第十四章达朗贝尔原理
(动静法)
§ 14-1 惯性力、质点的达朗贝尔原理一、惯性力由牛顿第二定律:
NFFam
0 amFF N
引入记号
amF I
x
y
z
F
NF R
F
a
IF
M
二、质点的达朗贝尔原理将惯性力引入牛顿第二定律中得:
0 IN FFF
--质点的达朗贝尔原理即:质点在主动力,约束反力和虚拟的惯性力的共同作用下处于平衡状态。
惯性力,是一个虚拟的、作用于质点上的力。大小等于质点的质量与质点加速度的乘积;方向与质点加速度方向相反(即上式中的负号仅表示方向相反)。
IF
--称为质点的惯性力例 14- 1:单摆的摆长为 l,摆锤质量为 m,求其摆的运动微分方程及绳子的张力。
1、受力分析及运动分析;重点分析质点的加速度解:
2,
lala
n
2,
mlFmlF InI
TF
P
InF
τIF
na?a?
2、根据加速度分析加惯性力;方向如图示,大小为:
3、由达朗贝尔定理列平衡方程得:
0s in0 mgFF I
0c o s0 TInn FmgFF?
0s in
l
g
2c o sc o smlPFPF
InT
--单摆的运动微分方程
--绳子的张力
§ 14-2 质点系中的达朗贝尔原理由质点的达朗贝尔原理:
0 IiNii FFF
对于质点系中的质点,所受主动力、约束力实际上就是外力、内力。故上式可写为:
0
Ii
i
i
e
i FFF
0
0000 Ii
i
i
e
i FMFMFMM
0
Ii
i
i
e
iR FFFF
,0,0
0
i
i
i
i FMF
因对于质点系的内力系、外力系、惯性力系也构成平衡力系;简化后,其主矢、以及主矢对任一点之矩的主矩为:
即:作用在质点系上的外力和虚加在每个质点上的惯性力,在形式上构成平衡力系






0
0
00 Ii
e
i
Ii
e
i
FMFM
FF
—— 质点系的达朗贝尔原理
§ 14-3 惯性力系的简化一、平移刚体以质心为简化点二、定轴转动刚体
CiiIiIR amamFF
0?ICM
刚体上某质点的加速度及对应惯性力为:
2,
i
n
iii rara
O
2?
ii
n
ii
n
Ii rmamF
iiiiIi rmamF
ia
n
ia
n
IiF
IiF
刚体上各质点的惯性力向转动中心简化为:

CiiiiIR amrmamF
n
Cii
n
ii
n
IR amrmamF
2?


Oii
n
IiOIiOIO
Jrm
FMFMM



0
O
ia
n
ia
n
IiF
IiF
C
n
IRF
IRF
IOM
即:向转动轴简化后的结果为:

CIR maF?
n
C
n
IR maF?
OIO JM?
若向质心简化,其结果为:
O
ia
n
ia
n
IiF
IiF
C
n
IRF
IRF
ICM
CIR maF?
n
C
n
IR maF?
CIC JM?
即:简化中心从 O点移到 C
点,主矢不变,主矩变化。
CJ
刚体对质心的转动惯量三、平面运动刚体平面运动刚体的惯性力系可简化为堆成平面内的平面力系。
平面运动刚体的运动可分解为:
随质心 C(基点)的平移相对质心 C(基点)的转动则简化结果为:
CIR amF
CIC JM
C
Ca
IRF
ICM
例 14- 2:平板 ABCD重 P,质心在 O点,如图示的三个点处用三根绳挂于铅锤平面内。
求:单 C处绳突然剪断的瞬间,求二绳的张力。
C
AB
D
O1 O2
60
a
b
P
解:
( 1)确定研究对象选取平板 ABCD为研究对象
( 2)加速度分析、
受力分析平板作平移,但质心点在开始的瞬时的运动为圆周运动,加速度如图示:
C
AB
D
O
Oa
n
Oa
根据质心加速度加惯性力:
n
IF
IF

ooI a
g
PamF
0 nonI amF
加约束力和主动力
2T
1T
P
C
AB
D
O
2T
1T
Pn
IF
IF
( 3)建坐标,由达朗贝尔原理列平衡方程求解
060c o s0 PFF Ix?
060s in0 21 PFTTF nIy
x
y

060co s
2
60s i n
22
60s i n0
2


b
F
b
F
b
PbTFM
I
IO
解得:
1T 2T
例 14- 3:均质杆 OA重 W,长为 l,立于图示位置,
受微小干扰后从静止开始倒下。
求:杆此时的角加速度,O点的约束力
O
30
A
解:
( 1)杆作定轴转动,研究其质心加速度
O
30
A
C
Ca
n
Ca
,
2
l
g
Wa
g
WF
CI
( 2)根据质心加速度加惯性力
0 nCnI a
g
WF
IM
n
IF
IF
CI JM?

2
la
C?
02 2la nC
A
C IM
n
IF
IF
oxF
oyF W
( 3)进行受力分析,根据达朗贝尔原理,列平衡方程
030c o s0IOxx FFF
030s in0IOyy FWFF
030s i n
22
0 lWlFMFM IIO?
,OxF,OyFIF
解上式可求得: