 是 n× n 矩阵
1 P A PA 1 CPCB P B?
56
特征多项式
AsI
AsIPPAsIPPPAsIP
PAsIPP A Ps P PP A PsIAsI
111
1111
)(
特征多项式没有改变。
57
DBAsIC
DPBPAsIPCP
DPBPAsIPCP
DPBPAPs P PCP
DPBPAPsICPDBAsIC
1
111
111
1111
1111
)(
)(
])([
)(
)()(传递函数阵传递函数阵没有改变
58
例 9-10
对例 9-9之系统进行坐标变换，其变换关系为
试求变换后系统的特征方程和特征值。
11
22
33
1 1 1
1 2 3
1 4 9
xx
xx
xx
59
解：
根据题意求变换矩阵 1
11
1 1 1 3 2,5 0,5
1 2 3,3 4 1
1 4 9 1 1,5 0,5
PP
x P A P x P bu
代入
60
1 3 2| | ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6 1 1 6 0s I P A P s s s s s s
特征方程为特征值为 -1,-2,-3，与例 9-9结果相同。
可得
61
9-2 线性系统的可控性和可观测性
在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。
状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化
可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化’’和“状态的变化能否由输出反映出来’’这样两个问题。
返回子目录
62
一、准备知识设 A 是 n× n 矩阵,x 是 n× 1 向量,齐次方程组若 |A|=0,（ 9-70） 式存在非零解；
若 |A|≠ 0,（ 9-70） 式只有零解 。
Ax=0 （ 9-70）
1、齐次方程组的非零解
63
2,Cayley-Hamilton定理
Cayley-Hamilton定理指出，
矩阵 A满足自己的特征多项式。
则 A满足
1
1 1 0()
nn
nf I A a a a
（ 9-71）
0)( 0111 IaAaAaAAf nnn?
（ 9-72）
A的 特征多项式
64
应用 Cayley-Hamilton 定理
)( 0111 IaAaAaA nnn
1
0
)(
n
k
k
k
At Ate?
（ 9-78）
1 2 0,,,nnA A A A I
,Ate )(,nkA k?对于矩阵指数 可以用来表示。
65
例 9-11
解,
矩阵 A的特征多项式
22| | ( 1 ) 2 1IA
12
01
A
100?A?要求计算矩阵 的
66
矩阵 A满足自己的特征多项式，有
2
32
43
2
32
43
( 1 )
n
A A I
A A A A I
A A A A I
A nA n I
100 1 2 0 01 0 0 9 9
01
A A I
本题中 n=100，故有
67
3 引理
nbAbAAbbr a n k n ][ 12?
的充分必要条件是,存在 使0
1?t
1
0
1 ),0(
t
tATAt dtebbetW T
（ 9-80）
非奇异。这里 A,n× n,b,n× 1.
68
若对任意状态,存在一个有限时刻 和控制量,能在 时刻将状态 转移到 0，则称此系统的状态完全可控。
)( 0tx 0tt f?
)(tu
ft )( 0tx
二、线性系统的可控性
1 定义对于任意时刻 和,若存在控制向量,能将 的每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态,
则称此系统的状态完全可控。
)(tu0t ft
0tt?
ftt?)( 0tx ()fxt
等价的定义
69
例如图 9-10
二维系统状态转移过程如图所示系统可控。
70
2 可控性判据其中 A (n× n),b (n× 1),c (1× n),d (1× 1)
系统可控的 充分必要条件 是
ducxy
buAxx
（ 9-84）
（ 9-85）
nbAAbbr a n k n 1（ 9-86）
单变量线性定常系统
71
证明：
将 u(t) 代入式 (9-54)，可得
]xex)[t,0(Web)t(u 1At0f1tAT fT
（ 9-87）
若式 (9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在 t1>0，使得 (1-30)式定义的 W(0,t1)矩阵非奇异，取 t1为可控性定义中的 tf,且在 [0,tf ]上定义
72
由定义可知式 (9-86)成立时，系统可控。
f
f
T
ff
t
0
1
At
0f
1AT)t(A
0
At
f d]}xex)[t,0(Web{bexe)t(x
11
AtAt
0
At
0
At
1
At
t
0
f
1ATAAt
0
t
0
f
1ATAAt
0
At
xxeexexe
dxe)t,0(Webbee
dx)t,0(Webbeexe
ffff
f
f
T
f
f
T
ff
73
再证明若系统可控，则式 (9-86)成立根据凯莱 — 哈密尔顿定理
d)(bue)0(x
ft
0
A
（ 9-88）
1n
0m
m
m
A A)(e （ 9-89）
假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即
x(tf)=0 。根据 (9-54)式，则有
74
把 (9-89) 式代入 (9-88) 式，得记
d)(u)(bA)0(x
ft
0
m
1n
0m
m
0
( ) ( ) ( 0,1,2,,1 )
ft
mmu d u m n
m
1n
0m
m ubA)0(x
这时
0
11
1
( 0 ) n
n
u
u
x b A b A b
u
（ 9-90）
75
由于 x(0)是任意的 n维向量,(9-90)式要有解，
一定有 (9-86)式成立，
即
n)bAbAAbb(r a n k 1n2
由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于 (9-84)
式中的 A阵和 b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为 S，这样，可控的充要条件就写成,rankS=n 或
