1
第五章频率域方法
2
第 5章 频域分析法基本要求
5－ 1 频率特性
5－ 2 典型环节的频率特性
5－ 3 系统的开环频率特性
5－ 4 频率稳定判据
5－ 5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系
5－ 6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系返回主目录
3
基本要求
1,正确理解频率特性的概念。
2,熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。
3,熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4,熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。
返回子目录
4
5,熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。
6,熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
7,理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。
8,理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。
5
一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
5－ 1 频率特性
( ) s i nrr t A t
输入信号：
22
)(
s
A
sR
其拉氏变换式返回子目录
6
输出
1
()
n
i
i i
C BDCs
s s s j s j
1
( ) ( )
( ) ( )
i
n
st j t j t
i
i
ts
c t C e D e B e
c t c t
拉氏反变换得
[ ( ) ]
2()
2
jj
r
j Ae
22
( ) ( )
()
2
r
sj
r
A
D s s j
s
A
j
j
其中
7
同理
B [ ( ) ]2()
2
jj
r
j Ae
将 B,D代入（ 5－ 5）则
[ ( ) ] [ ( ) ]
22()( ) (
2
j t j j t j
sr
jc t A e e
( ) c o s ( ( ) )
2r
j A t j
( ) s in ( ( ) )rj A t j
)s in ( tA c （ 5－ 6）
8
式中
()crA j A
()j
从式（ 5－ 6）看出，线性定常系统，
在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。
9
二、频率特性的定义线性定常系统，在正弦信号作用下，
输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的 频率特性 （即为幅相频率特性，简称复相特性）。
()( ) | ( ) | ( ) | jj
sjs j j e
频率特性表达式为
10
例子 以 RC网络为例
其传递函数
11)()( TjsGjG js
1
1)(
TssG
)(t a n
2
1
1)(
1?
Tje
T
11)()( TjsGjG js
频率特性
11
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
)()()( jGjGjG
)()( jeA
0:?
~)(A
~)(
=
，
为系统的 幅频特性 。
为系统的 相频特性。
12
图 5－ 2
RC网络的幅频特性和相频特性
13
图 5－ 3 RC网络的幅相特性曲线
14
2。对数频率特性
对数频率特性曲线又称伯德（ Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线
( ) 2 0 l g ( ) ~ ( l g )LA
对数幅频特性,
( ) ~ ( l g )
对数相频特性,
15
图 5－ 4 对数坐标刻度图
16
注意
– 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；
横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。
—— 这种坐标系称为半对数坐标系。
– 在横轴上，对应于频率每增大 10倍的范围，称为十倍频程 (dec)，如 1-10,5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。
– 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，
即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。
17
0)( jeKKjG
5－ 2 典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）
KA?)(?
KL lg20)(
0)(
幅频特性相频特性对数幅相特性返回子目录
18
图 5－ 5 比例环节的频率特性曲线
19
二、积分环节
21)(
jejG
幅相特性
s
sG 1)(?
传递函数相频特性是一常值
2
20
图 5－ 6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
21
对数频率特性图 5－ 7
22
三、惯性环节（一阶系统）
1
1)(
Ts
sG
传递函数
Tje
TTj
jG
1t a n
2 1)(
1
1
1
)(
幅相特性
23
图 5－ 8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
24
对数频率特性
1
1lg20
22?
T
AL
1lg20 22T
TG 1t a n
当
,1T?
0L
当,1T?
TL lg20
25
图 5－ 9 惯性环节的对数频率特性曲线
26
四、振荡环节（二阶系统）
22
2
2
)(
nn
n
ss
sG
传递函数
2
22
2
22
()
( ) 2
( ) 2
n
nn
n
nn
Gj
jj
j
频率特性
27
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
2
2 2 2 2
2
22
()
( ) ( 2 )
1
12
n
nn
nn
A
2
1
1
2
t an)(
n
n
28
图 5－ 11 谐振频率
212mn
谐振峰值
2
1()
21mm
A?
