1
第七章非线性系统分析
2
第 7章 非线性系统分析
7-1 非线性问题概述基本要求
7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响
7-3 相平面法基础
7-4 非线性系统相轨迹分析
7-5 描述函数
7-6 用描述函数分析非线性系统返回主目录
3
基 本 要 求
① 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。
② 熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、节点、中心、鞍点、极限环等概念。
③ 熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹大致画出时间响应曲线的图形。
④ 对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。
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4
⑤ 对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区域相轨迹的方程式。
⑥ 对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选取相坐标作出相轨迹图。
⑦ 正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。
⑧ 了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负倒描述函数曲线的特点。
⑨ 熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动,判断周期运动的稳定性。
5
简 介
非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。
线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。
6
7-1 非线性问题概述
一,实际系统中的非线性因素图 7-1 一些常见的非线性特性返回子目录
7
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。
通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，
最简单和最普遍的就是继电器。
8
图 7-2 电磁继电器的工作原理和输入 -输出特性
9
二,非线性系统和线性系统有不同的运动规律
① 在 线性系统 中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。
对于 非线性系统,不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。
非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
10
② 线性系统 自由运动的形式与系统的初始偏移无关。
非线性系统 则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。
图 7-4
非线性系统在不同初始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统 在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统,在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图
7— 5所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自振。
图 7-5
非线性系统的自激振荡
12
④ 线性系统 中，当输入量是正弦信号时，
输出稳态分量也是同频率的正弦函数，
可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。
非线性系统 在正弦作用下的输出比较复杂。
13
三,非线性系统的分析方法在 线性系统 中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲过渡函数等概念。
在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，
或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性，
工程上常用 相平面方法 和 描述函数方法 进行研究。
14
7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响一,不灵敏区不灵敏区 又叫 死区,系统中的死区是由测量元件的死区、
放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。
图 7-6 死区特性返回子目录
15
死区非线性特性的数学表达式如下：
||
||0
111
1
2 xs i g n xxK
x
x
01
01
1
1
1
x
x
s i g n x
式中
16
图 7-7 包含死区的非线性系统图 7-8
斜坡输入时的系统输出量
17
二、饱和图 7-9 部件的饱和现象
饱和特性 也是系统中最常见的一种非线性特性。
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
式中：
a 是线性范围,K为线性范围内的传递系数
（对于放大元件，也称增益）。
1
2 1 1
1
||
K a x a
x K x x a
K a x a
19
粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。
图 7-10 饱和特性 图 7-11 饱和特性的等效增益
20
图 7-13 图 7-12系统的响应随动系统的方块图如图 7— 12所示。
当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器 无饱和限制,系统的时间响应曲线如图 7-13
中的曲线 1；放大器 有饱和限制 时的时间响应曲线如图 7-13中的曲线 2。
图 7-12 非线性系统
21
若随动系统的方块图如图 7— 15所示。
图 7-14 根轨迹图图 7-15 非线性系统根轨迹分析：
22
图 7-16系统的时间响应当系统中 不存在饱和特性的限制,系统是振荡发散的；若系统中 存在饱和特性的限制,则系统不再发散，而是出现稳定的 等幅振荡,如图 7-16中的曲线 2。
23
三、间隙图 7— 17 齿轮传动中的间隙传动机构 (如齿轮传动、杆系传动 )的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。
24
间隙特性的典型形式如图 7-18所示
bx
K
x
x
bx
K
x
b s i g n xxKx
||0
||
1
2
2
1
2
112
（ 7-6）
数学表达式为 图 7— 18 间隙非线性特性
25
间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说来，它会增大系统的静差，使系统波形失真，过渡过程的振荡加剧。
图 7-19 间隙特性的输入 -输出波形
26
四、摩擦图 7-20 直流电动机的方框图摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，
相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。
图 7-21 摩擦力矩示意图
27
图 7-22
小功率随动系统方框图图 7-23
低速爬行现象
28
7-3 相平面法基础
相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
),( xxfx
xx?1 xx2令
,
（ 7-9）
则
2
21
1
2 ),(
x
xxf
dx
dx?