detS≠0 。
76
图 9-11 不可控系统
77
例子系统可控
uxx
1
1
0
041
020
122
941
421
210
2 bAAbbP
c
01d e tcP
系统
78
3 约当型方程的可控性判据约当块的一般形式为
1
1
1
1
1
1
001
由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。
79
可控的充分必要条件为
① 同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。
②每一约当块最后一行，所对应的 b中的元素不为零。
这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。
80
例 9-12
u
b
b
b
b
x
1
1
x
4
3
2
1
2
2
1
1
系统状态方程为
i21 b,,
试确定系统可控时,应满足的条件。
81
解：
0bb)( 4221
如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果,
因为 A阵有两个若当块，根据判据的 (1)应有,由判据的 (2),A的第二行所对应的 b中的元素 b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为
21
82
4、可控标准形
uxx
n
1
0
0
0
10000
010
00010
1210
（ 9-92）
则系统一定可控。
一个单输入系统，如果具有如下形式
83
(9-92)式的形式被称为单输入系统的可控标准形 。
对于一般的单输入 n维动态方程
(9-93)
其中 A,b分别为 n× n,n× 1的矩阵。成立以下定理：
若 n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。
buAxx
84
下面给出变换矩阵 P的构成方法
① 计算可控性矩阵 S；
② 计算,并记 的最后一行为 h。
③ 构造矩阵 P
④ 令
1S?
2
1n
h
hA
P hA
hA
Pxx?
1S?
1 P A PA PBB? 1 CPC
DD? 即可求出变换后的系统状态方程。
85
例 9-13
设系统状态方程为
试将系统状态方程化为可控标准形。
u
1
1
0
x
041
020
122
x
86
解：
先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。
故系统可控。
一定可将它化为可控标准形。
0Sd e t
941
421
210
bAAbbS
2
87
此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是 A阵特征式的系数，但符号相反。
则变换矩阵为
112h
112
225
012
S 1
102
121
012
P
324
223
112
P 1
88
可求出 1
2 1 1 2 2 1 2 1 0
3 2 2 0 2 0 1 2 1
4 2 3 1 4 0 2 0 1
0 1 0
0 0 1
2 5 4
A PA P
1
0
0
1
1
0
324
223
112
Pbb
89
5 系统按可控性进行分解
系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，
现在研究不可控的情况，这时应有
nnbAAbbr a n k 11n
下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理
90
若单变量系统 (9-84,85)式的可控性矩阵满足 (9-103）式，则存在可逆线性变换矩阵 P，使得变换后的系统方程具有以下形式式中 是 n1维向量,是 n2维向量，并且
1 2 1 11
422
1
12
2
( 9 1 0 4 )
0 0
( 9 1 0 5 )
A A x bx
u
Axx
x
y c c d u
x
111n1111 nbAbAbr an k 1
db)AsI(cdb)AsI(c 111n11 1
（ 9-106）
（ 9-107）
1x 2x
91
(9-106)式表明下面的动态方程是可控的：
（ 9-107)式表明的动态方程式 (9-108,109)和原来的 n维动态方程式 (9-84,85)具有相同的传递函数。或者说 传递函数中未能反映系统中不可控的部分。
duxcy
ubxAx
11
1111
（ 9-108）
（ 9-109）
92
证明：
nnbAbAbAAbbr a n k 11nn1n 11 （ 9-110）
考察 (9-103)式，并将它重新写出如下
11n nbAAbbr a n k 1
进而可以证明
1nn21 q,,q,q补充选取线性无关的向量
1
1,,,,,,,211 nnn qqqbAAbb并使得向量组线性无关。
93
令
]q,,q,q,bA,,Ab,b[P 11 nn211n1
若将 (9-104,105)式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来,(9-104，
105)式的系统方块图如图 9-12所示。
Pbb,P A PA 1即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。
94
图 9-12 系统按可控性分解
95
从图 9-12中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变,故这一部分状态分量是不受输入影响的，
它是系统中的不可控部分。
由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。
1x 2x2x
96
例 9-14
设有系统方程如下
其传递函数为
试进行可控性分解 。
x001yu
0
1
0
x
110
010
011
x?
2)1s(
1)s(g
97
解：
210
111
210
bAAbbS 2
系统的可控性矩阵由于 S的第 3列是第 1列与第 2列的线性组合，
系统不可控 。
1 ( 0 0 1 ) Tq?
选取
98
计算出
1
0 1 0
1 1 0
0 1 1
P b A b q?
