第十三章动能定理
§ 13－ 1 力的功一、力的功力的功是力在一段路程内对物体作用的积累效应的度量。力做功的结果是使物体的机械能发生变化
1、常力功的计算常力在直线位移下所作的功
sFsθFW c o s
力的功是代数量
1A
2A
s
F
2、变力功的计算
1A
2A
M
M?sd
rd
r
F
x
y
z（ 1）自然表达式则力在微段路径上所作元功为：
sFsFW dco s
在整个路径 上所作功为：
S?
2
1
2
1
dc o s A
A
A
A
sFsFW
（ 2）矢量表达式则力在微段路径上所作元功为：
rFW d
在整个路径 上所作功为：S?
rFW A
A?
2
1
d
（ 3）直角坐标表达式
kFjFiFF zyx
kzjyixr dddd
zFyFxFW zyx ddd
)(2
1
zFyFxFW zyxAA ddd
2、常见力功的计算
（ 1）重力的功重力作功与路径无关，只与起始位置重心的高度差有关。
12 hhmgW
（ 2）弹性力的功弹性力作功与路径无关，只与其实位置重心的高度差有关。
弹性力,
0lrkkF
弹性力的功,
22212 kW
011 lr
022 lr
其中：
分别为始末位置弹簧的边形量
（ 3）作用于定轴转动刚体上的力、力偶的功
r
d
F
τF
bF
nF
刚体转过微小角位移后力所作的功为：
ddd rFsFrFW
其中，力对轴之矩为：
rFFM z
d FMW z
刚体转过一定角位移后力所作的功为：
2
1
d?
FMW z
当力对轴之矩（力偶矩）为常量时：
12 zMW
§ 13－ 2 动能定理一、动能
1、质点的动能
2
2
1 mvT?
2、质点系的动能
221 iivmT
（ 1）平移刚体的动能
Ci vv
22
2
1
2
1
Cii mvvmT
（ 2）定轴转动刚体的动能
222
222
2
1
2
1
2
1
2
1
zii
iiii
Jrm
rmvmT
ii rv
2
iiz rmJ?
－－定轴转动刚体对转动轴的转动惯量
（ 3）平面运功刚体的动能
A:力的功是过程量，动能是瞬时量。故在某瞬时，
可将平面运功刚体视为绕速度瞬心的定轴转动
2
2
1?
zJT
zJ
平面运功刚体相对速度瞬心的转动惯量令刚体质心为 C；该瞬时速度瞬心为 P：
22
2
1
2
1
Cc mvJT
CJ
平面运功刚体相对质心的转动惯量
B:在某瞬时，在速度瞬心不明显时候，也可将平面运功刚体的运动视为绕质心的定轴转动和随质心的平动两部分运动的合成。
即：平面运动刚体的动能等于，随质心的平移的动能与绕质心的定轴转动动能之和。
二、质点的动能定理
F
dt
vd
m
a
dt
vd
Fam
且在等式两边同时点乘 rd
rFr
t
vm dd
d
d
rrv
t
rv dd
d
d
2
2
1
dd
2
1
d
d
d
d
mvvvm
dtv
t
v
mrd
t
v
m
rFW d且
Wmv
2
2
1d
－－质点动能定理微分式即：质点动能的增量等于作用于质点上外力所作的元功。
积分后得：
Wmvmv 2122 2121
WTT 12或：
即：在一段路程中，质点动能的改变量等于作用于质点上外力在路程上所作的功。
三、质点系的动能定理
iii Wvm
2
2
1d?
求和
iii Wvm?221d
iii Wvm?221d
Tvm ii 221
iWT?d
－－质点系动能定理微分式即：质点系动能的增量，等于作用在质点系上所有力的元功之和。
积分后得,?
iWTT 12
－－质点系动能定理积分式即：质点系在某段路程中始末位置动能的改变量，等于作用在质点系上所有力在相应路程中所作的功之和。
对于刚体：
0 iiW
对于可变形体：
0 iiW
iieii WWW
§ 13－ 3 功率、功率方程一、功率功率：单位时间内力所做的功，即
t
wP
d
vFvF
t
rF
t
wP
d
d
d
zz M
t
M
t
wP
d
d
d
对于作用于刚体上的力（力偶）功率：
二、功率方程
n
i
i
n
i
P
t
W
t
T
11
2
dd
d?
利用动能定理微分式，动能对时间的一阶导数等于作用于质点系所有力功率的代数和
§ 13－ 3 势力场、势能、机械能守恒定律一、势力场力场,质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，此空间称为力场。
势力场,场力作功只决定于力作用点的始末位置，而与路径无关的力场。如：重力场、万有引力场、弹性力场保守力,势力场内对应的场力。如：重力、万有引力、
弹性力等二、势能
1
2
1
2
dddd M
M zyx
M
M
zFyFxFrFV
0M
－－势能零点势能,势力场中，质点从位置 运动到位置,有势力所作功称为位置 相对位置 的势能。
0M 1M
0M1M
三、机械能守恒定理系统只在有势力作用下运动时，其机械能保持不变
VT 常数例 1 已知：轮 0半径质量分别为,,质量分布在轮缘上 ; 均质轮 C半径质量分别为,,纯滚动,
初始静止,M为常力偶。
求：轮心 C走过路程 S时的速度和加速度
1m
2m
1R
2R
解,轮 C与轮 O共同作为一个质点系
SgS i nmMW ·212
01?T
2
2
2
22
2
22
2
1
2
112 )2
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2
1
2
1)(
2
1 RmmRmT
2
2
1
1,RR
CC
1R
S
)32(
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211
12
mmR
SS ingRmM
C?