（ 7-11）
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29
相平面,
描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
通常把方程（ 7－ 9）称为相轨迹微分方程式，简称 相轨迹方程 。 将（ 7－ 11）式的积分结果称为 相轨迹表达式 。
相轨迹,
（ x,x)把具有直角坐标 的平面叫做相平面。
30
一、线性系统的相轨迹
设系统的微分方程为
02 2 xxx nn （ 7-12）
02 22 nns
系统（ 7-12）的特征方程为
12 nn
上述特征方程的根为
式（ 7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。
31
取相坐标,,式（ 7-12）可化为：x x
2
( 2 )
nn
dx
xx
dt
dx
x
dt
（ 7-14）
或
22
nnxxdx
d t x
32
（ 1）无阻尼运动由方程（ 7-14），相轨迹方程为：
)0(
2
2 0
0 2
n
x
Ax
其中相轨迹如图 7－ 24所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
2
22
2
()
()
n
xt
x t A
（ 7-16）
33
图 7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
相轨迹的方向如图 7-24中箭头所示。
相轨迹垂直穿过横轴。
坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做 奇点 。
图 7-24的奇点 (0,0)
通常称为 中心
34
（ 2）欠阻尼运动
10
其中
2
2 00
0
n
d
xxAx
00
0
n
d
xx
a r c tg
x
( ) si n( )n t dx t Ae t
（ 7-17）
方程（ 7-12）的解为
35
相轨迹如图 7－ 25所示。
从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，
最后趋向于平衡状态。
坐标原点是一个奇点，
它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为稳定的焦点 。
图 7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹
36
（ 3）过阻尼运动这时方程（ 7－ 12）的解为
1
12
12()
q t q tx t A e A e
0 0 2
1
12
xx
A
0 0 1
2
12
xx
A
121 1 2 2() q t q tx t A q e A q e
相轨迹如图 7－ 26所示 。
37
图 7-26 过阻尼时的相轨迹图 7-27 过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，
这种奇点称为 稳定的节点 。
38
（ 4）负阻尼运动
相轨迹图如图 7－ 28所示，
此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与图 7－ 25不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为不稳定的焦点 。
01
图 7-28
39
系统的相轨迹图如图 7-29所示，
奇点称为不稳定的节点 。
1
图 7-29
40
此时相轨迹如图
7-30所示。奇点称为鞍点该奇点是不稳定的 。
02 2 xxx nn
图 7-30 斥力系统的相轨迹
41
图 7-31 特征根和奇点的对应关系
42
二、相轨迹作图法
),( xxfx
设系统微分方程如
x
xxf
dx
xd
),(?化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是 a
这条曲线就 称为 等倾线 。
ax xxf ),(
令 其中 为某个常数
a
1 等倾线法
43
例子
微分方程
0 xxx
x
xx
dx
xd
或
x
a
x
1
1
等倾线是直线，它的方程为：
44
取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。
a
图 7-32
45
图 7-34 各种类型的极限环极限环在图 7-33中，出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的 极限环 。
2( 1 ) 0x x x x
1
图 7-33
46
图 7-34 各种类型的极限环
47
三、由相平面图求时间解
相轨迹上坐标 点移动到 点所需的时间，可按下式计算 1x 2x
2
1
12
x
x x
dxtt
（ 7-37）
这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，
因此求时间解的过程是近似计算的过程。
48
1,用 曲线计算时间利用式（ 7－ 37）计算时间，在某些情况下可直接进行积分运算 。
1/ x
图 7-37
49
2、用小圆弧逼近相轨迹计算时间
在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。
PA
x
QB RC
如图 7－ 8AD段，可用 轴上的 P,Q,R点为圆心，以
、,为半径的小圆弧来逼近，
这样就有
A D A B B C C D A B B C C Dt t t t t t t
50
代入（ 7-37）式得
s inPAx
c o sPAOPx
令
s i n
s i n
B
ABAA B A B
PA
td
PA
（ 7-38）
51
图 7-38用小圆弧逼近相轨迹计算时间
52
例 7-2
图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知 和均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。
AB
11AB
图 7-39
53
解：
相轨迹 和 对应的周期运动，他们的周期分别为 和 s，
则有
A B C D
1 1 1 1A B C D
T
1T
1
2 ( 2 ) 4,
2
2 ( 1 2,2 1 ) 6,4 3
T
T
54
7-4 非线性系统相轨迹分析
① 根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程。
② 画相轨迹图
③ 根据相轨迹图分析系统的运动情况。
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55
一、继电型系统
系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为 继电型系统 。
图 7-40 继电型非线性特性
56
若继电系统的方框图如图 7— 41所示
研究图中继电特性为图 7-40(b)
的情况图 7-41
57
很明显，相平面以直线 为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定
ec 时
hcKM
hc
hcKM
tctcT ||0)()(
ch
58
1 在 c>h的区域
KMtctcT )()(
系统方程为
TKMcck )( 001
TKMck )( 02
其中
( 1 / )
12()
Ttc t k k e K M t
59
KMtc)(?
所以
KMc0?
当
( 1 / )
0( ) ( )
Ttc t c K M e K M
60
2 在 |c|<h区域
系统方程为
0 ccT
Tdc
cd 1
)(
1
00 cc
T
cc?
（ 7-47）
61
3 在 c<-h区域
相轨迹方程为
KMtctcT )()(
KMc?0? KMtc?)(?当 时
00
( 1 / )
0
( ) ( )
() Tt
c t c c K M T
c K M T e K M t?