010cPc
,
0
0
1
Pbb,
100
021
010
P A PA
1
1
构成
1 1 0
1 0 0
1 0 1
P
99
故有因而得
10c01b21 10A 111
210 01r a nkbAbr a nk 111
)s(g
)1s(
1
0
1
2s1
1s10b)AsI(c
2
1
1
1
11
100
三、线性系统的可观测性设 n维单变量线性定常系统的动态方程为
cxy,buAxx (9-113,114)
如果在有限时间间隔 [0,t1 ]内，根据输出值 y(t)和输入值 u(t)，能够唯一确定系统的初始状态 x(0)的每一个分量，则称此系统是 完全可观测 的，简称 可观 的。
式中 A,b,c分别为 矩阵。
1,可观测性的定义
,1,1n n n n
101
若系统中至少有一个状态变量是不可观测 (不能被确定 )的，则称系统不可观。
图 9-13 不可观测系统
102
分析 (9-117)式，当知道某一时刻的输出时，
(9-117)式是 n个未知量 x(0)的 (一个 )方程，显然不能唯一确定初值，要解出 x(0),必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将 (9-117)式左乘一个列向量，再从 0到 t1
积分就可得到 n个未知数 x(0)的 n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。
()
0
( ) ( ) (0 ) ( )
t
A t A tg t c x t c e x c e b u d(9-117)
我们考虑没有外作用的系统，可求出
103
2 可观测性判据可观测的 充分必要条件 是
n
cA
cA
c
r a n k
1n
(9-118)
(9-118)式中的矩阵称为 可观性矩阵 。并记为 V。
104
式（ 9-118）又可以写成
d e t 0V?
n]c)A(c)A(cAc[r a n k T1nTT2TTTT
取 x(0)= α,这一非零的初始状态引起的输出为
AtAt ce)0(xce)t(y （ 9-120）
0dtceced e t)t,0(Vd e t At
t
0
TtA
1
1
T
根据准备知识中的引理，存在
105
将 代入上式，
得显然 α 不可能由 y(t)=0来确定。即系统不可观测。
1n
0k
k
k
At A)t(e
1
0
0 1 1
1
( ) ( ) ( 0)
( ) ( ) ( ) 0
n
k
k
k
n
n
y t c t A x
c
cA
t t t
cA
106
2 0 3
0 1 1
10
x x u
yx
试判断系统的可观测性。
设系统动态方程为例题 9-15
107
解：
系统的可观性矩阵是奇异的，故系统不可观测。
02
01
cA
c
V
系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。
108
事实上
11
1n1n11
11
1
1n
VPP
cA
cA
c
)P A P(cP
P A PcP
cP
Ac
Ac
c
V
1P?因为 是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。
109
3 对偶原理
上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统 Ⅰ,Ⅱ 是互为 对偶 的系统。
cxy,buAxx
zbw,vczAz TTT
系统 Ⅰ
系统 Ⅱ
110
对偶原理
系统 Ⅰ 的可控性 (可观性 )等价于系统 Ⅱ 的可观性
(可控性 )。
只要写出系统 Ⅰ 的可控性矩阵 (可观性矩阵 )和系统
Ⅱ 的可观性矩阵 (可控性矩阵 )即可证明以上结论。
利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。
111
应用：
若式 (9— 113)和式 (9— 114)的动态方程中 A阵具有约当标准形，则系统可观测的 充分必要条件 为
①同一特征值对应的约当块只有一块。
②每一约当块的第 1列所对应的 c中的元素非零。
上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。
112
例 9-16
设动态方程为
试确定系统可观测时应满足的条件。 ii c,?
xccccy
u
2
0
1
0
x
1
1
x
4321
2
2
1
1
113
解：
x2010y
u
c
c
c
c
x
1
0
1
0
x
4
3
2
1
2
2
1
1
由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为
.0c,0c,3121
这也就是原系统可观测的条件。
构造原系统的对偶系统如下：
114
4 可观测标准形
一个单输出系统如果其 A,c 阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。
（ 9-122） 式称为单输出系统的可观测标准形。
0
1
2
1
0 0 0 0
1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0
0 0 1
n
Ac
（ 9-122）
115
xcy,ubxAx
通过对偶原理证明：
给定系统方程如下
cxy,buAxx
)xMx(xMx 1 （ 9-123）
若有等价变换
将其化为可观测标准形式中 具有 (9-122)的形式。Ac和
116
构造原系统的对偶系统根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。
zbw,uczAz TTT
Pzz? 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为 P.
