第五章摩擦
工程问题－赛车起跑为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面摩擦生烟？
工程问题－赛车结构为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？
工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题摩擦的微观机理摩擦的微观机理摩擦的分类干摩擦 — 固体对固体的摩擦；
流体摩擦 — 流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。
摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦
§ 5-1 滑动摩擦力
FP FP
mg
FN
F
由,?Fx=0 FP－ F=0
讨论,1、当 FP=0 时,F=0；
2、当 0＜ FP≤Fpmax（使物体运动的临界值）
F = FP
F = FP
物体平衡时：
物块仍静止当 F = Fpmax时,F=Fmax 最大静摩擦力
（且 Fdmax略低于 Fmax），若 FP再增加，则 F基本保持为常值 Fd
库仑定律,F max = fs
FN
fs称为静摩擦系数
FP
W
F
FN
F
FPO 45?
Fmax
Fd
运动状态静止状态临界状态物体开始沿力 FP方向滑动。同时 Fmax突然变至动滑动摩擦力 Fd
Fmax
Fd
运动状态静止状态临界状态F
FPO
静止状态临界状态 — F＝ F max = fs FN
运动状态
— F＝ Fd
— F＝ FP＜ F max
一般静摩擦力的值,0 ≤ F≤Fmax
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
2 大小：
3 （库仑摩擦定律）
与 相对滑动趋势 反向；
2 大小：
动滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，与 相对运动方向 反向；
§ 5-1摩擦角与自锁现象
F
FN
总约束力
FR（全反力）
与法向 约束力
FN作用线之间的夹角为?
FR? FN
Fs
一、摩擦角：
开始运动前,?角随 FP的改变而改变，
临近运动时达到最大值?m称摩擦角
0m
当 F=Fmax时，
s
N
m fF
F m a xt a n?
故,sm far ct an
摩擦角的正切等于静摩擦系数。且都是表示两物体间干摩擦性质的物理量。
FR? FN
Fs
FP
FN
Fma
x
FR
m
关于摩擦角的两点结论：
是静摩擦力取值范围的几何表示。
三维受力状态下，
摩擦角变为 摩擦锥 。
0 ≤ F≤Fmax 与 0m
两式等价二、自锁现象：
FN
W xW y
F s
斜面上刚性块的运动趋势不滑动
W xW
y
F s FN
滑动
Wy x
F s FN
临界状态斜面上刚性块的运动趋势
Wy W x
F FN
FN
W xW y
F
W xW
y
F FN
不滑动滑 动临界状态不仅斜面与物块系统具有这种现象，考察平面－
物块系统的运动趋势：
FQF
Q
主动力作用线位于摩擦角范围内时，不管主动力多大，物体都保持平衡，这种现象称为自锁。
当m时,
主动力作用线位于摩擦角范围以外时，不管主动力多小，物体都将发生运动。
当m时,
主动力作用线与法线之间的夹角等于摩擦角时物体处于临界状态。
当?=?m时,
当?=?m时,当m时,当m时,
物块静止（自锁） 物块滑动 平衡与运动的临界状态
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件斜面自锁条件螺纹自锁条件一、两种运动趋势与临界运动状态
1、滑动（ slip)
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
§5-3摩擦平衡问题
2、翻 倒（ tip over)
W
FP
Fs
FN
W
FP
s
FN
P
W
FP
Fs
N
W
FP
s
FN
二、两类摩擦平衡问题
F? F max，,物体处于静止状态,已知主动力求约束力，
与一般平衡问题无异。
第一类 问 题
平衡问题 — 临界运动趋势确定平衡位置；
第二类 问 题
F ＝ F max
不平衡问题 — 滑动或翻倒确定各主动力之间的关系。[
òa ￡o èyé oí
Dé μê á ae?a 20
kg oí 10 kg ￡? ·?°
μ| °á òò êya f
s
= 0,4?￡
è¨￡ o?t ì
°￠ éˉ êa￡ü
êó μ ′ó á|?￡
á? à-?| °á oa?ê ìa
| °á êa
μ oa?ê ìa
àyày ìaìa 1
F
解：分析几种可能运动趋势 —
¤ 三角块滑动；
¤ 三角块与矩形块一起滑动。
例 题 1
F
¤ 三角块翻倒；
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间
¤ 三角块滑动 —
约束力作用点在 A、
B两点之间。
例 题 1
F
AB
C D
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B
FP
F
FN
W
¤ 三角块滑动 — 约束力作用点在 A,B两点之间。
Fx = 0
F-FP = 0
Fy = 0
FN-W= 0
库仑定律
F? fs FN
FP?
78.48N
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B。
MB(F)= 0
FP?1.0 -
W? 0.5=0 FP
F
FN
W 1 m
0.5 m
FP= 98.1N
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间。
W ′
W
FP
F
FN
Fx = 0
F-FP = 0
Fy = 0
FN-W- W ′= 0
库仑定律
F? fs FN
FP? 117.7N
结 论上述结果表明，仅三角块可能发生滑动，
可以施加的最大力为 FP? 78.48N
¤ 三角块不滑动，所能施加的最大力为
FP? 78.48N¤
三角块不翻倒，所能施加的最大力为
FP＝ 98.1N
¤ 三角块与矩形块都不滑动，所能施加的最 大力为
FP? 117.7N
[例 5-2] 重为 400N的重物放在斜面上。物体与斜面的静摩擦因数 。斜面的倾角 。为使物体不滑动，在物体上施加一水平力 。求该力的最大与最小值。
2.0?sf?30
F?
30
物块位于斜面上，有向下滑动的趋势。
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
阻力较小，摩擦力阻止其向下运动
阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
F?
分析
0
1
n
i
ixF 0s i nc o s gmm i n FFF
0
1
n
i
iyF 0c o ss i n gNm i n FFF
N31.1 3 5s i nc o s c o ss i n
s
s
m i n
f
fF
利用
Nsm FfF?
第一种情况
m
F
N
F
2
F
G
m
(a) ( b )
m
m i n
F
G
m i n
F
1
F
x
y
如右图，建立参考基，利用静力平衡关系合力作用线第二种情况
m
F
N
F
G
m
(a)
F
2
F
(b )
m
G
m a x
F
1
F
x
y
0
1
n
i
ixF
0 s i nFFco sF gmm a x
0
1
n
i
iyF 0 co sFFs i nF gNm a x
N.s i nfco s co sfs i nF
s
s
m a x 53351
由
Nsm FfF?
如右图，建立参考基,同样利用平衡条件
[例 5-3]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 。脚端 A与 B和地面的摩擦因数分别为 。在折叠梯的 AC侧的中点处有一重为 500N的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。
60
6.0,2.0 sBsA ff
Ay
F
Ax
F
Bx
F
G
C
A
B
By
F
x
y
(a)
处理此类问题时首先 假定系统为平衡 。由于系统不一定处于静摩擦的临界情况，可通过平衡方程 求得这些未知的 静摩擦力 。所得的结果必须与 极限静摩擦力 进行比较，以确认上述系统平衡的假定是否成立。
令脚端 A与 B的理想 约束力 分别为
ByAy FF
与静摩擦力分别为 BxAx FF 与以整体为对象，令等边三角形的边长为 b，建立如图参考基，有平衡方程
0)(
1
n
i
iAz FM
025.0 bGbF By
N12525.0 GF By
0
1
n
i
iyF
0 GFF ByAy
N3 7 5 ByAy FGF
Ay
F
Ax
F
Bx
F
G
C
A
B
By
F
x
y
(a )
Ay
F
Ax
F
Bx
F
G
C
A
C
F
B
F
B
By
F
x
y
Bx
F
By
F
(a )
(b )
以 杆 BC 为对象，由于不计杆件的重量，该杆为 二力杆,即摩擦力与理想约束力的合力与铰
C 的约束力均沿杆的轴线。由图 b的矢量几何
，有,
N.t a nFF ByBx 177230
再以 整体 为对象，有平衡方程
0
1
n
i
ixF
0 BxAx FF N17.72
BxAx FF
下面判断系统是否处于静平衡脚端 A 与 B 的 极限静摩擦力 分别为,
N75sm AyAA FfF
N75sm ByBB FfF
脚端 A与 B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处于平衡的假定成立 。
Ay
F
Ax
F
Bx
F
G
C
A
B
By
F
x
y
(a)
滚动代替滑动的例子
5-4 滚动摩擦滚动阻碍的概念刚性约束模型的局限性不平衡力系根据刚性约束模型，
得到 不平衡力系,即不管力 FT 多么小,都会发生滚动，这显然是不正确的。
FN
FT
F
FP
柔性约束模型与滚动阻碍分析变形,未滚动实际轮 -----轨并非刚体，产生小量接触变形，
将影响约束力的分布柔性约束模型与滚动阻碍分析滚动，分布力系滚动摩擦产生的原因：重为 G的圆柱体沿水平面运动时，
因为二者间的 局部变形 引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动的阻力，如图
G G
NF
fF
F?
F?
将这些阻力向
A点简化，可得一主矢和一主矩
RF
fM?
)(),(
,
法向切向方向分解可向
Nf
R
FF
yxF
为滚动摩擦所特有力偶矩滚动阻摩擦力的性质具有滑动理想约束力
,
,
,
f
fN
M
FF
O
O
A
G
fF
F?
RF
fM?
O
A
讨论：
NF
（ 1）主动力 F 由零逐步增大，而圆柱体处于平衡状态，由平面任意力系的平衡方程，有：
n
i
fiOz
N
n
i
iy
f
n
i
ix
)r(FrM)F(M
GFF
FFF
1
1
1
0
0
0
为圆柱体半径
（ 2）
圆柱体开始滚动再增大若圆柱体开始滑动
,,
,
FMM
FF
mf
mf
实际上，由于 滑动摩擦因子较大,圆柱滚动前不会发生滑动,即我们称之为纯滚动时,mfmf FFMM
实验证明：
与接触物体的性质有关点的距离到简化中心化为纯主矢时物理意义是将摩擦力简其量纲为长度单位称为滚阻系数其中
,
,
,,
A
B
FM Nm
ff MFF,,
G
fF
F?
RF
fM?
O
A
NF
G
O
NF
fF
F?
B
RF?
滚动阻力偶矩的取值范围
0? M f? M f max
其中 M f max＝ FN
—滚动阻碍系数 (长度单位 )
滚动阻力偶 M f是由于轮轨接触变形而形成的，与滑动摩擦力 F一样，是约束反力的一部分，且有最大限定值为两者接触变形区域大小的一种度量车轮与钢轨间,?≈0.5mm ； 硬质合金钢球与轴承?≈0.1mm
为什么滚动比滑动省力滑动摩擦力是阻力滑动摩擦力 F是驱动力足够大的 F与拉力 FT形成足够大的主动力偶才能克服滚动阻力偶 Mf,使轮滚动。
轮胎为什么要刻花纹？
雪地行车为什么要挂链条？
FT1=Fmax=fsFN=fsW
rWr
FFF N
T
2
一般情况下,?/r＜＜ fS
故,FT2 ＜＜ FT1
可见,F ＜＜ Fmax
[例 5-4]在搬运重物时常在下面垫些滚木，如图所示。重物重 G0
，滚木重 G，半径为 r。滚木与重物和地面的滚阻因数分别为?0
和? 。求将要拉动重物时的拉力 F。
x
q
y
q
O
G
0
q
G
2N
F
q
2f
F
q
q
q
1f
F
q
1N
F
G
q
F
q
0
G
q
以整个系统为对象
Fix
i
n
1
0 2f1f FFF
Fiy
i
n
1
0 GGFF 202N1N
这里共有 5个未知量，再加一个力矩方程也无法求解。 需增加方程 。
受力情况如图。有平衡方程,
以左滚木为对象。将滚动摩擦力按纯主矢的方式简化，受力情况如图所示。对点 A取矩
0
q
G
q
0
q
G
q
A
B
1N
F
1f
F
q
2N
F
2f
F
q
3f
F
4N
F
3N
F
4f
F
G
q
0)(
1
n
i
iAz FM
02)( 01f01N GrFF
以右滚木为对象。受力情况如图所示。对点 B取矩
0)(
1
n
i
iBz FM
02)( 02f02N GrFF
联立以上四式
F G Gr0 0 22( )
x
q
y
q
O
G
0
q
G
2N
F
q
2f
F
q
q
q
1f
F
q
1N
F
G
q
F
q
0
G
q
已知,不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求,挺杆不被卡住之 值。
例 5-5
解得：
则：挺杆不被卡住时，
解,取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置。
。
用几何法求解例 5-5。
解：
例 5-6
工程问题－赛车起跑为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面摩擦生烟？
工程问题－赛车结构为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？
工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题摩擦的微观机理摩擦的微观机理摩擦的分类干摩擦 — 固体对固体的摩擦；
流体摩擦 — 流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。
摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦
§ 5-1 滑动摩擦力
FP FP
mg
FN
F
由,?Fx=0 FP－ F=0
讨论,1、当 FP=0 时,F=0；
2、当 0＜ FP≤Fpmax（使物体运动的临界值）
F = FP
F = FP
物体平衡时：
物块仍静止当 F = Fpmax时,F=Fmax 最大静摩擦力
（且 Fdmax略低于 Fmax），若 FP再增加，则 F基本保持为常值 Fd
库仑定律,F max = fs
FN
fs称为静摩擦系数
FP
W
F
FN
F
FPO 45?
Fmax
Fd
运动状态静止状态临界状态物体开始沿力 FP方向滑动。同时 Fmax突然变至动滑动摩擦力 Fd
Fmax
Fd
运动状态静止状态临界状态F
FPO
静止状态临界状态 — F＝ F max = fs FN
运动状态
— F＝ Fd
— F＝ FP＜ F max
一般静摩擦力的值,0 ≤ F≤Fmax
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
2 大小：
3 （库仑摩擦定律）
与 相对滑动趋势 反向；
2 大小：
动滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，与 相对运动方向 反向；
§ 5-1摩擦角与自锁现象
F
FN
总约束力
FR（全反力）
与法向 约束力
FN作用线之间的夹角为?
FR? FN
Fs
一、摩擦角：
开始运动前,?角随 FP的改变而改变，
临近运动时达到最大值?m称摩擦角
0m
当 F=Fmax时，
s
N
m fF
F m a xt a n?
故,sm far ct an
摩擦角的正切等于静摩擦系数。且都是表示两物体间干摩擦性质的物理量。
FR? FN
Fs
FP
FN
Fma
x
FR
m
关于摩擦角的两点结论：
是静摩擦力取值范围的几何表示。
三维受力状态下，
摩擦角变为 摩擦锥 。
0 ≤ F≤Fmax 与 0m
两式等价二、自锁现象：
FN
W xW y
F s
斜面上刚性块的运动趋势不滑动
W xW
y
F s FN
滑动
Wy x
F s FN
临界状态斜面上刚性块的运动趋势
Wy W x
F FN
FN
W xW y
F
W xW
y
F FN
不滑动滑 动临界状态不仅斜面与物块系统具有这种现象，考察平面－
物块系统的运动趋势：
FQF
Q
主动力作用线位于摩擦角范围内时，不管主动力多大，物体都保持平衡，这种现象称为自锁。
当m时,
主动力作用线位于摩擦角范围以外时，不管主动力多小，物体都将发生运动。
当m时,
主动力作用线与法线之间的夹角等于摩擦角时物体处于临界状态。
当?=?m时,
当?=?m时,当m时,当m时,
物块静止（自锁） 物块滑动 平衡与运动的临界状态
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件斜面自锁条件螺纹自锁条件一、两种运动趋势与临界运动状态
1、滑动（ slip)
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
FP
W
FRFN
Fmax
§5-3摩擦平衡问题
2、翻 倒（ tip over)
W
FP
Fs
FN
W
FP
s
FN
P
W
FP
Fs
N
W
FP
s
FN
二、两类摩擦平衡问题
F? F max，,物体处于静止状态,已知主动力求约束力，
与一般平衡问题无异。
第一类 问 题
平衡问题 — 临界运动趋势确定平衡位置；
第二类 问 题
F ＝ F max
不平衡问题 — 滑动或翻倒确定各主动力之间的关系。[
òa ￡o èyé oí
Dé μê á ae?a 20
kg oí 10 kg ￡? ·?°
μ| °á òò êya f
s
= 0,4?￡
è¨￡ o?t ì
°￠ éˉ êa￡ü
êó μ ′ó á|?￡
á? à-?| °á oa?ê ìa
| °á êa
μ oa?ê ìa
àyày ìaìa 1
F
解：分析几种可能运动趋势 —
¤ 三角块滑动；
¤ 三角块与矩形块一起滑动。
例 题 1
F
¤ 三角块翻倒；
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间
¤ 三角块滑动 —
约束力作用点在 A、
B两点之间。
例 题 1
F
AB
C D
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B
FP
F
FN
W
¤ 三角块滑动 — 约束力作用点在 A,B两点之间。
Fx = 0
F-FP = 0
Fy = 0
FN-W= 0
库仑定律
F? fs FN
FP?