)32(
4
· 21
2
2 mmSS ingmM
C )(a
1212 TTW
式 (a)是函数关系式，两端对 t求导，得
C
C
CC S i ngmRMmm
·)32(
2
1
2
1
21
121
12
)32(
)(2
Rmm
S inRgmM
C?
例 2：已知 均质园轮 m,r,R,纯滚动求：轮心 Ｃ 的运动微分方程解,
,432121 222 CCC mJmT
重力的功率
sP m g m g
t
d
d
sP m g m g
t
d
d
smg
t
d
d
t
smg
d
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d
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sm
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C
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（ 很小）
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2
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03
2
d
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2
2
rR
gs
t
s
本题也可用机械能守恒定律求解。
243,c o s1 CmTrRmgV
0dd TVt 0s in
3
2
d
d
2
2
gt s得例 3：已知 l,m
求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。
c o s
2
lCP
CC
解：
成 角时?
,01?T
2
2
22
2 c o s3
11
2
1
2
1
2
1
CCC mJmT
22
c o s3
11
2
1s i n1
2 C
mlmg?
l
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C
3,3
2
1
（ a ）CN maFmg
（ b）
122
2ml
JlF CN
时0
nCAtCAAC aaaa由
tCAC aa,nCAA aa,其中,铅直 水平
2laa tCAC (c)
由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得
4
mgF
N?
§ 13－ 1 力的功一、力的功力的功是力在一段路程内对物体作用的积累效应的度量。力做功的结果是使物体的机械能发生变化
1、常力功的计算常力在直线位移下所作的功
sFsθFW c o s
力的功是代数量
1A
2A
s
F
2、变力功的计算
1A
2A
M
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x
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z（ 1）自然表达式则力在微段路径上所作元功为：
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在整个路径 上所作功为：
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2
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1
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（ 2）矢量表达式则力在微段路径上所作元功为：
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（ 3）直角坐标表达式
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2、常见力功的计算
（ 1）重力的功重力作功与路径无关，只与起始位置重心的高度差有关。
12 hhmgW
（ 2）弹性力的功弹性力作功与路径无关，只与其实位置重心的高度差有关。
弹性力,
0lrkkF
弹性力的功,
22212 kW
011 lr
022 lr
其中：
分别为始末位置弹簧的边形量
（ 3）作用于定轴转动刚体上的力、力偶的功
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刚体转过微小角位移后力所作的功为：
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其中，力对轴之矩为：
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刚体转过一定角位移后力所作的功为：
2
1
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当力对轴之矩（力偶矩）为常量时：
12 zMW
§ 13－ 2 动能定理一、动能
1、质点的动能
2
2
1 mvT?
2、质点系的动能
221 iivmT
（ 1）平移刚体的动能
Ci vv
22
2
1
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（ 2）定轴转动刚体的动能
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2
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－－定轴转动刚体对转动轴的转动惯量
（ 3）平面运功刚体的动能
A:力的功是过程量，动能是瞬时量。故在某瞬时，
可将平面运功刚体视为绕速度瞬心的定轴转动
2
2
1?
zJT
zJ
平面运功刚体相对速度瞬心的转动惯量令刚体质心为 C；该瞬时速度瞬心为 P：
22
2
1
2
1
Cc mvJT
CJ
平面运功刚体相对质心的转动惯量
B:在某瞬时，在速度瞬心不明显时候，也可将平面运功刚体的运动视为绕质心的定轴转动和随质心的平动两部分运动的合成。
即：平面运动刚体的动能等于，随质心的平移的动能与绕质心的定轴转动动能之和。
二、质点的动能定理
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即：在一段路程中，质点动能的改变量等于作用于质点上外力在路程上所作的功。
三、质点系的动能定理
iii Wvm
2
2
1d?
求和
iii Wvm?221d
iii Wvm?221d
Tvm ii 221
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－－质点系动能定理微分式即：质点系动能的增量，等于作用在质点系上所有力的元功之和。
积分后得,?
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－－质点系动能定理积分式即：质点系在某段路程中始末位置动能的改变量，等于作用在质点系上所有力在相应路程中所作的功之和。
对于刚体：
0 iiW
对于可变形体：
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§ 13－ 3 功率、功率方程一、功率功率：单位时间内力所做的功，即
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11
2
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利用动能定理微分式，动能对时间的一阶导数等于作用于质点系所有力功率的代数和
§ 13－ 3 势力场、势能、机械能守恒定律一、势力场力场,质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，此空间称为力场。
势力场,场力作功只决定于力作用点的始末位置，而与路径无关的力场。如：重力场、万有引力场、弹性力场保守力,势力场内对应的场力。如：重力、万有引力、
弹性力等二、势能
1
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－－势能零点势能,势力场中，质点从位置 运动到位置,有势力所作功称为位置 相对位置 的势能。
0M 1M
0M1M
三、机械能守恒定理系统只在有势力作用下运动时，其机械能保持不变
VT 常数例 1 已知：轮 0半径质量分别为,,质量分布在轮缘上 ; 均质轮 C半径质量分别为,,纯滚动,
初始静止,M为常力偶。
求：轮心 C走过路程 S时的速度和加速度
1m
2m
1R
2R
解,轮 C与轮 O共同作为一个质点系
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式 (a)是函数关系式，两端对 t求导，得
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1
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21
121
12
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S inRgmM
C?
例 2：已知 均质园轮 m,r,R,纯滚动求：轮心 Ｃ 的运动微分方程解,
,432121 222 CCC mJmT
重力的功率
sP m g m g
t
d
d
sP m g m g
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d
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243,c o s1 CmTrRmgV
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2
gt s得例 3：已知 l,m
求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。
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解：
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2
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