zcw,ubzAz 111
11111 PbcPcbPPAA TTT,，
117
因此有
TT
1
1TT
1
T1TT
1
cPb
b)P(c
AP)P(A
cMc
bMb
AMMA
1
1
TPM? （ 9-134）
比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。
118
例 9-17
系统动态方程为
将系统动态方程化为可观标准形，
并求出变换矩阵。
x11y,u
1
1
x
11
11
x
119
解：
显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的 A,b阵，分别为
1
1
b,
11
11
A
根据 A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出 P阵：
120
计算可控性矩阵 S
01
21
AbbS
5.05.0h
5.05.0
10
01
21S 11
01
5.05.0
hA
h
P
由 (9-128)式求出 P阵
11
20
M,
05.0
15.0
01
5.05.0
PM 1
T
T
由 (1-60)式求出 M阵
121
式中
10
05.0
15.0
11cMc
0
2
1
1
11
20
bMb
21
20
05.0
15.0
11
11
11
20
AMMA
1
1
122
5 系统按可观性进行分解
系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。
现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。
若 (9-113,114)的系统不可观测，且
nn
cA
cA
c
r an k
2
1n
123
则存在可逆矩阵 P，将动态方程化为式中 是 n2维向量,是 n-n2维向量，并且
1x 2x
nn
Ac
Ac
c
r a n k 2
1n
11
11
1
2
（ 9-137）
2
1
1
2
1
2
1
43
1
2
1
x
x
0cy
u
b
b
x
x
AA
0A
x
x
（ 9-135）
（ 9-136）
124
(9-135,136)的式子也可用图 9-14表示。
这可以用前面证明可观标准形的方法论证。
(9-137)式表明 n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)
式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。 2
x
11111 )()( 1 bAsIcbAsIc n
系统按可观性分解的结果 (9-138)
125
图 9— 14 系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。
126
四、可控性、可观测性与传递函数的关系
)s(D
)s(N
AsI
b)AsI(cad jb)AsI(c)s(g 1?
（ 9-141）
对应的传递函数为
cxy,buAxx （ 9-140）
考虑单变量系统，其动态方程为
1,可控性、可观测性与零、极点对消问题
127
式中：
AsI)s(D
b)AsI(c a dj)s(N
N(s)=0的根称为传递函数 g(s)的零点,D(s)=0的根称为传递函数 g(s)的极点。下面是本段的主要结果。
定理 动态方程式 (9-140)可控、可观测的充分必要条件是 g(s) 无零、极点对消，即 D(s)和 N(s)
无非常数的公因式 。
128
证明：
首先用反证法证明条件的必要性，若有 s=s0既使
N(s0)=0，又使 D(s0)=0，由 (9-141)式即得
0b)AIs(c a d j,0AIs 00
(9-143)利用恒等式
IAsI b)AsI(ca d j)AsI()AsI)(AsI( 1
I)s(D)AsI(adj)AsI(
可得
(9-144)
129
将 s= s0代入 (9-144)式，并利用 (9-143)式，可得
)AIs(A a d j)AIs(adjs 000
(9-145)
将上式前乘 c、后乘 b后即有
0)s(Nsb)AIs(c a d jsb)AIs(c A a d j 00000
（ 9-146）
将 (9-145)式前乘 cA、后乘 b后即有
0b)AIs(cA a d jsb)AIs(a d jcA 0002
（ 9-147）
130
依次类推可得
0b)AIs(adjcA
0b)AIs(adjcA
0b)AIs(cA a d j
0b)AIs(ca d j)s(N
0
1n
0
2
0
0
这组式子又可写成
0b)AIs(adj
cA
cA
c
0
1n
131
出现矛盾，矛盾表明 N(s)和 D(s)无相同因子，即 g(s)
不会 出现零、极点相消的现象。
因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，
故有
0b)AIs(a d j 0
0
s
s
1
b)AIs(a d j
1n
0
0
0
又由于系统可控，不妨假定 A,b具有可控标准形 (9-92)
的形式，直接计算可知
（ 9-148）
132
例 9-18
设系统动态方程为
10
10
10
1 4 6 4 1
1 2 1 0
x x u
yx
不难验证系统是可控、可观测的。
133
显然 N(s)和 D(s)无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上
4
2
234
2
)1s(
)1s(
1s4s6s4s
1s2s)s(g
1s4s6s4sAsI)s(D
1s2sb)AsI(c a d j)s(N
234
2
分别计算
134
2 传递函数的最小阶动态方程实现已知动态方程，可以用 (9-64)式计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为 传递函数的实现 问题。
如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为 传递函数的最小实现 问题。
135
设给定有理函数
01
1n
1n
n
01
1n
1n
01
1n
1n
n
01
1n
1n
n
0
asasas
bsbsb
d
asasas
dsdsdds
)s(g
(9-149)
(9-149)式中的 d 就是下列动态方程中的直接传递部分
ducxy,buAxx (9-150)
所以只需讨论 (9-149)式中的严格真有理分式部分。
136
给定严格真有理函数
01
1n
1n
n
01
1n
1n
asasas
bsbsb
)s(g
(9-151)
要求寻找 A,b,c，使得
)s(gb)AsI(c 1
(9-152)
并且在所有满足 (9-152)式的 A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面分两种情况讨论
137
① 可控标准形的最小阶实现式 (9-153)
对 (9-151)式，可构造出如下的实现 (A,b,c)
1n10
1n210
bbbc
1
0
0
0
b
10000
010
00010
A
(9-153)
（ 1） g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况
138
1000c
b
b
b
b
100
010
01
000
A
1n
1
0
1n
2
1
0
(9-154)
② 可观标准形的最小阶实现