( 1 / )
0( ) ( )
Ttc t c K M e K M
62
图 7-42 图 7-41系统当 时的相轨迹1m
63
当 m=-1时，系统微分方程为
对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。
0,
0,
)()(
chchcKM
chchcKM
tctcT
64
图 7-43 图 7-41系统当 m=-1时的相轨迹
65
图 7-44 振荡趋势加大示意图1m
66
图 7-45 m逐渐减少时的相平面
67
二、速度反馈对继电系统自由运动的影响图 7-46 有速度反馈的继电器系统
68
系统的微分方程为
将此相轨迹图与图 7— 42比较可看出两者主要是开关线不同。
可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。
hccKM
hcc
hccKM
tctcT
||0)()(
69
图 7— 47 速度反馈对系统运动过程的影响
70
三、含有间隙非线性的系统
图 7-48 间隙非线性和非线性控制系统
71
方程式：
uKx 1
0
0
eM
eM
u
yKe 2
0
0
ybx
ybx
y
bxyy 0?
72
0
0
1
1
yMK
yMK
x
bxMK
bxMK
x
1
1
01
2
01 2
1 MxKxc
01
2
02 2
1 MxKxc式中
bxcMxKx
bxcMxKx
21
2
11
2
2
1
2
1
相轨迹方程 （ 7-59）
（ 7-60）
73
图 7-49 式（ 7-59）和式（ 7-60）的相轨迹
74
图 7-50 图 7-48系统的相平面
75
图 7-51 判断开关线所用的对应关系
76
四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面
图 7-52 具有非线性放大器的系统
77
图 7-52（ a）表示的系统方程为
KuccT
0
0
eee
eeke
u
cre
rrTKueeT
得到
k K TKT 2
11
2
1
假定
78
（ 1）阶跃输入 r(t)=R
系统方程变为
0 KeeeT
0 k K eeeT
图 7-53
79
（ 2）输入信号 r(t)=Vt+R
系统方程为
VKeeeT 0ee?
Vk K eeeT 0ee?
80
图 7-54 V<kKe0,R>e0时的相轨迹
81
图 7-55 kKe0<V<Ke0,R=0 图 7-56 V>Ke0,R=0
82返回子目录
7-5 描述函数
描述函数 可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比 。
若输出的一次谐波分量为
)s i n(s i nc os)( 11111 tYtBtAty
输入的正弦量为 tX?s in
则 描述函数 的数学表达式如式 （ 7-75） 所示：
22
1111
1
1
a r c ta nABYAN X X B（ 7-75）
83
图 7-57 理想继电特性在正弦输入时的输出波形和振幅频谱
84
其中
201 )(c o s)(1 ttdtyA
201 )(s i n)(1 ttdtyB
)(ty tX?s in为非线性特性在输入信号作用下的输出。
22
1111
1
1
( ) a r c ta n
ABYA
NX
X X B
85
例 7-3
若非线性特性为
（ 7-76）
3
4
1
2
1 xxy
)(s i n)
4
1
2
1(1 32
0
1 ttdxx
XX
BN
其特性曲线如图 7-58。
86
令 tXx?s in?
)(s i n)s i n41s i n21(1 3320 ttdtXtXXN
)(s i n
2
)(s i n1 4
0
2
2
0
ttdXttd
21
16
3
2
1 X
X
BN
tXXty?s i n)
16
3
2
1()( 2
则有
87
图 7-58 式（ 7-76）的输入 -输出特性 图 7-59 描述函数
88
一、不灵敏区特性的描述函数
1s in?X
)/a r c s i n(1 X
2/
1
1
)(s i n)s i n(4
ttdtXKB
)(s i n)(s i n[4
2/ 2/2
1 1
ttd
X
ttdKX
89
（ 7-83）
根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为
1
2
()
2
a r c s in 1
2
B
NX
X
K
X X X
X
90
图 7-60 不灵敏区特性及其输入 -输出波形
91
二、饱和特性的描述函数
SX?1s i n?
X
Sa r c s i n
1
1
10
2/2
1 )(s i n)(s i n
4
ttdKSttdKXB
2/
0
1
1
c o ss i n
4
1
2
14?
t
X
SttKX
2
1a r c s i n2
X
S
X
S
X
SKX
)( SX?
92
图 7— 61表示了饱和特性和它在正弦信号作用下的输出波形。
饱和特性的描述函数为
2
1a r c s i n
2
)(
X
S
X
S
X
SK
XN
)( SX?
从上式可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。
93
图 7-61
饱和特性及其输入 -输出波形
94
三、间隙特性的描述函数
)21a r c s i n (1 X b
2/
01
)(c o s)s i n(2 ttdbtXKA
1
12/
)(c o s)s i n()(c o s)( ttdbtXKttdbXK
1 2/2/0
2/
0
2 s i n)(s i ns i n
2
12?
tbXKtKbtKX
1
1
s i ns i n
2
1 2 tKbtKX?
