第 一节 点的绝对运动、相对运动、牵连运动第二节 点的速度合成定理第三节 牵连运动为平移时点的加 速度合成定理第四节 牵连运动为转动时点的加 速度合成定理第一节,点的合成运动的概念
x
y v
M
o
x ￠
y ￠
o ￠
a
一、问题的提出：
右上图,M 为雨点M 的运动轨迹,? 垂直向下
——地面的观测者
? 倾斜向后
——车上的观测者图 6— 1
右下图,M 为轮缘上的一点
M 的运动轨迹,? 旋轮线
——地面的观测者
? 圆
——车上的观测者
x
x ￠
y ￠
y
M
o
图 6— 2
这是工厂车间里的桥式起重机
A
A '
重物 A? A'
0 x
y
0'
x '
y '
A
1
v
v
1
v
1
上图 A 点的运动轨迹,? AA 1 曲线运动
——地面的观测者
? 竖直向上
——车上的观测者图 6— 3
二、问题产生的原因及有关的基本概念：
1,原因分析,观测者所在的位置不同，即：参考系不同。
2,基本概念：
固定参考系：固结在地球表面上的参考系。
动参考系,相对于地球运动的参考系 （如固结在车上的参考系）
绝对运动,动点对于固定参考系的运动。
相 对运动,动点对于相对参考系的运动。
牵连运动,动参考系相对于固定参考系的运动 。
合成运动,由 相对运动 和 牵连运动 合成的运动，即相对运动。
相对运动 绝对运动牵连运动动点的牵连运动动点动参考系 定参考系动参考系上与动点重合的点三、动点、动参考系、定参考系之间的关系：
图 6— 4
2,牵连运动是指动参考系的运动，也就是与动参考系相固结的物体的运动，因此是指一个刚体的运动，它可能是平动、转动或其它运动。
四、注意：
1,动点的相对运动、绝对运动是指一个点的运动，它可以是直线运动或者是曲线运动。
第二节,点的速度合成定理一、基本概念：
绝对速度,动点对于固定参考系的速度。 v a
相对速度,动点对于相对参考系的速度。 v r
牵连速度,某一瞬时动参考系上和动点相重合的那一点的速度。 v e
MMMMMM ￠￠￠?￠?￠￠
如图 6 — 6 所示，存在有,
二、绝对速度、相对速度与牵 连速度之间的关系：
x
y
r
v
a
v
e
v
M
M ￠
M ￠￠
o
y ￠
x ￠
x ￠
y ￠
o ￠
o ￠
k
k ￠
牵连轨迹绝对轨迹迹轨对相图 6 — 6
）— 16(l i ml i ml i m
000 t
MM
t
MM
t
MM
ttt?
￠￠￠?
￠?
￠￠
两边分别除于? t,并令? t 趋于零，得,
点的切线方向。 沿着相对轨迹上方向的相对速度在瞬时—动点—
点的切线方向。 沿着牵连轨迹上方向的牵连速度在瞬时—动点—
点的切线方向。 沿着绝对轨迹上方向的绝对速度在瞬时—动点— 式中：
M
tMv
t
MM
M
tMv
t
MM
M
tMv
t
MM
r
t
e
t
a
t
,
,
,
lim
lim
lim
0
0
0
￠￠￠
￠
￠￠
)26(
:,
——
得从而
rea vvv
三、应用速度合成定理时应注意的问题
（ 6－ 2）式即为点的速度的合成定理，即：动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和。
动点及动参考系的选取
分析三种运动及三种速度
根据速度合成定理并结合各速度的已知条件作出速度矢量图，然后利用三角形关系或合矢量投影定理求解未知量。
例 6 ~ 1,图 6 — 7 为曲柄滑道连杆机构。 曲柄长 O A = a,以匀角速度? 绕 O 轴转动，其端点用铰链和滑道中的滑块 A 相连，来带动连杆作往复运动。求 当曲柄与连杆轴线成? 角时连杆的速度。
四、举例说明：
x x ￠
y
y ￠
o
o ￠
A
r
va
v
e
v
76 —图解：
（ 1 ）、取 A 为动点，连杆为动参考系，地面为固定参考系。
（ 2 ）、分析运动如图所示绝对运动：动点 A绕 O点作圆周运动；
相对运动：动系 T型槽沿竖直方向作平移运动；
牵连运动：某瞬时，与 A点重合的、位于 T型槽上的点沿水平方向作平移运动。
