1
第八章采样系统理论第 8章 采样系统理论
8-1 采样过程与采样定理基本要求
8-2 信号的恢复与零阶保持器
8-3 z变换与 z反变换
8-4 脉冲传递函数
8-5 采样系统的性能分析
8-6 采样系统的数字校正返回主目录
3
基 本 要 求
① 正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用,了解采样系统与连续系统的区别与联系。
② Z变换和 Z反变换，熟练掌握几种典型信号的 Z变换和通过部分分式分解进行反变换,了解用 Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。
③ 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法,掌握典型闭环采样系统输出的 Z变换表达式。
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4
④ 熟练掌握 Z域稳定性的判别方法。
⑤ 熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。
⑥ 熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。
⑦ 掌握最小拍采样系统的设计步骤。
5
图 8-1 机载火力控制系统原理图
6
8-1 采样过程与采样定理一、采样过程
—— 将连续信号转换成离散信号的过程
1
该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图 8-3 所示，
其中载波信号 )(tp?是一个周期为 T，宽度为 )，
的脉冲序列，如图 8-3（ b）所示。幅值为
幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图 8-3（ c）所示。
调制后得到的采样信号是一个周期为 T，宽度为返回子目录
T(
7
图 8-3 信号的采样过程
8
实现上述采样过程的装置称为 采样开关可用图 8-3（ d）所示的符号表示。
)()()( tftptf
（ 8-1）
由于载波信号 )(tp 是周期函数，
故可以展成如下 Fourier级数
n
tjn
n
seCtp?)(
（ 8-2）
9
则采样信号 可以表示为)(tf?
n
tjn
n
setfCtf?
)()(
（ 8-4）
2/
0 2/
)2/s i n (1)(1
ss n
s
sT tjn
n en
n
TdtetpTC
（ 8-3）
s?
nC
其中,为采样频率,Fourier系数由下式给出
10
若连续信号的 Fourier变换为,
则采样信号的 Fourier变换为
)(?jF
连续信号 与离散信号 的频谱曲线如图 8-4所示。)(tf )(tf
n
sn jnjFCjF )()(
（ 8-5）
11
图 8-4
12
香农（ Shannon）采样定理
若存在一个 理想 的 低通滤波器,其频率特性如图 8-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的,
图 8-5）
香农（ Shannon）采样定理
13
如果采样频率 满足以下条件
s?
m a x2s式中 为连续信号频谱的上限频率 m a x
则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。
（ 8-6）
14
二、理想采样过程
为了简化采样过程的数学描述，引入如下 理想采样开关 的概念 。
载波信号 可以近似成如下理想脉冲序列（ ）)(tp0
k
T kTtt )()(
（ 8-7）
15
再设当 时，
则采样过程的数学描述为
0?t 0)(?tf
此时，采样过程如图 8-6所示。
理想 采样开关的输出是一个 理想 脉冲序列。
0
)()()()()(
k
T kTttfttftf
（ 8-8）
16
图 8-6 理想采样开关的采样过程
17
同样,可以展成如下 Fourier级数
n
tjn
nT
seCt )(
()T t?
TCn
1?其中 （ 8-10）
n
tjn setf
Ttf
)(1)(则有
（ 8-11）
n
sjnjFTjF )(
1)(和 （ 8-12）
18
图 8-7 连续信号和采样信号的频谱
19
注 意,
上述香农采样定理要求满足以下两个条件：
① 频谱的上限频率是有限的；
② 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器；
20
8-2信号的恢复与零阶保持器
信号的恢复 是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为 保持器 。
TktkT )1(
可将 )(tf 展成如下泰勒级数时，
nkTtnkTt kTttfnkTttfkTftf )()(!1)()()()( )(
（ 8-13）
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21
各阶导数的近似值
由此类推，计算 n阶导数的近似值需已知
n+1个采样时刻的瞬时值。若式（ 8-13）
的右边只取前 n+1项，便得到 n阶保持器的数学表达式。
2
)2()(2)()(
T
TkTfTkTfkTftf
kTt
T
TkTfkTfkTf )()()(
（ 8-14）
22
图 8-8 信号的采样与保持过程零阶保持器的数学表达式为
TktkTkTftf )1( )()(
（ 8-16）
23
理想采样开关的输出 Laplace变换为零阶保持器的输出为
0
* )()(
k
k T sekTfsF (8-17)
0
)(1)(1)()(
k
h TkTtkTtkTftf
(8-18)
24
由上式可知零阶保持器的
0
)1(
)()(
k
Tskk T s
h s
eekTfsF
0
)(1
k
k T s
Ts
ekTf
s
e
s
e
sG
Ts
h
1
)(
(8-20)
(8-19)
传递函数
25
零阶保持器的频率特性为
j
ejG Tj
h
1)(
Tje
T
TT?
21
2/
)2/s i n ( seT
s
s
/
/
)/s i n (
s
s
h TjG
/
)/s i n()(
)/s i n ()( s
s
h jG
相频特性为
(8-22)
(8-23)
其幅频特性为
26
其中
零阶保持器的频率特性曲线如图 8-9所示，对比图 8-4可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。
0,2 ( 2 1 )
sin ( / )
,( 2 1 ) 2 ( 1 )
( n 0,1,2,)
ss
s
ss
nn
nn
27
图 8-9 零阶保持器的频率特性曲线
28
8-3 z变换与 z反变换一,z变换
连续信号 经采样后得到的脉冲序列为)(tf
对上式进行 Laplace变换，得
0
)()()(
k
kTtkTftf?
（ 8-25）
0
)()(
k
k T sekTfsF
（ 8-26）
返回子目录
29
引入一个新的复变量将式上式代入式（ 8-26）可得 z变换 的定义式如下
Tsez?
称 为 的 z变换,记作 或)(zF )(tf? )()]([ zFtfZ )()]([ zFkTfZ?
kzkTfzTfzTfzfzF )()2()()0()( 210
由此可看出 是关于复变量 的幂级数 。)(zF 1?z
0ln)/1(
)()()(
k
k
zTs
zkTfzFsF
（ 8-28）
30
例 8-1 求单位脉冲信号的 z变换。
)()( ttf )()()()(
0
tkTttftf
k
)(tf? 0?t
解,设,则由于 在时刻 的脉冲强度为 1，
其余时刻的脉冲强度均为零，所以有
11)( 0 zzF
31
例 8-2 求单位阶跃信号的 z变换 。
解,设,则该级数的收敛域为,在该收敛域内，
上式可以写成如下闭合形式
)(1)( ttf?
kzzzzF 211)(
1?z
)1(,11 1)( 1 zz zzzF
32
)1|(|,
)1(
)( 2
0
z
z
TzzkTzF
k
k
例 8-3 求单位斜坡信号的 z变换。
设,则
上式两边对 z求导数，并将和式与导数交换，得
上式两边同乘,便得单位斜坡信号的 z变换
0
)(
k
kzkTzF)0(,)( tttf
)1||(,1
0
z
z
zz
k
k
20
1
)1(
1)(
zzkk
k
)( Tz?