)(14 bX
X
bbK
95
2/
01
)(s i n)s i n(2 ttdbtXKB
1
12/
)(s i n)s i n()(s i n)( ttdbtXKttdbXK
1 2/2/0
2/
0
c o s)(c o s2s i n41212
tbXKtKbttKX
1
1
c o s2s i n
4
1
2
1 tKbttKX
X
b
X
b
X
b
X
bKX 121221a r c s i n
2
)( bX?
96
间隙特性的描述函数为
图 7— 62表示了间隙特性和它在正弦信号作用下的输出波形
X
b
X
b
X
b
X
bK
1
2
12
2
1ar cs i n
2
X
Aj
X
BxN 11)(
14
X
b
X
Kbj
Xb?
97
图 7-62
间隙特性及其输入 -输出波形
98
四、继电型特性的描述函数
X
ha r c s in
1
X
ha r c s i n
3
X
mha r c s i n
2
X
mha r c s i n2
4
图 7— 63表示了具有滞环和不灵敏区的继电特性和它在正弦信号作用下的输出波形
99
X
h
X
mh
X
h
X
mhM
)(,)1(2 hMmXMh
2
1
4
3
)(c os)(c os11
ttdMttdMA
4
3
2
1
s i ns i n
ttM
100
2
1
4
3
)(s i n)(s i n11?
ttdMttdMB
4
3
2
1
c o sc o s ttM
22 112
X
h
X
mhM
)( hX?
101
继电特性的描述函数为
可知具有滞环和不灵敏区的继电特性的描述函数，和输入信号的频率无关，只是输入幅值的复数值函数。
22
112)(
X
h
X
mh
X
MXN
)( hX?
12 2 mXMhj?
102
图 7-63
继电特性及其输入 -输出波形
103
当 h=0,两位置理想继电特性的描述函数
X
MXN
4)(?
当 m=1,三位置 理想继电特性的描述函数
)(,14)(
2
hX
X
h
X
MXN?
当 m=-1,得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数
)(,414)( 2
2
hX
X
Mhj
X
h
X
MXN
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7-6
用描述函数法分析非线性系统
非线性控制系统可化为下列结构形式图 7-64 非线性控制系统
105
用描述分析非线性系统时两个基本假设：
① 系统的线性部分 G(jω)具有很好的低通滤波性。
② 系统若发生自激振荡（稳定的周期运动），假定非线性环节 N的输入端的振荡为正弦波。
106
一、特征方程的解法
图 7－ 64所示系统的特征方程为
0)()(1jGXN
（ 7-90）
0X 0?
如果对于某一个 和,式（ 7－ 90）成立，
那么非线性环节 N输入端将有 的周期运动。)s in (
00 tX?
此时相当于将整个 )(/1 XN? 曲线当作临界点。
107
二、自激振荡的确定图 7-65
周期运动的确定及稳定性判别
)(/1 XN?
)(?jG
分别将 和曲线画在复平面上,如图 7－ 65
所示。
108
M1对应的周期运动为 X01sinω01t
M2对应的周期运动为 X02sinω02t 。
M1的周期运动是不稳定的。
M2的周期运动是稳定的。
上述方法适用于 G(s)无右半复平面极点的情形。
)(?jG )(/1 XN?图中 曲线和 曲线分别相交于 M1点和 M2点。
109
图 7-66 不稳定的和稳定的周期运动
110
M1对应周期运动稳定,M2对应周期运动不稳定图 7-67
jGK 0当 有不稳定根时，周期解的稳定性判断，需要用乃奎斯特判据。
111
解析法
0? 0?
式（ 7－ 98）中的偏导数均在 X0,处取值。则 X0、
对应的周期运动是稳定的,否则就是不稳定的周期运动。
),(),()()(1 XjBXAjGXN
令
（ 7-97）设式（ 7－ 97）有解 X
0和 0?,若有下式成立
0 XBABXA
（ 7-98）
112
三、分析系统自激振荡的例题
例 7-4 研究如图所示非线性系统。试判断系统是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。
图 7-68
113
解,描述函数为
2
14)(?
X
h
X
MXN
43.20
h
MK
1
4
1
2
2
0
h
X
h
X
XN
hX?
hX?
114
计算数据表
X
h
-2-1.64-1.57-1.64
10.90.80.6
-1.81-
2.14
-2.74-4.18-7.89
0.50.40.30.20.1
)(
1
0 xN
)(
1
0 xN
X
h 21
115
0.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708
-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.9
0.1970.3880.5790.9201.1321.5932.351
400300250200180150120?
||?jG
jG?