29
图 5－ 12 振荡环节的幅相特性 图 5－ 13 振荡环节的对数幅频渐进特性
30
2.对数频率特性
31
五、微分环节
ssG?)(
2)(
j
ejjG
图 5－ 15
32
六、一阶微分环节
1)( ssG?
1t a n2 1)(1)( jejjG
图 5－ 16
33
七、二阶微分环节
12)(
2
nn
sssG
12)(
2
nn
jjjG
nn
j
21
2
2
222
21)()(
nn
jGA
34
2
1
1
2
t an)()(
n
njG
图 5－ 17 二阶微分环节的对数频率特性
35
))(t a n(
2
1
1)(
1
1
1
)(
Tje
TTj
jG
八、一阶不稳定环节
1
1)(
TssG
图 5－ 18
36
非最小相位环节
定义：传递函数中有右极点、右零点的环节
（或系统），称为 非最小相位环节 （或系统）。
由图 5－ 18看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故 一阶不稳定环节又称非最小相位环节 。
37
九、延迟环节
se
sR
sCsG
1A
jG
0L
延迟环节输入输出关系为c t r t
38
39
返回子目录
5－ 3 系统的开环频率特性
一、开环幅相特性曲线
设系统开环传递函数由若干典型环节串联
1 2 3G s G s G s G s?
3
1
3 ( ( ) )
1
()
i
i
j G j
i
i
G j G j e
开环频率特性
40
系统开环幅频与相频分别为
3
1
()i
i
A G j G j
1 2 3
3
3
1
1
2 0 l g ( )
2 0 l g ( ) 2 0 l g ( )
ii
i
i
L G j
G j G j
41
1、开环幅相特性曲线
（ 1）当
n
i i sT
K
sG
1 1
系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图 5－ 20 系统开环幅相特性曲线时，
42
（ 2）当
n
i
i
m
i
i
sT
sK
sG
1
1
1
1?
图 5－ 21 取 m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸时，
43
（ 3）当
1 Tss
K
sG?
图 5－ 22 含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。
时，
44
2.系统开环幅相的特点
① 当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。
② 当频率 ω→ ∞ 时，若 n>m,G(j ω)|=0
相角为 (m-n)π/2。
③ 若 G(s) 中分子含有 s因子环节，其 G(jω)
曲线随 ω变化时发生弯曲。
④ G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。
45
二、开环对数频率特性曲线的绘制
4321
系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。
系统开环对数幅频与对数相频表达式为
4 4
11
20 l g ( ) 20 l g ( ) 20 l g ( )ii
ii
L G j G j G j
46
例 5－ 1
绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。
)1)(11.0(
10)(
ss
sG
解：
1
1
11.0
110
)1)(11.0(
10)(
ssss
sG
系统开环传递函数
47
开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。
48
例 5－ 2
)15.0(105.0 111110)20)(1( )2(100)( sssssss ssG
(0.5 1)s?5
101
1
s
2
1
1s?
3
1
0.05 1s?
4
五个基本环节
49
绘制开环系统的波特图
–将写成典型环节之积；
–找出各环节的转角频率；
–画出各环节的渐近线；
–在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；
–将各环节曲线相加即得波特图。
一般规则：
50
5－ 4 频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据图 5－ 17 反馈控制系统
sN
sMsG
1
1?
sN
sMsH
2
2?
返回子目录
51
开环传递函数
sNsN
sMsMsHsG
21
21?
闭环传递函数
12
1 2 1 2
( ) ( )()()
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M s N sGss
G s H s N s N s M s M s
sNsN
sMsMsNsNsHsGsF
21
21211
令
52
将 F(s)写成零、极点形式，则
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sF
1
1
辅助函数 F(s)具有如下特点：
① 其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。
② 其零点的个数与极点的个数相同。
③ 辅助函数与系统开环传递函数只差常数 1。
53
1.幅角原理
如果封闭曲线 内有 Z个 F(s)的零点，有 P个 F(s)的极点，则 s依顺时针转一圈时，在 F(s)平面上，
F(s)曲线绕原点反时针转的圈数 R为
P和 Z之差，即 R＝ P－ Z
s?
s?