解：
33
例 8-4 求指数函数的 z变换。
解,设,则
kak TTaaT zezezezF 2211)(
)|(|,
1
1
1
aT
aTaT ezez
z
ze
atetf)(
34
))(1(
)1(
1
)( T
T
T ezz
ez
ez
z
z
zzF
例 8-5
设,求 的 z变换。
)1(
1)(
sssF
)(tf?
解：
上式两边求 Laplace反变换，得
)0(,1)( tetf t
再由例 8-2和例 8-4有
1
11)(
sssF
35
注意：
z
T
s ln
1
)(sF )(zF
)(tf?
不能直接将 代入来求,因为是针对采样信号 进行 z变换。
36
二,z变换的基本定理其中 和 为任意实数。
1a 2a
1．线性定理：
1 1 2 2
1 1 2 2
[ ( ) ( ) ]
( ) ( )
Z a f t a f t
a F z a F z
（ 8-30）
)(1 tf? )(2 tf? )(1 zF )(2 zF若 和 z变换为 和,
则
37
证明：
1 1 2 2
1 1 2 2
0
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
k
k
Z a f t a f t
a f k T a f k T z
0
22
0
11 )()(
k
k
k
k zkTfazkTfa
)()( 2211 zFazFa
38
2．实数位移定理
若 的 z变换为,则)(tf? )(zF
)()]([ zFznTtfZ n
（ 8-31）
])()([)([
1
0
n
k
kn zkTfzFznTtfZ
（ 8-32）
39
证明：
证明式（ 8-31）
由于当 时，,所以有
nj
jn zjTfz )(?
0
)()(
k
nkn znTkTfz
0
)()]([
k
kznTkTfnTtfZ
0?j 0)(?jTe
0
)()]([
j
jn zjTfznTtfZ )( zFz n
40
证明式（ 8-32）
0
)()]([
k
kznTkTfnTtfZ
0
)()(
k
nkn znTkTfz
1
00
)()(
n
k
k
j
jn zkTfzjTfz
1
0
)()(
n
k
kn zkTfzFz
41
3．复位移定理
已知 的 z变换函数为,则
)(])([ aTak T ezFekTfZ
证明：
0
)(])([
k
ka k Ta k T zekTfekTfZ
0
)()(
k
kaTzekTf )( aTezF
)(kTf )(zF
42
4,Z域尺度定理
若已知 的 z变换函数为,则证明：
0
)()]([
k
kkk zkTfakTfaZ
0
)(
k
k
a
zkTf
a
zF
)(kTf )(zF
其中,为任意常数。a
a
zFkTfaZ k )]([ （ 8-34）
43
三,z反变换
z反变换是 z变换的 逆运算 。其目的是由象函数 求出所对应的采样脉冲序列
（或 ），记作 )(nTf
)(zF
)(tf?
)()]([ tfzF-1Z （ 8-35）
z反变换只能给出采样信号,
而不能给出连续信号 。
)(tf?
)(tf
注意
44
1 部分分式法
若象函数 是复变量 z的有理分式，且的极点 互异，则 可展成如下形式：
)(zF
),,2,1(,miez Tai izzF )(
上式两边同乘 z，再取 z反变换得
Ta
m
TaTa mez
K
ez
K
ez
K
z
zF
21
21)(
（ 8-36）
TamTaTa mez zKez zKez zKzF 1-1-1-1- ZZZZ?21 21)]([
（ 8-37）
nTamnTanTa meKeKeKnTf21 21)(
（ 8-38）
z
zF )(
45
例 8-6
已知 z变换函数
求其 z反变换。
))(1(
)(
Tezz
z
zF
46
解：
首先将 展成部分分式
Tez
K
z
K
z
zF
21
1
)(
Tz ezFz
zK
1
1)(1lim
11
z
zF )(
T
T
ez ezFz
ezK
T?
1 1)(lim2
TT ez zz zezF 11 1)(
nTT eenTf 11 1)(
0 )()1(1
1)(
k
kT
T kTteetf?
47
2 长除法
kk zfzffzF 110)(
对比式（ 8-29）可知
若 z变换函数 是复变量 z的有理函数，
则可将 展成 的无穷级数，即
)(zF
)(zF 1?z
,2,1,0,)( kfkTf k （ 8-40）
0
)()(
k
k kTtftf?
（ 8-41）
48
例 8-7
已知 z变换函数为
求其 z反变换。
)3)(2(
)(
zz
z
zF
49
( ) ( ) 5 ( 2 )
1 9 ( 3 ) 6 5 ( 4 )
f t t T t T
t T t T
解：
由
65165)( 1
1
2
z
z
zz
zzF
运用长除法得
4321 65195)( zzzzzF
由此得
,65)4(,19)3(,5)2(,1)(,0)0( TfTfTfTff
于是脉冲序列可以写成
50
3 留数计算法由 z变换的定义可知
0
)()(
k
kzkTfzF
dzzkTfdzzzF
k
kmm
0
11 )()(
dzzkTfdzzzF km
k
m 1
0
1 )()(
0
11 )()(
k
kmm zkTfzzF
（ 8-43）
51
设 的极点为,则1)(?kzzF niz
i,,2,1,
1)(?kzzF包围了 的所有极点
n
i
i
k zzzFr eskTf
1
1 ],)([)(
（ 8-48）
52
例 8-8
已知 z变换函数为
试用围线积分方法求 z反变换。
)2)(1(
10)(
zz
zzF
53
解：
上式有两个极点 和,且
)2)(1(
10)( 1
zz
zzzF kk
10)()1(lim]1,)([ 111 kzk zzFzzzFr e s
kk
z
k zzFzzzFr e s 210)()2(lim]2,)([ 1
2
1
)12(10)( kkTf
),2,1,0(k所以
11?z 22?z
54
四 初值定理和终值定理
1 初值定理：
设 的 z变换为,并且有极限存在，
则
)(kTf )(zF )(lim zF
z
)(l i m)0( zFf
z
（ 8-49 ）
55
2 终值定理：
设 的 z变换为,
且 的极点均在 z平面的单位圆内，则
)(kTf )(zF
)()1( 1 zFz
)()1(l i m)(l i m 1
0
zFzkTf
zk
（ 8-50）
56
五、用 z变换法解线性常系数差分方程
1 差分的定义
假设在图 8-1所示的采样系统中，模拟 — 数字转换器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值 记为 或,则 的一阶前项差分定义为
)(te )(kTe
ke )(ke ke
kkk eee 1
57
二阶前向差分定义为
n阶前向差分定义为
n阶后向差分定义为
)(2 kk ee kk ee 1
kkk eee 12 2
k
n
k
n
k
n eee 1
1
1?