||0?jGK
116
图 7-69 图 7-68系统的曲线
117
四、系统稳定性分析图 7-72 非线性系统的稳定性分析
118
本章主要知识点与主要线索作图积分求解开关线结构归化计算查表非线性系统 典型结构 乃氏曲线线性部分分段线性的非线性系统分段相迹方程奇点类型 相迹方程等倾线法稳定性,自振,求自振参数求时间
1
()NX
()NX
相迹时间响应
第七章非线性系统分析
2
第 7章 非线性系统分析
7-1 非线性问题概述基本要求
7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响
7-3 相平面法基础
7-4 非线性系统相轨迹分析
7-5 描述函数
7-6 用描述函数分析非线性系统返回主目录
3
基 本 要 求
① 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。
② 熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、节点、中心、鞍点、极限环等概念。
③ 熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹大致画出时间响应曲线的图形。
④ 对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。
返回子目录
4
⑤ 对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区域相轨迹的方程式。
⑥ 对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选取相坐标作出相轨迹图。
⑦ 正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。
⑧ 了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负倒描述函数曲线的特点。
⑨ 熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动,判断周期运动的稳定性。
5
简 介
非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。
线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。
6
7-1 非线性问题概述
一,实际系统中的非线性因素图 7-1 一些常见的非线性特性返回子目录
7
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。
通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，
最简单和最普遍的就是继电器。
8
图 7-2 电磁继电器的工作原理和输入 -输出特性
9
二,非线性系统和线性系统有不同的运动规律
① 在 线性系统 中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。
对于 非线性系统,不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。
非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
10
② 线性系统 自由运动的形式与系统的初始偏移无关。
非线性系统 则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。
图 7-4
非线性系统在不同初始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统 在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统,在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图
7— 5所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自振。
图 7-5
非线性系统的自激振荡
12
④ 线性系统 中，当输入量是正弦信号时，
输出稳态分量也是同频率的正弦函数，
可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。
非线性系统 在正弦作用下的输出比较复杂。
13
三,非线性系统的分析方法在 线性系统 中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲过渡函数等概念。
在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，
或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性，
工程上常用 相平面方法 和 描述函数方法 进行研究。
14
7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响一,不灵敏区不灵敏区 又叫 死区,系统中的死区是由测量元件的死区、
放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。
图 7-6 死区特性返回子目录
15
死区非线性特性的数学表达式如下：
||
||0
111
1
2 xs i g n xxK
x
x
01
01
1
1
1
x
x
s i g n x
式中
16
图 7-7 包含死区的非线性系统图 7-8
斜坡输入时的系统输出量
17
二、饱和图 7-9 部件的饱和现象
饱和特性 也是系统中最常见的一种非线性特性。
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
式中：
a 是线性范围,K为线性范围内的传递系数
（对于放大元件，也称增益）。
1
2 1 1
1
||
K a x a
x K x x a
K a x a
19
粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作用时，增益下降。
图 7-10 饱和特性 图 7-11 饱和特性的等效增益
20
图 7-13 图 7-12系统的响应随动系统的方块图如图 7— 12所示。
当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器 无饱和限制,系统的时间响应曲线如图 7-13
中的曲线 1；放大器 有饱和限制 时的时间响应曲线如图 7-13中的曲线 2。
图 7-12 非线性系统
21
若随动系统的方块图如图 7— 15所示。
图 7-14 根轨迹图图 7-15 非线性系统根轨迹分析：
22
图 7-16系统的时间响应当系统中 不存在饱和特性的限制,系统是振荡发散的；若系统中 存在饱和特性的限制,则系统不再发散，而是出现稳定的 等幅振荡,如图 7-16中的曲线 2。
23
三、间隙图 7— 17 齿轮传动中的间隙传动机构 (如齿轮传动、杆系传动 )的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。
24
间隙特性的典型形式如图 7-18所示
bx
K
x
x
bx
K
x
b s i g n xxKx
||0
||
1
2
2
1
2
112
（ 7-6）
数学表达式为 图 7— 18 间隙非线性特性
25
间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说来，它会增大系统的静差，使系统波形失真，过渡过程的振荡加剧。
图 7-19 间隙特性的输入 -输出波形
26
四、摩擦图 7-20 直流电动机的方框图摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，
相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。
图 7-21 摩擦力矩示意图
27
图 7-22
小功率随动系统方框图图 7-23
低速爬行现象
28
7-3 相平面法基础
相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
),( xxfx
xx?1 xx2令
,
（ 7-9）
则
2
21
1
2 ),(
x
xxf
dx
dx?