若 R为负,表示 F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。
54
)(sF?
F?
j
1z 2z
iz
1?iz
1p
izs?
s
A
Bj
s?
F?
n
i
i
n
i
i pszssF
11
2 sF
由
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sF
1
1
55
2.奈式判据若开环传函 在 s的右半平面有 p个极点，则为了使闭环系统稳定，当 从 变化时，
的轨迹必反时针包围 GH
平面上的 点 次。即
)()( sHsG
~
)()( jHjG
)01( j pN?
0 Npz
56
s— 闭环传递函数在 s右半平面的极点数。（ 的零点数）
p— 开环传函在 s右半平面的极点数。
N— 绕 点逆时针转的次数。
若为顺时针转则应为
)()( jHjG )01( j
Npz
)(sF
57
例 5－ 6
已知系统开环传递函数试应用奈氏判据判别 K=0.5和
K=2时的闭环系统稳定性。
1
)(
s
K
sG
58
分别作出 K=0.5和 K=2时开环幅相特性曲线
K=0.5时，闭环系统不稳定。
K=2时，闭环系统稳定。
图 5－ 32 系统开环幅相特性曲线
59
二、对数频率稳定判据
若开环系统稳定（ p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内,正负穿越 线的次数差为 0。
dBL 0)(
)(180
注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内,相频特性曲线由下 （ 上 ） 往上 （ 下 ） 穿过负 1800线为正 （ 负 ） 穿越 。 N+（ N-） 为正 （ 负 ） 穿越次数,
从负 1800线开始往上 （ 下 ） 称为半个正 （ 负 ） 穿越 。
60
图 5－ 34 幅相曲线（ a)及对应的对数频率特性曲线 (b)
61
系统闭环稳定的条件是：
在开环对数幅频 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之差为 。即为系统开环传递函数位于 右半平面的极点数。
2 0 lg ( ) 0Gj
/2P
/2N N P
P s
62
例 5－ 8
已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。
)11.0(
10
)()(
ss
sHsG
63
解,绘制系统开环对数频率特性如图。
由开环传递函数可知 P=0。
图 5－ 35
所以闭环稳定
00
2
N N N
P
64
例 5－ 10
已知系统开环传递函数
试用对数判据判别闭环稳定性。
)1002(
300
)()( 2
sss
sHsG
65
解,绘制系统开环对数频率特性如图
图 5－ 37
66
在 处振荡环节的对数幅频值为
n
12 0 l g 2 0 l g 2 0,1 1 4
2
dB
闭环不稳定。
2 0 2 ( 1 ) 2Z P N
闭环特征方程的正根数为
67
三、稳定裕度
—— 衡量闭环系统稳定程度的指标。
相位裕度?
极坐标图 1)()( jHjG 的矢量与负实轴的夹角。
0lg20?GH
)(
即对数坐标图上 处与 的差
0
系统稳定（对最小相 位系统）
68
对数图上 时的
11
1
( ) ( )
h
G j H j
180)( )(
gL
0)(?dBK g 系统稳定（对最小相位系统）
)()(180 cc jHjG
模稳定裕度：
69
图 5－ 39 相稳定裕度和模稳定裕度
70
一般要求
2 0 l o g 6h d B?
2h?