(9-153)式给出的 (A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是 (9-151)的传递函数。由于 g(s)无零、极点对消，故可知 (9-153)式对应的动态方程也一定可观。同样可以说明 (9-154)式是 (9-151)的可观标准形的最小实现。
139
若 g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设 g(s)有以下的形式
)s(
c
)s(
c
)s(
c
)s(
c
)s()s(
bsbsbsb
)s(g
)s(u
)s(y
4
4
1
3
2
1
2
3
1
1
4
3
1
01
2
2
3
3
(9-155)
③ 约当标准形的最小阶实现因为 g(s)无零、极点对消，故可知上式中 c1c4均不为零。
140
令
)s(u
s
1
)s(x
)s(x
s
1
)s(u
)s(
1
)s(x
)s(x
s
1
)s(u
)s(
1
)s(x
)s(u
s
1
)s(x
4
4
2
1
3
1
1
3
1
2
1
2
1
3
uxx
xxx
xxx
uxx
444
2111
3212
313
分别对应于
141
而
44332211 xcxcxcxcy
综合上面各式并令 x=[x1 x2 x3 x4]T
可得
xccccy
u
1
1
0
0
x
0
01
001
x
4321
4
1
1
1
由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是 g(s)一个最小阶实现。
142
若 g(s)的分母是 n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时 n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现,(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的 )。 g(s)的最小实现的维数一定小于 n。
（ 2） g(s)的分子和分母有相消因式的情况
143
例 9-19
设 g(s)的分子 N(s)=s+1,而分母 D(s)=,
分子与分母有公因子 (s+1) 。
1s2s2s 23
仿照 (9-153)式，可写出 g(s)的一个三维的可控标准形实现
x011y
u
1
0
0
x
221
100
010
x
无须验证这个实现是可控的
144
x100y
u
0
1
1
x
210
201
100
x
因此这一实现是不可观的。同理，如果按 (9-154)式构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。
2r a n k V
121
110
011
V?
计算可观测性矩阵
145
当然也可以构造出 g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。
现在将分子和分母中的公因式消去，
可得
1ss
1
1s2s2s
1s)s(g
223
如果用上式中最后的式子，仿照 (9-153)式或 (9-154)
式，构造出二维的动态方程实现，它是 g(s)的最小实现。
146
9-3 状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下
cxy,buAxx (9-157)
令 kxvu (9-158)
一,状态反馈和极点配置问题式中的 v 是参考输入,k称为 状态反馈增益矩阵,这里它是 1× n 的向量。
返回子目录
147
图 9-15
cxy,bvx)bkA(x (9-159)
图 9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为式中 A-bk为闭环系统的系统矩阵。
将 (9-157)式和 (9-158)式用方框图表示，见图 9-15，它是一个闭环系统。
148
计算 (9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为
)bA,,bA,Ab,b(bAb)bkA(
)bA,Ab,b(bA
))Ab,b(bA)(bkA(b)bkA(
)Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(
bdAbb k bAbb)bkA(
2n21n1n
23
23
22
的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合
1 状态反馈不影响可控性
149
1000
0
10
1
bAAbb
b)bkA(b)bkA(b
1n
1n
上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有
bAAbbr a n k]b)bkA(b)bkA(b[r a n k 1n1n
(9-160)
因此有
150
式 (9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，
不论用什么 k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为 状态反馈不改变系统的可控性。
状态反馈可能改变系统的可观测性 。
即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，
闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。
151
例 9-20
系统的动态方程如下
xccy,u
1
0
x
10
11
x 21
下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。
152
可观任意 可观01
可观[1 1]11
不可观[1 2] 可观11
不可观[0 1]10
可观[1 1] 不可观10
闭环系统k 原系统c2c1
可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。
153
2 状态反馈对闭环特征值的影响闭环方程 (9-159)中的系统矩阵 A-bk的特征值，
一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。
通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为 状态反馈进行极点配置问题 。
154
证明：
定理：
闭环方程 (9-159) 的系统矩阵 A-bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是 (9-157)式的系统可控。
先证充分性因为 (9-157)式的系统可控,则存在可逆矩阵 P，将
(9-157)式的系统通过 的变换化为可控标准形。Pxx?
155
1n10
1n10
cccc
1
0
0
b
aaa
1
0
10
A
xcyubxAx
式中
(9-161)
现引入
1n10 kkkk
（ 9-162）
156
这时 (9-158)式的状态反馈式可写为：
考虑矩阵
xkvxkPvkxvu 1
PkkkPk 1
)ka()ka()ka(
1
1
10
kbA
1n1n1100
157
它的特征式为由于
)]kbA(sId e t [
)ka(s)ka(s)ka(s 00111n1n1nn
)]P b k PP A P(sId e t [)]kbA(sId e t [ 11
)]bkA(sId e t [}P)]kbA(sI[Pd e t { 1
故 的特征式即是 的特征式，所以 和有相同的特征值。
bkA? kbA?
bkA?
kbA?
