第一节 刚体平面运动的运动方程第二节 求平面图形内各点速度的基点法第三节 速度投影定理第四节 速度瞬心法第五节 平面图形内各点的加速度在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动，该种运动称为刚体的平面平行运动。简称为平面运动。
第一节：刚体平面运动的运动方程一、平面运动的特征
1
A
2
A
I
II
AM
A点在 II平面内运动。 A1A2作平动,A1,A2,A各点运动轨迹相同。
二、平面运动刚体的运动方程



1
2
3
( 7 1
o
o
x f t
y f t
ft?



—）
1、基本概念
基点,O'（与 x'o'y'固结）
角坐标,?
2、运动方程
(7
()
oor r t
t


—2 ）
或特例,1、若 φ= 常数,AB 的方位不变，刚体作 平动,
2、若 xA= 常数,yA= 常数，则刚体作 定轴转动举例圆轮 A，半径为 R，沿直线向右作纯滚动，轮心 A
的速度,v0 = 常数。试求圆轮的平面运动方程。
tvx A 0?
常数 Ry A
R
tv
R
x A 0
—— 圆轮的平面运动方程三、平面运动的分解 —— 平移和转动举例分解方式,?先由 A1B1平移 到 A2B'1位移为?r，再绕 A2转到
A2B2，转角。
先 绕 A1转到 A1B'2，转角，再 由 A1B'2平移到 A2B2位移为?r。
一般刚体平面运动的分解：
以 A为原点建立动坐标系 x'Ay',A为 基点。 AB先随动系平移到 A'B1,再绕基点 A'转1。
以 B为原点建立平移动系 Bx''y'',B为基点。 AB先随动系平移到 B'A1，再绕基点 B'转2。
如图，平面 S在定系中的运动可由其中的直线 AB来代替，
而 AB的又可看成平动和转动的合成，或者说刚体的平面运动可分解成平动和转动，具体方法有如下两种：
11// //AB A B A B
12
0 0 0
(7
l i m l i m l i m
t t t
d
t t t dt




—3)
则,AB转动的角速度为：
平面图形的角速度和角加速度
12
则,AB转动的角加速度为：
7d dt 　（ —4 ）
结论：
（ 1）刚体平面运动可分解为基点（动系原点）的平移运动
（牵连运动）和绕该基点的转动（相对运动）。
（ 2）将刚体平面运动分解平移和转动时，基点选择不同，
基点的平动轨迹不同，但转动规律与基点选择无关。
（ 3）平面图形相对于任选基点所建立的平移动系的角速度就是它的绝对角速度。
x
y y?
x?
o
o?
ox?
oy?
s
M
or?
x
y
o

x?
y?
x
y
s
A
B
1
A
1
B
1

2

B?
A?
a
b
第二节：求平面图形内各点速度的基点法
1、矢量表达式如图,已知某一瞬时平面图形 S内某一点的速度 vA和图形的角速度 w,求平面图形上任一点 B的速度 vB。
(7
B e r
e A B A A B
r A B B
v v v
vr?



　—5 )
v v v
vv
v
2、定义平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动速度的矢量和 —— 基点法或称为速度合成法。
3、举例曲柄 OA绕 O轴转动，滑块 B 沿水平方向运动，连杆 AB作平面运动，因此选 AB杆作为研究对象。
1、分析运动，选取研究对象例 1、发动机的曲柄连杆机构如下图所示，曲柄 OA
长为 r30cm,以等角速度 w=2rad/s绕 o点转动，连杆 AB
长为 l=40cm，试求：当?OAB=900时，滑块 B的速度和连杆 AB的角速度。
2、选基点由于连杆 AB上 A
点的速度已知，故选 A
点为基点。
3、根据速度合成法（基点法）求未知量
B A A Bv v v
如图所示，作出速度平行四边形。最后由几何关系得：
56 0 7 5 /
c o s 4
A
B
vv c m s

3t a n 6 0 4 5 /
4B A Av v c m s
45 1,1 3 /
40
BAv r a d s
l
瞬时针方向水平方向例 2,图示椭圆规。已知,AB =l=20㎝,vA=20㎝ /s,φ=30°,
C为杆 AB的中点。试求,vB,ωAB,vC 。
解：
（ 1）分析各刚体的运动，选取研究对象选取 AB作为研究对象
（ 2）分析与 AB连接点的运动，选取运动已知的点为基点选 A点 —— 基点（ A点运动已知）
vB= vA+ vBA
（ 3）由基点法的速度合成定理确定其余量大小,？？
方向,
（ 4）由三角关系求出所求量。
0c o t 2 0 c o t 3 0 3 4,6 ( / )BAv v c m s
0/ s in 2 0 / s in 3 0 4 0 /B A Av v c m s
/ 4 0 / 2 0 2 ( / )A B B Av l r a d s（顺时针）
22
22
2 c o s
( / 2 ) 2 ( / 2 ) c o s
2 0 ( / )
C A CA A CA
A A B A A B
v v v v v
v l v l
c m s