（ 7-11）
返回子目录
29
相平面,
描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
通常把方程（ 7－ 9）称为相轨迹微分方程式，简称 相轨迹方程 。 将（ 7－ 11）式的积分结果称为 相轨迹表达式 。
相轨迹,
（ x,x)把具有直角坐标 的平面叫做相平面。
30
一、线性系统的相轨迹
设系统的微分方程为
02 2 xxx nn （ 7-12）
02 22 nns
系统（ 7-12）的特征方程为
12 nn
上述特征方程的根为
式（ 7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。
31
取相坐标,,式（ 7-12）可化为：x x
2
( 2 )
nn
dx
xx
dt
dx
x
dt
（ 7-14）
或
22
nnxxdx
d t x
32
（ 1）无阻尼运动由方程（ 7-14），相轨迹方程为：
)0(
2
2 0
0 2
n
x
Ax
其中相轨迹如图 7－ 24所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
2
22
2
()
()
n
xt
x t A
（ 7-16）
33
图 7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
相轨迹的方向如图 7-24中箭头所示。
相轨迹垂直穿过横轴。
坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做 奇点 。
图 7-24的奇点 (0,0)
通常称为 中心
34
（ 2）欠阻尼运动
10
其中
2
2 00
0
n
d
xxAx
00
0
n
d
xx
a r c tg
x
( ) si n( )n t dx t Ae t
（ 7-17）
方程（ 7-12）的解为
35
相轨迹如图 7－ 25所示。
从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，
最后趋向于平衡状态。
坐标原点是一个奇点，
它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为稳定的焦点 。
图 7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹
36
（ 3）过阻尼运动这时方程（ 7－ 12）的解为
1
12
12()
q t q tx t A e A e
0 0 2
1
12
xx
A
0 0 1
2
12
xx
A
121 1 2 2() q t q tx t A q e A q e
相轨迹如图 7－ 26所示 。
37
图 7-26 过阻尼时的相轨迹图 7-27 过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，
这种奇点称为 稳定的节点 。
38
（ 4）负阻尼运动
相轨迹图如图 7－ 28所示，
此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与图 7－ 25不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为不稳定的焦点 。
01
图 7-28
39
系统的相轨迹图如图 7-29所示，
奇点称为不稳定的节点 。
1
图 7-29
40
此时相轨迹如图
7-30所示。奇点称为鞍点该奇点是不稳定的 。
02 2 xxx nn
图 7-30 斥力系统的相轨迹
41
图 7-31 特征根和奇点的对应关系
42
二、相轨迹作图法
),( xxfx
设系统微分方程如
x
xxf
dx
xd
),(?化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是 a
这条曲线就 称为 等倾线 。
ax xxf ),(
令 其中 为某个常数
a
1 等倾线法
43
例子
微分方程
0 xxx
x
xx
dx
xd
或
x
a
x
1
1
等倾线是直线，它的方程为：
44
取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹 。
a
图 7-32
45
图 7-34 各种类型的极限环极限环在图 7-33中，出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的 极限环 。
2( 1 ) 0x x x x
1
图 7-33
46
图 7-34 各种类型的极限环
47
三、由相平面图求时间解
相轨迹上坐标 点移动到 点所需的时间，可按下式计算 1x 2x
2
1
12
x
x x
dxtt
（ 7-37）
这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，
因此求时间解的过程是近似计算的过程。
48
1,用 曲线计算时间利用式（ 7－ 37）计算时间，在某些情况下可直接进行积分运算 。
1/ x
图 7-37
49
2、用小圆弧逼近相轨迹计算时间
在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。
PA
x
QB RC
如图 7－ 8AD段，可用 轴上的 P,Q,R点为圆心，以
、,为半径的小圆弧来逼近，
这样就有
A D A B B C C D A B B C C Dt t t t t t t
50
代入（ 7-37）式得
s inPAx
c o sPAOPx
令
s i n
s i n
B
ABAA B A B
PA
td
PA
（ 7-38）
51
图 7-38用小圆弧逼近相轨迹计算时间
52
例 7-2
图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知 和均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。
AB
11AB
图 7-39
53
解：
相轨迹 和 对应的周期运动，他们的周期分别为 和 s，
则有
A B C D
1 1 1 1A B C D
T
1T
1
2 ( 2 ) 4,
2
2 ( 1 2,2 1 ) 6,4 3
T
T
54
7-4 非线性系统相轨迹分析
① 根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程。
② 画相轨迹图
③ 根据相轨迹图分析系统的运动情况。
返回子目录
55
一、继电型系统
系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为 继电型系统 。
图 7-40 继电型非线性特性
56
若继电系统的方框图如图 7— 41所示
研究图中继电特性为图 7-40(b)
的情况图 7-41
57
很明显，相平面以直线 为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定
ec 时
hcKM
hc
hcKM
tctcT ||0)()(
ch
58
1 在 c>h的区域
KMtctcT )()(
系统方程为
TKMcck )( 001
TKMck )( 02
其中
( 1 / )
12()
Ttc t k k e K M t
59
KMtc)(?
所以
KMc0?
当
( 1 / )
0( ) ( )
Ttc t c K M e K M
60
2 在 |c|<h区域
系统方程为
0 ccT
Tdc
cd 1
)(
1
00 cc
T
cc?
（ 7-47）
61
3 在 c<-h区域
相轨迹方程为
KMtctcT )()(
KMc?0? KMtc?)(?当 时
00
( 1 / )
0
( ) ( )
() Tt
c t c c K M T
c K M T e K M t?