1
11
k
n
k
n
k
n eee
58
8-4 脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的 z变换与输入采样信号的 z变换之比
)(
)()(
zR
zCzG? （ 8-59）
图 8-10
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59
系统输出的采样信号为
)]()([)]([)( 11 zRzGZzCZtc
经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出 在采样时刻的瞬时值。
)(tc?
)(tc
60
二、开环脉冲传递函数
1．开环脉冲传递函数的推导
1( ) ( ) sjk t
k
r t r t eT?
1( ) ( )
s
k
R s R s jkT?
)()()( sRsGsC
61
0
)()(1
k
ss jksRjksGT
0
)(1)(
k
sjksCTsC?
)()(1
0
sRjksGT
k
s
)()( sRsG
0
)(1)(
k
sjksGTsG?
)()()( zRzGzC?
（ 8-66）由此
62
求该开环系统的脉冲传递函数 。
例 8-11
系统结构如图 8-10所示，其中连续部分的传递函数为
)11.0(
1
)(
ss
sG
)(zG
63
解：
连续部分的脉冲响应函数为
)0()1()( 10 tetg t
kTekTg 101)(
0
)()(
k
kzkTgzG
0
101
k
kkT ze
Tez
z
z
z
101 ))(1(
)1(
10
10
T
T
ezz
ez
脉冲传递函数为
64
或由 得)(sG
10
11)(
ss
sG
))(1(
)1(
1
)( 10
10
10 T
T
T ezz
ez
ez
z
z
zzG
查表得
65
2．串联环节的脉冲传递函数
（ 1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数图 8-11
)()]()([)( 2121 zGGsGsGZzG
（ 8-67）
66
例 8-12
系统结构如图 8-11所示，其中
求开环脉冲传递函数。
as
sG
1)(1
bs
sG
1)(2
67
解：
bsasab
sGsG 111)()( 21
12
( ) ( )
1 ( )
( ) ( )
aT bT
aT bT
G z G G z
z e e
b a z e z e
68
(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数
如图 8-12所示，其脉冲传递函数为各个连续环节 z变换的乘积，记为图 8-12 串联环节间有采样开关的开环系统
1 2 1 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )G z Z G s Z G s G z G z （ 8-68）
69
例 8-13
系统结构如图 8-12所示，其中
求开环脉冲传递函数。
12
11( ),( )G s G s
s a s b
70
解：
2
12( ) ( ) ( ) ( ) ( )a T b T
zG z G z G z
z e z e
所以由于 11
22
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
aT
bT
z
G z Z G s
ze
z
G z Z G s
ze
2 1 28 12 z G z G G z 1由 例 和 例 8-13 可 知,一 般 G （ ） （ ） （ ） 。
71
（ 3）有零阶保持器时的脉冲传递函数
开环脉冲传递函数为
)(1)( sG
s
eZzG Ts
TsesGsZsGsZ )(
1)(1
)(11)( 1 sG
sZzzG
图 8-13 带零阶保持器的开环采样系统
72
例 8-14
系统结构如图 8-13所示，其中
采样周期 s
求其开环脉冲传递函数。
)1(
)(
ss
KsG
1?T
73
解：
由于
所以
1
111)(1
2 sssKsGs
12
1
1)1(]1[)( ez
z
z
z
z
zzKzG
)368.0)(1(
)717.0(368.0
))(1(
)21(
1
11
zz
zK
ezz
ezeK
74
三、闭环脉冲传递函数图 8-14 闭环采样系统
75
采样开关的输入和系统的输出 分别为
)()()()()( sEsHsGsRsE
)()()( sEsGsC
)()()()( sEsGHERsE
)()()( sEsGsC
76
整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为
)(
)(1
)()( sR
sGH
sGsC?
)()(1 )()( zRzGH zGzC
)(1
)(
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
z
77
例 8-15
闭环采样系统的结构如图 8-14所示，
其中
采样周期 秒，
求闭环脉冲传递函数，
若,求 。
)1(
1)(
sssG
1)(?sH
1?T
)(1)( ttr? )(tc?
78
解：
对于阶跃输入函数有
)368.0)(1(
632.0)()(
zz
zzGHzG
3 6 8.07 3 7.0
6 3 2.0
)(
)(
2 zz
z
zR
zC
1
)(
z
zzR
79
则输出信号的 z变换为于是
)36 8.073 6.0)(1(
63 2.0)(
2
2
zzz
zzC
1 2 3
4 5 6
0,6 3 2 1,0 9 6 1,2 0 5
1,1 2 0 1,0 1 4 0,9 8
z z z
z z z
( ) 0,6 3 2 ( 1 ) 1,0 9 6 ( 2 ) 1,2 0 5 ( 3 )
1,1 2 0 ( 4 )
c t t t t
t
)6(98.0)5(0 1 4.1 tt
80
注意
有些闭环采样系统不可能求出 形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号 的表达式。如图
8-15所示的闭环采样系统
)(
)(
zR
zC
)(zC
（ 8-15）
81
8-5 采样系统的性能分析一、稳定性
1 从 s平面到 z平面的影射关系
Tsez?由 Z变换的定义 （ 8-80）
js若令
（ 8-81）
TjT eez
则有 （ 8-82）
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82
左半 s平面上 的带称为主带，
其它称为 次带。
图 8-16 从 s平面到 z平面的影射
22
ss
83
2 Z域的稳定条件和稳定性判据
在 z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于 z平面的 单位圆 内。
设采样系统的闭环脉冲传递函数为
)(
)(
)(
)()(
zD
zM
zR
zCz
则闭环特征方程为
0)(?zD
（ 8-84）
84
(1) 朱利（ Jury）稳定判据且,根据特征方程的系数构造朱利阵列，
nn zazazaazD2210)(
0?na
则特征方程 0)(?zD 的根均位于单位圆内的充分必要条件为
0)1()1(,0)1( DD n
||||
||||
||||
||
20
20
10
0
qq
cc
bb
aa
n
n
n
共（ n-1）个约束条件
（ 8-86）
（ 8-87）
85
例 8-16
已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。
325.175.0125.0)( zzzzD
0375.3)1()1(,0125.0)1( 3 DD
解：
86
0z 1z 2z 3z
朱利阵列行数
1 -0.125 0.75 -1.5 1
2 1 -1.5 0.75 -0.125
3 -0.98 1.41 -0.56
4 -0.56 1.41 -0.96
系统是稳定的30 || aa? |||| 20 bb?