　 （ β=60° ）
（ 1）分析各刚体的运动，取研究对象；
（ 2）分析与平面运动刚体连接点的运动，选取运动已知的点为基点；
vB= vA+ vBA
（ 3）由基点法的速度 合成定理确定其余量；
方向,
（ 4）由三角关系求出所求量。
大小,？？
基点法解题步骤
090
Av
Av
Bv
BAv
r l
o
A
B
Av
Bv
BAv?
CAv
cv
Av
Av
AB?
A
CB
0
x
y
x '
y'
v
e
= v
A
v
B
S
A
B
r'
B
v
A
v
r
= v
BA
第三节 速度投影定理将矢量式
B A B Av v v
向 AB连线上投影可得：
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等 。 —— 速度投影定理
1、定义
2、定理证明
( ) ( ) ( )B A B A A B B A A Bv v v
因为 vBA?AB，所以（ vBA ） AB=0
从而可得,( ) ( )
B A B A A B?vv ( 7 6 )—
3、例题例 1、发动机的曲柄连杆机构如下图所示，曲柄 OA
长为 r30cm,以等角速度 w=2rad/s绕 o点转动，连杆 AB
长为 l=40cm，试求：当?OAB=900时，用速度投影法求滑块 B的速度。
解因为 A点的速度大小、方向已知,B点速度的方向已知，根据速度投影定理，将 vA,vB向 AB杆轴线上投影，得
( ) ( )B A B A A B?vv
即 vv 0c o s c o s 0
BAα=
将 4
5
6 0 /Av c m s


c o s α 代入上式
7 5 /Bv c m s?得例 2：椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 X轴负向运动,AB=L，
已知,试求 B端的速度及 AB的角速度。
解 （ 1）求 B的速度 vB
因为 A点的速度大小、方向已知,B点速度的方向已知，
根据速度投影定理，将 vA,vB
向 AB杆轴线上投影，得
( ) ( )B A B A A B?vv
0c o s 9 0 c o sBAvv即
sin
A
BA
B A A B
v
v
v A B


（ 2）求 AB的角速度?AB
s inL
v
L
v ABA
AB
c t gvv AB
1、问题的提出第四节 速度瞬心法利用基点法求平面图形上点的速度，如若基点的速度为零的话，问题的求解将变的极为简单。速度瞬心法就是建立在这样一个思想基础上的。
2、引例右图所示为一沿直线轨道滚动而不滑动的车轮，所以车轮与地面接触点 C具有与地面相同的速度；由于地面上的点总是不动的，其速度为零，故车轮上与地面接触点 C的速度也必为零，即
vc=0
3、速度瞬心平面图形上 某瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
上例中，因基点 C的瞬时速度为零，故平面图形上任一点的速度就等于该点绕瞬心转动的速度。图中 A、
B两点的速度应分别为：
,
,
,
A A C A
B B C B
o O C o
v v C A v C A
v v C B v C B
v v C O v C O




　
　
　
结论
（ 1）平面运动刚体上各点速度的大小与该点到瞬心的距离成正比，速度的方向垂直于该点到瞬心的连线，
指向图形转动的一方。
（ 2）平面图形的运动可看成绕瞬心的瞬时转动，此时瞬心又称为转动瞬轴。
（ 3）已知平面图形在某瞬时的瞬心位置和转动角速度，
则可以求出平面图形上任一点的速度。
（ 4）速度瞬心的位置随时间不断变化，在不同瞬时平面图形上有不同的速度瞬心。 。
4、速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上各点速度的方法称为速度瞬心法。
5、速度瞬心位置的确定方法
（ 1）当平面图形沿一固定平面作无滑动的滚动时，图形与固定平面的接触点即为平面图形的速度瞬心。
只滚不滑
（ 5）同一瞬时，速度瞬心的速度为零，但加速度不为零。
（ 2 ）如果已知平面图形上两点速度的方向，则分别通过这两点作速度的垂线，垂线的交点即为平面图形的瞬心。
（ 3）如果已知平面图形上 A,B两点速度的方向互相平行，且垂直于两点的连线 AB，则此平面图形的速度瞬心必在 AB线上或其延长线上，具体见下图所示。
C*
（ 4）如果平面图形上两点的速度平行且相等，则速度瞬心在无远处。故图形的角速度?=0，该时刻图形上各点速度相等，平面图形做瞬时平动。
6、例题例 1：椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 X轴负向运动,AB=L
已知,试求 B端和中点 C的速度及 AB的角速度。
AB作平面运动，由于 A,B两点速度方向已知，
故确定速度瞬心 C*
s i n2s i n2
* AA
ABD
v
L
vLDCv
（ 1）求 AB的角速度?AB
s in* L
v
AC
v AA
AB
c t gvv
AC
BC
BCv
AA
ABB


