第十二章动量矩定理
§ 12－ 0 引言
oxF
oyF
F
o
A
均质轮受外力作用而绕其质心 O作定轴转动，它有角速度和角加速度，但对于轮的动量为：
0 OC vmvmP
0 FFFF
oyox
e
R
外力的矢量和为：
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动是的运动。
xyvmxyr
x
y
z
o
vm
vmM Z
θ
rvmM O
§ 12－ 1 动量矩一、质点的动量矩动量矩：动量对某点（轴）之矩。
1、质点对某点之矩,质点在某瞬时的动量对 O点之矩定义为质点在某瞬时对点 O的动量矩。
A
vmrvmM O)(
质点 A对点 O的动量矩：
质点 A对 Z轴的动量矩：
xyzOz vmrvmMvmM xy )()]([)(
方向,是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，
若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。
或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。
)( vmM z
单位：
大小：
smkg 2?
二、质点系动量矩
1、对点的动量矩,)(
1 iiO
n
iO
vmML
2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：
)( iizz vmML
3、刚体的动量矩
（ 1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。
COCiiiiOO vmMvrmvmML )(
对点的：
对轴的,
Czz vmML?
（ 2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩：
ii rv
ziiiizz JrmvmML 2
zJ 定轴转动刚体对 z轴的转动惯量
（ 3）平面运动刚体的动量矩平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一固定轴的动量矩为：
CCzz JmvML
即：其对 z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴的动量矩之和。
§ 12－ 2 动量矩定理一、质点的动量矩定理设有质点 A，受外力作用，
由牛顿第二定律：
x
y
z
o
vm
r
F
F
dt
vd
m
a
dt
vd
Fam
且在等式两边同时叉乘矢径 r
Fr)v(mtr dd
0
d
d
d
d
d
d
d
d
vmvvm
t
r
vm
t
r
vmr
t
)v(m
t
r左式：
其中：
FMFr O
vmM
t
)vmr(
t
Fr)vmr(
t
O
d
d
d
d
d
d
其中：
vmM O
FMO
x
y
z
o
vm
r
F
FMvmMt OO dd
－－质点对点的动量矩定理即：质点对任一点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该点之矩。
上式向坐标轴投影后得：
FMmvMt ZZ?dd
即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该轴之矩。
－－质点对轴的动量矩定理二、质点系的动量矩定理质点系中某质点对固定点的动量矩定理为：
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiOdd
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiO dd
质点系对固定点的动量矩定理为：
0 )F(M ( i )iO
其中：
t
L)v(mM
t
)v(mM
t
O
iiOiiO d
d
d
d
d
d
e
iO
O FM
t
L
d
d
－－质点系对固定点的动量矩定理即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的：
)F(M
t
L ( e )
iz
z
d
d
－－质点系对固定轴的动量矩定理即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
CLFM
O
e
O 0
若,则 （常矢量）
CLFM
z
e
z 0
若,则 （常量）
§ 12－ 3 刚体的转动惯量刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的矢径大小平方的乘积之和。
2
1 ii
n
iz
rmJ
单位,2mkg?
一、简单形状刚体的转动惯量
1、均质杆对质心轴的转动惯量
22
0
2
12
12 mlx
l
mxJ l
z d
单位长度的质量为：
xlmm dd?
dxx
l
z
C
x
2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量单位弧长的质量为,Rm?2
Rz sRmRJ20 2 d2
取微弧长为,?dRsd
22
0
2
2 mRRR
mR
d
Z
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：
rrR mrrRmm d2d2d 22
dr
y
xr R
rrR mrmJ z d2dd 322
smRrrR mrmJ Rz 2
0
3
2
2
2
1d2d
2
4
1
2
1 mRJJJ
zyx
另外：
二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量平行移轴定理：
2mdJJ
zcz
即：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对过其质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。
2l C
O
z? z
x
例 1：求均质细直杆对过其端点 O的轴的转动惯量。
2mdJJ
zcz
2
12
1 mlJ
ZC?
