第三章平面任意力系引 言平面任意力系,各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫 ～。
[例 ]
中心内容：力系简化 +平衡方程平面任意力系实例
§ 3-1 力线平移定理力的平移定理,可以把作用在刚体上点 A的力 平行移到任一点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 对新作用点 B的矩。F
F
力 F
B d A
F
），力偶（力 FFF
B d A
F’
m
FMdFM o
B d A
FF’
F”
F=F’=F”
FFF,,力系
① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力 +力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m与 d有关,m=F?d
③ 力线平移定理是力系简化的理论基础。
说明,
工程应用
§ 3-2 平面任意力系向一点简化一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系 +力偶系
（未知力系） （已知力系）
汇交力系 力,R'(主矢 ),(作用在简化中心 )
力 偶 系 力偶,MO (主矩 ),(作用在该平面上 )
O
为任选点
O
F1
F’3
F’2
F3
F2 F’1
x
y
m1 m2
m3 O x
y R’
Mo
大小,
主矢 方向,
简化中心 (与简化中心位置无关 )
[因主矢等于各力的矢量和 ]
R?
iFFFFR?321'主矢
)()()(
21
321
iOOO
O
FmFmFm
mmmM
主矩
2222 )()(''' YXRRR yx
X
Y
R
R
x
y 11 t a nt a n?
（ 移动效应 ）
大小,
主矩 MO 方向,方向规定 + —
简化中心,(与简化中心有关 )
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
)( iOO FmM
（ 转动效应 ）
固定端（插入端）约束 在工程中常见的雨搭固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,MA为固定端约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
MA为限制转动。
AF
i
A
RAMA
A XA
MA
YA
§ 3-3 平面任意力系的简化结果? 合力矩定理简化结果,主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。
② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O无关。
R?
① =0,MO =0,则力系平衡,下节专门讨论。R?
R?
③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力 （ 这个力系的合力）,。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
R?
RR
R?④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还 可以继续简化为一个合力 。R
合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
O O’
R’MO
O O’
R’
O O’
R
d d
R
R”
结论,
)(
1
n
i iOO
FmM
)()( 主矩OO MdRRm
)()(
1
n
i
iOO FmRM
平面任意力系的简化结果,①合力偶 MO； ②合力 ;③ 平衡合力矩定理,由于主矩而合力对 O点的矩
——— 合力矩定理由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
R
[例 1]已知 平面任意力系如图，,,
求①力系向 O点简化结果,②合力的大小和作用线方程
NF 21 0 01? NF 1002? NF 503?
x
y
(1,2)
(2,-1)
(3,1)
F1
F2
F3
[解 ]
F 1 F 2 F 3 Σ
X 100 100 0 200
Y 100 0 -50 50
m o (F) -100 -100 -100 -300
力系向 O点简化的结果为
NjiR 502 0 0'主矢
mmNFm o 3 0 0主矩
NR 1750502 0 0 22合力大小为
;6
50
3 0 0 mm
Y
Fm
x
i
io
设合力与 x轴交点为 (x,0),合力与 y轴交点为 (0,y),则
mmy 5.1200300
R
§ 3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即：
0)()(' 22 YXR
0)( iOO FmM
R?
0 X
0)( iA Fm
0)( iB Fm
② 二矩式条件,x 轴不 AB
连线
0)( iA Fm
0)( iB Fm
0)( iC Fm
③ 三矩式条件,A,B,C不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
0 X
0Y
0)( iO Fm
① 一矩式
[例 ] 已知,P,a,求,A,B两点的支座反力？
解：①选 AB梁研究
②画受力图
0)( iA Fm由
3
2,032 PNaNaP
BB
0 X
0?AX
0 Y 3,0 PYPNY ABA
P
A B2a a
YA
XA
NB
设有 F1,F2 … Fn 各平行力系，
F
xF
R
Mx iiO
R '
FRR O '主矢
iiiOO xFFmM )(主矩
§ 3-5 平面平行力系的平衡方程平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～。
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
向 O点简化得：
合力作用线的位置为：
R?
平衡的充要条件为主矢 =0 主矩 MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
0)( iA Fm
0)( iB Fm
二矩式条件,AB连线不能平行于力的作用线
0 Y
0)( iO Fm
一矩式实质上是各力在 x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立,所以只有两个独立方程，
只能求解两个独立的未知数。
0X
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
分布载荷 q(x)的合力大小及作用线
q(x)
x
y
O
dx
x
a b
图形面积 ba dxxqR )(
图形形心
b
a
b
a
R
dxxq
xd xxq
x
R
xR
O
q
l
R
l/2 q
l
2l/3
R
qlR?