（ 3 ）、根据速度合成定理求未知量
rea vvv
s i ns i n avv
v
ae
e
根据几何关系即可求出
av
a
与圆周相切大小方向
ev
水平向右未知
rv
竖直向上未知例 6 — 2,导杆 AB 可以在铅垂套管 D 内滑动,其下端的滚轮 A 与凸轮保持接触 ( 图 6 — 8 ),凸轮以角速度? 绕 O 轴转动，在图示瞬时,O A = a,而凸轮轮缘在 A 点的法线与 OA 成 a 角,求导杆 AB 在此瞬时的速度及滚轮 A 相对凸轮的相对速度,
（ 1 ）、取 A 为动点，凸轮为动参考系，
地面为固定参考系。
（ 2 ）、分析运动如图所示
（ 3 ）、根据速度合成定理求未知量
rea vvv
a
o
B
D
A
e
v
r
v
a
v
a
86 —图解：
a
a?a
co s
t ant an
e
r
ea
a
v
v
avv
v
根据几何关系即可求出
x￠
y￠
x
y
o￠
Bo￠?
B
A
o￠
o
av
ev
rv
￠? ￠
rv
Aov
a
Boe
x
y
r
v
a
v
e
v
M
M ￠
M ￠￠
o
y ￠
x ￠
x ￠
y ￠
o ￠
o ￠
k
k ￠
￡ á? 1ì?￡
1ì?￡
￡
1ì
à
x x ￠
y
y ￠
o
o ￠
A
r
va
v
e
v
a
o
B
D
A
e
v
r
v
a
v
a
6~3í?
第三节、牵连运动为平动时 点的加速度合成定理一、基本概念：
绝对加速度,动点对于固定参考系的加速度。 a a
相对加速度,动点对于相对参考系的加速度。 a r
牵连加速度 ：某一瞬时动参考系上和动点相重合的那一点的加速度。 a e
二、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度之间的关系：
( 6 )ee
rr
￠
￠
３
vv
vv
如图 6 — 9 所示，存在有：
x
y
r
v
a
v
e
v
M
M ￠
M ￠￠
o
y ￠
x ￠
x ￠
y ￠
o ￠
o ￠
k
k ￠
￡ á? 1ì?￡
1ì?￡
￡
1ì
à
í? 6?a 9
e
v
￠￠
r
v
￠￠
r
v
￠
e
v
￠
a
v
￠
0
0
0
00
l i m
( ) ( )
l i m
( ) ( )
l i m ( 6 4)
() ()
l i m l i m
aa
a
t
e r e r
t
e e r r
t
ee rr
tt
er
t
t
t
tt
￠
￠￠
￠￠
￠ ￠
vv
a
v v v v
v v v v
vv vv
aa
三、平动时点的加速度合成定理
——矢量合例 6-3：凸轮、顶杆机构，凸轮以速度 v沿水平 轨道向右作减速运动，其加速度为 a,求 杆 AB在图示位置时的加速度。
1、取 A为动点、动系固结在凸轮上，定系固结在地面上。
2、分析运动,AB沿铅垂方向做直线运动，凸轮沿水平方向做直线运动。
凸轮顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
y ￠
B
牵连运动图 6 — 10
3、加速度分析由于牵连运动为平动，故知：
a e ra a a
n
e r r
a a a
四、举例上式中各加速度情况见 6-11所示。
4、求绝对加速度 aa
R
va rn
r
2
凸轮顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
y ￠
B
牵连运动
e
a
r
a
n
r
a
a
a
图 6 — 11
式中的 vr，可由速度合成定理求出。
s i ns i n
vvv e
r
首先，
凸轮顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
y ￠
B
牵连运动
e
v
r
v
a
v
图 6 — 12
2 2
2
1
sin
n r
r
v va
RR
n
e r r
a a a a
由于，
将上式中各项向法线投影可得，
2
3