78.48N
¤ 三角块翻倒 —
约束力作用在角点 B。
MB(F)= 0
FP?1.0 -
W? 0.5=0 FP
F
FN
W 1 m
0.5 m
FP= 98.1N
¤ 二者一起滑动 —
约束力作用点在 C、
D两点之间。
W ′
W
FP
F
FN
Fx = 0
F-FP = 0
Fy = 0
FN-W- W ′= 0
库仑定律
F? fs FN
FP? 117.7N
结 论上述结果表明，仅三角块可能发生滑动，
可以施加的最大力为 FP? 78.48N
¤ 三角块不滑动，所能施加的最大力为
FP? 78.48N¤
三角块不翻倒，所能施加的最大力为
FP＝ 98.1N
¤ 三角块与矩形块都不滑动，所能施加的最 大力为
FP? 117.7N
[例 5-2] 重为 400N的重物放在斜面上。物体与斜面的静摩擦因数 。斜面的倾角 。为使物体不滑动，在物体上施加一水平力 。求该力的最大与最小值。
2.0?sf?30
F?
30
物块位于斜面上，有向下滑动的趋势。
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
阻力较小，摩擦力阻止其向下运动
阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
F?
分析
0
1
n
i
ixF 0s i nc o s gmm i n FFF
0
1
n
i
iyF 0c o ss i n gNm i n FFF
N31.1 3 5s i nc o s c o ss i n
s
s
m i n
f
fF
利用
Nsm FfF?
第一种情况
m
F
N
F
2
F
G
m
(a) ( b )
m
m i n
F
G
m i n
F
1
F
x
y
如右图，建立参考基，利用静力平衡关系合力作用线第二种情况
m
F
N
F
G
m
(a)
F
2
F
(b )
m
G
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1
F
x
y
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ixF
0 s i nFFco sF gmm a x
0
1
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i
iyF 0 co sFFs i nF gNm a x
N.s i nfco s co sfs i nF
s
s
m a x 53351
由
Nsm FfF?
如右图，建立参考基,同样利用平衡条件
[例 5-3]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 。脚端 A与 B和地面的摩擦因数分别为 。在折叠梯的 AC侧的中点处有一重为 500N的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。
60
6.0,2.0 sBsA ff
Ay
F
Ax
F
Bx
F
G
C
A
B
By
F
x
y
(a)
处理此类问题时首先 假定系统为平衡 。由于系统不一定处于静摩擦的临界情况，可通过平衡方程 求得这些未知的 静摩擦力 。所得的结果必须与 极限静摩擦力 进行比较，以确认上述系统平衡的假定是否成立。
令脚端 A与 B的理想 约束力 分别为
ByAy FF
与静摩擦力分别为 BxAx FF 与以整体为对象，令等边三角形的边长为 b，建立如图参考基，有平衡方程
0)(
1
n
i
iAz FM
025.0 bGbF By
N12525.0 GF By
0
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n
i
iyF
0 GFF ByAy
N3 7 5 ByAy FGF
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F
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F
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B
By
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Ay
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F
G
C
A
C
F
B
F
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By
F
x
y
Bx
F
By
F
(a )
(b )
以 杆 BC 为对象，由于不计杆件的重量，该杆为 二力杆,即摩擦力与理想约束力的合力与铰
C 的约束力均沿杆的轴线。由图 b的矢量几何
，有,
N.t a nFF ByBx 177230
再以 整体 为对象，有平衡方程
0
1
n
i
ixF
0 BxAx FF N17.72
BxAx FF
下面判断系统是否处于静平衡脚端 A 与 B 的 极限静摩擦力 分别为,
N75sm AyAA FfF
N75sm ByBB FfF
脚端 A与 B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处于平衡的假定成立 。
Ay
F
Ax
F
Bx
F
G
C
A
B
By
F
x
y
(a)
滚动代替滑动的例子
5-4 滚动摩擦滚动阻碍的概念刚性约束模型的局限性不平衡力系根据刚性约束模型，
得到 不平衡力系,即不管力 FT 多么小,都会发生滚动，这显然是不正确的。
FN
FT
F
FP
柔性约束模型与滚动阻碍分析变形,未滚动实际轮 -----轨并非刚体，产生小量接触变形，
将影响约束力的分布柔性约束模型与滚动阻碍分析滚动，分布力系滚动摩擦产生的原因：重为 G的圆柱体沿水平面运动时，
因为二者间的 局部变形 引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动的阻力，如图
G G
NF
fF
F?
