The people who get on in this world are
the people who get up and look for
circumstances they want,and if they
cannot find them,make them,
-- Bernara Shaw
在这个世界上取得成就的人，都努力去寻找他们想要的机会，如果找不到机会，他们便自己创造机会。
------ 萧伯纳第二章牛顿运动定律
Newton’s Law of motion
牛顿 (Isaac Newton,1642― 1727)
重要贡献有 万有引力定律,经典力学,微积分 和 光学 。
万有引力定律,总结了伽利略和开普勒的理论和经验，用数学方法完美地描述了天体运动的规律。
牛顿运动三大定律,,自然科学的数学原理,中含有牛顿运动三条定律和万有引力定律，以及质量、动量、力和加速度等概念。
光学贡献,牛顿发现色散、色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说。
反射式望远镜的发明英国物理学家、数学家、天文学家，经典物理学的奠基人。
我不知道世人将如何看我，但是，就我自己看来，我好象不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳而感到高兴，但是，有待探索的真理的海洋正展现在我的面前。
教学要求一 掌握 牛顿定律的基本内容及其适用条件．
二 熟练掌握 用隔离体法分析物体的受力情况，能用微积分方法求解 变力作用下 的简单质点动力学问题．
三 理解惯性系与非惯性系的概念，
了解惯性力的概念．
2-1 牛顿三定律
1、第一定律（惯性定律）
任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
“原理”不可证明。
时,恒矢量?v?0?F?
如物体在一参考系中不受其它物体作用，
而保持静止或匀速直线运动，这个参考系就称为 惯性参考系．
惯性和力的概念；
t
m
t
tptF
d
)(d
d
)(d)( v
二 牛顿第二定律动量为 的物体，在合外力的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外力．
p? )(
iFF
当 时，
为 常量
cv
m
am
t
mtF?
d
d)( v
合外力
(1) 瞬时 关系
(2) 只适用于 质点注意注,为 A处曲线的曲率半径．
2t
sm
t
mF
d
d
d
d 2
t
v
自然坐标系中
ρ
mF
2
n
v
a?
te
ne
A
直角坐标系中
am
t
mtF?
d
d)( v
xx maF?
yy maF?
zz maF?
3、牛顿第三定律两个物体之间作用力 和反作用力,
沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．
F? ＇F?
2112 FF
（物体间相互作用规律）
12F
21F?
m
m
TF
'TF
G?
'G?
地球例 分析物体间的相互作用力作用力与反作用力特点：
(1)大小相等、方向相反，分别作用在不同物体上,同时存在、同时消失,
它们不能相互抵消．
(2)是同一性质的力．
注意总之：牛顿定律 阐明 了“力”、“质量”,“
惯性”的概念。
适用 于：惯性系、低速、宏观物体关羽和张飞比力气话说三国时期，刘备、关羽、张飞“桃园三结义”
之后，张飞对自己排在第三位总感到不服气。有一天，
兄弟三人饮酒聚会，张飞喝了不少酒，趁着酒劲提出要与关羽比力气，想出出这口气。
他提出：谁能把自己提起来，谁的力气就大。说罢，他用双手紧抓自己的头发，使劲向上提。尽管他使出了最大的力气，憋得满脸黑紫，甚至把头发都拔掉了一大把，结果还是不能使自己离开地面。最后便气呼呼地坐到自己的椅子上去了。
关羽想了一下，找来一根绳子，把绳子的一端拴在自己腰上，另一端跨过一个树杈，双手使劲向下拉，
结果身体慢慢离开了地面。关羽胜了。
所以不论谁都不能用这种方法把自己的身体提起来。关羽因为把绳子跨在树杈上，通过树杈使他的身体受到向上的力的作用，因此能把自己提起来。
张飞为什么失败呢？让我们作一个受力分析，张飞用手向上拉自己的头发，手给头发一个向上的力，但头发同时也给手一个向下的反作用力，这两个力大小相等，方向相反，都是作用在张飞自己身上,
力学的基本单位物理量 长度 质量 时间单位名称 米 千克 秒符号 m kg s
国际单位制规定了 七个基本单位．
２ -2 力学量的单位和量纲一、基本量和导出量被选作独立规定单位的物理量称为 基本量
，它们的单位叫 基本单位 ；其它量叫 导出量,其单位叫 导出单位 。
1 m是光在真空中 (1/299 792 458)s时间间隔 内所经路径的长度．
1s是铯的一种同位素 133 Cs原子发出的一个特征频率光波周期的 9 192 631 770倍．
,千克标准原器” 是用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，保存在巴黎度量衡局中．
力学还有 辅助量,弧度 rad．
其它力学物理量都是 导出量．
长度 L(m) 时间 T(s) 质量 M(kg)
电流 (A) 物质的量 (mol) 热力学温度 (k)
发光强度 坎德拉 (cd) 角度（ RAD）
立体角（球面度）
二、国际单位制九个基本量及基本单位：
2
21
r
mmGF?