( 1 / )
0( ) ( )
Ttc t c K M e K M
62
图 7-42 图 7-41系统当 时的相轨迹1m
63
当 m=-1时，系统微分方程为
对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。
0,
0,
)()(
chchcKM
chchcKM
tctcT
64
图 7-43 图 7-41系统当 m=-1时的相轨迹
65
图 7-44 振荡趋势加大示意图1m
66
图 7-45 m逐渐减少时的相平面
67
二、速度反馈对继电系统自由运动的影响图 7-46 有速度反馈的继电器系统
68
系统的微分方程为
将此相轨迹图与图 7— 42比较可看出两者主要是开关线不同。
可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。
hccKM
hcc
hccKM
tctcT
||0)()(
69
图 7— 47 速度反馈对系统运动过程的影响
70
三、含有间隙非线性的系统
图 7-48 间隙非线性和非线性控制系统
71
方程式：
uKx 1
0
0
eM
eM
u
yKe 2
0
0
ybx
ybx
y
bxyy 0?
72
0
0
1
1
yMK
yMK
x
bxMK
bxMK
x
1
1
01
2
01 2
1 MxKxc
01
2
02 2
1 MxKxc式中
bxcMxKx
bxcMxKx
21
2
11
2
2
1
2
1
相轨迹方程 （ 7-59）
（ 7-60）
73
图 7-49 式（ 7-59）和式（ 7-60）的相轨迹
74
图 7-50 图 7-48系统的相平面
75
图 7-51 判断开关线所用的对应关系
76
四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面
图 7-52 具有非线性放大器的系统
77
图 7-52（ a）表示的系统方程为
KuccT
0
0
eee
eeke
u
cre
rrTKueeT
得到
k K TKT 2
11
2
1
假定
78
（ 1）阶跃输入 r(t)=R
系统方程变为
0 KeeeT
0 k K eeeT
图 7-53
79
（ 2）输入信号 r(t)=Vt+R
系统方程为
VKeeeT 0ee?
Vk K eeeT 0ee?
80
图 7-54 V<kKe0,R>e0时的相轨迹
81
图 7-55 kKe0<V<Ke0,R=0 图 7-56 V>Ke0,R=0
82返回子目录
7-5 描述函数
描述函数 可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比 。
若输出的一次谐波分量为
)s i n(s i nc os)( 11111 tYtBtAty
输入的正弦量为 tX?s in
则 描述函数 的数学表达式如式 （ 7-75） 所示：
22
1111
1
1
a r c ta nABYAN X X B（ 7-75）
83
图 7-57 理想继电特性在正弦输入时的输出波形和振幅频谱
84
其中
201 )(c o s)(1 ttdtyA
201 )(s i n)(1 ttdtyB
)(ty tX?s in为非线性特性在输入信号作用下的输出。
22
1111
1
1
( ) a r c ta n
ABYA
NX
X X B
85
例 7-3
若非线性特性为
（ 7-76）
3
4
1
2
1 xxy
)(s i n)
4
1
2
1(1 32
0
1 ttdxx
XX
BN
其特性曲线如图 7-58。
86
令 tXx?s in?
)(s i n)s i n41s i n21(1 3320 ttdtXtXXN
)(s i n
2
)(s i n1 4
0
2
2
0
ttdXttd
21
16
3
2
1 X
X
BN
tXXty?s i n)
16
3
2
1()( 2
则有
87
图 7-58 式（ 7-76）的输入 -输出特性 图 7-59 描述函数
88
一、不灵敏区特性的描述函数
1s in?X
)/a r c s i n(1 X
2/
1
1
)(s i n)s i n(4
ttdtXKB
)(s i n)(s i n[4
2/ 2/2
1 1
ttd
X
ttdKX
89
（ 7-83）
根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为
1
2
()
2
a r c s in 1
2
B
NX
X
K
X X X
X
90
图 7-60 不灵敏区特性及其输入 -输出波形
91
二、饱和特性的描述函数
SX?1s i n?
X
Sa r c s i n
1
1
10
2/2
1 )(s i n)(s i n
4
ttdKSttdKXB
2/
0
1
1
c o ss i n
4
1
2
14?
t
X
SttKX
2
1a r c s i n2
X
S
X
S
X
SKX
)( SX?
92
图 7— 61表示了饱和特性和它在正弦信号作用下的输出波形。
饱和特性的描述函数为
2
1a r c s i n
2
)(
X
S
X
S
X
SK
XN
)( SX?
从上式可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。
93
图 7-61
饱和特性及其输入 -输出波形
94
三、间隙特性的描述函数
)21a r c s i n (1 X b
2/
01
)(c o s)s i n(2 ttdbtXKA
1
12/
)(c o s)s i n()(c o s)( ttdbtXKttdbXK
1 2/2/0
2/
0
2 s i n)(s i ns i n
2
12?
tbXKtKbtKX
1
1
s i ns i n
2
1 2 tKbtKX?
