§ 3-1 功 功率
§ 3-2 动能 动能定理
§ 3-3 势能
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
§ 3-5 能量守恒与转换定律第三章 功和能
掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功；
理解保守力作功特点及势能的概念；
掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，熟练地应用它们解决有关实际问题。
教学要求
1,功的概念和定义功的概念是从大量的机械工作中总结抽象出来的：
（ 1） 机械给工作对象施以力的作用；
（ 2） 工作对象在力的作用下有位移 。
物体上力的作用点沿力的方向通过一段位移,则说力对物体作了功 。
功的定义,功等于力和力方向上的位移的乘积 （ 或力在位移方向的投影和位移的乘积 ） 。
§ 3-1 功 功率
rd?
F?
θ drFrdFdW?c o s
一、功功是描写 力对空间的积累 作用的物理量 。
Fcosθ是力 F 在位移方向上的投影
drcosθ是位移 dr在力方向上的位移
rd?
F?
θ
注意,功是标量，有正、负：
力对物体作正功时当 00c o s20 W
力对物体作负功时当 00c o s2 W
力对物体不作功时当 00c o s2 W
质点在变力的作用下沿曲线 从 a点运动到 b点，把路径 ab分为很多小弧段,当小弧充分小时近似等于位移,
在这段位移视质点受恒力 力作用，恒力沿直线作功：
ir
i F
a
iF
ir
b
r?
r
iii rFW c o s? ii rF
ii rFW
变力沿曲线 L 对物体所作之总功为：
当 时求和变为积分，沿曲线 L
从 a→ b变力 作的总功为：
b
a
rdFW?
0?ir
F?
2、变力的功
o
F?
ar? br?
a b
若 是恒力且物体沿直线运动发生位移 a→ b,力对物体所作的功：
F?
co sco s)(co s?
b
a
b
a
r
r ab
r
r
abFrrFdrF
rdFW
3、恒力的功在具体计算时，由于
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
)( dzFdyFdxFrdFW zyba xba
所以：
当几个力作用在质点上时，由于
kk
kk
dWdWrdFFdW
rdFdWrdFdW
11
11
)(
,,
即：每个外力所作 功的总和，等于合外力作的功 。
单位时间内所作的功称为功率。 若在时间 dt内作功
dW,则功率为：
单位为瓦特（ W） =焦耳 / 秒由 得到
vv?
Ft tFP d d
dtrd v
二,功率
dt
dWP?
解,这是变力作功的问题。 以物体的起始位置为原点，向右为正取坐标如图：
例 1、设作用在质量为 2kg 物体上的力 F= 6t 。 如果物体由静止出发沿直线运动，求头 2 秒内该力所作的功？
0
F?
X
P Px x
xtrFW
o o
d6d?
现需把 dx 换成 t 的函数才能积分。
tt
tmFa
3dd
3
v
J1 4 41226
m1225.15.13
2
1
2
1
3
3322
0
sFW
tttatts
t
m
F
a
v
常见错误之一：
J36
4
9
d
2
3
6
d
2
3
d
2
3
d
d
2
3
d3d
2
0
4
2
0
2
22
0 0
2
ttttW
ttxt
t
x
ttt
tv
vv
常见错误之二：
J48426
m42
2
1
2
1
d
2
3
d
3
0
3
2
0
sFW
tts
tta
t
t
v
v
两种错误 都是将变力视为恒力。
水桶在任意位置 y 时受的重力为：
P = -（ M0 - 0.2y） g
人的拉力 F= - P=（ M0 - 0.2y） g
人把水桶提高 dy 距离所作的元功为：
dW = Fdy = （ M0 - 0.2y） gdy
人把水桶由水面提到地面所作的总功为：
o
y
y
h
J8828.9100.9)1.0(
2
2.0
)2.0(
0
0
2
00
hghM
ghghMdygyMdWW
h
解：作草图、取坐标如图：
例 2,有人用水桶提水，井水面离地面高 h = 10 m,桶盛满水总重量 M0 =10 kg,由于桶底漏水，漏水量为则人匀速提水到地面所作的功 W=？
)/(2.0 mkgym
4
2
0 0
2
82 Tm
bdt
m
btbtF d xW x T
dxbtF d xW解：
例 3,物体由静止出发作直线运动，质量为 m,受力 bt，
b为常量，求在 T 秒内，此力所作的功。
根据牛顿定律和加速度的定义求 )(tv
dtmbta d td tt
00
v
dt
d
m
bt
m
Fa v
dtmbtdxmbt 22
22
v
例 4,一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为 1.0千克的物体上
,物体静止在无摩擦的水平面上,若用 5.0牛顿的恒力作用在绳索的另一端使物体加速运动,当绳索从与水平面成 300
角变为 370时,力对物体所作的功为多少？ （ 已知滑轮与水平面间的距离为 1m）
1m
5N?
解：建立如图坐标系
F?
c o sFF x
21 x
xF
m7 32.1301 01 tgx
m32 7.1371 02 tgx 0x x2
x1
J69.1)11(
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
xxF
dx
x
x
FdxFW
x
x
x
x x
设质量为 m 的物体在合外力的作用下沿曲线 L 从 a→ b，
设 a,b 两点的速率分别为 v1,v2 物体在外力 作用下发生位移 时，合外力所作的元功为：
描写物体运动状态的物理量，用 表示。动能是标量，它只与速度的量值有关，与速度的方向无关。
2
2
1 vm
r?d
§ 3-2 动能 动能定理
F?
二、动能定理：
一,动能：
c osF dr
rdFdW
2v
1v?
r?d
F?
Lb
a
tF
nF
注意到：
tFFco s
dt
dmmaFF
tt
vc o s所以：
vvv dmdrdtdmF d rdWc o s得：
所以物体从 a→ b合外力 所作的总功为,F?
b
a
mmmWW
2
1
2
1
2
2 2
1
2
1dd v
v
vvvv
合外力对质点所作的功等于质点动能的增量
—— 动能定理 。
12 kk EEW外
1。 因为 中 v 与参照系的选择有关，所以动能的数值与参考系的选择有关。
2
2
1 vmE
k?
由于动能定理只论及合外力所作的总功及物体的始末状态，与物体运动的细节无关，如物体是作曲线运动还是直线运动、各时刻质点受力情况等无关,因此在求解速率问题时，往往比直接用牛顿第二定理来得容易。
说明：
2。 动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于质点。
本节讨论在由若干个物体组成的 系统 中，由于系统中各物体有相互作用而存在的能量 — 势能。
一、重力所作的功 重力势能取物体与地球组成一个 系统,重力是两者之间的内力，
物体从 a 点运动到 b 点的过程中，重力所作的功为：
)(co s dymgm g d r
rdgmdW
)(
ab
y
y
b
a
ab
m g ym g y
m g d y
dWW
b
a
§ 3-3 势 能
y
x
dy
yb
ya
0
r?d
a
b
gm? θ
若物体再从 b点到 a点，重力所作的功为：
)( ba
y
y
a
bba
m g ym g ym g d y
dWW
a
b
可见物体绕闭合路径一周：
Wa→ b→ a=Wab+Wba=0，
即,物体绕闭合路径一周，重力所作的总功为 0。
由上面讨论可见：
重力所作的功只与物体的始末位置有关,与路径无关,且沿闭合路径一周重力所作的功为零 。 具有这种性质的力称为 保守力 。
注意到 mgy 是与系统内物体之间相对位置（状态）
相关的物理量，称之为 重力势能,用 Ep（ y） 表示。上面功的式子可写为：
)()( yEEEW pppab ab
—— 重力的功等于重力势能增量的负值 。
如果 选定地面的重力势能为 0,则距离地面高 h 的地方的重力势能等于从该点到势能 0点重力所作的功：
m g hm g d yhE hp 0)(
保守力所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与所经过的路径无关； 沿任意闭合路径，所作的功为零。
L
lF 0d
由弹簧和质量为 m 的物体组成的 系统,置于光滑水平面上，取弹簧不发生形变时物体的位置为坐标原点，当物体从 a→ b时，弹性力所作的功求解如下：
在弹性限度内，弹簧作用于物体的弹性力：
kxF
x xba0
kx
负号表示弹性力指向原长。弹力所作的功为：
b
a
b
a
x
x
ab
x
x
ab kxkxxkxxFW )2
1
2
1(dd 22
弹力的功与重力的功一样，只与始末位置有关，而且如果物体回到原来位置，弹力所作的功为 0 。
二、弹簧弹性力的功 弹性势能
)()()2121( 22 xEEEkxkxW pPaPbabab
取弹簧的自然伸长位置为 势能零点,则拉伸或压缩 x
时，具有的弹性势能等于从该点到势能 0点弹力所作的功：
弹力的功也为弹性势能增量的负值（或弹性势能的减少量）：
20
2
1)( kxk x d xxE
xp
可见弹力也是保守力。 kx2/2 也是描写物体系内物体之间相对位置（状态）的物理量，称之为 弹性势能,
2
2
1)( kxxE
p?
r
r
Mm
G
r
r
r
Mm
GF
30
20
现 m 沿曲线 L从 a→ b,万有引力所作的功为：
三、万有引力的功 万有引力势能万有引力为：
r?d
a
b
m
ar?
br?
dr
0 M
F?
θ
设质量为 M,m 的物体（视为质点）间有万有引力，
现以质量为 M 的物体为坐标原点,质量为 m 的物体的位矢为,方向的单位矢为,的方向为 的负向。
rr
r? r? F? r?
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
d)(
30
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
d)(
30
b
a
r
r
rrrMmG d30
)]1()1[(0
ab rr
MmG
drdr
drrrdr
co s
co s
而
同样，引力作功也只与物体的始末位置有关。
也是描写物体系内物体间相对位置（状态）的物理量，称之为 引力势能,用 Ep（ r） 表示。
rMmG
1
0?
（注意，是负值！）
由上面讨论可见，三种力作功特点：
1、所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与所经过的路径无关。
2、沿一闭合路径运动一周，所作的功为零。
3、都引入了势能的概念。
—— 这就是 保守力的特点。
选无穷远为引力势能 0点，则物体在 r 远处的引力势能等于将物体从该点移到无穷远点引力势能所作的功：
r
MmGdr
r
MmGrE
rp 020
)(
重力,万有引力,弹簧的弹性力均是 保守力 。
不具备上述作功特征的力称为 非保守力,如摩擦力
,牵引力,张力,阻力等 。
（ 1） 必须是物体系 。
（ 2） 必须是保守内力 。
引入势能概念是有条件的：
四、势能在保守力场 （ 任意点受保守力作用的空间区域 ） 引入一个只与位置有关的函数,a,b 两点函数差值等于从 a 点到 b 点保守力作的功,这个与位置有关的函数 Ep 定义为势能 。
ppapb
b
aab EEErdFW )(
势能零点apa rFE d
计算势能的一般方法：
上式只定义了势能的差值，要给出某点的势能值是多少，必须规定 势能零点,势能等于零的位置。
注意：
1．势能是状态的单值函数,Ep=Ep(x,y,z)；
2,势能是相对的，但其差值与参考系的选择无关；
3．势能是属于系统的，取决于系统内物体之间的相互作用和相对位置。
另外：
1．物体在两个位置间的势能之差有绝对的意义。
2．物体在某一位置具有的势能只有相对意义,势能零点选取的不同,物体所具有的势能有不同的值。
3．势能属于由保守力相联系的物体组成的系统，我们说物体具有势能只是物体系具有势能的习惯说法。
三种常见的势能：
重力（系统）势能,
m g hhE p?)(
h=0处为势能零点弹性（系统）势能：
2
2
1)( kxxE
p?
x=0处为势能零点引力（系统）势能：
r处为势能零点
r
MmGrE
p)(
例：由引力势能推求重力势能：
解：若地球的半径为 R,a点在地球表面,b点在距地表面 h
高处，则据势能的定义
)1(1 00 RMmGhRMmGW ba
a
R
h
b
R+h
PaPb EERhRMmG )
11(
0
)(
)
11
(
0
0
hRR
h
MmG
RhR
MmG
即：
取 m 在地球表面的势能为零，即 时,0?PaERr
a?