2
2
2
3
1
2
1
12
1 mlmmlJ
z
例 2：求钟摆对过点 O的轴的转动惯量。
解：
解,杆对过点对过点 O的轴的转动惯量：
2
3
1
1 mlJ O?
21 OOO JJJ
圆盘对过其质心轴的转动惯量：
2
2
1 mRJ
c?
22212 RlmmRJ O
杆对过点对过点 O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：
C
O
l
R2
mg
mg
222 2131 RlmmRml
§ 12－ 4 质点系相对质心的动量矩定理本节主要研究：当选择质心作为动量矩和力矩的矩心世，质心的运动对动量矩的影响。
iCi rr
irCi vvv
－－－（ 1）
－－－（ 2） o
z
y
x
i?
A
Cr
ir
C
Cv
ce vv?
iv
irv
o
z
y
x
i?
A
Cr
ir
C
Cv
ce vv?
iv
irv
1、质点系相对固定点运动的动量矩
iiiiiOO vmrvmML －－－（ 3）
2、质点系相对定坐标系的运动（绝对运动）的对质心的动量矩
iiiiiCC vmvmML－－－（ 4）
3、质点系相对质心的运动（相对运动）对质心的动量矩
iriiiriCCr vmvmML－－－（ 5）
将（ 2）式代入（ 4）得：
irCiiiiCC vvmvmML
iriiCiiC vmvmL
0
0
Cii
C
mm
CririiC LvmL
－－－－（ 6）
将（ 1）式代入（ 3）得：
iiiiiCiiiCO vmvmrvmrL
CCCO LvmrL
－－－－（ 7）
CrCCO LvmrL
将（ 7）式代入（ 6）得：
CC vmr?
CrL
－－质点系质心的动量对固定点的动量矩
－－质点系相对质心的运动（相对运动）对质心点的动量矩
－－－－（ 8）
CriCCOO vmMvmML
则第（ 8）式可写为如下格式：
即：质点系对于固定点的动量矩，等于质点系质心动量对该点的动量矩，与质点系相对质心的运动对质心动量矩的矢量和。
e
iO
O FM
t
L
d
d由动量矩定理：
CCCC
CrO amrvmv
t
L
t
L
d
d
d
d
左边：
右边：
e
iC
e
iC
e
iO FrFMFM
ei
C
Cr FM
t
L
d
d
－－质点系相对质心的动量矩定理即：质点系在相对质心作平动的坐标系的运动中，相对质心的动量矩对时间的导数，等于质点系上所有外力对质心之矩的矢量和。
§ 12－ 5 刚体的运动微分方程对转动轴的动量矩为：
zz JL?
动量矩定理：
)F(MJttL ( e )izzzdddd
)F(MJ
)F(MJ
( e )
izz
( e )
izz
且
－－刚体定轴转动时的运动微分方程一、定轴转动刚体的运动微分方程二、平面运动刚体的运动微分方程
ei
CC
Cr FMJ
t
L
d
d
刚体相对质心轴的动量矩定理为
eiC Fam
刚体质心运动的运动微分方程为
－－－－（ 2）
－－－－（ 1）
（ 1）、（ 2）式共同成为刚体平面运动的运动微分方程为例 1：单摆将质量为 m的小球用长为的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴 O在铅直平面内摆动。
线自重不计且不可伸长，摆线由偏角 时从静止开始释放，求单摆的运动规律。 0
C
O
l
mg
0?
解,将小球视为质点。其速度为 且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为
lv?
v
2mllmlmvm o
oTm o?
T
s inm g lFm o
注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。
根据动量矩定理，有
s in2 m g lmltxdd
即
0s in
l
g —— （ 1）
sin 并令
l
g
n?
2?