87
(2) 劳 思 (Routh) 稳 定 判 据
在 分析连续系统 时，曾应用 Routh稳定判据判断系统的特征根位于 s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。
对于 采样系统,也可用 Routh判据分析其稳定性，但由于在 z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，
因此不能直接应用 Routh判据。
88
引入如下双线性变换此时可用 Routh判据判断采样系统的稳定性。
1
1
w
w
z
89
(3) z平面的根轨迹方法
以上述例 8-15所示的闭环采样系统为例，其特征方程为
0)(1 zG
)368.0)(1(
632.0)(
zz
KzzG
可知使系统稳定的最大 K
值为 4.33。
例 8-16的根轨迹图
90
二、闭环极点与瞬态响应之间的关系
设采样系统的 闭环传递函数 为
nn
nn
mm
mm
azazaza
bzbzbzbz
1
1
10
1
1
10)(
)())((
)())((
210
210
n
m
pzpzpza
zzzzzzb
)(
)(
zD
zM?
1)(
)()()()(
z
z
zD
zMzRzzC?
（ 8-91）
若输入信号为 单位阶跃,则
91
将 按部分分式展开，得
上式中第一项为 稳态分量,第二项为 瞬态分量,显然瞬态分量的变化规律取决于极点在 z平面中的位置。
n
k k
k
pz
zc
z
z
D
MzC
11)1(
)1()(
),2,1,0()1( )1()(
1
mpcDMmTc
n
k
m
kk
z
zC )(
92
图 8-18
不同极点所对应的瞬态响应
93
三、稳态误差图 8-19 单位负反馈采样系统
)()(1 1)( zRzGzE
（ 8-97）
)(tr在输入信号 作用下，误差的 z变换表达式为
94
1 当输入为阶跃函数时
)1/()( zzzR
)(lim 1 zGK zp
定义静态位置误差系数为
pz Kz
z
zG
ze
1
1
1)(1
1)1(lim)(
1
则根据终值定理，有
95
2 当输入是斜坡函数时
2)1/()( zTzzR
)()1(lim
1
zGzK
zv
定义静态速度误差系数为
vz K
T
z
Tz
zGze 21 )1()(1
1)1(lim)(
稳态误差为
96
3 当输入是等加速信号时
32 )1(2/)1()( zzzTzR
)()1(lim 21 zGzK za
定义静态加速度误差系数为
a
z K
T
z
zzT
zG
ze
2
3
2
1 )1(2
)1(
)(1
1)1(lim)(?
稳态误差为
97
例 8-17
已知采样系统的结构如图所示，其中，
，采样周期 s，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差。
)0(,5.01)1( 2 tttr
2
)15.0(2)(
s
ssG 2.0?T
图 8-21
98
解：
3
)15.0(21)(
s
sZ
z
zzG
3
2
2 )1(
)1(
)1(
1
z
zzT
z
Tz
z
z
2)1(
16.024.0
z
z
084.076.1)( 2 zzzD
采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为
99
008.0)1(D 06.3)1(D 184.0|| 20 aa
该采样系统稳定在 阶跃和斜坡函数 作用下的稳态误差为零静态 加速度误差系数 为
08.0)16.024.0(lim)()1(lim 121 zzGzK zza
5.0
08.0
04.000
1
1)( 2
avp K
T
K
T
K
e
25.01)( tttr因此，在输入 作用下的稳态误差为
100
8-6采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统闭环脉冲传递函数为
)()(1
)()()(
zDzG
zDzGz
图 8-21 含数字校正装置的采样系统返回子目录
101
系统的误差为
)()](1[)( zRzzE
11 )1(
)()(
qz
zBzR
其中 为 的有限次多项式，若能选择合适的,
使
)(zB 1?z )(zD
)()1()(1 11 zzz q
其中 为关于 的多项式，并且不含因子 。)(z? 1?z )1( 1z
0?t q设输入为时间的幂函数 At
q （ ），其中 为正整数，则
102
)()()1(lim)( 11 zBzze z则 稳态误差 为零。
11 )1(1)( qzz?
)(1
)(
)(
1)(
z
z
zGzD?
（ 8-109）
（ 8-110）
将 代入上式，便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数 。
)(z?
)(zD
1)(?z?
又为了使系统能在尽可能少的周期内实现对输入的完全跟踪，应使中 所含 项的数目最少，
为此应取
()z? 1z?
103
1 当 时
最少拍无差系统的闭环传递函数为
此时误差信号的 Z变换为
)(1)( ttr?
1)( zz?
1)(?zE
系统经过 1拍便可以完全跟踪上输入信号。
（ 8-111）
（ 8-112）
104
2 当 时
最少拍无差系统的闭环传递函数为
此时误差信号的 Z变换为
)(1)( tttr
系统经过 2拍便可以完全跟踪上输入信号。
212)( zzz?
1)( TzzE
（ 8-113）
（ 8-114）
105
3 当 时
最少拍无差系统的闭环传递函数为
此时误差信号的 Z变换为系统经过 3拍便可以完全跟踪上输入信号。
（ 8-115）
（ 8-116）
)(121)( 2 tttr
321 33)( zzzz?
2212
2
1
2
1)( zTzTzE
106
例 8-18
已知采样系统的结构如图所示，其中，
采样周期 s，,试设计使该系统在单位阶跃信号作用下为最少拍无差系统。
1?T )1( 1)( sssG
)(zD
图 8-21 最少拍无差系统
107
1
21)(
k
kzzzzC?
)3 68.0)(1(
2 64.03 68.0
)1(
1)1()(
2
1
zz z
ss
ZzzG
解：
将上式求 Z反变换可得输出序列
264.0368.0
368.0)(
z
zzD
108
本章主要知识点与主要线索稳态误差根轨迹开环脉冲传递函数 ()e
闭环零,极点系统稳定性,品质系统型别
(稳定系统 )
劳斯判据双线性变换终值定理
()z?