得
m g hE P?
去掉脚标，得取地面为势能零点时，在距地面 h处物体重力势能
m g hE Pb?
PaPb
g
R
MG
Rh
EEm g h
m g h
h
R
MmG
hRR
h
MmG
)(
2
0
0
2
0
)(
而一、物体系或质点组的动能定理已知质点的动能定理是
2
1
2
2 2
1
2
1 vv mmW
质点组,两个或两个以上物体组成的系统。
第 i 个质点受力：
外力：系统以外物体施于其的力；
内力：系统以内物体施于其的力。
对第 i 个质点应用 质点的动能定理 有
2
1
2
2 2
1
2
1
iiii
ii mmWW vv
内外
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律内力外力对系统内各质点求和有
2 12 2 2121 iiiiii mmWW vv内外令
i
i
WW
WW
内内外外有
12 KK EEWW 内外物体系所受的一切外力和一切内力所作之功的代数和等于系统动能的增量 —— 质点组的动能定理。
若把与保守力相联系的物体选在系统内，物体系所受的内力 保守内力；
非保守内力。
非保内保内内内力的功 WWW
质点组的动能定理写为
)( 12 PP EEW保内
(*)
我们已经把与保守力相联系的物体选为系统，所以
12 KK EEWWW 非保内保内外二,功能原理
)( 1212 PPKK EEEEWW 非保内外总机械能 E,
物体系的动能与势能之和。
Pk EEE
12 EEWW 非保内外物体系所受到的外力和非保守内力所作功的代数和等于系统总机械能的增量 —— 功能原理。
代入 (*)式，移项得,)(
12 PP EEW保内将注意功和能的 区别 与 联系,
功是过程量,能量是状态量；物体在任何状态下都有能量,但是只有在能量变化时才有功；二者用相同的单位 。
从功能原理可以看出：
1。 功与能量密切联系,
2。 功是能量变化的度量,
3。 作功是能量传递的方式,功是过程量 。
系统的机械能守恒必满足,外力所作之功为零，非保守内力所作之功为零。 或者说 只有保守内力作功 。
三,机械能守恒定律对一物体系若,,则据功能原理有0?
非保内W0?外W
12 EE?
—— 系统的机械能守恒在系统机械能守恒的情况下，系统中的保守内力可以使物体的 动能 和 势能相互转化,但动能与势能之和不变。
动能定理：
质 点：
物 体 系：
功能原理：
守恒条件
12 KK EEWW 内外
12 kk EEW外
12 EEWW 非保内外
cEW k 0外
cEWW k 0内外
cEWW 0非保内外归结起来：
定理各种形式的能量可以相互转化，但无论如何转化，
能量既不能产生，也不能消灭。
研究守恒定律的 意义：
1,可以不究过程细节而能对系统的状态下结论；
2,守恒定律与自然界中某种对称性相联系。
能量守恒定律是自然界最基本、最普遍的规律，适用于经典力学、相对论力学。
§ 3-5 能量转换守恒定律本章讲了三个定理动能定理功能原理 牛顿第二定律机械能守恒定律所以三个定理中涉及到的功、能量均是对惯性系而言。
例 1 质量为 m=2kg 的物体从静止开始沿 1/4 圆弧从 A 滑到 B，
在 B处速度的大小 v= 6m/s 。 已知圆的半径 R= 4m 。 求物体从 A到 B 摩擦力所作的功 。
解：物体受力如图非保守力作功是保守力作功
r
N
f
gm
WrN
0,d
解一,用功的定义计算，以 m 为研究对象,受变力，取自然坐标如图。切向的牛顿第二定律方程为：
tmmafmg tr d
dc o s v
R oA
B
rf
gm?
N?
θ
tmmgf r d
dc o s v
2
0
2
0
2
1
c o s
c o s
v
vv
v
v
mm g R
dmdm g R
dr
dt
d
mdrmg
f d rrdfW
B
A
B
A
B
A
B
A
f
= -44（ J）
R oA
B
rf
gm?
t?
n?
N?
rd?
解二,用质点动能定理计算均为外力rfNgm,,
2
22
0
2
2
1
2
1
c o s
0
2
1
c o s
v
v
v
mm g R
mdm g RW
mdrmgW
f
B
A
f
= - 44（ J）
取 m为研究对象，,但 N不作功。
R oA
B
rf
gm?
t?
n?
N?
rd?
例 2 ( 书 P.28 例 3-7 )
证明例 2-3中物 m 与物 M 的相互作用力所作之功之和为 0。
解,M与 m的接触面光滑受力分析如图
,m对 M 的压力
,M 对 m 的支持力
N
N?
符号规定如下：
木块对地的位移斜面向下木块对劈的相对速度沿劈对地的位移劈对地的速度水平向左
:
:
:
:
m
M
M
r
r
v
v
则木块对地的速度为
Mm vvv
M
m
N
N?
mv
Mv
v?
在 dt 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN,
tNWNN
tNtN
tNtNrNrNW
MM
MmMm
dd
dd)(
ddddd
v
vvv
vv
t
tNWW
0
dd v?
而,有,vN 0 vN 0 W
即一对力 对惯性系 ( 地 ) 所作之功的和为零。NN,?
张三慧《力学》证明,两质点间的“一对力”所作之功的和等于视其中一个质点受力且沿着它相对于另一个质点的路径移动所作的功 。在上面的例子中，我们取劈为坐标原点，木块 所受劈对它的支承力与木块对劈的相对位移垂直，支承力所作之功为 0,所以 一对力所作之功为 0,NN,?
在有限 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN,
mv
Mv
v?