一 万有引力引力常数
2211 kgmN1067.6G
m1 m2
r
重力,mgP?
2r
Gmg E?
2sm80.9 -
2R
Gmg E?地表附近
2-3 几种常见的力
mg
二 弹性力常见弹性力 有：正压力、张力、弹簧弹性力等．
kxF弹簧弹性力
—— 胡克定律由物体形变而产生的．
N?
N
m
三、摩擦力 (frictional force)
静摩擦力：
滑动摩擦力：
Nf 000
Nf
方向,与物体相对滑动趋势的方向相反方向,与物体相对运动的方向相反
F F
判断下列情况中的摩擦力：
拔河比赛只是比力气吗？
根据牛顿第三定律（即当物体甲给物体乙一个作用力时，物体乙必然同时给物体甲一个反作用力，
作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上），对于拔河的两个队，甲对乙施加了多大拉力，乙对甲也同时产生一样大小的拉力。可见，
双方之间的拉力并不是决定胜负的因素。
拔河比赛比的是什么？很多人会说：
当然是比哪一队的力气大喽！实际上，
这个问题并不那么简单。
比如，脚使劲蹬地，在短时间内可以对地面产生超过自己体重的压力。再如，人向后仰，借助对方的拉力来增大对地面的压力，等等。 其目的都是尽量增大地面对脚底的摩擦力，以夺取比赛的胜利。
对拔河的两队进行受力分析就可以知道，只要所受的拉力小于与地面的最大静摩擦力，就不会被拉动。因此,增大与地面的摩擦力就成了胜负的关键 。 首先,穿上鞋底有凹凸花纹的鞋 子，能够增大摩擦系数，使摩擦力增大； 还有 就是队员的体重越重，对地面的压力越大，
摩擦力也会增大。大人和小孩拔河时，大人很容易获胜，
关键就是由于大人的体重比小孩大。
另外，在拔河比赛中，胜负在很大程度上还取决于人们的技巧。
一 解题步骤
已知力求运动方程
已知运动方程求力二 两类常见问题
Far
raF
隔离物体 受力分析 建立坐标列方程 解方程 结果讨论
2-4 牛顿定律的应用举例问 绳和铅直方向所成的角度 为多少？空气阻力不计．
Ｐ 40书例 3 如图摆长为 的圆锥摆,细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度为 的匀速率圆周运动．
m
l
o
o
l
r
v
解
amPFT
2
nT s i n mrmaF
0c o sT PF?
l
g
lm
mg
22c o s
lω
gθ
2a r c c o s?
越大,也越大?
s inlr?另有
lm ωF 2T?
PFc o sT
o
l
r
v
TF
P?
ne
te
l l
m m
利用此原理，可制成蒸汽机的调速器
（如图所示）
v?
rF
解 取坐标如图
marFmg v?π6B
P?
y
P43例 5 一质量,半径的球体在水中静止释放沉入水底,已知阻力,
为粘滞系数，求,
)(tv
vr ηF π6r
m r
BF
BF
浮力
ηrbFmgF π6B0 ；
令
t
mbF
d
d
0
vv
)(
d
d 0
b
F
m
b
t
vv
t
mbF
d
d
0
vv
］［ tmb
b
F )/(0 e1v
t
t
m
b
bF 00 0
d
)(
dv
v
v
v?
rF
P?
y
BF
BF
浮力
bFt /,0L v
（极限速度）
］［ tmb
b
F )/(0 e1v
LL 95.0)05.01( vvv
当 时
bmt 3?
v?