()e z? ()Ez
特征式
D(z)
()Dw 稳定性一定条件下长除法部分分式分解求留数朱利判据闭环零,极点稳定性平稳性,
快速性()Cz
()ct? ()ct
第八章采样系统理论第 8章 采样系统理论
8-1 采样过程与采样定理基本要求
8-2 信号的恢复与零阶保持器
8-3 z变换与 z反变换
8-4 脉冲传递函数
8-5 采样系统的性能分析
8-6 采样系统的数字校正返回主目录
3
基 本 要 求
① 正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用,了解采样系统与连续系统的区别与联系。
② Z变换和 Z反变换，熟练掌握几种典型信号的 Z变换和通过部分分式分解进行反变换,了解用 Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。
③ 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法,掌握典型闭环采样系统输出的 Z变换表达式。
返回子目录
4
④ 熟练掌握 Z域稳定性的判别方法。
⑤ 熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。
⑥ 熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。
⑦ 掌握最小拍采样系统的设计步骤。
5
图 8-1 机载火力控制系统原理图
6
8-1 采样过程与采样定理一、采样过程
—— 将连续信号转换成离散信号的过程
1
该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图 8-3 所示，
其中载波信号 )(tp?是一个周期为 T，宽度为 )，
的脉冲序列，如图 8-3（ b）所示。幅值为
幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图 8-3（ c）所示。
调制后得到的采样信号是一个周期为 T，宽度为返回子目录
T(
7
图 8-3 信号的采样过程
8
实现上述采样过程的装置称为 采样开关可用图 8-3（ d）所示的符号表示。
)()()( tftptf
（ 8-1）
由于载波信号 )(tp 是周期函数，
故可以展成如下 Fourier级数
n
tjn
n
seCtp?)(
（ 8-2）
9
则采样信号 可以表示为)(tf?
n
tjn
n
setfCtf?
)()(
（ 8-4）
2/
0 2/
)2/s i n (1)(1
ss n
s
sT tjn
n en
n
TdtetpTC
（ 8-3）
s?
nC
其中,为采样频率,Fourier系数由下式给出
10
若连续信号的 Fourier变换为,
则采样信号的 Fourier变换为
)(?jF
连续信号 与离散信号 的频谱曲线如图 8-4所示。)(tf )(tf
n
sn jnjFCjF )()(
（ 8-5）
11
图 8-4
12
香农（ Shannon）采样定理
若存在一个 理想 的 低通滤波器,其频率特性如图 8-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的,
图 8-5）
香农（ Shannon）采样定理
13
如果采样频率 满足以下条件
s?
m a x2s式中 为连续信号频谱的上限频率 m a x
则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。
（ 8-6）
14
二、理想采样过程
为了简化采样过程的数学描述，引入如下 理想采样开关 的概念 。
载波信号 可以近似成如下理想脉冲序列（ ）)(tp0
k
T kTtt )()(
（ 8-7）
15
再设当 时，
则采样过程的数学描述为
0?t 0)(?tf
此时，采样过程如图 8-6所示。
理想 采样开关的输出是一个 理想 脉冲序列。
0
)()()()()(
k
T kTttfttftf
（ 8-8）
16
图 8-6 理想采样开关的采样过程
17
同样,可以展成如下 Fourier级数
n
tjn
nT
seCt )(
()T t?
TCn
1?其中 （ 8-10）
n
tjn setf
Ttf
)(1)(则有
（ 8-11）
n
sjnjFTjF )(
1)(和 （ 8-12）
18
图 8-7 连续信号和采样信号的频谱
19
注 意,
上述香农采样定理要求满足以下两个条件：
① 频谱的上限频率是有限的；
② 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器；
20
8-2信号的恢复与零阶保持器
信号的恢复 是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为 保持器 。
TktkT )1(
可将 )(tf 展成如下泰勒级数时，
nkTtnkTt kTttfnkTttfkTftf )()(!1)()()()( )(
（ 8-13）
返回子目录
21
各阶导数的近似值
由此类推，计算 n阶导数的近似值需已知
n+1个采样时刻的瞬时值。若式（ 8-13）
的右边只取前 n+1项，便得到 n阶保持器的数学表达式。
2
)2()(2)()(
T
TkTfTkTfkTftf
kTt
T
TkTfkTfkTf )()()(
（ 8-14）
22
图 8-8 信号的采样与保持过程零阶保持器的数学表达式为
TktkTkTftf )1( )()(
（ 8-16）
23
理想采样开关的输出 Laplace变换为零阶保持器的输出为
0
* )()(
k
k T sekTfsF (8-17)
0
)(1)(1)()(
k
h TkTtkTtkTftf
(8-18)
24
由上式可知零阶保持器的
0
)1(
)()(
k
Tskk T s
h s
eekTfsF
0
)(1
k
k T s
Ts
ekTf
s
e
s
e
sG
Ts
h
1
)(
(8-20)
(8-19)
传递函数
25
零阶保持器的频率特性为
j
ejG Tj
h
1)(
Tje
T
TT?
21
2/
)2/s i n ( seT
s
s
/
/
)/s i n (
s
s
h TjG
/
)/s i n()(
)/s i n ()( s
s
h jG
相频特性为
(8-22)
(8-23)
其幅频特性为
26
其中
零阶保持器的频率特性曲线如图 8-9所示，对比图 8-4可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。
0,2 ( 2 1 )
sin ( / )
,( 2 1 ) 2 ( 1 )
( n 0,1,2,)
ss
s
ss
nn
nn
27
图 8-9 零阶保持器的频率特性曲线
28
8-3 z变换与 z反变换一,z变换
连续信号 经采样后得到的脉冲序列为)(tf
对上式进行 Laplace变换，得
0
)()()(
k
kTtkTftf?
（ 8-25）
0
)()(
k
k T sekTfsF
（ 8-26）
返回子目录
29
引入一个新的复变量将式上式代入式（ 8-26）可得 z变换 的定义式如下
Tsez?
称 为 的 z变换,记作 或)(zF )(tf? )()]([ zFtfZ )()]([ zFkTfZ?
kzkTfzTfzTfzfzF )()2()()0()( 210
由此可看出 是关于复变量 的幂级数 。)(zF 1?z
0ln)/1(
)()()(
k
k
zTs
zkTfzFsF
（ 8-28）
30
例 8-1 求单位脉冲信号的 z变换。
)()( ttf )()()()(
0
tkTttftf
k
)(tf? 0?t
解,设,则由于 在时刻 的脉冲强度为 1，
其余时刻的脉冲强度均为零，所以有
11)( 0 zzF
31
例 8-2 求单位阶跃信号的 z变换 。
解,设,则该级数的收敛域为,在该收敛域内，
上式可以写成如下闭合形式
)(1)( ttf?
kzzzzF 211)(
1?z
)1(,11 1)( 1 zz zzzF
32
)1|(|,
)1(
)( 2
0
z
z
TzzkTzF
k
k
例 8-3 求单位斜坡信号的 z变换。
设,则
上式两边对 z求导数，并将和式与导数交换，得
上式两边同乘,便得单位斜坡信号的 z变换
0
)(
k
kzkTzF)0(,)( tttf
)1||(,1
0
z
z
zz
k
k
20
1
)1(
1)(
zzkk
k
)( Tz?