s i n c o s
c o s 1
s i n s i n
n
a e r
a
a a a
v
aa
R
（当90o时,aa?0，说明 aa
方向与图示相同）
于是，
例 6-4：图 6-13所示的曲柄滑道机构中，已知 OA=r,?o,?o，
。求 BC的加速度。
1、取 A为动点，动系设置在滑道上，定系与地面固结
2、分析运动：如图 6-14所示。
4、求牵连加速度 ar
由于
n
a a e ra a a a
3、加速度分析,由于牵连运动为平动，故知：
a e ra a a
n
e r r
a a a
将上式中各项向 x投影可得，
2c os si n ( c os si n )na a e e o oa a a a r
（,-”说明 ae方向与图示相反）
s i nc o s
s i nc o s
2
ooe
e
n
aa
rra
aaa
)s i nco s( 2 ooe ra即
（,-”说明 ae方向与图示相反）
牵连运动为平动时，加速度的求解步骤：
1、选动点、动系、定系。
2、分析三种运动和三种加速度
3、作加速度矢量图。
总结
4、用投影法求解未知量。
凸轮顶杆
o x
x ￠
o ￠
R
A
a
v
y
y ￠
B
牵连运动
e
v
r
v
a
v
图 6 — 12
第四节、牵连运动为转动时 点的加速度合成定理一、基本概念：
绝对加速度,动点对于固定参考系的加速度。 a a
相对加速度,动点对于相对参考系的加速度。 a r
牵连加速度 ：某一瞬时动参考系上和动点相重合的那一点的加速度。 a e
附加加速度,？
二、引例 —— 科氏加速度如图所示，已知套筒 M沿直杠 AB运动，同时 AB又绕
A转动，试分析套筒 M的加速度。
1、取 M为动点，设动系与 AB固结。
t时刻,va= ve+ vr
t内绝对速度的改变量：
va= v'a- va
=（ v'e- ve） +（ v'r-vr)
解：
2、运动分析：
t+?t时刻,v'a= v'e+ v'r
0 0 0
l im l im l ima e e rra
t t tt t t
￠ ￠
v v v vva Δ
从而可得时刻 t动点的绝对加速度为：
牵连加速度,?t时间间隔 内,AB杆上与动点 M相重合的点运动到 M1点位置，相应的牵连加速度的极限值应为：
1
0
l im Mee
t t
vva
相对加速度,?t时间间隔 内，动点在 AB上由 M点运动到 M2点位置，相应的相对加速度的极限值应为：
2
0
l im rrr
t t
vva
由于,?va= v'a- va=（ v'e- ve） +（ v'r-vr)
同时考虑到：
11
1
22
2
,
r r r r r r
e e e M M e
e M r r
￠￠
￠￠
￠￠
v v v v v v
v v v v v v
v v v v
11
1
00
22
0 0 0 0
2
00
l im l im
l im l im l im l im
l im l im
ee rr
a
tt
e M M e r r r r
t t t t
eM rr
er
tt
tt
t t t t
tt
￠ ￠
￠ ￠
￠? ￠?
vv vv
a
v v v v v v v v
vv vv
aa
从而可进行如下推导：
在动参考系转动发生转动的情况下，进行加速度合成时，除了牵连加速度 aa,相对加速度 ar外，还有附加的加速度。
结论
1Mv
三、附加加速度
1M
1
0
1 l im eM
t t
￠?
、求
的大小、方向
vv
1
v A M
v A M
￠￠
1
e
M
= ω×
= ω×
1 1
00
l im l imeM r
tt
vv A M A M
v
tt
￠? ￠?
方向垂直于 vr,与?一致。
2
0
2 l im rr
t t
￠?
、求 的大小、方向
vv
2rr vv?￠? 2 2 s i n
2rr v
￠￠
rvv
2
0
00
l i m
l i m l i m
rr
t
r
tt
r
t
v
t
v
￠?