例 3,已知地球质量为 M,半径为 R,一质量为 m的火箭从地面上升到距离地面高度为 2R处 。 在此过程中,地球引力对火箭作的功为：
R
MmG
R
MmG
R
MmG
3
2)
3(
000
R
MmG
RRMmGdrr
MmGW R
R 3
2)1
3
1( 0
0
3
20
例 4、在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力 通过不可伸长的绳子和倔强系数 k=200N/m 的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体。物体质量 m=2kg,初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉下 20cm的过程中,所作的功（
取 g=10m/s2） [ ]
（ A） 2J （ B） 1J （ C） 3J
（ D） 4J （ E） 20J
F?
F?
M
l=20cm
F?
物体刚能离开地面有 kl0=mg,故 l0=mg/k=0.1m
m升高 l1=l-l0=0.1m
Jm g lklW F 30)21( 120
C
例 5,质量为 m 的珠子系在线的一端，线的另一端梆在墙上的钉子上，线长为 l 。 先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使珠子下落。求摆下?角时这个珠子的速率和线的张力。
O
l
d?
T?
T
v mg
d?
v?
ds
dr
B
A
k
B
AAB ErdgmTW
)(
2
0 2
1c o s
vmdm g l
s in2 gl?v得对于珠子，牛顿第二定律的法线分量式为
lmmamgT n
2
s i n v
将 v?代入，得拉力为?
s i n3 mgT?
解一：应用质点的动能定理，
解二：应用机械能能量守恒定律，当摆下?角时有
2
2
1s i n
vmm g l?
s i n22 gl?v
得根据牛顿第二定律有：
lmmgT
2
s i n v
得?
s i n3 mgT?
例 6、一人造地球卫星绕地球作圆周运动，近地点为 A,远地点为 B,A,B 两点距地心分别 为 r1,r2。 设卫星质量为
m,地球质量为 M,万有引力常数为 G0,则卫星在 A,B
两处的万有引力势能之差 EPB - EPA =？ 卫星在 A,B 两处的动能之差 EKB -EKA=？
1r 2rA B解：由万有引力势能公式：
r
MmGrE
p
0)(
得：
21
12
0
12
0 )
11(
rr
rrMmG
rrMmGEE pApB
系统（地球 +卫星）机械能守恒，有：
kBpBkApA EEEE
21
21
0 rr
rrMmGEEEE
pBpAkAkB
例 7,绳长 L,质量 M,t=0时绳悬下部分为 b,求绳全部离开光滑桌子时的瞬时速度。
0
x
bM L
t=0,v=0
kEW
（ 1）
Lb xxgLMrFW dd
其中
021 2 vME k
上两式代入式 (1)中，得
)( 22 bLLgv
方向垂直向下。
解一：由动能定理（变质量、变力问题）：
线密度?
)( 22 bLLgv
gLxx?dd vvgLxtxx dddd vgLxgMmtdd v
分离变量
xdx
L
gd?vv
两边积分
Lb xdxLgdv vv0
)( 222 bLLgv
所以
tMmg d
d v? g
M
m
dt
d v
解二：由牛顿第二定律得：
0
x
bM L
t=0,v=0
例 8,一质点在重力作用下,在半径为 R 的光滑球面上的一点 A 由静止开始下滑,在 B 点离开球面 。 证明,A,B
两点的高度差等于 A点和球心高度差的 1/3。
证明,质点的运动过程只有保守力作功,所以机械能守恒,选 B点为势能零点
abmgm B?221 v
又在 B点离开球面,N =0（ 支持力为 0）
RmmgF
B
2
c o s v向
（ 1）
（ 2）
由几何关系得：
R
obco s
联立 (1)－ (3)式得：
3
1?
oa
ab
（ 3）
a
RO
b
A
B
gm?
例 9,假定地球的密度是均匀的,并沿地球的直径钻一个洞,质点从很高的位置 h 落入洞中,求质点通过地心的速度 。
故由动能定理有：
解：设通过地心的速度为 0v
drfdrfR hR R 0 内外
R hR R rdfrdfm 02 021 内外v
因为质点在地球内、外所受的引力不同。 O
mh
R
32
3
3 3
4
3
4 R
G M m r
r
m
r
R
M
Gf
内质点在地球内、外所受引力大小为：
2r
G M mf?
外
drRGM m rdrrGM mm RR hR 0 322 021 v
hRR
hRG M m
3
0v
地球质量密度 r
例 10、（习题 3-12）用弹簧将质量分别为 m1 和 m2 的两块木板连接起来，必须加多大的力 F 压在上面的板 m1上，以便当突然撤去 F 时，上面的板跳起来能使下面的板刚好被提离地面？
弹簧原长
1m
2m
h
1x
2x
（ 1）
（ 2）
弹势 0点重势 0点解：选 m1+m2+弹簧 +地球为研究对象,撤去外力后,系统只受保守内力的作用,系统机械能守恒 。 选 （ 1）,（ 2） 状态和重力势能 0点,弹性势能 0
点如图 。 由 E1=E2有：
)(2121 2112221 xxgmkxkx
整理得
)1()(21 121gmxxk
在外力 F 撤去之前,m1受力平衡的条件为
)2(11kxgmF
gm11kx
F
m1弹起时,m2 刚好离开地面的条件为：
)3(22kxgm?
gm2
2kx
0?N
由（ 2） -（ 3）得
)()( 2121 xxkgmmF
)()( 2112 xxkgmmF
即
gmmgmgmgmF )(2 21112
gmmF )( 21
将（ 1）式代入上式得：
即
F 至少要等于（ m1+m2） g 才能在 m1 跳起时将 m2 提起。
例 11、两粒子间的排斥力为,k 为常数，试求两粒子相距为 r 时的势能。设力为零的地方，势能为零。
3rkf?