40pm
71
5－ 5
系统闭环频率特性与阶跃响应的关系
图示单位反馈系统的闭环传递函数为
()()
1 ( )
Gss
Gs
()()
1 ( )
Gjj
Gj
图 5－ 40
返回子目录
72
图 5－ 41
由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性
73
一、等 M圆图和等 N圆图
根据开环幅相曲线，应用等 M圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等 N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。
() ()( ) ( )
1 ( )
j Gjj M e
Gj
22
22
)1(11 vu
vu
jvu
jvu
G
G
M
74
2 22
2
2211
MMuv
MM
令 M为常数，
得到等
M圆图
75
22
2 21 1
Gj u u v jv
j
Gj uv
22
vuu
vtgN
因此
2
222
4
1
2
1
2
1
N
N
N
vu
76
令 N为零，得到等 N
圆图
77
二、尼科尔斯图（ N.b.Nichols)
如果将开环频率特性表示为
jeAjG?
j
j
j
eA
eA
eM
1
则
78
s in
2 0 l g 2 0 l g
s in
A
1
1c o sc o slg20lg20
2
22
M
MA
做变换得由等 M线和等 线组成的图，称为尼科尔斯图。 如图 5－ 45所示。
79
图 5－ 45
尼科尔斯图
80
三、利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算。
图 5－ 48 闭环幅频特性曲线
81
定性分析
b?
mM
b?
()M?
(0)M① 零频的幅值 反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。
② 谐振峰值 反映系统的平稳性。
③ 带宽频率 反映系统的快速性。
④ 闭环幅频 在 处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。
82
§ 5－ 6
开环频率特性与系统阶跃响应的关系图 5－ 51 系统开环对数幅频渐近特性曲线返回子目录
83
低频段 通常是指 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。
一、低频段
2 0 lg | ( ) |Gj?
84
二、中频段
中频段 特性集中反映了系统的平稳性和快速性。
图 5－ 53
85
三、高频段系统开环对数幅频在 高频段 的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。
三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。
86
重点掌握
① 频率特性的定义及系统在正弦信号 作用下的稳态输出。
② 绘制频率特性图（ Nyquist 图和
Bode图）。
③ 根据 Bode图求传递函数。
87
本章知识点及主要线索部件闭环系统稳定性开环
,h?
()
20 lg ( )
()
Gj
Gj
Gj
对数判据
,p?
乃氏判据
,p?
()M?
,,,,cKh
b0r ω,M,M
尼科尔斯图三频段定性闭环幅频特性 0 0,s sste?
第五章频率域方法
2
第 5章 频域分析法基本要求
5－ 1 频率特性
5－ 2 典型环节的频率特性
5－ 3 系统的开环频率特性
5－ 4 频率稳定判据
5－ 5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系
5－ 6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系返回主目录
3
基本要求
1,正确理解频率特性的概念。
2,熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。
3,熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4,熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。
返回子目录
4
5,熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。
6,熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
7,理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。
8,理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。
5
一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
5－ 1 频率特性
( ) s i nrr t A t
输入信号：
22
)(
s
A
sR
其拉氏变换式返回子目录
6
输出
1
()
n
i
i i
C BDCs
s s s j s j
1
( ) ( )
( ) ( )
i
n
st j t j t
i
i
ts
c t C e D e B e
c t c t
拉氏反变换得
[ ( ) ]
2()
2
jj
r
j Ae
22
( ) ( )
()
2
r
sj
r
A
D s s j
s
A
j
j
其中
7
同理
B [ ( ) ]2()
2
jj
r
j Ae
将 B,D代入（ 5－ 5）则
[ ( ) ] [ ( ) ]
22()( ) (
2
j t j j t j
sr
jc t A e e
( ) c o s ( ( ) )
2r
j A t j
( ) s in ( ( ) )rj A t j
)s in ( tA c （ 5－ 6）
8
式中
()crA j A
()j
从式（ 5－ 6）看出，线性定常系统，
在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。
9
二、频率特性的定义线性定常系统，在正弦信号作用下，
输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的 频率特性 （即为幅相频率特性，简称复相特性）。
()( ) | ( ) | ( ) | jj
sjs j j e
频率特性表达式为
10
例子 以 RC网络为例
其传递函数
11)()( TjsGjG js
1
1)(
TssG
)(t a n
2
1
1)(
1?
Tje
T
11)()( TjsGjG js
频率特性
11
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
)()()( jGjGjG
)()( jeA
0:?
~)(A
~)(
=
，
为系统的 幅频特性 。
为系统的 相频特性。
12
图 5－ 2
RC网络的幅频特性和相频特性
13
图 5－ 3 RC网络的幅相特性曲线
14
2。对数频率特性
对数频率特性曲线又称伯德（ Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线
( ) 2 0 l g ( ) ~ ( l g )LA
对数幅频特性,
( ) ~ ( l g )
对数相频特性,
15
图 5－ 4 对数坐标刻度图
16
注意
– 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；
横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。
—— 这种坐标系称为半对数坐标系。
– 在横轴上，对应于频率每增大 10倍的范围，称为十倍频程 (dec)，如 1-10,5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。
– 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，
即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。
17
0)( jeKKjG
5－ 2 典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）
KA?)(?
KL lg20)(
0)(
幅频特性相频特性对数幅相特性返回子目录
18
图 5－ 5 比例环节的频率特性曲线
19
二、积分环节
21)(
jejG
幅相特性
s
sG 1)(?
传递函数相频特性是一常值
2
20
图 5－ 6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
21
对数频率特性图 5－ 7
22
三、惯性环节（一阶系统）
1
1)(
Ts
sG
传递函数
Tje
TTj
jG
1t a n
2 1)(
1
1
1
)(
幅相特性
23
图 5－ 8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
24
对数频率特性
1
1lg20
22?
T
AL
1lg20 22T
TG 1t a n
当
,1T?
0L
当,1T?
TL lg20
25
图 5－ 9 惯性环节的对数频率特性曲线
26
四、振荡环节（二阶系统）
22
2
2
)(
nn
n
ss
sG
传递函数
2
22
2
22
()
( ) 2
( ) 2
n
nn
n
nn
Gj
jj
j
频率特性
27
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
2
2 2 2 2
2
22
()
( ) ( 2 )
1
12
n
nn
nn
A
2
1
1
2
t an)(
n
n
28
图 5－ 11 谐振频率
212mn
谐振峰值
2
1()
21mm
A?
29
图 5－ 12 振荡环节的幅相特性 图 5－ 13 振荡环节的对数幅频渐进特性
30
2.对数频率特性
31
五、微分环节
ssG?)(
2)(
j
ejjG
图 5－ 15
32
六、一阶微分环节
1)( ssG?
1t a n2 1)(1)( jejjG
图 5－ 16
33
七、二阶微分环节
12)(
2
nn
sssG
12)(
2
nn
jjjG
nn
j
21
2
2
222
21)()(
nn
jGA
34
2
1
1
2
t an)()(
n
njG
图 5－ 17 二阶微分环节的对数频率特性
35
))(t a n(
2
1
1)(
1
1
1
)(
Tje
TTj
jG
八、一阶不稳定环节
1
1)(
TssG
图 5－ 18
36
非最小相位环节
定义：传递函数中有右极点、右零点的环节
（或系统），称为 非最小相位环节 （或系统）。
由图 5－ 18看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故 一阶不稳定环节又称非最小相位环节 。
37
九、延迟环节
se
sR
sCsG
1A
jG
0L
延迟环节输入输出关系为c t r t
38
39
返回子目录
5－ 3 系统的开环频率特性
一、开环幅相特性曲线
设系统开环传递函数由若干典型环节串联
1 2 3G s G s G s G s?
3
1
3 ( ( ) )
1
()
i
i
j G j
i
i
G j G j e
开环频率特性
40
系统开环幅频与相频分别为
3
1
()i
i
A G j G j
1 2 3
3
3
1
1
2 0 l g ( )
2 0 l g ( ) 2 0 l g ( )
ii
i
i
L G j
G j G j
41
1、开环幅相特性曲线
（ 1）当
n
i i sT
K
sG
1 1
系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图 5－ 20 系统开环幅相特性曲线时，
42
（ 2）当
n
i
i
m
i
i
sT
sK
sG
1
1
1
1?
图 5－ 21 取 m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸时，
43
（ 3）当
1 Tss
K
sG?
