第四章刚体的转动本章学习要点
1.角坐标、角位移、角速度、角加速度。
2.转动惯量、力矩，转动定律。
3.刚体转动的动能定理。
4.角动量定理、角动量守恒定律。
教学基本要求一 理解 描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系,
二 理解 力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理,
三 理解 角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题,
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题,
四 理解 刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律
§ 4－ 1 刚体的平动与转动一、刚体模型
1）理想模型；
2）在外力的作用下，任意两点均不发生相对位移；
3） 内力无穷大 的特殊质点系。
在任何 外力 作用下，其形状和大小 均不发生 改变的物体。
说明：
理解二、刚体运动学
1、刚体的平动刚体上所有点的运动轨迹都相同。
刚体平动 质点运动
1）刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的 圆周运动 。圆面为转动平面定轴转动特点,
2、转动,转动又分定轴转动和非定轴转动,
2） 任一质点运动 均相同，
但 不同。,,?v
熟练掌握
3、一般运动 质心的平动 绕质心的转动+
三、描述刚体定轴转动的物理量
1、参考平面
O
参考面
P
A
B
直线 AB 在做平动，
其上各点可用参考面上的点 P代替
2、角坐标、角速度、角加速度沿 逆时针 方 向转动
)()( ttt
角位移
)( t
角坐标沿 顺时针 方 向转动 < 0?
0>?
o?
P
x
参考方向转动平面
ttt d
dlim
0
角速度方向,右手螺旋方向
刚体 定轴 转动 可以用角速度的 正、负 来表示,
0>?
0<?
z
角加速度
td
d
四、匀变速转动公式刚体 绕 定轴作匀变速转动质点 匀变速直线运动
at 0vv
2
2100 attxx v
)(2 0202 xxa vv
t 0
)(2 0202
2
2100 tt
当刚体绕定轴转动的 =常量 时，刚体做 匀变速转动．
五、角量与线量的关系
ter ω
v
te
2
n
t
r ωa
ra
n
2
t er ωera
t
ω
d
d
tt
ω
2
2
d
d
d
d
a? v
r? ta?
na?
熟练掌握例 2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的角速度,经 300 s 后，其转速达到
18 000 r·min-1,转子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转过多少转？
00?ω
解 令,即,积分ct
ct
t
d
d?
t ttc 00 dd
得
2
2
1 ct
P104例 2
当 t =300 s 时
11 sr a dπ600m i nr00018
3
22 sr a d75
π
3 0 0
π6 0 022
t
c?
22
150
π
2
1 tct
2
2
1 ct
由
2
150
π
d
d t
t
得
tt
t
d
1 5 0
πd
0
2
0
在 300 s 内转子转过的转数
43 103)3 0 0(
4 5 0π2
π
π2
N
r a d
450
π 3t
当切断电风扇的电源后，电风扇并不是马上就停止转动，而是转动一段时间后才停止转动,
即转动的物体也有转动惯性，刚体的转动惯性与什么有关呢？
飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
竿子长些还是短些较安全
？
§ 4-2 力矩 转动定律 转动惯量一、力矩的方向由右手法则确定M?
P
z
O
F?
r?
d
M? *
FdFrMs i n
FrM
对转轴 z 的力矩F?
用来描述力对刚体的转动作用．
掌握
（ 1） 若 力不在转动平面内只能引起轴的变形,对转动无贡献 。
注,对定轴转动问题,如不加说明，所指的力矩是指力在转动 平面内的分力 对转轴的力矩。
讨论
z
O
k?
F?
r?
zF
F?
(3） 几个力同时作用，合力矩为
(2)力矩的方向对于定轴转动可用 正、负号 表示。
F2
r1
F1
r2
r3
F3
合力矩的大小等于各力矩的代数和。
即：
(4)刚体内 作用力 和 反作用力 的力矩互相抵消．
考察任意两个质点 1,2
刚体内力不产生力矩
d 12F
21F
O
掌握
jiij MM
2r
1r
1
2
12M
21M
二、转动定律考察刚体上任意质元：
重点难点
i?
法向分力产生的力矩为零,
对组成刚体的质点系来说：
切向分力的力矩为：
因为内力产生的力矩为零,于是总力矩：
ir)1(?
O r? m
z
F?
tF?
nF?
M?
(2)比较 和对质量连续分布的刚体：
J 表示刚体的转动惯性：
定义转动惯量,
转动定律,?JM?
讨论 （ 1）
t
JJM
d
d
2
i
i
i rmJ
ωM,0? 不变熟练掌握三、转动惯量
dmrJ 2
2
1 ii
n
i
rmJ
描述刚体转动惯性大小的物理量。
质量离散分布
22
22
2
11
2
jjjj rmrmrmrmJ
J 的计算方法
①,确定刚体的质量密度。
②,建立坐标系，坐标原点为轴。
③,确定质量元 dm。
④,由定义计算。? dmrJ 2
质量连续分布
VrmrrmJ
Vjj j
dd 222
a、均匀细棒 (转轴过中心与杆垂直 )
取质元：
b、转轴过棒一端与棒垂直
x
O
x
O
说明：转动惯量与转轴位置有关。
例 1 均匀细棒，求 J =?
四、平行轴定律
2mdJJ
c
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
质量为 的刚体,
如果对其质心轴的转动惯量为,则对任一与该轴平行,相距为 的转轴的转动惯量
CJ
m
d
d
C O
m
掌握质量为 m，长为 L的细棒绕其一端的 J
22
3
1)
2
( mLLmJJ c
2mdJJ c
2
12
1 mLJ
c?
O1
d=L/2
O1’
O2 O2’
转动惯量的大小取决于刚体的 体密度 (质量 )、几何形状以及转轴的位置,
注意 掌握
剩余J
一圆盘质量为
M,半径为 R，如图挖去一小圆盘，求剩余部分的转动惯量。
思考题：
O
2
32
13
MRJ?
剩余薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直
2
2
1 mrJ?
r2r
1
圆筒转轴沿几何轴
)(21 2221 rrmJ
四、典型的几种刚体的转动惯量
l
细棒转轴通过中心与棒垂直
12
2ml
J?
l
细棒转轴通过端点与棒垂直
3
2ml
J?
2r
球体转轴沿直径
5
2 2mrJ?
2r
球壳转轴沿直径
3
2 2mrJ?
五、转动定律应用举例
1,矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2,具有瞬时性且 M,J,?是对同一轴而言的。
J?M
解题方法及应用举例
1.确定研究对象。
2.受力分析（ 只考虑对转动有影响的力矩 ）。
3.列方程求解 (平动物体列牛顿定律方程，
转动刚体列转动定律方程，并利用角 量与线量关系 )。
熟练掌握第一类问题,已知 J和力矩 M,求? 和以 及 F。
书例 2 质量为 mA的物体 A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径 R、质量 mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 物体 B上,B竖直悬挂,滑轮与绳索间无滑动,滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？
(2)物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？
A
B
C
Am
Bm
Cm
解,隔离法，受力分析分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
A
2CBA
B
mmm
gma
21 CBA
BA
mmm
gmm
T
2
)2(
2
CBA
BCA
mmm
gmmm
T
解得：
BA
BA
mm
gmm
TT
21
如令,可得：0
C?m
2） 物体 B 由静止出发作 匀加速 直线运动
asvv 2202
第二类问题,已知运动情况和力矩 M,求 J。
例：测轮子的转动惯量 用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，
一端挂一质量为 m 的物体，
从静止下落 h 用了时间 t,求轮子的转动惯量 J。 h
RM,
m
P144作业
４ -11
h
RM,
mg
T
受力分析：
m,(1 ) maTmg
M,( 2 )?JTR?
物体从静止下落时满足
(3 ) /22ath?
( 4 )?Ra?
T
h
hgtmRJ
2
)2( 22
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动,试 计算 细杆转动到与竖直线成 角时的 角加速度和角速度,
书例 3 一长为 l,质量为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链 O相接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
O mg
θ
解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得 N
F?
Jm g lM s i n
2
1
式中
2
3
1 mlJ? 得 s in
2
3
l
g?
NF?
m,l
O mg
θ
t
θ
θ
ω
t
ω
d
d
d
d
d
d
由角加速度的定义
θθ
l
gωω ds i n
2
3d?
代入初始条件积分得
)co s1(
3
θ
l
g
ω
θ
ωω
d
d?
NF
m,l
O mg
θ
练习,一个飞轮质量 m=60kg,半径 R=0.25m，
以?0=1000r/min的转速转动 。 现要制动飞轮,
要求在 t=5.0s内使它 均匀 减速而最后停下来 。
求 闸瓦对轮子的压力 N为多大？ 设闸瓦与飞轮间滑动摩擦系数?=0.8,飞轮质量看作全部均匀分布在轮外周上 。
解,P145作业 4-16
JNR
将转动惯量代入，可得：
2mRJ?
）（ N392mRN
根据刚体定轴转动定律，可得
NRRfM r
负值表示?与?0的方向相反,和减速转动相对应 。 以 fr表示摩擦力的数值,则它对轮的转轴的力矩为第三类问题,已知运动情况和 J,确定运动学和动力学的联系 ----?，求 M或 F。
例,长为 l、质量为 m
的细杆，初始时的角速度为?0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M阻 。
lo
解,以细杆为研究对象,只有摩擦阻力 产生力矩，由匀变速转动公式：
t 0
00 t
t
0
细杆绕一端的转动惯量 23
1 mlJ?
lo
则摩擦阻力矩为：
JM?阻
0
2
3
1?ml
tM阻
tml
02
3
1 lo
P143作业：
4-1,4-2，,4-6，
4-11,4-13
§ 4-3 角动量角动量守恒定律
r?
力 的时间累积效应：
冲量、动量、动量定理、动量守恒．
力矩 的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理、角动量守恒．
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律方向,右手定则确定
1、质点的角动量
O
x
y
z
大小,
1） 是矢量、状态量
B
A
讨论 掌握
2） 角动量与 参考点 的选取有关
o
o m
m
o
m 掌握
2、质点的角动量定理即累积效应,2
1
12
t
t LLdtM
3、质点的角动量守恒定理守恒条件：
(1)
(2)
熟练掌握
r?
例,彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，
问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？
二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律掌握
1 刚体定轴转动的角动量
2
i
i
i rmL
O ir?
im
iv
JL?
z
i
ii rm )(
2
2、刚体定轴转动的角动量定理
Z
o
)0(iniM?
积分,
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律例如：花样滑冰运动员的
“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；
收臂时转动惯量减小，转速加快。
讨论四 季 变 换熟练掌握
①
再如：跳水运动员的“团身 --展体”动作，
当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，
垂直入水。
③ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。
②
外内 MM >>?
在 冲击 等问题中 L 常量例,光滑水平桌面上 有一长为 2L、质量为 m
匀质细杆，可绕其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量 mL2/3,起初杆静止，桌面上有两个质量均为 m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率 v 相向运动，当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为,
m
v oo
v
m
L
v
3
2
L
v
5
4
L
v
7
6
L
v
9
8（ D）
（ A） （ B）
（ C）
书 例 4 一杂技演员 M由距水平跷板高为
h 处自由下落到跷板的一端 A，并把跷板另一端的演员 N弹了起来．问演员 N可弹起多高?
l l/2
C A
B
M
N
h
设跷板是匀质的，长度为 l,质量为,
跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动，
演员的质量均为 m．假定演员 M落在跷板上，
与跷板的碰撞是 完全非弹性 碰撞．
'm
解 碰撞前 M落在 A点的速度
21
M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M,N具有相同的线速度
2
lu?
M,N和跷板组成的系统，角动量守恒
22M
2
1
12
1
2
2
2
mllmlmuJlmv
l l/2
C A
B
M
N
h
lmm
ghm
mllm
lm
)6(
)2(6
212
2 21
22
M
v
解得演员 N以 u起跳，达到的高度：
h
mm
m
g
l
g
u
h 2
222
)
6
3
(
82
22M
2
1
12
1
2
2
2
mllmlmuJlmv
P143作业：
4-3,4-4,4-5,4-14，
4-15,4-20,4-21
§ 4-4 力矩作功刚体绕定轴转动的动能定理
d
ddd
t
t
rF
sFrFW
dd MW?
2
1
d?
MW
力矩的功一 力矩的功
o r?
v? F?
x
tF?
r?d?d
掌握
1） M恒定 时，
2）几个力矩同时作用时，
3）内力矩做功为零对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移,任何一对 内力作功为零 。
二、力矩的功率
dt
dWP?
dt
dM
MP?
讨 论三、转动动能刚体转动时，各个质点的动能：
刚体的动能为各质元动能的总和：
2
2
1
ii
i
k mE v 222
2
1)(
2
1 Jrm
ii
i
掌握
2
1
2
2 2
1
2
1d2
1
JJMW
四 刚体绕定轴转动的动能定理
2
1
d?
MW 2
1
1
1
dd
d
d?
J
t
J
—— 刚体绕定轴转动的动能定理比较
2
1
2
2 2
1
2
1d vv mmrFW
五、物体系的机械能守恒定律物体系 {平动、转动 },且 只有保守力 作功，
其它力与力矩不作功时，机械能守恒。
v?
o
v?
o
'o
m
p?
T?
R
圆锥摆子弹击入杆
o
v?
以子弹和杆为系统机械能 不 守恒,
角动量守恒；
动量 不 守恒；
以子弹和沙袋为系统动量守恒；
角动量守恒；
机械能 不 守恒,
圆锥摆系统动量 不 守恒；
角动量守恒；
机械能守恒,
讨 论子弹击入沙袋细绳质量不计直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动 刚体的定轴转动
P126书例 2 一长为 l,质量为 m的竿可绕支点 O自由转动．一质量为 m’、速率为 v
的子弹射入竿内距支点为 a 处，
使竿的偏转角为 30o,问子弹的初速率为多少?