解：因力为零的地方，势能为零，即为参考点对应 r = ∞ 处，
22 22 r
k
r
k
r
)(0)(
2
)()(:
2
参考点因即
p
pp
E
r
k
rEE
22)(,r
krE
p?得
rrpp drrkf d rErE 3)()(
§ 3-2 动能 动能定理
§ 3-3 势能
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
§ 3-5 能量守恒与转换定律第三章 功和能
掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功；
理解保守力作功特点及势能的概念；
掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，熟练地应用它们解决有关实际问题。
教学要求
1,功的概念和定义功的概念是从大量的机械工作中总结抽象出来的：
（ 1） 机械给工作对象施以力的作用；
（ 2） 工作对象在力的作用下有位移 。
物体上力的作用点沿力的方向通过一段位移,则说力对物体作了功 。
功的定义,功等于力和力方向上的位移的乘积 （ 或力在位移方向的投影和位移的乘积 ） 。
§ 3-1 功 功率
rd?
F?
θ drFrdFdW?c o s
一、功功是描写 力对空间的积累 作用的物理量 。
Fcosθ是力 F 在位移方向上的投影
drcosθ是位移 dr在力方向上的位移
rd?
F?
θ
注意,功是标量，有正、负：
力对物体作正功时当 00c o s20 W
力对物体作负功时当 00c o s2 W
力对物体不作功时当 00c o s2 W
质点在变力的作用下沿曲线 从 a点运动到 b点，把路径 ab分为很多小弧段,当小弧充分小时近似等于位移,
在这段位移视质点受恒力 力作用，恒力沿直线作功：
ir
i F
a
iF
ir
b
r?
r
iii rFW c o s? ii rF
ii rFW
变力沿曲线 L 对物体所作之总功为：
当 时求和变为积分，沿曲线 L
从 a→ b变力 作的总功为：
b
a
rdFW?
0?ir
F?
2、变力的功
o
F?
ar? br?
a b
若 是恒力且物体沿直线运动发生位移 a→ b,力对物体所作的功：
F?
co sco s)(co s?
b
a
b
a
r
r ab
r
r
abFrrFdrF
rdFW
3、恒力的功在具体计算时，由于
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
)( dzFdyFdxFrdFW zyba xba
所以：
当几个力作用在质点上时，由于
kk
kk
dWdWrdFFdW
rdFdWrdFdW
11
11
)(
,,
即：每个外力所作 功的总和，等于合外力作的功 。
单位时间内所作的功称为功率。 若在时间 dt内作功
dW,则功率为：
单位为瓦特（ W） =焦耳 / 秒由 得到
vv?
Ft tFP d d
dtrd v
二,功率
dt
dWP?
解,这是变力作功的问题。 以物体的起始位置为原点，向右为正取坐标如图：
例 1、设作用在质量为 2kg 物体上的力 F= 6t 。 如果物体由静止出发沿直线运动，求头 2 秒内该力所作的功？
0
F?
X
P Px x
xtrFW
o o
d6d?
现需把 dx 换成 t 的函数才能积分。
tt
tmFa
3dd
3
v
J1 4 41226
m1225.15.13
2
1
2
1
3
3322
0
sFW
tttatts
t
m
F
a
v
常见错误之一：
J36
4
9
d
2
3
6
d
2
3
d
2
3
d
d
2
3
d3d
2
0
4
2
0
2
22
0 0
2
ttttW
ttxt
t
x
ttt
tv
vv
常见错误之二：
J48426
m42
2
1
2
1
d
2
3
d
3
0
3
2
0
sFW
tts
tta
t
t
v
v
两种错误 都是将变力视为恒力。
水桶在任意位置 y 时受的重力为：
P = -（ M0 - 0.2y） g
人的拉力 F= - P=（ M0 - 0.2y） g
人把水桶提高 dy 距离所作的元功为：
dW = Fdy = （ M0 - 0.2y） gdy
人把水桶由水面提到地面所作的总功为：
o
y
y
h
J8828.9100.9)1.0(
2
2.0
)2.0(
0
0
2
00
hghM
ghghMdygyMdWW
h
解：作草图、取坐标如图：
例 2,有人用水桶提水，井水面离地面高 h = 10 m,桶盛满水总重量 M0 =10 kg,由于桶底漏水，漏水量为则人匀速提水到地面所作的功 W=？
)/(2.0 mkgym
4
2
0 0
2
82 Tm
bdt
m
btbtF d xW x T
dxbtF d xW解：
例 3,物体由静止出发作直线运动，质量为 m,受力 bt，
b为常量，求在 T 秒内，此力所作的功。
根据牛顿定律和加速度的定义求 )(tv
dtmbta d td tt
00
v
dt
d
m
bt
m
Fa v
dtmbtdxmbt 22
22
v
例 4,一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为 1.0千克的物体上
,物体静止在无摩擦的水平面上,若用 5.0牛顿的恒力作用在绳索的另一端使物体加速运动,当绳索从与水平面成 300
角变为 370时,力对物体所作的功为多少？ （ 已知滑轮与水平面间的距离为 1m）
1m
5N?
解：建立如图坐标系
F?
c o sFF x
21 x
xF
m7 32.1301 01 tgx
m32 7.1371 02 tgx 0x x2
x1
J69.1)11(
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
xxF
dx
x
x
FdxFW
x
x
x
x x
设质量为 m 的物体在合外力的作用下沿曲线 L 从 a→ b，
设 a,b 两点的速率分别为 v1,v2 物体在外力 作用下发生位移 时，合外力所作的元功为：
描写物体运动状态的物理量，用 表示。动能是标量，它只与速度的量值有关，与速度的方向无关。
2
2
1 vm
r?d
§ 3-2 动能 动能定理
F?
二、动能定理：
一,动能：
c osF dr
rdFdW
2v
1v?
r?d
F?
Lb
a
tF
nF
注意到：
tFFco s
dt
dmmaFF
tt
vc o s所以：
vvv dmdrdtdmF d rdWc o s得：
所以物体从 a→ b合外力 所作的总功为,F?
b
a
mmmWW
2
1
2
1
2
2 2
1
2
1dd v
v
vvvv
合外力对质点所作的功等于质点动能的增量
—— 动能定理 。
12 kk EEW外
1。 因为 中 v 与参照系的选择有关，所以动能的数值与参考系的选择有关。
2
2
1 vmE
k?