BF
rF?
P?y
v
b
F0
t
o
L,3 vv?bmt
一般认为 ≥
解,以地面为参考系，并选用自然坐标系。分析受力列方程,
μNf
dt
dv
m
t
maf
R
v
m
n
maN
2
例,光滑的水平桌面上放置一半径为 R 的固定圆环，物体紧贴环的内侧做圆周运动，其摩擦系数为,开始时物体的速率为 。试求 t时刻物体的速率。
0v
P51作业 19
O
R
v? f?
N?
综合有：
dt
dvv
R?
2
分离变量进行积分，并注意初值条件，有：
t v
v v
dv
dt
R 0 2
0
t
R
v
v
v
0
0
1
*2-6 非惯性系、惯性力 (自学 )
一、非惯性系地面观察者,物体水平方向不受力，所以静止在原处。
车里观察者,物体水平方向不受力，为什么产生了加速度？
m-a
a
定义,相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。
地面为参考 系,
m保持静止 F=0，运动符合牛顿定律车参考系,
m以 a0向左运动,运动不符合牛顿定律在非惯性系引入虚拟力或惯性力
00 amF
在非惯性系 S '系
amFF 0
二 惯性力大小
00 aF m?
方向与 的方向相反
0a
mF F
惯
ω
R
作匀角速转动的参考系中的惯性力注意,惯性力 不是作用力,
没有施力物体，是 虚拟力 。
例,一匀加速运动的车厢内，观察单摆，平衡位置和振动周期如何变化？ （加速度 a0,摆长 l,质量 m）
a0
S S '?
mg
ma0
解,在 S '系
22
0 gaa
平衡位置
g
a 01 t a n?
周期
a
lT
g
lT 22
章小结一、牛顿三定律
Ｐ 48作业,1;3;4;10;14;18;19。
习题课第一类问题,已知力关于时间的变化关系
F=F（ t），和初始条件，求 a,v,x。
例,质量为 m 的物体，在 F=F0?kt 的外力作用下沿 x 轴运动，已知 t=0 时，
x0=0,v0=0,求：物体在任意时刻的加速度 a，速度 v 和位移 x 。
解,maF m
Fa
dtm ktFdv 0
dt
dv?
m
ktF 0
dtm ktFdv
tv?
0
00
积分：
20
2 tm
kt
m
Fv
由 dt
dxv?
v d tdx?有
dttmktmFdx
tx
)2( 20
00
320
62 tm
kt
m
Fx
第二类问题,已知力关于位置的变化关系
F=F（ x），和初始条件，求 a,v,x。
例,一质量为 m 的物体，最初静止于 x0
处,在力 F=? k/x2 的作用下沿直线运动，
试证明,物体在任意位置 x 处的速度为
0
112
xxm
kv
证明,maF 2x
k
由于 a 中不显含时间 t，要进行积分变量的变换，由于 a 是 x 的函数，在上式右边上下同乘 dx,
2mx
ka
dt
dxv?
dx
dvv?
dx
dx
dt
dv
m
Fa?
2mx
k
dt
dv?
dx
mx
kv d v x
x
v
2
0 0
两边积分
0
2 11
2 xxm
kv
则
0
112
xxm
kv
证毕则 dxmx
kv d v
2
质量为 m的小球用轻绳 AB,BC连接。试求剪断绳子 AB前后的瞬间，绳 BC中张力之比。
例 1
解：
T1
mg
F
剪断前是静力学问题小球受的合力为零
T2
mg
剪断后是动力学问题绳子剪断瞬间小球的速度为 0，法向加速度为 0，故该方向合力为 0
C
A B?