￠
vv
1M
1Mv
从而可求得该加速度的数值如下：
方向垂直于 vr与?一致。
2 ( 6 5 )cr v a
ac称附加加速度，或称科氏加速度 。
1 2
00
l i m l i meM rrc
tt tt
￠? ￠?
vv vva
令：
则方向垂直于 vr与?一致。
四,牵连运动是转动时点的加速度合成定理
—— 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度和科氏加速度之间的关系：
当牵连运动为转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于在该瞬时它的牵连加速度与相对加速度及科氏加速度三项的的矢量和。即：
a e r ca a a a ( 6 - 6 )
定理科氏加速度的数学证明如图,oxyz为定参考系,o‘x’y‘z’为动参考系且绕
oz轴以角速度?e,角加速度?e转动。
r
r
d x y z
dt
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠va i j k
设动点 M的相对运动方程为：
tfz
tfy
tfx
3
2
1
￠
￠
￠
则相对速度为：
相对加速度为：
e
e
x ￠
y ￠
z ￠
o ￠
￠J
￠i
￠z
r
￠r
￠
o
r
y
o
z
x
M
r x y z￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠v i j k
e e e ea r v
牵连加速度：
牵连速度：
而点 M的牵连速度、牵连加速度分别为动系上与动点 M重合的那一点的速度、加速度，分别为：
e
e
x ￠
y ￠
z ￠
o ￠
￠J
￠i
￠z
r
￠r
￠
o
r
y
o
z
x
M
eevr
由速度合成定理：
e r
a e r a
d d
d t d t
v vv v v a
ee
e e a
e e r
e e e e r
dd d
dt dt dt
v r
r r v
r v v
r v v
e
e e r
d
dt
v av?
r
r
re
r e r
d
x y z x y z
dt
x y z
x y z
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
又
v
i j k i j k
a i j k
a i j k
av
—— 泊松公式
2e ra e r e rd dd t d tv va a a v?
2c e rav?
—— 科氏加速度
a e r ca a a a
—— 定轴转动时的加速度合成定理
s in2 rec va?
上式中?为?e与 vr两矢量间的最小夹角,ac方向按右手定则 。
其中例 1、如图所示的套筒机构中,连杆 O1M绕 O1以角速度?转动，
套筒 M在 OA上滑动的同时带动 摇杆 OA绕 O以角速度?1转动。
若已知?,O1M=R,OO1=L。求：当 O1M与 OO1成 900时 摇杆
OA的角加速度?1。
解,1、取套筒上的 M点为 动点、定参考系 与地面固结,动参考 系与 OA固结。
2、分析运动：
相对运动,沿 OA杆的直线运动牵连运动,OA绕 O点的转动。
动点的牵连运动,OA上与动点 M重合的点 M‘绕 O点，以
R为半径转动。
绝对运动,绕 O1点以 R为半径转动
3、加速度分析：做加速度分析图如图所示，各加速度的大小、方向见下表。
2
1 2222
eevv R
O M R LRL
a a a e
a
n
a a
a
a r a c
a
n
e a
e
大小? 2 R 0 2? 1 v r? 1 2 OM? 1 OM
方向 MO 1? MO 1 MA? MO MO? MO
故可得：
42
2
1 3
22
2
23
11 3
22 2
1
2
2 9 0 2
n
e
o
c r r
e
R
a o M
LR
RL
a v S I N v
LR
a o M
由加速度合成定理：
crea aaaa
n n n
a a e e r r ca a a a a a a
将上矢量式 y‘轴投影可得：
即，
cea aaa
co s
2
2
3
22
22
RL
RLRLa
e
故，其真实方向与图示相反
22 0
0e
LR
a?
4、求摇杆角加速度?1
2
222
22
1
RL
RLRL
oM
a e
（方向与图示相反）
1、选动点、动系、定系；
2、分析三种运动，并根据动系的运动（平动还是转动），确定是否有科氏加速度。
3、作加速度矢量图，用投影法求解未知量。
因为点的绝对运动及相对运动轨迹可能都是曲线，
故加速度合成定理可写成：
n n n
a a e e r r ca a a a a a a
总结解题步骤
e
e
x
￠
y ￠
z ￠
o ￠
￠J
￠i
￠z
r
￠r
￠
o
r
y
o
z
x
M