由于动能定理只论及合外力所作的总功及物体的始末状态，与物体运动的细节无关，如物体是作曲线运动还是直线运动、各时刻质点受力情况等无关,因此在求解速率问题时，往往比直接用牛顿第二定理来得容易。
说明：
2。 动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于质点。
本节讨论在由若干个物体组成的 系统 中，由于系统中各物体有相互作用而存在的能量 — 势能。
一、重力所作的功 重力势能取物体与地球组成一个 系统,重力是两者之间的内力，
物体从 a 点运动到 b 点的过程中，重力所作的功为：
)(co s dymgm g d r
rdgmdW
)(
ab
y
y
b
a
ab
m g ym g y
m g d y
dWW
b
a
§ 3-3 势 能
y
x
dy
yb
ya
0
r?d
a
b
gm? θ
若物体再从 b点到 a点，重力所作的功为：
)( ba
y
y
a
bba
m g ym g ym g d y
dWW
a
b
可见物体绕闭合路径一周：
Wa→ b→ a=Wab+Wba=0，
即,物体绕闭合路径一周，重力所作的总功为 0。
由上面讨论可见：
重力所作的功只与物体的始末位置有关,与路径无关,且沿闭合路径一周重力所作的功为零 。 具有这种性质的力称为 保守力 。
注意到 mgy 是与系统内物体之间相对位置（状态）
相关的物理量，称之为 重力势能,用 Ep（ y） 表示。上面功的式子可写为：
)()( yEEEW pppab ab
—— 重力的功等于重力势能增量的负值 。
如果 选定地面的重力势能为 0,则距离地面高 h 的地方的重力势能等于从该点到势能 0点重力所作的功：
m g hm g d yhE hp 0)(
保守力所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与所经过的路径无关； 沿任意闭合路径，所作的功为零。
L
lF 0d
由弹簧和质量为 m 的物体组成的 系统,置于光滑水平面上，取弹簧不发生形变时物体的位置为坐标原点，当物体从 a→ b时，弹性力所作的功求解如下：
在弹性限度内，弹簧作用于物体的弹性力：
kxF
x xba0
kx
负号表示弹性力指向原长。弹力所作的功为：
b
a
b
a
x
x
ab
x
x
ab kxkxxkxxFW )2
1
2
1(dd 22
弹力的功与重力的功一样，只与始末位置有关，而且如果物体回到原来位置，弹力所作的功为 0 。
二、弹簧弹性力的功 弹性势能
)()()2121( 22 xEEEkxkxW pPaPbabab
取弹簧的自然伸长位置为 势能零点,则拉伸或压缩 x
时，具有的弹性势能等于从该点到势能 0点弹力所作的功：
弹力的功也为弹性势能增量的负值（或弹性势能的减少量）：
20
2
1)( kxk x d xxE
xp
可见弹力也是保守力。 kx2/2 也是描写物体系内物体之间相对位置（状态）的物理量，称之为 弹性势能,
2
2
1)( kxxE
p?
r
r
Mm
G
r
r
r
Mm
GF
30
20
现 m 沿曲线 L从 a→ b,万有引力所作的功为：
三、万有引力的功 万有引力势能万有引力为：
r?d
a
b
m
ar?
br?
dr
0 M
F?
θ
设质量为 M,m 的物体（视为质点）间有万有引力，
现以质量为 M 的物体为坐标原点,质量为 m 的物体的位矢为,方向的单位矢为,的方向为 的负向。
rr
r? r? F? r?
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
d)(
30
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
d)(
30
b
a
r
r
rrrMmG d30
)]1()1[(0
ab rr
MmG
drdr
drrrdr
co s
co s
而
同样，引力作功也只与物体的始末位置有关。
也是描写物体系内物体间相对位置（状态）的物理量，称之为 引力势能,用 Ep（ r） 表示。
rMmG
1
0?
（注意，是负值！）
由上面讨论可见，三种力作功特点：
1、所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与所经过的路径无关。
2、沿一闭合路径运动一周，所作的功为零。
3、都引入了势能的概念。
—— 这就是 保守力的特点。
选无穷远为引力势能 0点，则物体在 r 远处的引力势能等于将物体从该点移到无穷远点引力势能所作的功：
r
MmGdr
r
MmGrE
rp 020
)(
重力,万有引力,弹簧的弹性力均是 保守力 。
不具备上述作功特征的力称为 非保守力,如摩擦力
,牵引力,张力,阻力等 。
（ 1） 必须是物体系 。
（ 2） 必须是保守内力 。
引入势能概念是有条件的：
四、势能在保守力场 （ 任意点受保守力作用的空间区域 ） 引入一个只与位置有关的函数,a,b 两点函数差值等于从 a 点到 b 点保守力作的功,这个与位置有关的函数 Ep 定义为势能 。
ppapb
b
aab EEErdFW )(
势能零点apa rFE d
计算势能的一般方法：
上式只定义了势能的差值，要给出某点的势能值是多少，必须规定 势能零点,势能等于零的位置。
注意：
1．势能是状态的单值函数,Ep=Ep(x,y,z)；
2,势能是相对的，但其差值与参考系的选择无关；
3．势能是属于系统的，取决于系统内物体之间的相互作用和相对位置。
另外：
1．物体在两个位置间的势能之差有绝对的意义。
2．物体在某一位置具有的势能只有相对意义,势能零点选取的不同,物体所具有的势能有不同的值。
3．势能属于由保守力相联系的物体组成的系统，我们说物体具有势能只是物体系具有势能的习惯说法。
三种常见的势能：
重力（系统）势能,
m g hhE p?)(
h=0处为势能零点弹性（系统）势能：
2
2
1)( kxxE
p?
x=0处为势能零点引力（系统）势能：
r处为势能零点
r
MmGrE
p)(
例：由引力势能推求重力势能：
解：若地球的半径为 R,a点在地球表面,b点在距地表面 h
高处，则据势能的定义
)1(1 00 RMmGhRMmGW ba
a
R
h
b
R+h
PaPb EERhRMmG )
11(
0
)(
)
11
(
0
0
hRR
h
MmG
RhR
MmG
即：
取 m 在地球表面的势能为零，即 时,0?PaERr
a?