图 5－ 22 含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。
时，
44
2.系统开环幅相的特点
① 当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。
② 当频率 ω→ ∞ 时，若 n>m,G(j ω)|=0
相角为 (m-n)π/2。
③ 若 G(s) 中分子含有 s因子环节，其 G(jω)
曲线随 ω变化时发生弯曲。
④ G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。
45
二、开环对数频率特性曲线的绘制
4321
系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。
系统开环对数幅频与对数相频表达式为
4 4
11
20 l g ( ) 20 l g ( ) 20 l g ( )ii
ii
L G j G j G j
46
例 5－ 1
绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。
)1)(11.0(
10)(
ss
sG
解：
1
1
11.0
110
)1)(11.0(
10)(
ssss
sG
系统开环传递函数
47
开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。
48
例 5－ 2
)15.0(105.0 111110)20)(1( )2(100)( sssssss ssG
(0.5 1)s?5
101
1
s
2
1
1s?
3
1
0.05 1s?
4
五个基本环节
49
绘制开环系统的波特图
–将写成典型环节之积；
–找出各环节的转角频率；
–画出各环节的渐近线；
–在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；
–将各环节曲线相加即得波特图。
一般规则：
50
5－ 4 频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据图 5－ 17 反馈控制系统
sN
sMsG
1
1?
sN
sMsH
2
2?
返回子目录
51
开环传递函数
sNsN
sMsMsHsG
21
21?
闭环传递函数
12
1 2 1 2
( ) ( )()()
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M s N sGss
G s H s N s N s M s M s
sNsN
sMsMsNsNsHsGsF
21
21211
令
52
将 F(s)写成零、极点形式，则
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sF
1
1
辅助函数 F(s)具有如下特点：
① 其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。
② 其零点的个数与极点的个数相同。
③ 辅助函数与系统开环传递函数只差常数 1。
53
1.幅角原理
如果封闭曲线 内有 Z个 F(s)的零点，有 P个 F(s)的极点，则 s依顺时针转一圈时，在 F(s)平面上，
F(s)曲线绕原点反时针转的圈数 R为
P和 Z之差，即 R＝ P－ Z
s?
s?
若 R为负,表示 F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。
54
)(sF?
F?
j
1z 2z
iz
1?iz
1p
izs?
s
A
Bj
s?
F?
n
i
i
n
i
i pszssF
11
2 sF
由
n
i
i
n
i
i
ps
zs
sF
1
1
55
2.奈式判据若开环传函 在 s的右半平面有 p个极点，则为了使闭环系统稳定，当 从 变化时，
的轨迹必反时针包围 GH
平面上的 点 次。即
)()( sHsG
~
)()( jHjG
)01( j pN?
0 Npz
56
s— 闭环传递函数在 s右半平面的极点数。（ 的零点数）
p— 开环传函在 s右半平面的极点数。
N— 绕 点逆时针转的次数。
若为顺时针转则应为
)()( jHjG )01( j
Npz
)(sF
57
例 5－ 6
已知系统开环传递函数试应用奈氏判据判别 K=0.5和
K=2时的闭环系统稳定性。
1
)(
s
K
sG
58
分别作出 K=0.5和 K=2时开环幅相特性曲线
K=0.5时，闭环系统不稳定。
K=2时，闭环系统稳定。
图 5－ 32 系统开环幅相特性曲线
59
二、对数频率稳定判据
若开环系统稳定（ p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内,正负穿越 线的次数差为 0。
dBL 0)(
)(180
注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内,相频特性曲线由下 （ 上 ） 往上 （ 下 ） 穿过负 1800线为正 （ 负 ） 穿越 。 N+（ N-） 为正 （ 负 ） 穿越次数,
从负 1800线开始往上 （ 下 ） 称为半个正 （ 负 ） 穿越 。
60
图 5－ 34 幅相曲线（ a)及对应的对数频率特性曲线 (b)
61
系统闭环稳定的条件是：
在开环对数幅频 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之差为 。即为系统开环传递函数位于 右半平面的极点数。
2 0 lg ( ) 0Gj
/2P
/2N N P
P s
62
例 5－ 8
已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。
)11.0(
10
)()(
ss
sHsG
63
解,绘制系统开环对数频率特性如图。
由开环传递函数可知 P=0。
图 5－ 35
所以闭环稳定
00
2
N N N
P
64
例 5－ 10
已知系统开环传递函数
试用对数判据判别闭环稳定性。
)1002(
300
)()( 2
sss
sHsG
65
解,绘制系统开环对数频率特性如图
图 5－ 37
66
在 处振荡环节的对数幅频值为
n
12 0 l g 2 0 l g 2 0,1 1 4
2
dB
闭环不稳定。
2 0 2 ( 1 ) 2Z P N
闭环特征方程的正根数为
67
三、稳定裕度
—— 衡量闭环系统稳定程度的指标。
相位裕度?