158
设任意给定的闭环极点为,且n21,,,
011n1nnn21 sss)s()s)(s(
(9-166)
式中 完全由 所决定。比较 (9-165a)
式和 (9-166)式可知，若要 (9-166)的根为,需有
)1n,,2,1i(i i?
i?
iii
iii
ak
)1n,,1,0i(ka
(9-167)
这说明任意给定闭环 n个极点，均可通过 (9-167),(9-163)
式确定，使 A-bk具有给定的 n个特征值，充分性证毕。
159
必要性若系统 (9-157)可任意配置闭环特征值，要证明系统
(9-157)可控。用反证法，若系统 (9-157)不可控，则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将 (9-157)式转换为
(9-104,105)的可控分解形式。考虑矩阵
4
212111
21
1
4
21
A0
kbAkbA
kk
0
b
A0
AA
kbA
kA4的特征值不受 的影响，即 A-bk中的一部分特征值不受 k
的影响，这与可任意配置 A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统 (9-157)可控。
160
以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择 k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下
① 计算 A的特征式
011n1nn asasas)AsId et (
② 由所给的 n 个期望特征值,
计算期望的多项式
n21,,,
011n1nnn21 sss)s()s)(s(
161
④ 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 P
Pkk?⑤ 求出反馈增益阵上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求 k。
)aaa(k 1n1n1100
③ 求 k
162
u
1
0
1
0
x
01100
1000
0100
0010
x
系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为
{-1,-2,-1+j,-1-j}，试求状态反馈增益阵 k。
例 9-21
163
方法一、通过化可控标准形求解
2422 11)11()d e t ( ssssAsI
① 计算 A的特征式
② 由所给的 4 个期望特征值，计算期望的多项式
4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s( 2342
解：
164
⑤ 求出反馈增益阵
1000
0100
1.01.00
01.001.0
P
Pkk? =[-0.4 -1 -21.4 -6 ]
④ 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 P
③ 求
521104]05111001004[k
165
方法二：
令,计算 A-bk的特征式
4321 kkkkk?
4 3 2
2 4 1 3 2 1( ) ( 1 1 ) 1 0 1 0
s I A b k
s k k s k k s k s k
比较两个特征式的系数可得
4k10,10k10,1011kk,5kk 123142
所以可得 k=[-0.4 -1 -21.4 -6 ]
166
最后强调：
在极点配置定理中,,任意配置,是和系统可控等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。
167
例 9-22
设系统状态方程为
这一系统是不可控的。
uxx
1
1
1
0
1000
0100
0020
0012
若指定闭环特征值 {-2,-2,-1,-1},{-2,-2,-2,-1}
168
1100
0100
0010
0001
P
1100
0100
0010
0001
1
P
1000
0100
0020
0012
1
PAP
0
1
1
0
Pb
0210 kkkk?令
169
有
1000
01
02
0012
210
210
kkk
kkk
kbA
2
011
2 )2(42)4( skksks
441k
442 01 kk
所以
00816?k00816 Pkk
02?k
令
170
对 {-2,-2,-2,-1}
1000
01
02
0012
210
210
kkk
kkk
kbA
)( kbAsI
)1](442)4()3([ 2102102213 skkkskkkskks
)1()2( 3 ss
8442
124
63
210
210
21
kkk
kkk
kk
171
所以有
但若指定闭环特征值为 {-2,-2,-2,-2},
就找不出 k来达到这一配置要求。
0
9
1
9
80
3
64k
0
9
1
9
80
3
64Pkk
172
例 9-23
)2s)(1s(s
10
)s(u
)s(y
有一系统的传递函数为要求用状态反馈的方法，使得闭环系统的特征值为 -2,-1+j,-1-j。
173
解：
首先要将系统用状态方程写出，即构造出传递函数的实现，为了计算方便，取可控标准形实现
x0010yu
1
0
0
x
320
1
010
x?
反馈增益向量 k可写成
210 kkkk?
闭环系统的特征方程为
0ks)k2(s)k3(s 01223
174
状态反馈系统的方框图如图 9-16所示。
按给定极点，期望多项式为
4s6s4s)j1s)(j1s)(2s( 23
比较上两特征多项式，令 s同次的系数相等，可得
1k4k4k 210
或 k=[4 4 1 ]
175
图 9-16 例 9-23在引入状态反馈后的结构图
176
二、状态观测器为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息
（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。
状态观测器又称状态渐近估计器。
177
图 9-17
状态的开环估计一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，
见图。
178
由于图 9-17中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图 9-17得到的估计值是一个开环估值。
一般系统的输入量 u和输出量 y均为已知，因此希望利用 y=cx与的偏差信号来修正 的值，这样就形成了图 9-18的闭环估计方案。
x?cy
x?