02 n
则（ 1）式化为解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当 t=0时
0 00
tn c o s0
由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为
g
l
T
n
2
2
解,轴 Ⅰ 与轴 Ⅱ 的定轴转动微分方程分别为例 2：双轴传动系统中，传动轴 Ⅰ 与 Ⅱ 对各自转轴的转动惯量为 与,两齿轮的节圆半径分别为 与,齿数分别为 与,在轴 Ⅰ 上作用有主动力矩,在轴 Ⅱ 上作用有阻力矩,如图所示。求轴 Ⅰ 的角加速度。
1J 1R
1z 1M2z
2J
2M
2R
2M
1M
I
2z
1z
II
1111 RPMJ 2222 RPMJ
1
2
2
1
1
2
z
z
R
Ri
传动比为：
联立上述三式得：
2
21
21
1 iJJ
iMM
例 3：质量为 m半径为 R的均质圆轮置放在倾角为 的斜面上，
在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为,,不计滚动摩阻。试分析轮的运动。
f f?
y
x
R
Ca
F
N
mg
解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有
Fmgma cs in
Nmgc os0
FRJ c
c osmgN?且情况一,设接触处绝对光滑。则 F=0
s inga c 0
情况二,设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。 F为静滑动摩擦力。
Ra c
s in
3
1
s in
3
2
s in
3
2
gF
g
R
ga
c
例 4：均质滑轮 A,B的质量为 与,半径分别为 与,
物体 C的质量为 ；
求：重物的加速度，系统中各绳的张力，轴承 O的约束反力。
1R1
m
3m
2R2
m
112223 2
1 RRvv
解：设个物体的数度如图示，且：
对系统进行受力分析如图
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
2332222211 RvmRvmJJ
LLLL OCOBOAO
则整个系统对 O点的动量矩为：
32321 234
2
1 vRmmmL
O
2
111 2
1 RmJ 2
222 2
1 RmJ?
由动量矩定理得：
e
iO
O FM
t
L
d
d
2321
232
3 234
2
Rmmm
gRmmMa
取分离体 C：
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
3v
gm3
3T
C
gmTam 3333
取分离体 B：
2R
B
2?
gm2
2v
2T
1T
M
1R
A
1?
gm1
OxF
OyF
2T
1T
gmTTTam 232122
取分离体 C,
222122 RTRTJ
Oxx Fam?11 011?yam
1211 RTMJ
联合上述各式可求得各未知量
§ 12－ 0 引言
oxF
oyF
F
o
A
均质轮受外力作用而绕其质心 O作定轴转动，它有角速度和角加速度，但对于轮的动量为：
0 OC vmvmP
0 FFFF
oyox
e
R
外力的矢量和为：
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动是的运动。
xyvmxyr
x
y
z
o
vm
vmM Z
θ
rvmM O
§ 12－ 1 动量矩一、质点的动量矩动量矩：动量对某点（轴）之矩。
1、质点对某点之矩,质点在某瞬时的动量对 O点之矩定义为质点在某瞬时对点 O的动量矩。
A
vmrvmM O)(
质点 A对点 O的动量矩：
质点 A对 Z轴的动量矩：
xyzOz vmrvmMvmM xy )()]([)(
方向,是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，
若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。
或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。
)( vmM z
单位：
大小：
smkg 2?
二、质点系动量矩
1、对点的动量矩,)(
1 iiO
n
iO
vmML
2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：
)( iizz vmML
3、刚体的动量矩
（ 1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。
COCiiiiOO vmMvrmvmML )(
对点的：
对轴的,
Czz vmML?