得
m g hE P?
去掉脚标，得取地面为势能零点时，在距地面 h处物体重力势能
m g hE Pb?
PaPb
g
R
MG
Rh
EEm g h
m g h
h
R
MmG
hRR
h
MmG
)(
2
0
0
2
0
)(
而一、物体系或质点组的动能定理已知质点的动能定理是
2
1
2
2 2
1
2
1 vv mmW
质点组,两个或两个以上物体组成的系统。
第 i 个质点受力：
外力：系统以外物体施于其的力；
内力：系统以内物体施于其的力。
对第 i 个质点应用 质点的动能定理 有
2
1
2
2 2
1
2
1
iiii
ii mmWW vv
内外
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律内力外力对系统内各质点求和有
2 12 2 2121 iiiiii mmWW vv内外令
i
i
WW
WW
内内外外有
12 KK EEWW 内外物体系所受的一切外力和一切内力所作之功的代数和等于系统动能的增量 —— 质点组的动能定理。
若把与保守力相联系的物体选在系统内，物体系所受的内力 保守内力；
非保守内力。
非保内保内内内力的功 WWW
质点组的动能定理写为
)( 12 PP EEW保内
(*)
我们已经把与保守力相联系的物体选为系统，所以
12 KK EEWWW 非保内保内外二,功能原理
)( 1212 PPKK EEEEWW 非保内外总机械能 E,
物体系的动能与势能之和。
Pk EEE
12 EEWW 非保内外物体系所受到的外力和非保守内力所作功的代数和等于系统总机械能的增量 —— 功能原理。
代入 (*)式，移项得,)(
12 PP EEW保内将注意功和能的 区别 与 联系,
功是过程量,能量是状态量；物体在任何状态下都有能量,但是只有在能量变化时才有功；二者用相同的单位 。
从功能原理可以看出：
1。 功与能量密切联系,
2。 功是能量变化的度量,
3。 作功是能量传递的方式,功是过程量 。
系统的机械能守恒必满足,外力所作之功为零，非保守内力所作之功为零。 或者说 只有保守内力作功 。
三,机械能守恒定律对一物体系若,,则据功能原理有0?
非保内W0?外W
12 EE?
—— 系统的机械能守恒在系统机械能守恒的情况下，系统中的保守内力可以使物体的 动能 和 势能相互转化,但动能与势能之和不变。
动能定理：
质 点：
物 体 系：
功能原理：
守恒条件
12 KK EEWW 内外
12 kk EEW外
12 EEWW 非保内外
cEW k 0外
cEWW k 0内外
cEWW 0非保内外归结起来：
定理各种形式的能量可以相互转化，但无论如何转化，
能量既不能产生，也不能消灭。
研究守恒定律的 意义：
1,可以不究过程细节而能对系统的状态下结论；
2,守恒定律与自然界中某种对称性相联系。
能量守恒定律是自然界最基本、最普遍的规律，适用于经典力学、相对论力学。
§ 3-5 能量转换守恒定律本章讲了三个定理动能定理功能原理 牛顿第二定律机械能守恒定律所以三个定理中涉及到的功、能量均是对惯性系而言。
例 1 质量为 m=2kg 的物体从静止开始沿 1/4 圆弧从 A 滑到 B，
在 B处速度的大小 v= 6m/s 。 已知圆的半径 R= 4m 。 求物体从 A到 B 摩擦力所作的功 。
解：物体受力如图非保守力作功是保守力作功
r
N
f
gm
WrN
0,d
解一,用功的定义计算，以 m 为研究对象,受变力，取自然坐标如图。切向的牛顿第二定律方程为：
tmmafmg tr d
dc o s v
R oA
B
rf
gm?
N?
θ
tmmgf r d
dc o s v
2
0
2
0
2
1
c o s
c o s
v
vv
v
v
mm g R
dmdm g R
dr
dt
d
mdrmg
f d rrdfW
B
A
B
A
B
A
B
A
f
= -44（ J）
R oA
B
rf
gm?
t?
n?
N?
rd?
解二,用质点动能定理计算均为外力rfNgm,,
2
22
0
2
2
1
2
1
c o s
0
2
1
c o s
v
v
v
mm g R
mdm g RW
mdrmgW
f
B
A
f
= - 44（ J）
取 m为研究对象，,但 N不作功。
R oA
B
rf
gm?
t?
n?
N?
rd?
例 2 ( 书 P.28 例 3-7 )
证明例 2-3中物 m 与物 M 的相互作用力所作之功之和为 0。
解,M与 m的接触面光滑受力分析如图
,m对 M 的压力
,M 对 m 的支持力
N
N?
符号规定如下：
木块对地的位移斜面向下木块对劈的相对速度沿劈对地的位移劈对地的速度水平向左
:
:
:
:
m
M
M
r
r
v
v
则木块对地的速度为
Mm vvv
M
m
N
N?
mv
Mv
v?
在 dt 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN,
tNWNN
tNtN
tNtNrNrNW
MM
MmMm
dd
dd)(
ddddd
v
vvv
vv
t
tNWW
0
dd v?
而,有,vN 0 vN 0 W
即一对力 对惯性系 ( 地 ) 所作之功的和为零。NN,?
张三慧《力学》证明,两质点间的“一对力”所作之功的和等于视其中一个质点受力且沿着它相对于另一个质点的路径移动所作的功 。在上面的例子中，我们取劈为坐标原点，木块 所受劈对它的支承力与木块对劈的相对位移垂直，支承力所作之功为 0,所以 一对力所作之功为 0,NN,?
在有限 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN,
mv
Mv
v?