179
图 9-18 状态的闭环估计方案
180
根据图 9-18所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
Hybux?)HcA()x?cy(Hbux?Ax (9-169)
由 (9-169)式和系统方程式可求出观测误差应满足的方程式x?xx~
x~)HcA(
)x?x)(HcA(
)xx?(Hc)x?x(A
]Hc xbux?)HcA[(buAxx?xx~
(9-170)
181
(9-170) 式表明，只要 A-Hc的特征值均在复平面的左半部,随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由 A-Hc 的特征值所决定。于是有下面 极点可任意设置的状态观测器定理
x~
定理,若系统 (A b c)可观测,则 (9-169)式给出了系统的一个 n 维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。
182
例 9-24
系统的动态方程为试设计一个状态观测器，观测器的特征值要求设置在 {-10,-10} 。
x02yu
1
0
x
32
10
x
183
解：
将观测器增益矩阵 H 写成
0h2
0h2
02
h
h
Hc,
h
h
H
2
1
2
1
2
1
观测器的特征方程为
0)2h2h6(s)3h2(s
3sh22
1h2s
)HcA(sI
211
2
2
1
184
根据给定的特征值，可求出期望的多项式为
1 0 0s20s)10s( 22
比较上述两多项式中 s的同次项系数得
5.23h,5.8h 21
因此观测器的方程为
y
5.23
5.8
u
1
0
x?
349
117
x
185
三、由被控对象、观测器和状态反馈构成的闭环系统若原系统 (对象 )方程为
cxy,buAxx (9-171)
现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即
x?
x?kvu (9-172)
而观测器的方程为
Hybux?)HcA(x (9-173)
186
由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如图 9-19所示。
图 9-19 带观测器的状态反馈系统
187
将 (9-172)式代入 (9-171)式和 (9-173)式，
可分别得到
buH c xx?)bkHcA(x?
cxy,bvx?bkAxx
(9-174)
(9-175)
TTT ]x?x[取状态变量为
x?
x
0cy
v
b
b
x?
x
bkHcAHc
bkA
x?
x
(9-176)
(9-177)
188
将 (9-176),(9-177)式的动态方程进行如下的坐标变换
x?
x
II
0I
x~
x (9-178)
II
0IP
II
0IP 1
所得到的动态方程为：
x~
x
0cy
v
0
b
x~
x
HcA0
bkbkA
x~
x
(9-179)
(9-180)
189
b)]bkA(sI[c)s(g 1f
闭环系统的传递函数可以通过 (9-179)式、
(9-180)式来计算。
从 (9-179)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下
)]HcA(sId et [)]bkA(sId et [
HcA0
bkbkA
sId et
nn
n2
(9-181)
190
上式表明,图 9-19所示闭环系统的特征式等于矩阵
A-bk 与矩阵 A-Hc 的特征式的乘积，而 A-bk 是状态反馈系统的系统矩阵,A-Hc是观测器的系统矩阵,(9-181)式表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。
这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵 k，然后按观测器的动态要求选择 H,H的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，
这个原理通常称为 分离定理 。
191
通常把反馈增益阵和观测器一起称为 控制器图 9-20 控制器
192
例 9-25
设系统传递函数为希望用状态反馈使闭环的极点为 -
4± 6j，并求实现这个反馈的状态观测器，观测器的极点设置在 -10,-10。
)6s(s
1)s(G
193
解：
由系统的传递函数可知,其二阶动态方程实现是可控且可观的。为了设计观测器方便，现取可观标准形实现，即
x10yu01x61 00x
根据题意要求闭环特征方程为
052s8s 2
194
122 hs)h6(s)HcA(sI
令两个特征式对应的系数相等，可解出 k1=2,k2=40。
再求观测器，根据极点的要求，期望多项式为
0100s20s 2
令,使T
21 hhH?
求状态反馈 k，令 k=[k1 k2 ] 。求出状态反馈后闭环系统的特征多项式
1212 k6ks)k6(s)bkA(sI
195
与期望多项式相比,得到 h1=100,h2=14。
由式可计算出观测器方程为
y
14
10 0
u
0
1
x
201
10 00
x
由对象、状态反馈和观测器构成的整个闭环系统的方框图如图 9-21所示。
196
图 9-21 例 9-25的反馈控制系统
197
dBuetx
t
tA )()(
0
)( （ 9-183）
它在零初始条件的输出
§ 9-4有界输入、有界输出稳定性设系统的动态方程为
CxyBuAxx （ 9-182）
bcetg At?令
dutgtx
t
)()(
0
（ 9-184）
则有式中 g(t)为脉冲响应函数。
返回子目录
198
传递函数与脉冲响应函数的关系为
bAsIcsG 1
bAsIcbceL At 1定义
Kth
,0t若对于成立,称 h(t)有界 。
199
系统 BIBO稳定的 充分必要条件 为
K是一个实的正数。
0
Kdttg
（ 9-187）
若所有的有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，
则称系统为 有界输入有界输出稳定,即
BIBO稳定 。
200
证明：
充分性
1)( ktu?
tt dutgdutgty
00
)()()()()(
tt dttgkdutg 0 1110 )()()(
Kk 1?