2
qlR?
0,0 AXX由
02
2; 0)(
aPmaaqaR
Fm
B
A
0Y 0 PqaRY
BA
)kN(122028.0162 8.02022 PamqaR B
)kN(24128.02020 BA RqaPY
[例 ] 已知,P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m
求,A,B的支反力。
解：研究 AB梁解得：
[例 ] 已知：塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？
0)( Fm B
0)22()212(2)26( ANWPQ
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得解,⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0 由0)( Fm A 0)22(2)26( BNPQ
限制条件 为,0?BN 解得 kN 3 5 0?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 Q
04)212(2)26( BNWPQ0)(Fm A
,0iF 0 BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
§ 3-6 静定与静不定问题的概念? 物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念我们学过：
平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
0 X
0Y
0im
0 X
0Y
0)( iO Fm
力偶系平面任意力系当,独立方程数目 =未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目 <未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例 ]
静不定问题在强度力学 （ 材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解 。
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
[例 ]
二、物体系统的平衡问题外力,外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物体系统（ 物系 ）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 ～。
物系平衡的特点：
①物系静止
②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3个平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中有 n个物体）
解物系问题的一般方法：
由整体 局部 （常用）,由局部 整体 （用较少）
解,选整体研究受力如图选坐标、取矩点,Bxy,B点列方程为,
解方程得
①
②
③
④
0X ;0?BX
0 Bm 0 DEPM B
)mN(100011000BM
0Y ;0 PY B PYB?
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
受力如图取 E为矩心，列方程解方程求未知数
045s i n,0 EDPCESm oCAE
①
②
③
④
)N(1 41 417 07.0 11 00 045s i n CEEDPS oCA
再研究 CD杆
[例 3] 已知,F各杆重量不计。
求,A,B和 D约束反力？
0 FM c由
02 aY B
0 BY
解,以整体为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0 Y由
0 FYY BC
FY C
0 X由 0 BC XX (求不出 XB)
我们已经求出 YB,下一步应选取谁做为研究对象呢
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
(三个未知数 )
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
(五个未知数 )
C
A
E
XC Y
C
X’A
Y’A
N’E
(四个未知数 )
0 FM E由
0 aFaY D
FY D
以 DEF为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
02 aFaX D
FX D 2
(可以求出 NE)
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
0 FM B由
0 FM A由
02 aXaX BD
FXX DB 21
以 ADB为研究对象
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0 BAD XXX
FXXX DBA
0 X由
0 Y由
0 BAD YYY
FYYY DBA
[例 4] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重求,A,B和 D点的反力 （看出未知数多余三个，不能先整体求出，要拆开）
0 Fm由
0512 PQY G
)kN(502 10550 GY
解,① 研究起重机
0Cm由
016 ' GD YY
)kN(33.8650 DY
0610123,0 QPYYm DBA )kN(100 BY
0,0 PQYYYY DBA )kN(33.48 Y
③
再研究整体
② 再研究梁 CD
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统 —— 桁架
§ 3-7 平面简单桁架的内力分析工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构桁架,由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点杆件
(a)
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型
( 基本三角形 )
三角形有稳定性
(b)
工程力学中常见的桁架简化计算模型
,0 X 0?BX
,0)( Fm A
,0)( Fm B
024 PY B
042 ANP
kN 5,0 BAB YNX
解,① 研究整体，求支座反力一、节点法 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？[例 ]
② 依次取 A,C,D节点研究，计算各杆内力。
0 X 030c o s 012 SS
0Y 030s i n 01 SN A
)(kN10,kN66.8 12 表示杆受压解得 SS
0 X
0Y
030c o s'30c o s 0104 SS
030s i n30s i n' 04013 SSS
1'1 SS?代入
kN 10,kN 10,43 SS解得
kN 66.75?S解得
0 X 0'25 SS
后代入 2'2 SS?