解：
33
例 8-4 求指数函数的 z变换。
解,设,则
kak TTaaT zezezezF 2211)(
)|(|,
1
1
1
aT
aTaT ezez
z
ze
atetf)(
34
))(1(
)1(
1
)( T
T
T ezz
ez
ez
z
z
zzF
例 8-5
设,求 的 z变换。
)1(
1)(
sssF
)(tf?
解：
上式两边求 Laplace反变换，得
)0(,1)( tetf t
再由例 8-2和例 8-4有
1
11)(
sssF
35
注意：
z
T
s ln
1
)(sF )(zF
)(tf?
不能直接将 代入来求,因为是针对采样信号 进行 z变换。
36
二,z变换的基本定理其中 和 为任意实数。
1a 2a
1．线性定理：
1 1 2 2
1 1 2 2
[ ( ) ( ) ]
( ) ( )
Z a f t a f t
a F z a F z
（ 8-30）
)(1 tf? )(2 tf? )(1 zF )(2 zF若 和 z变换为 和,
则
37
证明：
1 1 2 2
1 1 2 2
0
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
k
k
Z a f t a f t
a f k T a f k T z
0
22
0
11 )()(
k
k
k
k zkTfazkTfa
)()( 2211 zFazFa
38
2．实数位移定理
若 的 z变换为,则)(tf? )(zF
)()]([ zFznTtfZ n
（ 8-31）
])()([)([
1
0
n
k
kn zkTfzFznTtfZ
（ 8-32）
39
证明：
证明式（ 8-31）
由于当 时，,所以有
nj
jn zjTfz )(?
0
)()(
k
nkn znTkTfz
0
)()]([
k
kznTkTfnTtfZ
0?j 0)(?jTe
0
)()]([
j
jn zjTfznTtfZ )( zFz n
40
证明式（ 8-32）
0
)()]([
k
kznTkTfnTtfZ
0
)()(
k
nkn znTkTfz
1
00
)()(
n
k
k
j
jn zkTfzjTfz
1
0
)()(
n
k
kn zkTfzFz
41
3．复位移定理
已知 的 z变换函数为,则
)(])([ aTak T ezFekTfZ
证明：
0
)(])([
k
ka k Ta k T zekTfekTfZ
0
)()(
k
kaTzekTf )( aTezF
)(kTf )(zF
42
4,Z域尺度定理
若已知 的 z变换函数为,则证明：
0
)()]([
k
kkk zkTfakTfaZ
0
)(
k
k
a
zkTf
a
zF
)(kTf )(zF
其中,为任意常数。a
a
zFkTfaZ k )]([ （ 8-34）
43
三,z反变换
z反变换是 z变换的 逆运算 。其目的是由象函数 求出所对应的采样脉冲序列
（或 ），记作 )(nTf
)(zF
)(tf?
)()]([ tfzF-1Z （ 8-35）
z反变换只能给出采样信号,
而不能给出连续信号 。
)(tf?
)(tf
注意
44
1 部分分式法
若象函数 是复变量 z的有理分式，且的极点 互异，则 可展成如下形式：
)(zF
),,2,1(,miez Tai izzF )(
上式两边同乘 z，再取 z反变换得
Ta
m
TaTa mez
K
ez
K
ez
K
z
zF
21
21)(
（ 8-36）
TamTaTa mez zKez zKez zKzF 1-1-1-1- ZZZZ?21 21)]([
（ 8-37）
nTamnTanTa meKeKeKnTf21 21)(
（ 8-38）
z
zF )(
45
例 8-6
已知 z变换函数
求其 z反变换。
))(1(
)(
Tezz
z
zF
46
解：
首先将 展成部分分式
Tez
K
z
K
z
zF
21
1
)(
Tz ezFz
zK
1
1)(1lim
11
z
zF )(
T
T
ez ezFz
ezK
T?
1 1)(lim2
TT ez zz zezF 11 1)(
nTT eenTf 11 1)(
0 )()1(1
1)(
k
kT
T kTteetf?
47
2 长除法
kk zfzffzF 110)(
对比式（ 8-29）可知
若 z变换函数 是复变量 z的有理函数，
则可将 展成 的无穷级数，即
)(zF
)(zF 1?z
,2,1,0,)( kfkTf k （ 8-40）
0
)()(
k
k kTtftf?
（ 8-41）
48
例 8-7
已知 z变换函数为
求其 z反变换。
)3)(2(
)(
zz
z
zF
49
( ) ( ) 5 ( 2 )
1 9 ( 3 ) 6 5 ( 4 )
f t t T t T
t T t T
解：
由
65165)( 1
1
2
z
z
zz
zzF
运用长除法得
4321 65195)( zzzzzF
由此得
,65)4(,19)3(,5)2(,1)(,0)0( TfTfTfTff
于是脉冲序列可以写成
50
3 留数计算法由 z变换的定义可知
0
)()(
k
kzkTfzF
dzzkTfdzzzF
k
kmm
0
11 )()(
dzzkTfdzzzF km
k
m 1
0
1 )()(
0
11 )()(
k
kmm zkTfzzF
（ 8-43）
51
设 的极点为,则1)(?kzzF niz
i,,2,1,
1)(?kzzF包围了 的所有极点
n
i
i
k zzzFr eskTf
1
1 ],)([)(
（ 8-48）
52
例 8-8
已知 z变换函数为
试用围线积分方法求 z反变换。
)2)(1(
10)(
zz
zzF
53
解：
上式有两个极点 和,且
)2)(1(
10)( 1
zz
zzzF kk
10)()1(lim]1,)([ 111 kzk zzFzzzFr e s
kk
z
k zzFzzzFr e s 210)()2(lim]2,)([ 1
2
1
)12(10)( kkTf
),2,1,0(k所以
11?z 22?z
54
四 初值定理和终值定理
1 初值定理：
设 的 z变换为,并且有极限存在，
则
)(kTf )(zF )(lim zF
z
)(l i m)0( zFf
z
（ 8-49 ）
55
2 终值定理：
设 的 z变换为,
且 的极点均在 z平面的单位圆内，则
)(kTf )(zF
)()1( 1 zFz
)()1(l i m)(l i m 1
0
zFzkTf
zk
（ 8-50）
56
五、用 z变换法解线性常系数差分方程
1 差分的定义
假设在图 8-1所示的采样系统中，模拟 — 数字转换器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值 记为 或,则 的一阶前项差分定义为
)(te )(kTe
ke )(ke ke
kkk eee 1
57
二阶前向差分定义为
n阶前向差分定义为
n阶后向差分定义为
)(2 kk ee kk ee 1
kkk eee 12 2
k
n
k
n
k
n eee 1
1
1?