例 3,已知地球质量为 M,半径为 R,一质量为 m的火箭从地面上升到距离地面高度为 2R处 。 在此过程中,地球引力对火箭作的功为：
R
MmG
R
MmG
R
MmG
3
2)
3(
000
R
MmG
RRMmGdrr
MmGW R
R 3
2)1
3
1( 0
0
3
20
例 4、在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力 通过不可伸长的绳子和倔强系数 k=200N/m 的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体。物体质量 m=2kg,初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉下 20cm的过程中,所作的功（
取 g=10m/s2） [ ]
（ A） 2J （ B） 1J （ C） 3J
（ D） 4J （ E） 20J
F?
F?
M
l=20cm
F?
物体刚能离开地面有 kl0=mg,故 l0=mg/k=0.1m
m升高 l1=l-l0=0.1m
Jm g lklW F 30)21( 120
C
例 5,质量为 m 的珠子系在线的一端，线的另一端梆在墙上的钉子上，线长为 l 。 先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使珠子下落。求摆下?角时这个珠子的速率和线的张力。
O
l
d?
T?
T
v mg
d?
v?
ds
dr
B
A
k
B
AAB ErdgmTW
)(
2
0 2
1c o s
vmdm g l
s in2 gl?v得对于珠子，牛顿第二定律的法线分量式为
lmmamgT n
2
s i n v
将 v?代入，得拉力为?
s i n3 mgT?
解一：应用质点的动能定理，
解二：应用机械能能量守恒定律，当摆下?角时有
2
2
1s i n
vmm g l?
s i n22 gl?v
得根据牛顿第二定律有：
lmmgT
2
s i n v
得?
s i n3 mgT?
例 6、一人造地球卫星绕地球作圆周运动，近地点为 A,远地点为 B,A,B 两点距地心分别 为 r1,r2。 设卫星质量为
m,地球质量为 M,万有引力常数为 G0,则卫星在 A,B
两处的万有引力势能之差 EPB - EPA =？ 卫星在 A,B 两处的动能之差 EKB -EKA=？
1r 2rA B解：由万有引力势能公式：
r
MmGrE
p
0)(
得：
21
12
0
12
0 )
11(
rr
rrMmG
rrMmGEE pApB
系统（地球 +卫星）机械能守恒，有：
kBpBkApA EEEE
21
21
0 rr
rrMmGEEEE
pBpAkAkB
例 7,绳长 L,质量 M,t=0时绳悬下部分为 b,求绳全部离开光滑桌子时的瞬时速度。
0
x
bM L
t=0,v=0
kEW
（ 1）
Lb xxgLMrFW dd
其中
021 2 vME k
上两式代入式 (1)中，得
)( 22 bLLgv
方向垂直向下。
解一：由动能定理（变质量、变力问题）：
线密度?
)( 22 bLLgv
gLxx?dd vvgLxtxx dddd vgLxgMmtdd v
分离变量
xdx
L
gd?vv
两边积分
Lb xdxLgdv vv0
)( 222 bLLgv
所以
tMmg d
d v? g
M
m
dt
d v
解二：由牛顿第二定律得：
0
x
bM L
t=0,v=0
例 8,一质点在重力作用下,在半径为 R 的光滑球面上的一点 A 由静止开始下滑,在 B 点离开球面 。 证明,A,B
两点的高度差等于 A点和球心高度差的 1/3。
证明,质点的运动过程只有保守力作功,所以机械能守恒,选 B点为势能零点
abmgm B?221 v
又在 B点离开球面,N =0（ 支持力为 0）
RmmgF
B
2
c o s v向
（ 1）
（ 2）
由几何关系得：
R
obco s
联立 (1)－ (3)式得：
3
1?
oa
ab
（ 3）
a
RO
b
A
B
gm?
例 9,假定地球的密度是均匀的,并沿地球的直径钻一个洞,质点从很高的位置 h 落入洞中,求质点通过地心的速度 。
故由动能定理有：
解：设通过地心的速度为 0v
drfdrfR hR R 0 内外
R hR R rdfrdfm 02 021 内外v
因为质点在地球内、外所受的引力不同。 O
mh
R
32
3
3 3
4
3
4 R
G M m r
r
m
r
R
M
Gf
内质点在地球内、外所受引力大小为：
2r
G M mf?
外
drRGM m rdrrGM mm RR hR 0 322 021 v
hRR
hRG M m
3
0v
地球质量密度 r
例 10、（习题 3-12）用弹簧将质量分别为 m1 和 m2 的两块木板连接起来，必须加多大的力 F 压在上面的板 m1上，以便当突然撤去 F 时，上面的板跳起来能使下面的板刚好被提离地面？
弹簧原长
1m
2m
h
1x
2x
（ 1）
（ 2）
弹势 0点重势 0点解：选 m1+m2+弹簧 +地球为研究对象,撤去外力后,系统只受保守内力的作用,系统机械能守恒 。 选 （ 1）,（ 2） 状态和重力势能 0点,弹性势能 0
点如图 。 由 E1=E2有：
)(2121 2112221 xxgmkxkx
整理得
)1()(21 121gmxxk
在外力 F 撤去之前,m1受力平衡的条件为
)2(11kxgmF
gm11kx
F
m1弹起时,m2 刚好离开地面的条件为：
)3(22kxgm?
gm2
2kx
0?N
由（ 2） -（ 3）得
)()( 2121 xxkgmmF
)()( 2112 xxkgmmF
即
gmmgmgmgmF )(2 21112
gmmF )( 21
将（ 1）式代入上式得：
即
F 至少要等于（ m1+m2） g 才能在 m1 跳起时将 m2 提起。
例 11、两粒子间的排斥力为,k 为常数，试求两粒子相距为 r 时的势能。设力为零的地方，势能为零。
3rkf?
解：因力为零的地方，势能为零，即为参考点对应 r = ∞ 处，
22 22 r
k
r
k
r
)(0)(
2
)()(:
2
参考点因即
p
pp
E
r
k
rEE
22)(,r
krE
p?得
rrpp drrkf d rErE 3)()(