节点 D的另一个方程可用来校核计算结果
0Y 0,'3 SP
,kN 10'3? 解得 S
恰与 相等,计算准确无误。3S
解,研究整体求支反力
0 X 0?AX
0 BM
023 aPaPaY
PY A
①
0Am由 04 aYhS A
hPaS 4
0Y 0s in
5 PSY A?
05?S
0 X 0co s 456 AXSSS?
hPaS?6
二、截面法 [例 ] 已知：如图,h,a,P
求,4,5,6杆的内力。
② 选截面 I-I,取左半部研究
I
I
A'
说明,节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆
21 SS且四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。
21 SS
43 SS
两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。
三、特殊杆件的内力判断
021 SS
①
②
③
[例 ] 已知 P d,求,a.b.c.d四杆的内力？
解,由零杆判式
0 adc SSS
研究 A点：
0Y由
045c o s PS ob
PS b 2?
平面任意力系小结一、力线平移定理是力系简化的理论基础力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm?
;0,0;0,0 '' OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' OMR② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果一矩式 二矩式 三矩式三、
0)(
0
0
Fm
Y
X
O
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
Fm
C
B
A
A,B,C不共线平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程成为恒等式一矩式 二矩式
0X?
0)(
0
Fm
Y
A 0)(
0)(
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线平面汇交力系的平衡方程成为恒等式 0)( Fm A
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0 im
四、静定与静不定独立方程数 = 未知力数目 — 为静定独立方程数 < 未知力数目 — 为静不定五、物系平衡物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体六、解题步骤与技巧解题步骤 解题技巧选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
七、注意问题力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
八、选研究对象技巧画整体受力图；若只有三个未知数（或有二个未知数可以求解出来）则首先以整体为研究对象画每个局部的受力图；优先以只有三个未知数的局部为研究对象
①
②
[例 ] 已知,P=100N,AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且 AB水平,ED铅垂,BD垂直于斜面； 求?和支座反力？
解,研究整体画受力图选坐标列方程
BDS
02.15.2,0 PYm AB
0s i nc o ss i n,0' PYXX AA
5
3
2
2.1 c o s ;
5
4
2
6.1 s i n
AD
CD
AD
AC而
N48 ;N1 3 6, AA YX解得再研究 AB杆，受力如图
0s i n,0 ACYCBSm ABC?由
N7.106
5
49.0
6.1)48(
s i n,
BC
ACYS A
B解得
[例 ] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P时，
求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
0 X由
0s inBSN
0Y
0c o sBSP
gPNPS B t,c o s
解,研究 B
0)( Fm O
0c os MRS A?
0 X
0s inAO SX
0 Y
0c o s OA YS?
PRM PY
O t gPX O
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
[例 ] 已知,F=40kN,各杆重量不计，尺寸如图求,铰链 A,B,C处受力？
解,首先找研究对象
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
A
B
C
F
F
D
E
XA
YA
XF
YF
XA
YA
SBE
SCD
S’BE
S‘CD
XF
YF
四个未知数 四个未知数 四个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m A
B
C
F
XA
YA
XF
YF X
A
YA
SBE
SCD
二个未知数二个方程解得
0 FM F 0222 FYX AA
以整体为研究对象
0 FM G 0246 FYX AA
再 以 ABC为研究对象
G
FX A 3
FY A 4
A
B
C
F
XA
YA
SBE
SCD
0 Y 045s i n ABE YS
已经求出
G
FX A 3 FY A 4
再 以 ABC为研究对象
FYS ABE 242
0 X
045c o s FXSS ABECD
FS CD 2
能不能找到合适的研究对象，使一个方程只有一个未知数？
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
F
D
E
XA
YA
XF
YF
四个未知数三个未知数二个方程 三个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
S’BE
S‘CD G
NF
XA
YA
G
NF
[练习 ] 已知,P=1000N,各杆单位长度重量为 30N/m，尺寸如图求,A,B,C处约束反力？
解,首先把各杆重量表示出来
3m
3m
4m
P
2m
A
B
C
D
P
C
D180N
180N
150N
XA
YA
MA
A
B
C
180NY’C
X’C XD
YD
180N
YCXC
XA
YA
MA
YB
XB
整体 XA,YA,MA CD YC,CA XC,XB,YB
[练习 ] 已知,AB=r,F,?，不计磨擦求,M和?的关系？
解,首先画受力图
AB NA~F
OA M~NA
M?