1
11
k
n
k
n
k
n eee
58
8-4 脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的 z变换与输入采样信号的 z变换之比
)(
)()(
zR
zCzG? （ 8-59）
图 8-10
返回子目录
59
系统输出的采样信号为
)]()([)]([)( 11 zRzGZzCZtc
经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出 在采样时刻的瞬时值。
)(tc?
)(tc
60
二、开环脉冲传递函数
1．开环脉冲传递函数的推导
1( ) ( ) sjk t
k
r t r t eT?
1( ) ( )
s
k
R s R s jkT?
)()()( sRsGsC
61
0
)()(1
k
ss jksRjksGT
0
)(1)(
k
sjksCTsC?
)()(1
0
sRjksGT
k
s
)()( sRsG
0
)(1)(
k
sjksGTsG?
)()()( zRzGzC?
（ 8-66）由此
62
求该开环系统的脉冲传递函数 。
例 8-11
系统结构如图 8-10所示，其中连续部分的传递函数为
)11.0(
1
)(
ss
sG
)(zG
63
解：
连续部分的脉冲响应函数为
)0()1()( 10 tetg t
kTekTg 101)(
0
)()(
k
kzkTgzG
0
101
k
kkT ze
Tez
z
z
z
101 ))(1(
)1(
10
10
T
T
ezz
ez
脉冲传递函数为
64
或由 得)(sG
10
11)(
ss
sG
))(1(
)1(
1
)( 10
10
10 T
T
T ezz
ez
ez
z
z
zzG
查表得
65
2．串联环节的脉冲传递函数
（ 1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数图 8-11
)()]()([)( 2121 zGGsGsGZzG
（ 8-67）
66
例 8-12
系统结构如图 8-11所示，其中
求开环脉冲传递函数。
as
sG
1)(1
bs
sG
1)(2
67
解：
bsasab
sGsG 111)()( 21
12
( ) ( )
1 ( )
( ) ( )
aT bT
aT bT
G z G G z
z e e
b a z e z e
68
(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数
如图 8-12所示，其脉冲传递函数为各个连续环节 z变换的乘积，记为图 8-12 串联环节间有采样开关的开环系统
1 2 1 2( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )G z Z G s Z G s G z G z （ 8-68）
69
例 8-13
系统结构如图 8-12所示，其中
求开环脉冲传递函数。
12
11( ),( )G s G s
s a s b
70
解：
2
12( ) ( ) ( ) ( ) ( )a T b T
zG z G z G z
z e z e
所以由于 11
22
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
aT
bT
z
G z Z G s
ze
z
G z Z G s
ze
2 1 28 12 z G z G G z 1由 例 和 例 8-13 可 知,一 般 G （ ） （ ） （ ） 。
71
（ 3）有零阶保持器时的脉冲传递函数
开环脉冲传递函数为
)(1)( sG
s
eZzG Ts
TsesGsZsGsZ )(
1)(1
)(11)( 1 sG
sZzzG
图 8-13 带零阶保持器的开环采样系统
72
例 8-14
系统结构如图 8-13所示，其中
采样周期 s
求其开环脉冲传递函数。
)1(
)(
ss
KsG
1?T
73
解：
由于
所以
1
111)(1
2 sssKsGs
12
1
1)1(]1[)( ez
z
z
z
z
zzKzG
)368.0)(1(
)717.0(368.0
))(1(
)21(
1
11
zz
zK
ezz
ezeK
74
三、闭环脉冲传递函数图 8-14 闭环采样系统
75
采样开关的输入和系统的输出 分别为
)()()()()( sEsHsGsRsE
)()()( sEsGsC
)()()()( sEsGHERsE
)()()( sEsGsC
76
整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为
)(
)(1
)()( sR
sGH
sGsC?
)()(1 )()( zRzGH zGzC
)(1
)(
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
z
77
例 8-15
闭环采样系统的结构如图 8-14所示，
其中
采样周期 秒，
求闭环脉冲传递函数，
若,求 。
)1(
1)(
sssG
1)(?sH
1?T
)(1)( ttr? )(tc?
78
解：
对于阶跃输入函数有
)368.0)(1(
632.0)()(
zz
zzGHzG
3 6 8.07 3 7.0
6 3 2.0
)(
)(
2 zz
z
zR
zC
1
)(
z
zzR
79
则输出信号的 z变换为于是
)36 8.073 6.0)(1(
63 2.0)(
2
2
zzz
zzC
1 2 3
4 5 6
0,6 3 2 1,0 9 6 1,2 0 5
1,1 2 0 1,0 1 4 0,9 8
z z z
z z z
( ) 0,6 3 2 ( 1 ) 1,0 9 6 ( 2 ) 1,2 0 5 ( 3 )
1,1 2 0 ( 4 )
c t t t t
t
)6(98.0)5(0 1 4.1 tt
80
注意
有些闭环采样系统不可能求出 形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号 的表达式。如图
8-15所示的闭环采样系统
)(
)(
zR
zC
)(zC
（ 8-15）
81
8-5 采样系统的性能分析一、稳定性
1 从 s平面到 z平面的影射关系
Tsez?由 Z变换的定义 （ 8-80）
js若令
（ 8-81）
TjT eez
则有 （ 8-82）
返回子目录
82
左半 s平面上 的带称为主带，
其它称为 次带。
图 8-16 从 s平面到 z平面的影射
22
ss
83
2 Z域的稳定条件和稳定性判据
在 z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于 z平面的 单位圆 内。
设采样系统的闭环脉冲传递函数为
)(
)(
)(
)()(
zD
zM
zR
zCz
则闭环特征方程为
0)(?zD
（ 8-84）
84
(1) 朱利（ Jury）稳定判据且,根据特征方程的系数构造朱利阵列，
nn zazazaazD2210)(
0?na
则特征方程 0)(?zD 的根均位于单位圆内的充分必要条件为
0)1()1(,0)1( DD n
||||
||||
||||
||
20
20
10
0
cc
bb
aa
n
n
n
共（ n-1）个约束条件
（ 8-86）
（ 8-87）
85
例 8-16
已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。
325.175.0125.0)( zzzzD
0375.3)1()1(,0125.0)1( 3 DD
解：
86
0z 1z 2z 3z
朱利阵列行数
1 -0.125 0.75 -1.5 1
2 1 -1.5 0.75 -0.125
3 -0.98 1.41 -0.56
4 -0.56 1.41 -0.96
系统是稳定的30 || aa? |||| 20 bb?
87
(2) 劳 思 (Routh) 稳 定 判 据
在 分析连续系统 时，曾应用 Routh稳定判据判断系统的特征根位于 s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。
对于 采样系统,也可用 Routh判据分析其稳定性，但由于在 z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，
因此不能直接应用 Routh判据。
88
引入如下双线性变换此时可用 Routh判据判断采样系统的稳定性。
1
1
w
w
z
89
(3) z平面的根轨迹方法
以上述例 8-15所示的闭环采样系统为例，其特征方程为
0)(1 zG
)368.0)(1(
632.0)(
zz
KzzG
可知使系统稳定的最大 K
值为 4.33。
例 8-16的根轨迹图
90
二、闭环极点与瞬态响应之间的关系
设采样系统的 闭环传递函数 为
nn
nn
mm
mm
azazaza
bzbzbzbz
1
1
10
1
1
10)(
)())((
)())((
210
210
n
m
pzpzpza
zzzzzzb
)(
)(
zD
zM?
1)(
)()()()(
z
z
zD
zMzRzzC?
（ 8-91）
若输入信号为 单位阶跃,则
91
将 按部分分式展开，得
上式中第一项为 稳态分量,第二项为 瞬态分量,显然瞬态分量的变化规律取决于极点在 z平面中的位置。
n
k k
k
pz
zc
z
z
D
MzC
11)1(
)1()(
),2,1,0()1( )1()(
1
mpcDMmTc
n
k
m
kk
z
zC )(
92
图 8-18
不同极点所对应的瞬态响应
93
三、稳态误差图 8-19 单位负反馈采样系统
)()(1 1)( zRzGzE
（ 8-97）
)(tr在输入信号 作用下，误差的 z变换表达式为
94
1 当输入为阶跃函数时
)1/()( zzzR
)(lim 1 zGK zp
定义静态位置误差系数为
pz Kz
z
zG
ze
1
1
1)(1
1)1(lim)(
1
则根据终值定理，有
95
2 当输入是斜坡函数时
2)1/()( zTzzR
)()1(lim
1
zGzK
zv
定义静态速度误差系数为
vz K
T
z
Tz
zGze 21 )1()(1
1)1(lim)(
稳态误差为
96
3 当输入是等加速信号时
32 )1(2/)1()( zzzTzR
)()1(lim 21 zGzK za
定义静态加速度误差系数为
a
z K
T
z
zzT
zG
ze
2
3
2
1 )1(2
)1(
)(1
1)1(lim)(?
稳态误差为
97
例 8-17
已知采样系统的结构如图所示，其中，
，采样周期 s，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差。
)0(,5.01)1( 2 tttr
2
)15.0(2)(
s
ssG 2.0?T
图 8-21
98
解：
3
)15.0(21)(
s
sZ
z
zzG
3
2
2 )1(
)1(
)1(
1
z
zzT
z
Tz
z
z
2)1(
16.024.0
z
z
084.076.1)( 2 zzzD
采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为
99
008.0)1(D 06.3)1(D 184.0|| 20 aa
该采样系统稳定在 阶跃和斜坡函数 作用下的稳态误差为零静态 加速度误差系数 为
08.0)16.024.0(lim)()1(lim 121 zzGzK zza
5.0
08.0
04.000
1
1)( 2
avp K
T
K
T
K
e
25.01)( tttr因此，在输入 作用下的稳态误差为
100
8-6采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统闭环脉冲传递函数为
)()(1
)()()(
zDzG
zDzGz
图 8-21 含数字校正装置的采样系统返回子目录
101
系统的误差为
)()](1[)( zRzzE
11 )1(
)()(
qz
zBzR
其中 为 的有限次多项式，若能选择合适的,
使
)(zB 1?z )(zD
)()1()(1 11 zzz q
其中 为关于 的多项式，并且不含因子 。)(z? 1?z )1( 1z
0?t q设输入为时间的幂函数 At
q （ ），其中 为正整数，则
102
)()()1(lim)( 11 zBzze z则 稳态误差 为零。
11 )1(1)( qzz?
)(1
)(
)(
1)(
z
z
zGzD?
（ 8-109）
（ 8-110）
将 代入上式，便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数 。
)(z?
)(zD
1)(?z?
又为了使系统能在尽可能少的周期内实现对输入的完全跟踪，应使中 所含 项的数目最少，
为此应取
()z? 1z?
103
1 当 时
最少拍无差系统的闭环传递函数为
此时误差信号的 Z变换为
)(1)( ttr?
1)( zz?
1)(?zE
系统经过 1拍便可以完全跟踪上输入信号。
（ 8-111）
（ 8-112）
104
2 当 时
最少拍无差系统的闭环传递函数为
此时误差信号的 Z变换为
)(1)( tttr
系统经过 2拍便可以完全跟踪上输入信号。
212)( zzz?
1)( TzzE
（ 8-113）
（ 8-114）
105
3 当 时
最少拍无差系统的闭环传递函数为
此时误差信号的 Z变换为系统经过 3拍便可以完全跟踪上输入信号。
（ 8-115）
（ 8-116）
)(121)( 2 tttr
321 33)( zzzz?
2212
2
1
2
1)( zTzTzE
106
例 8-18
已知采样系统的结构如图所示，其中，
采样周期 s，,试设计使该系统在单位阶跃信号作用下为最少拍无差系统。
1?T )1( 1)( sssG
)(zD
图 8-21 最少拍无差系统
107
1
21)(
k
kzzzzC?
)3 68.0)(1(
2 64.03 68.0
)1(
1)1()(
2
1
zz z
ss
ZzzG
解：
将上式求 Z反变换可得输出序列
264.0368.0
368.0)(
z
zzD
108
本章主要知识点与主要线索稳态误差根轨迹开环脉冲传递函数 ()e
闭环零,极点系统稳定性,品质系统型别
(稳定系统 )
劳斯判据双线性变换终值定理
()z?
()e z? ()Ez
特征式
D(z)
()Dw 稳定性一定条件下长除法部分分式分解求留数朱利判据闭环零,极点稳定性平稳性,
快速性()Cz
()ct? ()ct