)(14 bX
X
bbK
95
2/
01
)(s i n)s i n(2 ttdbtXKB
1
12/
)(s i n)s i n()(s i n)( ttdbtXKttdbXK
1 2/2/0
2/
0
c o s)(c o s2s i n41212
tbXKtKbttKX
1
1
c o s2s i n
4
1
2
1 tKbttKX
X
b
X
b
X
b
X
bKX 121221a r c s i n
2
)( bX?
96
间隙特性的描述函数为
图 7— 62表示了间隙特性和它在正弦信号作用下的输出波形
X
b
X
b
X
b
X
bK
1
2
12
2
1ar cs i n
2
X
Aj
X
BxN 11)(
14
X
b
X
Kbj
Xb?
97
图 7-62
间隙特性及其输入 -输出波形
98
四、继电型特性的描述函数
X
ha r c s in
1
X
ha r c s i n
3
X
mha r c s i n
2
X
mha r c s i n2
4
图 7— 63表示了具有滞环和不灵敏区的继电特性和它在正弦信号作用下的输出波形
99
X
h
X
mh
X
h
X
mhM
)(,)1(2 hMmXMh
2
1
4
3
)(c os)(c os11
ttdMttdMA
4
3
2
1
s i ns i n
ttM
100
2
1
4
3
)(s i n)(s i n11?
ttdMttdMB
4
3
2
1
c o sc o s ttM
22 112
X
h
X
mhM
)( hX?
101
继电特性的描述函数为
可知具有滞环和不灵敏区的继电特性的描述函数，和输入信号的频率无关，只是输入幅值的复数值函数。
22
112)(
X
h
X
mh
X
MXN
)( hX?
12 2 mXMhj?
102
图 7-63
继电特性及其输入 -输出波形
103
当 h=0,两位置理想继电特性的描述函数
X
MXN
4)(?
当 m=1,三位置 理想继电特性的描述函数
)(,14)(
2
hX
X
h
X
MXN?
当 m=-1,得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数
)(,414)( 2
2
hX
X
Mhj
X
h
X
MXN
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7-6
用描述函数法分析非线性系统
非线性控制系统可化为下列结构形式图 7-64 非线性控制系统
105
用描述分析非线性系统时两个基本假设：
① 系统的线性部分 G(jω)具有很好的低通滤波性。
② 系统若发生自激振荡（稳定的周期运动），假定非线性环节 N的输入端的振荡为正弦波。
106
一、特征方程的解法
图 7－ 64所示系统的特征方程为
0)()(1jGXN
（ 7-90）
0X 0?
如果对于某一个 和,式（ 7－ 90）成立，
那么非线性环节 N输入端将有 的周期运动。)s in (
00 tX?
此时相当于将整个 )(/1 XN? 曲线当作临界点。
107
二、自激振荡的确定图 7-65
周期运动的确定及稳定性判别
)(/1 XN?
)(?jG
分别将 和曲线画在复平面上,如图 7－ 65
所示。
108
M1对应的周期运动为 X01sinω01t
M2对应的周期运动为 X02sinω02t 。
M1的周期运动是不稳定的。
M2的周期运动是稳定的。
上述方法适用于 G(s)无右半复平面极点的情形。
)(?jG )(/1 XN?图中 曲线和 曲线分别相交于 M1点和 M2点。
109
图 7-66 不稳定的和稳定的周期运动
110
M1对应周期运动稳定,M2对应周期运动不稳定图 7-67
jGK 0当 有不稳定根时，周期解的稳定性判断，需要用乃奎斯特判据。
111
解析法
0? 0?
式（ 7－ 98）中的偏导数均在 X0,处取值。则 X0、
对应的周期运动是稳定的,否则就是不稳定的周期运动。
),(),()()(1 XjBXAjGXN
令
（ 7-97）设式（ 7－ 97）有解 X
0和 0?,若有下式成立
0 XBABXA
（ 7-98）
112
三、分析系统自激振荡的例题
例 7-4 研究如图所示非线性系统。试判断系统是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。
图 7-68
113
解,描述函数为
2
14)(?
X
h
X
MXN
43.20
h
MK
1
4
1
2
2
0
h
X
h
X
XN
hX?
hX?
114
计算数据表
X
h
-2-1.64-1.57-1.64
10.90.80.6
-1.81-
2.14
-2.74-4.18-7.89
0.50.40.30.20.1
)(
1
0 xN
)(
1
0 xN
X
h 21
115
0.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708
-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.9
0.1970.3880.5790.9201.1321.5932.351
400300250200180150120?
||?jG
jG?
||0?jGK
116
图 7-69 图 7-68系统的曲线
117
四、系统稳定性分析图 7-72 非线性系统的稳定性分析
118
本章主要知识点与主要线索作图积分求解开关线结构归化计算查表非线性系统 典型结构 乃氏曲线线性部分分段线性的非线性系统分段相迹方程奇点类型 相迹方程等倾线法稳定性,自振,求自振参数求时间
1
()NX
()NX
相迹时间响应