` F
A
BO
C D
YO
XO
NC ND
O
AMYO
XO
NA
F
C D
B
A
NC ND
N’A
[例 ]
中心内容：力系简化 +平衡方程平面任意力系实例
§ 3-1 力线平移定理力的平移定理,可以把作用在刚体上点 A的力 平行移到任一点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 对新作用点 B的矩。F
F
力 F
B d A
F
），力偶（力 FFF
B d A
F’
m
FMdFM o
B d A
FF’
F”
F=F’=F”
FFF,,力系
① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力 +力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m与 d有关,m=F?d
③ 力线平移定理是力系简化的理论基础。
说明,
工程应用
§ 3-2 平面任意力系向一点简化一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系 +力偶系
（未知力系） （已知力系）
汇交力系 力,R'(主矢 ),(作用在简化中心 )
力 偶 系 力偶,MO (主矩 ),(作用在该平面上 )
O
为任选点
O
F1
F’3
F’2
F3
F2 F’1
x
y
m1 m2
m3 O x
y R’
Mo
大小,
主矢 方向,
简化中心 (与简化中心位置无关 )
[因主矢等于各力的矢量和 ]
R?
iFFFFR?321'主矢
)()()(
21
321
iOOO
O
FmFmFm
mmmM
主矩
2222 )()(''' YXRRR yx
X
Y
R
R
x
y 11 t a nt a n?
（ 移动效应 ）
大小,
主矩 MO 方向,方向规定 + —
简化中心,(与简化中心有关 )
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
)( iOO FmM
（ 转动效应 ）
固定端（插入端）约束 在工程中常见的雨搭固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,MA为固定端约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
MA为限制转动。
AF
i
A
RAMA
A XA
MA
YA
§ 3-3 平面任意力系的简化结果? 合力矩定理简化结果,主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。
② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O无关。
R?
① =0,MO =0,则力系平衡,下节专门讨论。R?
R?
③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力 （ 这个力系的合力）,。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
R?
RR
R?④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还 可以继续简化为一个合力 。R
合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
O O’
R’MO
O O’
R’
O O’
R
d d
R
R”
结论,
)(
1
n
i iOO
FmM
)()( 主矩OO MdRRm
)()(
1
n
i
iOO FmRM
平面任意力系的简化结果,①合力偶 MO； ②合力 ;③ 平衡合力矩定理,由于主矩而合力对 O点的矩
——— 合力矩定理由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
R
[例 1]已知 平面任意力系如图，,,
求①力系向 O点简化结果,②合力的大小和作用线方程
NF 21 0 01? NF 1002? NF 503?
x
y
(1,2)
(2,-1)
(3,1)
F1
F2
F3
[解 ]
F 1 F 2 F 3 Σ
X 100 100 0 200
Y 100 0 -50 50
m o (F) -100 -100 -100 -300
力系向 O点简化的结果为
NjiR 502 0 0'主矢
mmNFm o 3 0 0主矩
NR 1750502 0 0 22合力大小为
;6
50
3 0 0 mm
Y
Fm
x
i
io
设合力与 x轴交点为 (x,0),合力与 y轴交点为 (0,y),则
mmy 5.1200300
R
§ 3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即：
0)()(' 22 YXR
0)( iOO FmM
R?
0 X
0)( iA Fm
0)( iB Fm
② 二矩式条件,x 轴不 AB
连线
0)( iA Fm
0)( iB Fm
0)( iC Fm
③ 三矩式条件,A,B,C不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
0 X
0Y
0)( iO Fm
① 一矩式
[例 ] 已知,P,a,求,A,B两点的支座反力？
解：①选 AB梁研究
②画受力图
0)( iA Fm由
3
2,032 PNaNaP
BB
0 X
0?AX
0 Y 3,0 PYPNY ABA
P
A B2a a
YA
XA
NB
设有 F1,F2 … Fn 各平行力系，
F
xF
R
Mx iiO
R '
FRR O '主矢
iiiOO xFFmM )(主矩
§ 3-5 平面平行力系的平衡方程平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～。
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
向 O点简化得：
合力作用线的位置为：
R?
平衡的充要条件为主矢 =0 主矩 MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
0)( iA Fm
0)( iB Fm
二矩式条件,AB连线不能平行于力的作用线
0 Y
0)( iO Fm
一矩式实质上是各力在 x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立,所以只有两个独立方程，
只能求解两个独立的未知数。
0X
x1
xn
x2
An
A2A1
F2
F1
Fn
x
y
O
RO
MO
分布载荷 q(x)的合力大小及作用线
q(x)
x
y
O
dx
x
a b
图形面积 ba dxxqR )(
图形形心
b
a
b
a
R
dxxq
xd xxq
x
R
xR
O
q
l
R
l/2 q
l
2l/3
R
qlR?
2
qlR?
0,0 AXX由
02
2; 0)(
aPmaaqaR
Fm
B
A
0Y 0 PqaRY
BA
)kN(122028.0162 8.02022 PamqaR B
)kN(24128.02020 BA RqaPY
[例 ] 已知,P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m
求,A,B的支反力。
解：研究 AB梁解得：
[例 ] 已知：塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？
0)( Fm B
0)22()212(2)26( ANWPQ
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得解,⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0 由0)( Fm A 0)22(2)26( BNPQ
限制条件 为,0?BN 解得 kN 3 5 0?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 Q
04)212(2)26( BNWPQ0)(Fm A
,0iF 0 BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
§ 3-6 静定与静不定问题的概念? 物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念我们学过：
平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
0 X
0Y
0im
0 X
0Y
0)( iO Fm
力偶系平面任意力系当,独立方程数目 =未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目 <未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例 ]
静不定问题在强度力学 （ 材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解 。
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
[例 ]
二、物体系统的平衡问题外力,外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物体系统（ 物系 ）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 ～。
物系平衡的特点：
①物系静止
②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3个平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中有 n个物体）
解物系问题的一般方法：
由整体 局部 （常用）,由局部 整体 （用较少）
解,选整体研究受力如图选坐标、取矩点,Bxy,B点列方程为,
解方程得
①
②
③
④
0X ;0?BX
0 Bm 0 DEPM B
)mN(100011000BM
0Y ;0 PY B PYB?
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
受力如图取 E为矩心，列方程解方程求未知数
045s i n,0 EDPCESm oCAE
①
②
③
④
)N(1 41 417 07.0 11 00 045s i n CEEDPS oCA
再研究 CD杆
[例 3] 已知,F各杆重量不计。
求,A,B和 D约束反力？
0 FM c由
02 aY B
0 BY
解,以整体为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0 Y由
0 FYY BC
FY C
0 X由 0 BC XX (求不出 XB)
我们已经求出 YB,下一步应选取谁做为研究对象呢
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
(三个未知数 )
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
(五个未知数 )
C
A
E
XC Y
C
X’A
Y’A
N’E
(四个未知数 )
0 FM E由
0 aFaY D
FY D
以 DEF为研究对象
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
02 aFaX D
FX D 2
(可以求出 NE)
D F
F
EX’D
Y’D NE
B
0 FM B由
0 FM A由
02 aXaX BD
FXX DB 21
以 ADB为研究对象
B
D
A
XD
XB
XA
YD
YA
YB
B
D F
C
A
FE
a a
a
a
XB
YB XC YC
0 BAD XXX
FXXX DBA
0 X由
0 Y由
0 BAD YYY
FYYY DBA
[例 4] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重求,A,B和 D点的反力 （看出未知数多余三个，不能先整体求出，要拆开）
0 Fm由
0512 PQY G
)kN(502 10550 GY
解,① 研究起重机
0Cm由
016 ' GD YY
)kN(33.8650 DY
0610123,0 QPYYm DBA )kN(100 BY
0,0 PQYYYY DBA )kN(33.48 Y
③
再研究整体
② 再研究梁 CD
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统 —— 桁架
§ 3-7 平面简单桁架的内力分析工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构桁架,由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点杆件
(a)
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型
( 基本三角形 )
三角形有稳定性
(b)
工程力学中常见的桁架简化计算模型
,0 X 0?BX
,0)( Fm A
,0)( Fm B
024 PY B
042 ANP
kN 5,0 BAB YNX
解,① 研究整体，求支座反力一、节点法 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？[例 ]
② 依次取 A,C,D节点研究，计算各杆内力。
0 X 030c o s 012 SS
0Y 030s i n 01 SN A
)(kN10,kN66.8 12 表示杆受压解得 SS
0 X
0Y
030c o s'30c o s 0104 SS
030s i n30s i n' 04013 SSS
1'1 SS?代入
kN 10,kN 10,43 SS解得
kN 66.75?S解得
0 X 0'25 SS
后代入 2'2 SS?