解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
)
3
1( 22 malmamv
o
a
'm
v?
30
22 3
3
mam ' l
am
v?
o
a
'm
v?
30
mamalmmalmg 6)3)(2)(32( 22v
222 )
3
1(
2
1?malm
)30c o s1(
2
o lgm)30c o s1( o?m g a
射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统,E =常量．
gm
o
lm,
解,重力矩作功：
900?MdW 重
900 c o s2 dlmg
m g l21?
练习 1,一细杆质量为 m，
长度为 l，一端固定在轴上，
静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。
始末两态动能,2
1 2?JE
k?
由动能定理,0kk EEW
02121 2Jm g l
2
3
1 mlJ?
l
g3
0 0?kE,
gm
o
lm,
练习 2,一质量 M,半径 R 圆盘绕一无摩檫轴转动,盘上绕有轻绳,下端挂物体 m。
求：当 m 由静止下落 h时速度 v？
解：
对 m：
mM
m g hv
2
2
o
N
TG
h
P
T
m
刚体 M
注意和前面的方法比较！
练习 3,一匀质细棒长 l,质量 m,可绕通过其端点 O水平轴转动 。 当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞 。 该物体的质量也为 m,地面的摩擦系数为?。 撞后物体沿地面滑行 s后 而停止 。 求相撞后棒的质心 C 离地面的最大高度 h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件 。
解,第一阶段是棒自由摆落除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。 C
O
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。
因碰撞时间极短,冲力极大,物体虽然受到地面的摩擦力,但可以忽略 。 棒与物体相撞时,
它们组成的系统所受的对转轴 O的外力矩为零,
角动量守恒 。 用 v表示物体碰撞后的速度,则
（ 2）
’ 取正值,表示碰后左摆；反之,向右摆 。
第三阶段物体碰撞后的滑行过程 。
物体作匀减速直线运动,由牛顿第二定律得：
（ 3）
由匀减速直线运动的公式得
（ 4）亦即由 （ 1） （ 2） 与 （ 4） 联合求解,即得
（ 5）
当<0,则棒 向右摆条件,
亦即 L <6?s
由机械能守恒定律,棒上升的最大高度：
把（ 5）代入上式，求得：
当 >0 则棒 向左摆条件,
(6)
亦即 L>6?s；
练习 4,工程上,两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动 。 如图所示,A和 B两飞轮的轴杆在同一中心线上,A轮的转动惯量为
JA=10kg?m2,B的转动惯量为 JB=20kg?m2 。 开始时 A轮的转速为 600r/min,B轮静止 。 C为摩擦啮合器 。 求两轮啮合后的转速；在啮合过程中,
两轮的机械能有何变化？
A
A
C
B A
C
B
作业 P147
4-3 2
解 以 A,B和啮合器 C为系统，啮合过程中，
系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。 系统的角动量守恒。
BABBAA JJJJ ＝
：两轮啮合后共同的角速度,于是
BA
BBAA
JJ
JJ
代入数值得：
sr a d /9.20
或共同转为,m i n/200 rn?
啮合过程中,摩擦力矩作功,所以机械能不守恒,部分机械能将转化为热量,损失的机械能为
J
JJJJE BABA
BA
4
222
1032.1
2
1
2
1
2
1
P147作业：
4-28,4-30,4-31
P142作业,
1； 2； 3； 4； 5； 6； 10； 13； 14；
15； 20； 21； 26； 28； 30； 31
小 结一、基本物理量
VmrL
熟练掌握质点,
刚体,
dmrJ 2
2
1
ii
n
i
rmJ
二、基本定理、定律
1、转动定律
2、动能定理
3、角动量定理
4、角动量守恒定律 条件,M=0
熟练掌握熟练掌握力学内容总结本章介绍了四大定理、四大守恒四大定理
1.动能定理
2.功能原理
3.动量定理
4.角动量定理四大守恒
1.动能守恒
2.机械能守恒
3.动量守恒
4.角动量守恒力学内容总结平动 转动 关系位移速度加速度
12 rrr dtd /rv?
dtd /va?
角位移角速度角加速度
12 dtd /
dtd /
切向加速度
dtdva /
法向加速度
rva n /2?
rrrv?
ra?
2?ra n?
22 naaa
42 ra
匀变速直线运动
atvv 0
2/20 attvx
xavv?2202
匀变速转动
t 0
2/20 tt
2202
平动 转动平动惯性 质量 m 转动惯性 转动惯量 J
2ii rmJ?质点系质量连续分布 dmrJ 2
牛顿第二定律 aF m? 转动定律?J?M
动力学功和能变力的功 rF dW ba 力矩的功 MdW
0
功率?c o s/ FvdtdWP 力矩的功率?MP?
动能 2/2mvE k? 转动动能 2/2?JE k?
质点动能定理
2/2/ 202 mvmvW
质点系动能定理
0kk EEWW 内外刚体定轴转动动能定理
2/2/ 202 JJW
物体系动能定理
0kk EEWW 内外平动 转动功和能其中
2/2mvE k
其中
2/2/ 22?JmvE k
质点系功能原理
0EEWW 内非外物体系功能原理其中
m ghmvE 2/2
0EEWW 内非外
2/2kx
其中
m ghmvE 2/2
2/2/ 22?Jkx
机械能守恒定律
EE?0
除保守力外其它力不作功物体系机械能守恒
EE?0
除保守力外其它力不作功平动 转动
dttt FI 0
动量冲量 dttt M? 0冲量矩
vP m?动量?J?L 刚体角动量 PrL 质点质点动量定理
00 vvF mmdttt
质点系动量定理
00 PPF tt dt
角动量定理
00 LLM tt dt
其中 vP m
动量守恒定律
PP?0
当合外力为 0时角动量守恒定律
LL?0
当合外力矩为 0时解决力学问题的方法
1.确定研究对象；
2.受力分析,
牛顿定律动量定理 考虑所有的力动能定理 考虑作功的力功能原理 除保守力和不作功的力以外其它所有的力转动定律角动量定理 考虑产生力矩的力
3.建立坐标系或规定正向，或选择 0势点。
4.确定始末两态的状态量。
①,动能定理 ----确定 Ek0,Ek
②,功能原理 ----确定 E0,E
③,动量定理 ----确定 P0,P
④,角动量定理 ----确定 L0,L
5.应用定理、定律列方程求解。
6.有必要时进行讨论。
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块 A和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
解
Ra
ra
JrFRF
mamgF
maFmg
2
1
1
2
12
1
2
TT
T
T
r R
β
'F1T 'F2T
FT1 F
T2
mg mg
A B
解得
221
)(
mrmRJ
rRm g rra
2T 2 mamgF
222
)(
mrmRJ
rRm g RRa
1T 1 mamgF
22
)(
mrmRJ
rRmg
例 2,光滑斜面倾角为?，顶端固定一半径为 R,质量为 M 的定滑轮，质量为 m
的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求,下滑的加速度 a 。
RM,
m
解,物体系中先以物体 m 研究对象，
受力分析,
maTmgs i n gm
T
x在斜面 x 方向上补充方程,?Ra?
联立三个方程求解,Mmmga 2 si n2?
2
2
1 MRJ?
定滑轮可视为圆盘，
转动惯量 J
JTR?
以滑轮为研究对象
RM,
m
gm
T
x
例 3,质量为 m、长为 l 的细杆一端固定在地面的轴上可自由转动，问当细杆摆至与水平面 60o角和水平位置时的角加速度为多大。
lm,
解,由转动定律
JM?
gm 231co s2 mllmg?
l
g
2
co s3
gl43 时60
g
l2
3 时0
l
g
2
co s3
lm,
gm
例 4,在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为 M、长为 2l,可绕中心转动的细杆，有一质量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速度? 。
0v
m
lM 2,
o
解,在水平面上，
碰撞过程中系统角动量守恒，
LL?0
Jm l vm l v0 （ 1）
弹性碰撞机械能守恒，
222
0 2
1
2
1
2
1?Jmvmv
（ 2）
联立 (1),(2)式求解
mM
vMmv
3
)3( 0
lmM
mv
)3(
6 0
注意没有关系,?lv?
0v
m
lM 2,
o
m
例 5:细线一端连接一质量 m 小球，另一端穿过水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度?0 转动，用力 F 拉线，使转动半径从
r0 减小到 r0/2 。求,（ 1） 小球的角速度；
（ 2） 拉力 F 做的功。
o
0?
0r解：（ 1） 由于线的张力过轴，小球受的合外力矩为 0，角动量守恒。 F
F
LL?0
JJ?00
2020 mrmr?
2/0rr?
04 半径减小角速度增加。
（ 2）拉力作功。 请考虑合外力矩为 0，
为什么拉力还作功呢？
MdW 0
m
o
0?
0r
F
F
在定义力矩作功时，我们认为只有切向力作功，
而法向力与位移垂直不作功。
但在例题中，小球受的拉力与位移并不垂直，小球的运动轨迹为螺旋线，法向力要作功。
o
r?FnF
F
d
ds
m
o
0?
0r
F
F
由动能定理,0kk EEW
2
00
2
2
1
2
1 JJW
2
0
2
0
2
0
20
2
1)4()
2(2
1 mrrm
023 2020 >mr
6,关于刚体转动惯量，下列说法中正确的是
(A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关,
(B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关,
(C) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置,
(D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关,[C]
7,均匀细棒 OA可绕通过其一端 O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？
(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小,
(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大,
(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小,
（ D）角速度从大到小，角加速度从小到大,
O A
[A]
8,在光滑的水平面上，一根长 L=2m的绳子，
一端固定于 O点，另一端系一质量为 m=0.5kg
的物体，开始时，物体位于位置 A,OA间距离
d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度 VA =4m /s垂直于 OA向右滑动，设在以后的运动中物体到达位置 B，此时物体速度的方向与绳垂直。O
A
B
d
vA
vB
则 此时刻物体对 O点的角动量的大小 LB=,物体速度的大小 vB=,
1N· m· s,1m/s,
9,人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，
地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的
(A)动量不守恒，动能守恒。
(B)动量守恒，动能不守恒。
(C)角动量守恒，动能不守恒。
(D)角动量不守恒，动能守恒。
[ C ]
10,质量 m 的小孩站在半径为 R、转动惯量为 J
的可以自由转动的水平平台边缘上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动 ).平台和小孩开始时均静止,当小孩突然以相对地面为 v 的速率沿台边缘顺时针走动时,则此平台相对地面旋转的角速度? 为
o
(C)
[ A ]
(D)
,顺时针方向
,顺时针方向 R
v
mRJ
mR
2
2
RvJmR
2
RvJmR
2
RvmRJ mR 2
2
(A)
,逆时针方向(B)
,逆时针方向
11,一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度? 按图示方向转动,若如图所示的情况那样,
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度?
[ A ]
F
O F
（ A） 必然增大 ;（ B） 必然减少 ;
（ C） 不会改变 ;（ D） 如何变化,不能确定。
12,一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,
双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的
[ C ]
（ A）机械能守恒,角动量守恒 ;
（ B）机械能守恒,角动量不守恒,
（ C）机械能不守恒,角动量守恒 ;
（ D）机械能不守恒,角动量不守恒,
13,一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮质量为 m,绳下端挂一物体,物体所受重力为 G,滑轮的角加速度为 β 1,若将物体去掉而以与 G相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度 β 2 将
(A)不变 (B)变小
(C)变大
(D)无法判断
G
β 1 β 2RR
解 JGRJGR 22
选 （ C）
JRFJRF TT 11
12 >?
> TFG又
G
1?2
FT’
G
FT
RR
14,一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2m
和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,
滑轮轴光滑,将此系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
m m2
rm,rm,
解,①
②
③
④
⑤
,4/ga?得
'3T
mg
'2T T2
T3 '1T
mg2
T1
ra?
mamgT3
rTT mr 232 21)(
221 21)( mrrTT
maTmg 22 1
3/113 mgT?
15,质量为 m,长为 l 的细杆两端用细线悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬间另一根细线中的张力为多大？
lm,
解,在线烧断瞬间，以杆为研究对象，细杆受重力和线的张力，
gm
T
注意：在细杆转动时，各点的加速度不同,a为细杆质心的加速度。
maTmg （ 1）
以悬挂一端为轴，重力产生力矩。
2
3
1 mlJ?
Jlmg?
2
（ 2）
2lra （ 3）
联立 (1),(2),(3)式求解
mgT 41?
lm,
gm
T
16,如图所示,滑块转动惯量为
0.01kg.m2,半径为 7cm,物体的质量为 5kg,有一细绳与劲度系数
k=200N.m-1的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计。求,（ 1）当绳拉直、
弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。 (2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
Jk
m
,21)1( 2xkm g x?kmgx 2? m49.0?
,)2( 0 mgxk? kmgx /0? m24 5.0?
xkJvmxmg 2020200 212121
mgRJmkv )/( 2 210
1-sm3.1
解：
17,一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个系统以 2?rad/s的角速度旋转，转动惯量为 6.0kgm2.如果将双臂收回则系统的转动惯量变为 2.0kgm2.此时系统的转动动能与原来的转动动能之比 Ek/Ek0为 ____________
3
18,在摩擦系数为?桌面上有细杆，质量为 m、
长度为 l，以初始角速度
0 绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。
olm,
0?
解,以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
确定细杆受的摩擦力矩
olm,
0?
分割质量元 dm
细杆的质量密度为：
lm /
dxdm
质元受的摩擦力矩 d m g xdM
dm
xdxx
2/l
2/l?
细杆受的摩擦力矩
dMM l l 2/ 2/
m g l?41
xd xgl 2/02
始末两态的角动量为,00?JL?
由角动量定理：
0LLM
0
dtt
t
00 04
1 Jm g l d tt
0
2
12
1
4
1 mlm g l t
g
lt
3
0?
0,?L
olm,
0?
dm
xdxx
2/l
2/l?