（ 2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩：
ii rv
ziiiizz JrmvmML 2
zJ 定轴转动刚体对 z轴的转动惯量
（ 3）平面运动刚体的动量矩平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一固定轴的动量矩为：
CCzz JmvML
即：其对 z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴的动量矩之和。
§ 12－ 2 动量矩定理一、质点的动量矩定理设有质点 A，受外力作用，
由牛顿第二定律：
x
y
z
o
vm
r
F
F
dt
vd
m
a
dt
vd
Fam
且在等式两边同时叉乘矢径 r
Fr)v(mtr dd
0
d
d
d
d
d
d
d
d
vmvvm
t
r
vm
t
r
vmr
t
)v(m
t
r左式：
其中：
FMFr O
vmM
t
)vmr(
t
Fr)vmr(
t
O
d
d
d
d
d
d
其中：
vmM O
FMO
x
y
z
o
vm
r
F
FMvmMt OO dd
－－质点对点的动量矩定理即：质点对任一点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该点之矩。
上式向坐标轴投影后得：
FMmvMt ZZ?dd
即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该轴之矩。
－－质点对轴的动量矩定理二、质点系的动量矩定理质点系中某质点对固定点的动量矩定理为：
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiOdd
)F(M)F(M)v(mMt ( e )iO( i )iOiiO dd
质点系对固定点的动量矩定理为：
0 )F(M ( i )iO
其中：
t
L)v(mM
t
)v(mM
t
O
iiOiiO d
d
d
d
d
d
e
iO
O FM
t
L
d
d
－－质点系对固定点的动量矩定理即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的：
)F(M
t
L ( e )
iz
z
d
d
－－质点系对固定轴的动量矩定理即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
CLFM
O
e
O 0
若,则 （常矢量）
CLFM
z
e
z 0
若,则 （常量）
§ 12－ 3 刚体的转动惯量刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的矢径大小平方的乘积之和。
2
1 ii
n
iz
rmJ
单位,2mkg?
一、简单形状刚体的转动惯量
1、均质杆对质心轴的转动惯量
22
0
2
12
12 mlx
l
mxJ l
z d
单位长度的质量为：
xlmm dd?
dxx
l
z
C
x
2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量单位弧长的质量为,Rm?2
Rz sRmRJ20 2 d2
取微弧长为,?dRsd
22
0
2
2 mRRR
mR
d
Z
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：
rrR mrrRmm d2d2d 22
dr
y
xr R
rrR mrmJ z d2dd 322
smRrrR mrmJ Rz 2
0
3
2
2
2
1d2d
2
4
1
2
1 mRJJJ
zyx
另外：
二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量平行移轴定理：
2mdJJ
zcz
即：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对过其质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。
2l C
O
z? z
x
例 1：求均质细直杆对过其端点 O的轴的转动惯量。
2mdJJ
zcz
2
12
1 mlJ
ZC?
2
2
2
3
1
2
1
12
1 mlmmlJ
z
例 2：求钟摆对过点 O的轴的转动惯量。
解：
解,杆对过点对过点 O的轴的转动惯量：
2
3
1
1 mlJ O?
21 OOO JJJ
圆盘对过其质心轴的转动惯量：
2
2
1 mRJ
c?
22212 RlmmRJ O
杆对过点对过点 O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：
C
O
l
R2
mg
mg
222 2131 RlmmRml
§ 12－ 4 质点系相对质心的动量矩定理本节主要研究：当选择质心作为动量矩和力矩的矩心世，质心的运动对动量矩的影响。
iCi rr
irCi vvv
－－－（ 1）
－－－（ 2） o
z
y
x
i?
A
Cr
ir
C
Cv
ce vv?
iv
irv
o
z
y
x
i?
A
Cr
ir
C
Cv
ce vv?
iv
irv
1、质点系相对固定点运动的动量矩
iiiiiOO vmrvmML －－－（ 3）
2、质点系相对定坐标系的运动（绝对运动）的对质心的动量矩
iiiiiCC vmvmML－－－（ 4）
3、质点系相对质心的运动（相对运动）对质心的动量矩
iriiiriCCr vmvmML－－－（ 5）
将（ 2）式代入（ 4）得：
irCiiiiCC vvmvmML
iriiCiiC vmvmL
0
0
Cii
C
mm
CririiC LvmL
－－－－（ 6）
将（ 1）式代入（ 3）得：
iiiiiCiiiCO vmvmrvmrL
CCCO LvmrL
－－－－（ 7）
CrCCO LvmrL
将（ 7）式代入（ 6）得：
CC vmr?
CrL
－－质点系质心的动量对固定点的动量矩
－－质点系相对质心的运动（相对运动）对质心点的动量矩
－－－－（ 8）
CriCCOO vmMvmML
则第（ 8）式可写为如下格式：
即：质点系对于固定点的动量矩，等于质点系质心动量对该点的动量矩，与质点系相对质心的运动对质心动量矩的矢量和。
e
iO
O FM
t
L
d
d由动量矩定理：
CCCC
CrO amrvmv
t
L
t
L
d
d
d
d
左边：
右边：
e
iC
e
iC
e
iO FrFMFM
ei
C
Cr FM
t
L
d
d
－－质点系相对质心的动量矩定理即：质点系在相对质心作平动的坐标系的运动中，相对质心的动量矩对时间的导数，等于质点系上所有外力对质心之矩的矢量和。
§ 12－ 5 刚体的运动微分方程对转动轴的动量矩为：
zz JL?
