第十五章虚位移原理
（静动法）
§ 15-1 约束、虚位移、虚功一、约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何约束 。
限制质点系运动情况的运动学条件称 运动约束 。
2,定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称 非定常约束,否则称 定常约束 。
3,其余分类约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形式 的约束称 非完整约束,否则为 完整约束 。
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ）,约束方程为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为 虚位移 。
虚位移的表示方法：
,,xr
一般表示法 线位移 角位移三、虚功力在虚位移中作的功称虚功。即：
rFW
s inxFW FMW z?
或四、理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为 理想约束 。
0iNiNiN rFWW
§ 15-2 虚位移原理一质点系在力的作用下处于平衡状态某质点受力如图示，且：
0 Nii FF
NiF
iF
0 iNiiii rFrFW
为该质点设定虚位移 且
ir?
ir?
0iNiii rFrF且
0 iW?
虚功方程虚位移原理所表达出的原理虚位移原理（虚功原理）,对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
0iziiyiixi zFyFxF
投影后的解析式为：
例 1,图中所示结构，各杆自重不计，在 Ｇ 点作用一铅直向上的力 Ｆ,
求：支座 Ｂ 的水平约束力。
lGEDGCBCDCEAC
解,解除 B端水平约束,以力代替,如图 (b) Bx
F
0 GBBxF yFxFw
c os3,s in2
s in3,c os2
lylx
lylx
GB
GB
由虚位移原理得：
各虚位移关系为：
带入虚功方程得, 0c o s3s in2 lFlF
Bx
c o tFF Bx 23?
如图在 CG间加一弹簧，刚度 K，
且已有伸长量,仍求 。
BxF0?
解法二：
在弹簧处也代之 以力，
如图（ b)，其中
0
0
0
GGGCCBBx
F
GC
yFyFyFxF
W
kFF
c o s3,c o s,s i n2 lylylx GCB
s i n3,s i n,c o s2 lylylx GCB
0co s3
co s3co ss i n2( 00
lF
lklklF Bx
代入虚功方程得：
c o tc o t23 0kFF Bx
解得：
例 2,图所示椭圆规机构中，连杆 AB长为 L，滑块 Ａ，Ｂ 与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力 与 之间的关系。BFAF
0ii rF?
,,BA rr
解,为 A,B两处添加虚位移
0 BBAA rFrF
由虚位移原理得：
s inc o s AB rr?且
0c os BBBA rFrF
t a nBA FF
例 3,如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩 Ｍ 与主动力 Ｆ 之间的关系 。
解,为 B,C两处添加虚位移
cr,
由虚位移原理得：
0cF rFMw
由图中关系有
s in
e
a
rr?
2s i n,s i n
hrrhOBr
aCe
2s in
FhM?
例 4,求图所示无重组合梁支座 Ａ 的约束力。
解,解除 A处约束，代之,给虚位移，如图（ b）
AF
02211 sFMsFsFW AAF
由虚位移原理得：
AMA
A sssss
8
1111,
8
33,
1 8
各虚位移间关系为：
AAM ssss 14
11
2 8
11
7
4
7
4
MFFF A
8
1
14
11
8
3
21
代入虚功方程得：
（静动法）
§ 15-1 约束、虚位移、虚功一、约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何约束 。
限制质点系运动情况的运动学条件称 运动约束 。
2,定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称 非定常约束,否则称 定常约束 。
3,其余分类约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形式 的约束称 非完整约束,否则为 完整约束 。
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ）,约束方程为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为 虚位移 。
虚位移的表示方法：
,,xr
一般表示法 线位移 角位移三、虚功力在虚位移中作的功称虚功。即：
rFW
s inxFW FMW z?
或四、理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为 理想约束 。
0iNiNiN rFWW
§ 15-2 虚位移原理一质点系在力的作用下处于平衡状态某质点受力如图示，且：
0 Nii FF
NiF
iF
0 iNiiii rFrFW
为该质点设定虚位移 且
ir?
ir?
0iNiii rFrF且
0 iW?
虚功方程虚位移原理所表达出的原理虚位移原理（虚功原理）,对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
0iziiyiixi zFyFxF
投影后的解析式为：
例 1,图中所示结构，各杆自重不计，在 Ｇ 点作用一铅直向上的力 Ｆ,
求：支座 Ｂ 的水平约束力。
lGEDGCBCDCEAC
解,解除 B端水平约束,以力代替,如图 (b) Bx
F
0 GBBxF yFxFw
c os3,s in2
s in3,c os2
lylx
lylx
GB
GB
由虚位移原理得：
各虚位移关系为：
带入虚功方程得, 0c o s3s in2 lFlF
Bx
c o tFF Bx 23?
如图在 CG间加一弹簧，刚度 K，
且已有伸长量,仍求 。
BxF0?
解法二：
在弹簧处也代之 以力，
如图（ b)，其中
0
0
0
GGGCCBBx
F
GC
yFyFyFxF
W
kFF
c o s3,c o s,s i n2 lylylx GCB
s i n3,s i n,c o s2 lylylx GCB
0co s3
co s3co ss i n2( 00
lF
lklklF Bx
代入虚功方程得：
c o tc o t23 0kFF Bx
解得：
例 2,图所示椭圆规机构中，连杆 AB长为 L，滑块 Ａ，Ｂ 与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力 与 之间的关系。BFAF
0ii rF?
,,BA rr
解,为 A,B两处添加虚位移
0 BBAA rFrF
由虚位移原理得：
s inc o s AB rr?且
0c os BBBA rFrF
t a nBA FF
例 3,如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩 Ｍ 与主动力 Ｆ 之间的关系 。
解,为 B,C两处添加虚位移
cr,
由虚位移原理得：
0cF rFMw
由图中关系有
s in
e
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2s i n,s i n
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aCe
2s in
FhM?
例 4,求图所示无重组合梁支座 Ａ 的约束力。
解,解除 A处约束，代之,给虚位移，如图（ b）
AF
02211 sFMsFsFW AAF
由虚位移原理得：
AMA
A sssss
8
1111,
8
33,
1 8
各虚位移间关系为：
AAM ssss 14
11
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MFFF A
8
1
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8
3
21
代入虚功方程得：