极坐标图 1)()( jHjG 的矢量与负实轴的夹角。
0lg20?GH
)(
即对数坐标图上 处与 的差
0
系统稳定（对最小相 位系统）
68
对数图上 时的
11
1
( ) ( )
h
G j H j
180)( )(
gL
0)(?dBK g 系统稳定（对最小相位系统）
)()(180 cc jHjG
模稳定裕度：
69
图 5－ 39 相稳定裕度和模稳定裕度
70
一般要求
2 0 l o g 6h d B?
2h?
40pm
71
5－ 5
系统闭环频率特性与阶跃响应的关系
图示单位反馈系统的闭环传递函数为
()()
1 ( )
Gss
Gs
()()
1 ( )
Gjj
Gj
图 5－ 40
返回子目录
72
图 5－ 41
由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性
73
一、等 M圆图和等 N圆图
根据开环幅相曲线，应用等 M圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等 N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。
() ()( ) ( )
1 ( )
j Gjj M e
Gj
22
22
)1(11 vu
vu
jvu
jvu
G
G
M
74
2 22
2
2211
MMuv
MM
令 M为常数，
得到等
M圆图
75
22
2 21 1
Gj u u v jv
j
Gj uv
22
vuu
vtgN
因此
2
222
4
1
2
1
2
1
N
N
N
vu
76
令 N为零，得到等 N
圆图
77
二、尼科尔斯图（ N.b.Nichols)
如果将开环频率特性表示为
jeAjG?
j
j
j
eA
eA
eM
1
则
78
s in
2 0 l g 2 0 l g
s in
A
1
1c o sc o slg20lg20
2
22
M
MA
做变换得由等 M线和等 线组成的图，称为尼科尔斯图。 如图 5－ 45所示。
79
图 5－ 45
尼科尔斯图
80
三、利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算。
图 5－ 48 闭环幅频特性曲线
81
定性分析
b?
mM
b?
()M?
(0)M① 零频的幅值 反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。
② 谐振峰值 反映系统的平稳性。
③ 带宽频率 反映系统的快速性。
④ 闭环幅频 在 处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。
82
§ 5－ 6
开环频率特性与系统阶跃响应的关系图 5－ 51 系统开环对数幅频渐近特性曲线返回子目录
83
低频段 通常是指 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。
一、低频段
2 0 lg | ( ) |Gj?
84
二、中频段
中频段 特性集中反映了系统的平稳性和快速性。
图 5－ 53
85
三、高频段系统开环对数幅频在 高频段 的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。
三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。
86
重点掌握
① 频率特性的定义及系统在正弦信号 作用下的稳态输出。
② 绘制频率特性图（ Nyquist 图和
Bode图）。
③ 根据 Bode图求传递函数。
87
本章知识点及主要线索部件闭环系统稳定性开环
,h?
()
20 lg ( )
()
Gj
Gj
Gj
对数判据
,p?
乃氏判据
,p?
()M?
,,,,cKh
b0r ω,M,M
尼科尔斯图三频段定性闭环幅频特性 0 0,s sste?