1.角坐标、角位移、角速度、角加速度。
2.转动惯量、力矩，转动定律。
3.刚体转动的动能定理。
4.角动量定理、角动量守恒定律。
教学基本要求一 理解 描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系,
二 理解 力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理,
三 理解 角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题,
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题,
四 理解 刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律
§ 4－ 1 刚体的平动与转动一、刚体模型
1）理想模型；
2）在外力的作用下，任意两点均不发生相对位移；
3） 内力无穷大 的特殊质点系。
在任何 外力 作用下，其形状和大小 均不发生 改变的物体。
说明：
理解二、刚体运动学
1、刚体的平动刚体上所有点的运动轨迹都相同。
刚体平动 质点运动
1）刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的 圆周运动 。圆面为转动平面定轴转动特点,
2、转动,转动又分定轴转动和非定轴转动,
2） 任一质点运动 均相同，
但 不同。,,?v
熟练掌握
3、一般运动 质心的平动 绕质心的转动+
三、描述刚体定轴转动的物理量
1、参考平面
O
参考面
P
A
B
直线 AB 在做平动，
其上各点可用参考面上的点 P代替
2、角坐标、角速度、角加速度沿 逆时针 方 向转动
)()( ttt
角位移
)( t
角坐标沿 顺时针 方 向转动 < 0?
0>?
o?
P
x
参考方向转动平面
ttt d
dlim
0
角速度方向,右手螺旋方向
刚体 定轴 转动 可以用角速度的 正、负 来表示,
0>?
0<?
z
角加速度
td
d
四、匀变速转动公式刚体 绕 定轴作匀变速转动质点 匀变速直线运动
at 0vv
2
2100 attxx v
)(2 0202 xxa vv
t 0
)(2 0202
2
2100 tt
当刚体绕定轴转动的 =常量 时，刚体做 匀变速转动．
五、角量与线量的关系
ter ω
v
te
2
n
t
r ωa
ra
n
2
t er ωera
t
ω
d
d
tt
ω
2
2
d
d
d
d
a? v
r? ta?
na?
熟练掌握例 2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的角速度,经 300 s 后，其转速达到
18 000 r·min-1,转子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转过多少转？
00?ω
解 令,即,积分ct
ct
t
d
d?
t ttc 00 dd
得
2
2
1 ct
P104例 2
当 t =300 s 时
11 sr a dπ600m i nr00018
3
22 sr a d75
π
3 0 0
π6 0 022
t
c?
22
150
π
2
1 tct
2
2
1 ct
由
2
150
π
d
d t
t
得
tt
t
d
1 5 0
πd
0
2
0
在 300 s 内转子转过的转数
43 103)3 0 0(
4 5 0π2
π
π2
N
r a d
450
π 3t
当切断电风扇的电源后，电风扇并不是马上就停止转动，而是转动一段时间后才停止转动,
即转动的物体也有转动惯性，刚体的转动惯性与什么有关呢？
飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
竿子长些还是短些较安全
？
§ 4-2 力矩 转动定律 转动惯量一、力矩的方向由右手法则确定M?
P
z
O
F?
r?
d
M? *
FdFrMs i n
FrM
对转轴 z 的力矩F?
用来描述力对刚体的转动作用．
掌握
（ 1） 若 力不在转动平面内只能引起轴的变形,对转动无贡献 。
注,对定轴转动问题,如不加说明，所指的力矩是指力在转动 平面内的分力 对转轴的力矩。
讨论
z
O
k?
F?
r?
zF
F?
(3） 几个力同时作用，合力矩为
(2)力矩的方向对于定轴转动可用 正、负号 表示。
F2
r1
F1
r2
r3
F3
合力矩的大小等于各力矩的代数和。
即：
(4)刚体内 作用力 和 反作用力 的力矩互相抵消．
考察任意两个质点 1,2
刚体内力不产生力矩
d 12F
21F
O
掌握
jiij MM
2r
1r
1
2
12M
21M
二、转动定律考察刚体上任意质元：
重点难点
i?
法向分力产生的力矩为零,
对组成刚体的质点系来说：
切向分力的力矩为：
因为内力产生的力矩为零,于是总力矩：
ir)1(?
O r? m
z
F?
tF?
nF?
M?
(2)比较 和对质量连续分布的刚体：
J 表示刚体的转动惯性：
定义转动惯量,
转动定律,?JM?
讨论 （ 1）
t
JJM
d
d
2
i
i
i rmJ
ωM,0? 不变熟练掌握三、转动惯量
dmrJ 2
2
1 ii
n
i
rmJ
描述刚体转动惯性大小的物理量。
质量离散分布
22
22
2
11
2
jjjj rmrmrmrmJ
J 的计算方法
①,确定刚体的质量密度。
②,建立坐标系，坐标原点为轴。
③,确定质量元 dm。
④,由定义计算。? dmrJ 2
质量连续分布
VrmrrmJ
Vjj j
dd 222
a、均匀细棒 (转轴过中心与杆垂直 )
取质元：
b、转轴过棒一端与棒垂直
x
O
x
O
说明：转动惯量与转轴位置有关。
例 1 均匀细棒，求 J =?
四、平行轴定律
2mdJJ
c
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
质量为 的刚体,
如果对其质心轴的转动惯量为,则对任一与该轴平行,相距为 的转轴的转动惯量
CJ
m
d
d
C O
m
掌握质量为 m，长为 L的细棒绕其一端的 J
22
3
1)
2
( mLLmJJ c
2mdJJ c
2
12
1 mLJ
c?
O1
d=L/2
O1’
O2 O2’
转动惯量的大小取决于刚体的 体密度 (质量 )、几何形状以及转轴的位置,
注意 掌握
剩余J
一圆盘质量为
M,半径为 R，如图挖去一小圆盘，求剩余部分的转动惯量。
思考题：
O
2
32
13
MRJ?
剩余薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直
2
2
1 mrJ?
r2r
1
圆筒转轴沿几何轴
)(21 2221 rrmJ
四、典型的几种刚体的转动惯量
l
细棒转轴通过中心与棒垂直
12
2ml
J?
l
细棒转轴通过端点与棒垂直
3
2ml
J?
2r
球体转轴沿直径
5
2 2mrJ?
2r
球壳转轴沿直径
3
2 2mrJ?
五、转动定律应用举例
1,矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2,具有瞬时性且 M,J,?是对同一轴而言的。
J?M
解题方法及应用举例
1.确定研究对象。
2.受力分析（ 只考虑对转动有影响的力矩 ）。
3.列方程求解 (平动物体列牛顿定律方程，
转动刚体列转动定律方程，并利用角 量与线量关系 )。
熟练掌握第一类问题,已知 J和力矩 M,求? 和以 及 F。
书例 2 质量为 mA的物体 A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径 R、质量 mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 物体 B上,B竖直悬挂,滑轮与绳索间无滑动,滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？
(2)物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？
A
B
C
Am
Bm
Cm
解,隔离法，受力分析分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
A
2CBA
B
mmm
gma
21 CBA
BA
mmm
gmm
T
2
)2(
2
CBA
BCA
mmm
gmmm
T
解得：
BA
BA
mm
gmm
TT
21
如令,可得：0
C?m
2） 物体 B 由静止出发作 匀加速 直线运动
asvv 2202
第二类问题,已知运动情况和力矩 M,求 J。
例：测轮子的转动惯量 用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，
一端挂一质量为 m 的物体，
从静止下落 h 用了时间 t,求轮子的转动惯量 J。 h
RM,
m
P144作业
４ -11
h
RM,
mg
T
受力分析：
m,(1 ) maTmg
M,( 2 )?JTR?