F?
将这些阻力向
A点简化，可得一主矢和一主矩
RF
fM?
)(),(
,
法向切向方向分解可向
Nf
R
FF
yxF
为滚动摩擦所特有力偶矩滚动阻摩擦力的性质具有滑动理想约束力
,
,
,
f
fN
M
FF
O
O
A
G
fF
F?
RF
fM?
O
A
讨论：
NF
（ 1）主动力 F 由零逐步增大，而圆柱体处于平衡状态，由平面任意力系的平衡方程，有：
n
i
fiOz
N
n
i
iy
f
n
i
ix
)r(FrM)F(M
GFF
FFF
1
1
1
0
0
0
为圆柱体半径
（ 2）
圆柱体开始滚动再增大若圆柱体开始滑动
,,
,
FMM
FF
mf
mf
实际上，由于 滑动摩擦因子较大,圆柱滚动前不会发生滑动,即我们称之为纯滚动时,mfmf FFMM
实验证明：
与接触物体的性质有关点的距离到简化中心化为纯主矢时物理意义是将摩擦力简其量纲为长度单位称为滚阻系数其中
,
,
,,
A
B
FM Nm
ff MFF,,
G
fF
F?
RF
fM?
O
A
NF
G
O
NF
fF
F?
B
RF?
滚动阻力偶矩的取值范围
0? M f? M f max
其中 M f max＝ FN
—滚动阻碍系数 (长度单位 )
滚动阻力偶 M f是由于轮轨接触变形而形成的，与滑动摩擦力 F一样，是约束反力的一部分，且有最大限定值为两者接触变形区域大小的一种度量车轮与钢轨间,?≈0.5mm ； 硬质合金钢球与轴承?≈0.1mm
为什么滚动比滑动省力滑动摩擦力是阻力滑动摩擦力 F是驱动力足够大的 F与拉力 FT形成足够大的主动力偶才能克服滚动阻力偶 Mf,使轮滚动。
轮胎为什么要刻花纹？
雪地行车为什么要挂链条？
FT1=Fmax=fsFN=fsW
rWr
FFF N
T
2
一般情况下,?/r＜＜ fS
故,FT2 ＜＜ FT1
可见,F ＜＜ Fmax
[例 5-4]在搬运重物时常在下面垫些滚木，如图所示。重物重 G0
，滚木重 G，半径为 r。滚木与重物和地面的滚阻因数分别为?0
和? 。求将要拉动重物时的拉力 F。
x
q
y
q
O
G
0
q
G
2N
F
q
2f
F
q
q
q
1f
F
q
1N
F
G
q
F
q
0
G
q
以整个系统为对象
Fix
i
n
1
0 2f1f FFF
Fiy
i
n
1
0 GGFF 202N1N
这里共有 5个未知量，再加一个力矩方程也无法求解。 需增加方程 。
受力情况如图。有平衡方程,
以左滚木为对象。将滚动摩擦力按纯主矢的方式简化，受力情况如图所示。对点 A取矩
0
q
G
q
0
q
G
q
A
B
1N
F
1f
F
q
2N
F
2f
F
q
3f
F
4N
F
3N
F
4f
F
G
q
0)(
1
n
i
iAz FM
02)( 01f01N GrFF
以右滚木为对象。受力情况如图所示。对点 B取矩
0)(
1
n
i
iBz FM
02)( 02f02N GrFF
联立以上四式
F G Gr0 0 22( )
x
q
y
q
O
G
0
q
G
2N
F
q
2f
F
q
q
q
1f
F
q
1N
F
G
q
F
q
0
G
q
已知,不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求,挺杆不被卡住之 值。
例 5-5
解得：
则：挺杆不被卡住时，
解,取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置。
。
用几何法求解例 5-5。
解：
例 5-6