设
201
必要性反证法若有 存在，使得
1t
10 )(t Mdttg
M >0
)]([)( 1 tgs i g nu ],0[ 1t
取有界输入
1 10 0 111 )()()()( t t dtgdutgty
这时
202
令 1t
101 )()( t Mdgty
当系统用传递函数描述时，系统 BIBO稳定的充分必要条件 为 g（ s）的极点具有负实部。
若式（ 9-182）中的 A阵，其特征值均在复平面的左半部，称动态方程是 渐近稳定 的。
203
例 9-26
分析下列系统的输入、输出稳定性和渐近稳定性。
xy
uxx
10
1
2
11
60
204
解：
系统的特征方程为
d e t ( ) ( 1 ) 6 ( 3 ) ( 2 ) 0s I A s s s s
系统传递函数
3
1)()( 1
s
bAsIcsG
传递函数极点位于 S左半平面，故系统是输入、
输出稳定的。
A阵的特征值为 +2,-3。故系统 不是渐近稳定的 。
205
结论：
若系统（ A,b,c）是渐近稳定的，则也是输入、输出稳定的；
若系统（ A,b,c）是输入、输出稳定的，且又是可控和可观的，则系统是渐近稳定的。
渐近稳定 BIBO稳定
206
9-5 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 是通过构造李雅普诺夫函数 (V函数 )来直接判断运动稳定性的一种定性的方法,由于这种方法没有求出微分方程的解，而直接研究方程解的稳定性，因此又称为直接法,目前它仍然是研究系统 (包括时变、非线性 )稳定性的有力工具。
这里只针对时不变线性系统渐近稳定的情况介绍二次型形式的 V函数。
返回子目录
207
定理：
时不变动态方程 的零解是渐近稳定的 充分必要条件 是对给定的任一个正定对称阵 N，都存在唯一的正定对称阵 M，使得
Axx
(9-188) 式的矩阵方程称为李雅普诺夫方程。
NMAMA T
（ 9-188）
208
例 9-27
考虑二维系统
试确定平衡状态 x=0是否渐近稳定。
2
1
2
1
x
x
11
10
x
x
209
解：
令 N=1,M由（ 9-188）式来确定。设代入（ 9-188）式，可以得到
42
21
mm
mm
M
10
01
11
10
mm
mm
mm
mm
11
10
42
21
42
21
1mm
mm
M
2
1
2
1
2
3
42
21
显然 M是正定矩阵。所以系统的平衡状态
x=0渐近稳定。
210
例 9-28
考虑二维系统
试确定平衡状态 x=0渐近稳定时待定参数 a应满足的条件。
a≠0
2
1
2
1
x
x
1a
10
x
x
211
解：
令 N=1,M由（ 9-188）式来确定。设
42
21
mm
mm
M
10
01
1a
10
mm
mm
mm
mm
11
a0
42
21
42
21
代入（ 9-188）式，可以得到
212
解出
2
12
24
11
22
11
22
aa
mm aa
M
mm a
aa
由于二次三项式 大于零,故由 得
a＞ 0，这时 也大于零,即 M阵正定的条件为 a＞ 0，这也就得到了系统渐近稳定时,A中的待定参数 a应满足的条件,a＞ 0。
2 1aa 1 0m?
21 4 2m m m?
定理并不意味着,A渐近稳定,M正定，由（ 9— 188）
式所得的 N一定正定。,
注意
213
例 9-29
设
52
21
M,
31
11
A
显然 A的特征值均有负实部,M正定，
但按式（ 9— 188）计算出的却不是正定的
262
22
N
214
由上述定理可知若 渐近稳定,一定存在正定二次型作为它的李雅普诺夫函数，并且是 负定二次型,这一事实的几何意义可说明如下。
() TV x x M x?
Axx
Tx N x
可认为通过 V函数给状态空间的点赋予了一个正数，于是可把 V函数看作状态空间到原点距离的一种度量。
取一正的数列,
且 。考察曲面
),2,1k(CMxx:S kTk
nC,CCC k21
0Clim kk
215
的非零解 x(t)在状态空间中表示一条曲线，称为 轨线 。 V(x)沿这些曲线的导数另外从几何上看
Axx
Ax
x
)x(v
x
x
x
x
)x(v
x
)x(v
x
)x(v
x
x
)x(v
dt
)x(dv
T
n
2
1
n21
n
1i i
0NxxM A xxMxAxxMxMxx TTTTTT
216
上式中的,即 表示那些椭球面的外法向，而 Ax表示了轨线的方向，
表明椭球面的外法向和轨线方向的夹角为钝角，即轨线应由外向里穿过层层的椭球面，最终趋向于原点 。
x
v
)x(gr a dv
0Ax)xv( T
217
本章主要知识点及线索不可观可观不可 控可 控状态空间模型
( A,b,c,d )
状态方程的解可控标准形对偶原理可观标准形状态反馈 可 任意配置极点分离定理可控性判据可控性分解可观性判据可观 子系统可控标准形实现可观性分解可观标准形实现
n 维状态观测器 可任意配置观测器极点传递函数
t
e
A
可 控子系统对象、观测器、状态反馈组成闭合系统