物体从静止下落时满足
(3 ) /22ath?
( 4 )?Ra?
T
h
hgtmRJ
2
)2( 22
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动,试 计算 细杆转动到与竖直线成 角时的 角加速度和角速度,
书例 3 一长为 l,质量为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链 O相接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
O mg
θ
解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得 N
F?
Jm g lM s i n
2
1
式中
2
3
1 mlJ? 得 s in
2
3
l
g?
NF?
m,l
O mg
θ
t
θ
θ
ω
t
ω
d
d
d
d
d
d
由角加速度的定义
θθ
l
gωω ds i n
2
3d?
代入初始条件积分得
)co s1(
3
θ
l
g
ω
θ
ωω
d
d?
NF
m,l
O mg
θ
练习,一个飞轮质量 m=60kg,半径 R=0.25m，
以?0=1000r/min的转速转动 。 现要制动飞轮,
要求在 t=5.0s内使它 均匀 减速而最后停下来 。
求 闸瓦对轮子的压力 N为多大？ 设闸瓦与飞轮间滑动摩擦系数?=0.8,飞轮质量看作全部均匀分布在轮外周上 。
解,P145作业 4-16
JNR
将转动惯量代入，可得：
2mRJ?
）（ N392mRN
根据刚体定轴转动定律，可得
NRRfM r
负值表示?与?0的方向相反,和减速转动相对应 。 以 fr表示摩擦力的数值,则它对轮的转轴的力矩为第三类问题,已知运动情况和 J,确定运动学和动力学的联系 ----?，求 M或 F。
例,长为 l、质量为 m
的细杆，初始时的角速度为?0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M阻 。
lo
解,以细杆为研究对象,只有摩擦阻力 产生力矩，由匀变速转动公式：
t 0
00 t
t
0
细杆绕一端的转动惯量 23
1 mlJ?
lo
则摩擦阻力矩为：
JM?阻
0
2
3
1?ml
tM阻
tml
02
3
1 lo
P143作业：
4-1,4-2，,4-6，
4-11,4-13
§ 4-3 角动量角动量守恒定律
r?
力 的时间累积效应：
冲量、动量、动量定理、动量守恒．
力矩 的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理、角动量守恒．
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律方向,右手定则确定
1、质点的角动量
O
x
y
z
大小,
1） 是矢量、状态量
B
A
讨论 掌握
2） 角动量与 参考点 的选取有关
o
o m
m
o
m 掌握
2、质点的角动量定理即累积效应,2
1
12
t
t LLdtM
3、质点的角动量守恒定理守恒条件：
(1)
(2)
熟练掌握
r?
例,彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，
问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？
二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律掌握
1 刚体定轴转动的角动量
2
i
i
i rmL
O ir?
im
iv
JL?
z
i
ii rm )(
2
2、刚体定轴转动的角动量定理
Z
o
)0(iniM?
积分,
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律例如：花样滑冰运动员的
“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；
收臂时转动惯量减小，转速加快。
讨论四 季 变 换熟练掌握
①
再如：跳水运动员的“团身 --展体”动作，
当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，
垂直入水。
③ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。
②
外内 MM >>?
在 冲击 等问题中 L 常量例,光滑水平桌面上 有一长为 2L、质量为 m
匀质细杆，可绕其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量 mL2/3,起初杆静止，桌面上有两个质量均为 m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率 v 相向运动，当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为,
m
v oo
v
m
L
v
3
2
L
v
5
4
L
v
7
6
L
v
9
8（ D）
（ A） （ B）
（ C）
书 例 4 一杂技演员 M由距水平跷板高为
h 处自由下落到跷板的一端 A，并把跷板另一端的演员 N弹了起来．问演员 N可弹起多高?
l l/2
C A
B
M
N
h
设跷板是匀质的，长度为 l,质量为,
跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动，
演员的质量均为 m．假定演员 M落在跷板上，
与跷板的碰撞是 完全非弹性 碰撞．
'm
解 碰撞前 M落在 A点的速度
21
M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M,N具有相同的线速度
2
lu?
M,N和跷板组成的系统，角动量守恒
22M
2
1
12
1
2
2
2
mllmlmuJlmv
l l/2
C A
B
M
N
h
lmm
ghm
mllm
lm
)6(
)2(6
212
2 21
22
M
v
解得演员 N以 u起跳，达到的高度：
h
mm
m
g
l
g
u
h 2
222
)
6
3
(
82
22M
2
1
12
1
2
2
2
mllmlmuJlmv
P143作业：
4-3,4-4,4-5,4-14，
4-15,4-20,4-21
§ 4-4 力矩作功刚体绕定轴转动的动能定理
d
ddd
t
t
rF
sFrFW
dd MW?
2
1
d?
MW
力矩的功一 力矩的功
o r?
v? F?
x
tF?
r?d?d
掌握
1） M恒定 时，
2）几个力矩同时作用时，
3）内力矩做功为零对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移,任何一对 内力作功为零 。
二、力矩的功率
dt
dWP?
dt
dM
MP?
讨 论三、转动动能刚体转动时，各个质点的动能：
刚体的动能为各质元动能的总和：
2
2
1
ii
i
k mE v 222
2
1)(
2
1 Jrm
ii
i
掌握
2
1
2
2 2
1
2
1d2
1
JJMW
四 刚体绕定轴转动的动能定理
2
1
d?
MW 2
1
1
1
dd
d
d?
J
t
J
—— 刚体绕定轴转动的动能定理比较
2
1
2
2 2
1
2
1d vv mmrFW
五、物体系的机械能守恒定律物体系 {平动、转动 },且 只有保守力 作功，
其它力与力矩不作功时，机械能守恒。
v?
o
v?
o
'o
m
p?
T?
R
圆锥摆子弹击入杆
o
v?
以子弹和杆为系统机械能 不 守恒,
角动量守恒；
动量 不 守恒；
以子弹和沙袋为系统动量守恒；
角动量守恒；
机械能 不 守恒,
圆锥摆系统动量 不 守恒；
角动量守恒；
机械能守恒,
讨 论子弹击入沙袋细绳质量不计直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动 刚体的定轴转动
P126书例 2 一长为 l,质量为 m的竿可绕支点 O自由转动．一质量为 m’、速率为 v
的子弹射入竿内距支点为 a 处，
使竿的偏转角为 30o,问子弹的初速率为多少?