动量矩定理：
)F(MJttL ( e )izzzdddd
)F(MJ
)F(MJ
( e )
izz
( e )
izz
且
－－刚体定轴转动时的运动微分方程一、定轴转动刚体的运动微分方程二、平面运动刚体的运动微分方程
ei
CC
Cr FMJ
t
L
d
d
刚体相对质心轴的动量矩定理为
eiC Fam
刚体质心运动的运动微分方程为
－－－－（ 2）
－－－－（ 1）
（ 1）、（ 2）式共同成为刚体平面运动的运动微分方程为例 1：单摆将质量为 m的小球用长为的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴 O在铅直平面内摆动。
线自重不计且不可伸长，摆线由偏角 时从静止开始释放，求单摆的运动规律。 0
C
O
l
mg
0?
解,将小球视为质点。其速度为 且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为
lv?
v
2mllmlmvm o
oTm o?
T
s inm g lFm o
注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。
根据动量矩定理，有
s in2 m g lmltxdd
即
0s in
l
g —— （ 1）
sin 并令
l
g
n?
2?
02 n
则（ 1）式化为解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当 t=0时
0 00
tn c o s0
由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为
g
l
T
n
2
2
解,轴 Ⅰ 与轴 Ⅱ 的定轴转动微分方程分别为例 2：双轴传动系统中，传动轴 Ⅰ 与 Ⅱ 对各自转轴的转动惯量为 与,两齿轮的节圆半径分别为 与,齿数分别为 与,在轴 Ⅰ 上作用有主动力矩,在轴 Ⅱ 上作用有阻力矩,如图所示。求轴 Ⅰ 的角加速度。
1J 1R
1z 1M2z
2J
2M
2R
2M
1M
I
2z
1z
II
1111 RPMJ 2222 RPMJ
1
2
2
1
1
2
z
z
R
Ri
传动比为：
联立上述三式得：
2
21
21
1 iJJ
iMM
例 3：质量为 m半径为 R的均质圆轮置放在倾角为 的斜面上，
在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为,,不计滚动摩阻。试分析轮的运动。
f f?
y
x
R
Ca
F
N
mg
解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有
Fmgma cs in
Nmgc os0
FRJ c
c osmgN?且情况一,设接触处绝对光滑。则 F=0
s inga c 0
情况二,设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。 F为静滑动摩擦力。
Ra c
s in
3
1
s in
3
2
s in
3
2
gF
g
R
ga
c
例 4：均质滑轮 A,B的质量为 与,半径分别为 与,
物体 C的质量为 ；
求：重物的加速度，系统中各绳的张力，轴承 O的约束反力。
1R1
m
3m
2R2
m
112223 2
1 RRvv
解：设个物体的数度如图示，且：
对系统进行受力分析如图
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
2332222211 RvmRvmJJ
LLLL OCOBOAO
则整个系统对 O点的动量矩为：
32321 234
2
1 vRmmmL
O
2
111 2
1 RmJ 2
222 2
1 RmJ?
由动量矩定理得：
e
iO
O FM
t
L
d
d
2321
232
3 234
2
Rmmm
gRmmMa
取分离体 C：
M
1R
2R
C
A
B
1?
3v
2?
2v
gm3
gm2
gm1
OxF
OyF
3v
gm3
3T
C
gmTam 3333
取分离体 B：
2R
B
2?
gm2
2v
2T
1T
M
1R
A
1?
gm1
OxF
OyF
2T
1T
gmTTTam 232122
取分离体 C,
222122 RTRTJ
Oxx Fam?11 011?yam
1211 RTMJ
联合上述各式可求得各未知量