*
*
*
（ 2）求 B的速度 vB
解
（ 3）求 C的速度 vC
o
A
B
C
B
v
C
v
A
v
o
A
B
C
Bv
Cv
Av
第五节 平面图形内各点的加速度
—— 基点法
1、加速度合成定理平面图形的运动可分解为两部分,（ 1）随基点 A的平移（牵连运动）
（ 2）绕基点 A的转动（相对运动 )
由加速度合成定理：
a a a
a a a a a?

　
B e r
n
A B A A B A B A
()


B A A B
n
B A A B
ar
ar
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
（ 7— 7）
—— 求平面图形内点加速度的基点法上式中的 a?BA,anBA分别为
2、例题例 1、下图为一曲柄连杆机构，曲柄 OA长 r，连杆 AB长 l，
曲柄以匀角速度?转动，当 OA与水平线夹角?=450时,OA
正好与 AB垂直。试求 连杆 AB的角加速度和滑块 B的加速度。
解
（ 1）分析运动，确定基点。
AB杆做平面运动，
A点速度可求，选其作为基点。
（ 2）求 A点加速度
AOAar
2ω
（ 3）求 B点加速度
a a a a nB A B A B A
由求平面图形中点的加速度的基点法知：
()


B A A B A B
n
B A A B A B A B
ar
将上式向 x轴上投影，并考虑下列两式即可解出：
2
2 ()AB
r lr
l
（顺时针）
再将上式向 AB方向 投影，可求得：
co s nB B Aaa? 22 ( )
2
B
ra
l
例 2：外啮合行星齿轮。系杆 O1O=L
以匀角速度?1绕 O1转动。齿轮 I半径为 r,沿固定齿轮 II滚而不滑。求齿轮
I上两点 A,B的加速度。（ A位于 O1O
的沿长线上,B位于垂直于 O1O的半径上）
(2)基点 O的速度、加速度、轮 I角速度
21 o 1，ov L a L
1 r
L
r
v o
解
(1)分析运动，确定基点。轮 I做平面运动,O点加速度可求，选其作为基点。
(3)求 B点的加速度

2
22
1 1o


n
B B O
La a a L
r
2
22
1
0

n
Bo
a
L
ar
r
τ
Bo

a a a a nB o B oτBo
v0
(4)求 A点的加速度
a a a a nA o A o A o
由于轮 I的?为常量，故
2
22
1
0

τ
Ao
n
Ao
a
L
ar
r



r
LL
r
LLaaa n
AooA 1
2
1
2
1
2
2
1
从而得，
（ 1）分析运动：杆 BC —— 平面运动例 3、如图四连杆机构。已知 AB 杆以匀角速度 ω=1（ 1/s）转动，试求（ 1） vC,ωCD 。 （ 2） aC,?CD
解
（ 2）求速度由速度投影定理，得
c o s 4 5?Bcvv
c o s 4 5
2
1 0 0 1 7 0,7 ( m m /s )
2
　
cBvv
从而，得方向如图
5 0 2 0,2 5 ( r a d /s )
2 1 0 0 2


c
CD
v
CD
（ 3）求加速度以 B为基点，则有
nCBCBBnCC aaaaa
2
2
2




B
n
CB B C
n
C CD
a A B
a B C
a CD
将上式向?方向投影，并考虑下列代数式得 n
CBBC aaa 045c o s0

n
CBBC aaa
45c o s?
22
2
2
1 0 0 1 1 0 0 2 ( 0,5 )
2
7 5 2 ( m m /s )


即，
22 0 0 2 ( 0,2 5 ) 2 5 2 / 2n
Ca
2 2 2( ) ( ) 1 0 7,5 3 ( m m / s )
C
n
CCa a a
27 5 2 0,3 7 5 ( 1 / s )
2 0 0 2
CCD a
CD
（逆时针）
总结
（ 1）当基点 A与所求点 B的运动轨迹为已知曲线，则加速度合成关系为：
a a a a a aτ n τ n τ nB B A A B A B A+ = + + +
（ 2）求加速度,没有投影法。
（ 3）有加速度瞬心法，但不常用；加速度 瞬心与速度瞬心不是同一点。
100
BC?
045
100
CD?
045
A
B
C
D
P
Ba
Ba
n
ca
ca
cBa
n
cBa
CD?
C*o1
o
A
1
a0II
I
anAoa
0