解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
)
3
1( 22 malmamv
o
a
'm
v?
30
22 3
3
mam ' l
am
v?
o
a
'm
v?
30
mamalmmalmg 6)3)(2)(32( 22v
222 )
3
1(
2
1?malm
)30c o s1(
2
o lgm)30c o s1( o?m g a
射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统,E =常量．
gm
o
lm,
解,重力矩作功：
900?MdW 重
900 c o s2 dlmg
m g l21?
练习 1,一细杆质量为 m，
长度为 l，一端固定在轴上，
静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。
始末两态动能,2
1 2?JE
k?
由动能定理,0kk EEW
02121 2Jm g l
2
3
1 mlJ?
l
g3
0 0?kE,
gm
o
lm,
练习 2,一质量 M,半径 R 圆盘绕一无摩檫轴转动,盘上绕有轻绳,下端挂物体 m。
求：当 m 由静止下落 h时速度 v？
解：
对 m：
mM
m g hv
2
2
o
N
TG
h
P
T
m
刚体 M
注意和前面的方法比较！
练习 3,一匀质细棒长 l,质量 m,可绕通过其端点 O水平轴转动 。 当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞 。 该物体的质量也为 m,地面的摩擦系数为?。 撞后物体沿地面滑行 s后 而停止 。 求相撞后棒的质心 C 离地面的最大高度 h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件 。
解,第一阶段是棒自由摆落除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。 C
O
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。
因碰撞时间极短,冲力极大,物体虽然受到地面的摩擦力,但可以忽略 。 棒与物体相撞时,
它们组成的系统所受的对转轴 O的外力矩为零,
角动量守恒 。 用 v表示物体碰撞后的速度,则
（ 2）
’ 取正值,表示碰后左摆；反之,向右摆 。
第三阶段物体碰撞后的滑行过程 。
物体作匀减速直线运动,由牛顿第二定律得：
（ 3）
由匀减速直线运动的公式得
（ 4）亦即由 （ 1） （ 2） 与 （ 4） 联合求解,即得
（ 5）
当<0,则棒 向右摆条件,
亦即 L <6?s
由机械能守恒定律,棒上升的最大高度：
把（ 5）代入上式，求得：
当 >0 则棒 向左摆条件,
(6)
亦即 L>6?s；
练习 4,工程上,两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动 。 如图所示,A和 B两飞轮的轴杆在同一中心线上,A轮的转动惯量为
JA=10kg?m2,B的转动惯量为 JB=20kg?m2 。 开始时 A轮的转速为 600r/min,B轮静止 。 C为摩擦啮合器 。 求两轮啮合后的转速；在啮合过程中,
两轮的机械能有何变化？
A
A
C
B A
C
B
作业 P147
4-3 2
解 以 A,B和啮合器 C为系统，啮合过程中，
系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。 系统的角动量守恒。
BABBAA JJJJ ＝
：两轮啮合后共同的角速度,于是
BA
BBAA
JJ
JJ
代入数值得：
sr a d /9.20
或共同转为,m i n/200 rn?
啮合过程中,摩擦力矩作功,所以机械能不守恒,部分机械能将转化为热量,损失的机械能为
J
JJJJE BABA
BA
4
222
1032.1
2
1
2
1
2
1
P147作业：
4-28,4-30,4-31
P142作业,
1； 2； 3； 4； 5； 6； 10； 13； 14；
15； 20； 21； 26； 28； 30； 31
小 结一、基本物理量
VmrL
熟练掌握质点,
刚体,
dmrJ 2
2
1
ii
n
i
rmJ
二、基本定理、定律
1、转动定律
2、动能定理
3、角动量定理
4、角动量守恒定律 条件,M=0
熟练掌握熟练掌握力学内容总结本章介绍了四大定理、四大守恒四大定理
1.动能定理
2.功能原理
3.动量定理
4.角动量定理四大守恒
1.动能守恒
2.机械能守恒
3.动量守恒
4.角动量守恒力学内容总结平动 转动 关系位移速度加速度
12 rrr dtd /rv?
dtd /va?
角位移角速度角加速度
12 dtd /
dtd /
切向加速度
dtdva /
法向加速度
rva n /2?
rrrv?
ra?
2?ra n?
22 naaa
42 ra
匀变速直线运动
atvv 0
2/20 attvx
xavv?2202
匀变速转动
t 0
2/20 tt
2202
平动 转动平动惯性 质量 m 转动惯性 转动惯量 J
2ii rmJ?质点系质量连续分布 dmrJ 2
牛顿第二定律 aF m? 转动定律?J?M
动力学功和能变力的功 rF dW ba 力矩的功 MdW
0
功率?c o s/ FvdtdWP 力矩的功率?MP?
动能 2/2mvE k? 转动动能 2/2?JE k?
质点动能定理
2/2/ 202 mvmvW
质点系动能定理
0kk EEWW 内外刚体定轴转动动能定理
2/2/ 202 JJW
物体系动能定理
0kk EEWW 内外平动 转动功和能其中
2/2mvE k
其中
2/2/ 22?JmvE k
质点系功能原理
0EEWW 内非外物体系功能原理其中
m ghmvE 2/2
0EEWW 内非外
2/2kx
其中
m ghmvE 2/2
2/2/ 22?Jkx
机械能守恒定律
EE?0
除保守力外其它力不作功物体系机械能守恒
EE?0
除保守力外其它力不作功平动 转动
dttt FI 0
动量冲量 dttt M? 0冲量矩
vP m?动量?J?L 刚体角动量 PrL 质点质点动量定理
00 vvF mmdttt
质点系动量定理
00 PPF tt dt
角动量定理
00 LLM tt dt
其中 vP m
动量守恒定律
PP?0
当合外力为 0时角动量守恒定律
LL?0
当合外力矩为 0时解决力学问题的方法
1.确定研究对象；
2.受力分析,
牛顿定律动量定理 考虑所有的力动能定理 考虑作功的力功能原理 除保守力和不作功的力以外其它所有的力转动定律角动量定理 考虑产生力矩的力
3.建立坐标系或规定正向，或选择 0势点。
4.确定始末两态的状态量。
①,动能定理 ----确定 Ek0,Ek
②,功能原理 ----确定 E0,E
③,动量定理 ----确定 P0,P
④,角动量定理 ----确定 L0,L
5.应用定理、定律列方程求解。
6.有必要时进行讨论。
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块 A和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
解
Ra
ra
JrFRF
mamgF
maFmg
2
1
1
2
12
1
2
TT
T
T
r R
β
'F1T 'F2T
FT1 F
T2
mg mg
A B
解得
221
)(
mrmRJ
rRm g rra
2T 2 mamgF
222
)(
mrmRJ
rRm g RRa
1T 1 mamgF
22
)(
mrmRJ
rRmg
例 2,光滑斜面倾角为?，顶端固定一半径为 R,质量为 M 的定滑轮，质量为 m
的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求,下滑的加速度 a 。
RM,
m
解,物体系中先以物体 m 研究对象，
受力分析,
maTmgs i n gm
T
x在斜面 x 方向上补充方程,?Ra?