节点 D的另一个方程可用来校核计算结果
0Y 0,'3 SP
,kN 10'3? 解得 S
恰与 相等,计算准确无误。3S
解,研究整体求支反力
0 X 0?AX
0 BM
023 aPaPaY
PY A
①
0Am由 04 aYhS A
hPaS 4
0Y 0s in
5 PSY A?
05?S
0 X 0co s 456 AXSSS?
hPaS?6
二、截面法 [例 ] 已知：如图,h,a,P
求,4,5,6杆的内力。
② 选截面 I-I,取左半部研究
I
I
A'
说明,节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆
21 SS且四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。
21 SS
43 SS
两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。
三、特殊杆件的内力判断
021 SS
①
②
③
[例 ] 已知 P d,求,a.b.c.d四杆的内力？
解,由零杆判式
0 adc SSS
研究 A点：
0Y由
045c o s PS ob
PS b 2?
平面任意力系小结一、力线平移定理是力系简化的理论基础力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm?
;0,0;0,0 '' OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' OMR② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果一矩式 二矩式 三矩式三、
0)(
0
0
Fm
Y
X
O
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
Fm
C
B
A
A,B,C不共线平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程成为恒等式一矩式 二矩式
0X?
0)(
0
Fm
Y
A 0)(
0)(
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线平面汇交力系的平衡方程成为恒等式 0)( Fm A
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0 im
四、静定与静不定独立方程数 = 未知力数目 — 为静定独立方程数 < 未知力数目 — 为静不定五、物系平衡物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体六、解题步骤与技巧解题步骤 解题技巧选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
七、注意问题力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
八、选研究对象技巧画整体受力图；若只有三个未知数（或有二个未知数可以求解出来）则首先以整体为研究对象画每个局部的受力图；优先以只有三个未知数的局部为研究对象
①
②
[例 ] 已知,P=100N,AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且 AB水平,ED铅垂,BD垂直于斜面； 求?和支座反力？
解,研究整体画受力图选坐标列方程
BDS
02.15.2,0 PYm AB
0s i nc o ss i n,0' PYXX AA
5
3
2
2.1 c o s ;
5
4
2
6.1 s i n
AD
CD
AD
AC而
N48 ;N1 3 6, AA YX解得再研究 AB杆，受力如图
0s i n,0 ACYCBSm ABC?由
N7.106
5
49.0
6.1)48(
s i n,
BC
ACYS A
B解得
[例 ] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P时，
求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
0 X由
0s inBSN
0Y
0c o sBSP
gPNPS B t,c o s
解,研究 B
0)( Fm O
0c os MRS A?
0 X
0s inAO SX
0 Y
0c o s OA YS?
PRM PY
O t gPX O
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
[例 ] 已知,F=40kN,各杆重量不计，尺寸如图求,铰链 A,B,C处受力？
解,首先找研究对象
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
A
B
C
F
F
D
E
XA
YA
XF
YF
XA
YA
SBE
SCD
S’BE
S‘CD
XF
YF
四个未知数 四个未知数 四个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m A
B
C
F
XA
YA
XF
YF X
A
YA
SBE
SCD
二个未知数二个方程解得
0 FM F 0222 FYX AA
以整体为研究对象
0 FM G 0246 FYX AA
再 以 ABC为研究对象
G
FX A 3
FY A 4
A
B
C
F
XA
YA
SBE
SCD
0 Y 045s i n ABE YS
已经求出
G
FX A 3 FY A 4
再 以 ABC为研究对象
FYS ABE 242
0 X
045c o s FXSS ABECD
FS CD 2
能不能找到合适的研究对象，使一个方程只有一个未知数？
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
F
D
E
XA
YA
XF
YF
四个未知数三个未知数二个方程 三个未知数
A
FB
C D
E
F
2m
2m
2m
2m
S’BE
S‘CD G
NF
XA
YA
G
NF
[练习 ] 已知,P=1000N,各杆单位长度重量为 30N/m，尺寸如图求,A,B,C处约束反力？
解,首先把各杆重量表示出来
3m
3m
4m
P
2m
A
B
C
D
P
C
D180N
180N
150N
XA
YA
MA
A
B
C
180NY’C
X’C XD
YD
180N
YCXC
XA
YA
MA
YB
XB
整体 XA,YA,MA CD YC,CA XC,XB,YB
[练习 ] 已知,AB=r,F,?，不计磨擦求,M和?的关系？
解,首先画受力图
AB NA~F
OA M~NA
M?
` F
A
BO
C D
YO
XO
NC ND
O
AMYO
XO
NA
F
C D
B
A
NC ND
N’A