联立三个方程求解,Mmmga 2 si n2?
2
2
1 MRJ?
定滑轮可视为圆盘，
转动惯量 J
JTR?
以滑轮为研究对象
RM,
m
gm
T
x
例 3,质量为 m、长为 l 的细杆一端固定在地面的轴上可自由转动，问当细杆摆至与水平面 60o角和水平位置时的角加速度为多大。
lm,
解,由转动定律
JM?
gm 231co s2 mllmg?
l
g
2
co s3
gl43 时60
g
l2
3 时0
l
g
2
co s3
lm,
gm
例 4,在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为 M、长为 2l,可绕中心转动的细杆，有一质量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速度? 。
0v
m
lM 2,
o
解,在水平面上，
碰撞过程中系统角动量守恒，
LL?0
Jm l vm l v0 （ 1）
弹性碰撞机械能守恒，
222
0 2
1
2
1
2
1?Jmvmv
（ 2）
联立 (1),(2)式求解
mM
vMmv
3
)3( 0
lmM
mv
)3(
6 0
注意没有关系,?lv?
0v
m
lM 2,
o
m
例 5:细线一端连接一质量 m 小球，另一端穿过水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度?0 转动，用力 F 拉线，使转动半径从
r0 减小到 r0/2 。求,（ 1） 小球的角速度；
（ 2） 拉力 F 做的功。
o
0?
0r解：（ 1） 由于线的张力过轴，小球受的合外力矩为 0，角动量守恒。 F
F
LL?0
JJ?00
2020 mrmr?
2/0rr?
04 半径减小角速度增加。
（ 2）拉力作功。 请考虑合外力矩为 0，
为什么拉力还作功呢？
MdW 0
m
o
0?
0r
F
F
在定义力矩作功时，我们认为只有切向力作功，
而法向力与位移垂直不作功。
但在例题中，小球受的拉力与位移并不垂直，小球的运动轨迹为螺旋线，法向力要作功。
o
r?FnF
F
d
ds
m
o
0?
0r
F
F
由动能定理,0kk EEW
2
00
2
2
1
2
1 JJW
2
0
2
0
2
0
20
2
1)4()
2(2
1 mrrm
023 2020 >mr
6,关于刚体转动惯量，下列说法中正确的是
(A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关,
(B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关,
(C) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置,
(D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关,[C]
7,均匀细棒 OA可绕通过其一端 O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？
(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小,
(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大,
(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小,
（ D）角速度从大到小，角加速度从小到大,
O A
[A]
8,在光滑的水平面上，一根长 L=2m的绳子，
一端固定于 O点，另一端系一质量为 m=0.5kg
的物体，开始时，物体位于位置 A,OA间距离
d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度 VA =4m /s垂直于 OA向右滑动，设在以后的运动中物体到达位置 B，此时物体速度的方向与绳垂直。O
A
B
d
vA
vB
则 此时刻物体对 O点的角动量的大小 LB=,物体速度的大小 vB=,
1N· m· s,1m/s,
9,人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，
地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的
(A)动量不守恒，动能守恒。
(B)动量守恒，动能不守恒。
(C)角动量守恒，动能不守恒。
(D)角动量不守恒，动能守恒。
[ C ]
10,质量 m 的小孩站在半径为 R、转动惯量为 J
的可以自由转动的水平平台边缘上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动 ).平台和小孩开始时均静止,当小孩突然以相对地面为 v 的速率沿台边缘顺时针走动时,则此平台相对地面旋转的角速度? 为
o
(C)
[ A ]
(D)
,顺时针方向
,顺时针方向 R
v
mRJ
mR
2
2
RvJmR
2
RvJmR
2
RvmRJ mR 2
2
(A)
,逆时针方向(B)
,逆时针方向
11,一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度? 按图示方向转动,若如图所示的情况那样,
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度?
[ A ]
F
O F
（ A） 必然增大 ;（ B） 必然减少 ;
（ C） 不会改变 ;（ D） 如何变化,不能确定。
12,一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,
双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的
[ C ]
（ A）机械能守恒,角动量守恒 ;
（ B）机械能守恒,角动量不守恒,
（ C）机械能不守恒,角动量守恒 ;
（ D）机械能不守恒,角动量不守恒,
13,一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮质量为 m,绳下端挂一物体,物体所受重力为 G,滑轮的角加速度为 β 1,若将物体去掉而以与 G相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度 β 2 将
(A)不变 (B)变小
(C)变大
(D)无法判断
G
β 1 β 2RR
解 JGRJGR 22
选 （ C）
JRFJRF TT 11
12 >?
> TFG又
G
1?2
FT’
G
FT
RR
14,一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2m
和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,
滑轮轴光滑,将此系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
m m2
rm,rm,
解,①
②
③
④
⑤
,4/ga?得
'3T
mg
'2T T2
T3 '1T
mg2
T1
ra?
mamgT3
rTT mr 232 21)(
221 21)( mrrTT
maTmg 22 1
3/113 mgT?
15,质量为 m,长为 l 的细杆两端用细线悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬间另一根细线中的张力为多大？
lm,
解,在线烧断瞬间，以杆为研究对象，细杆受重力和线的张力，
gm
T
注意：在细杆转动时，各点的加速度不同,a为细杆质心的加速度。
maTmg （ 1）
以悬挂一端为轴，重力产生力矩。
2
3
1 mlJ?
Jlmg?
2
（ 2）
2lra （ 3）
联立 (1),(2),(3)式求解
mgT 41?
lm,
gm
T
16,如图所示,滑块转动惯量为
0.01kg.m2,半径为 7cm,物体的质量为 5kg,有一细绳与劲度系数
k=200N.m-1的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计。求,（ 1）当绳拉直、
弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。 (2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
Jk
m
,21)1( 2xkm g x?kmgx 2? m49.0?
,)2( 0 mgxk? kmgx /0? m24 5.0?
xkJvmxmg 2020200 212121
mgRJmkv )/( 2 210
1-sm3.1
解：
17,一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个系统以 2?rad/s的角速度旋转，转动惯量为 6.0kgm2.如果将双臂收回则系统的转动惯量变为 2.0kgm2.此时系统的转动动能与原来的转动动能之比 Ek/Ek0为 ____________
3
18,在摩擦系数为?桌面上有细杆，质量为 m、
长度为 l，以初始角速度
0 绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。
olm,
0?
解,以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
确定细杆受的摩擦力矩
olm,
0?
分割质量元 dm
细杆的质量密度为：
lm /
dxdm
质元受的摩擦力矩 d m g xdM
dm
xdxx
2/l
2/l?
细杆受的摩擦力矩
dMM l l 2/ 2/
m g l?41
xd xgl 2/02
始末两态的角动量为,00?JL?
由角动量定理：
0LLM
0
dtt
t
00 04
1 Jm g l d tt
0
2
12
1
4
1 mlm g l t
g
lt
3
0?
0,?L
olm,
0?
dm
xdxx
2/l
2/l?