mmgTc o s1
2c o s Tmg
得
221 c o s:1,?TT
质量为 m 的质点沿 X 轴正方向运动。设质点通过坐标为 x 的位置时其速度等于 kx ( k为比例系数 )。求,1) 作用于质点的力 F； 2) 质点从 x1位置出发，运动到 x2位置所需要的时间。
例 2
解,1) 动力学问题
xkkvtxktva 2dddd xmkmaF 2
2) 运动学问题
kxtx?dd 2
1
2
1
dd t
t
x
x
tkxx
2
1
12 ln
1
x
x
ktt
例 3,铅直平面内的圆周运动。如图所示，长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球，另一端系于定点 o 。
开始时小球处于最低位置。
若使小球获得如图所示的初速 v0，小球将在铅直平面内作圆周运动。求小球在任意位置的速率 v 及绳的张力 T。
o
0v
l
m
P39例 2选讲
P
gm
Tno
0v
l
解,由题意知，在 t=0 时，小球位于最低点，速率为 v0。在时刻 t 时，小球位于
P 点，轻绳与铅直成? 角，速率为 v。此时小球受重力 mg 和绳的拉力 T 作用。由于绳的质量不计，故绳的张力就等于绳对小球的拉力。 建立自然坐标系,
r
v
mmaF
dt
dv
mmaF
nn
2
由牛顿第二定律
nmamgTc o s
mamg s i n
有
由（ 1）式右边上下同乘
si n dddtdvmmg
o
v
P
gm
Tn
l
d
,dtdlv?其中：
两边同乘 l, dglv d v s i n
dtdvm? (1)
2
r
vm?
(2)
dglv d vvv si n00
)1( c o s)(21 202glvv
)1( c o s220glvv
将上式代入（ 2）式：
)c o s32(
2
0?gg
l
vmT
c o smgT?
2
r
vm?
得
o
v
P
gm
Tn
l
dglv d v s i n
例 4 质量为 m 的物体在摩擦系数为? 的平面上作匀速直线运动，问当力 F与水平面成?角多大时加速度最大？
F
解：
maNFc os
0s i n mgFN?
联立求解：
mgFFma s i nc o s
o x
y
gm
f
N
y
f
F
x
gm
N
o
0?
d
da
ar c t g
有极大值有极大值。a
mgFFma s i nc o s
数学知识可得,
0c o ss i n FF即,
5,一个水平的木制圆盘绕其中心竖直轴匀速转动 。 在盘上离中心 r=20cm处放一小铁块,如果铁块与木板间的静摩擦系数,求圆盘转速增大到多少时,铁块开始在圆盘上移动？
4.0?s?
解,对铁块进行分析 。
它在盘上不动时,是作半径为 r的匀速圆周运动,
具有法向加速度图中 是静摩擦力。
2?ra n?
sf
x
选讲结果说明,圆盘转速达到 42.3 r/ min时,
铁块开始在盘上移动 。
由于即由此得
x
the people who get up and look for
circumstances they want,and if they
cannot find them,make them,
-- Bernara Shaw
在这个世界上取得成就的人，都努力去寻找他们想要的机会，如果找不到机会，他们便自己创造机会。
------ 萧伯纳第二章牛顿运动定律
Newton’s Law of motion
牛顿 (Isaac Newton,1642― 1727)
重要贡献有 万有引力定律,经典力学,微积分 和 光学 。
万有引力定律,总结了伽利略和开普勒的理论和经验，用数学方法完美地描述了天体运动的规律。
牛顿运动三大定律,,自然科学的数学原理,中含有牛顿运动三条定律和万有引力定律，以及质量、动量、力和加速度等概念。
光学贡献,牛顿发现色散、色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说。
反射式望远镜的发明英国物理学家、数学家、天文学家，经典物理学的奠基人。
我不知道世人将如何看我，但是，就我自己看来，我好象不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳而感到高兴，但是，有待探索的真理的海洋正展现在我的面前。
教学要求一 掌握 牛顿定律的基本内容及其适用条件．
二 熟练掌握 用隔离体法分析物体的受力情况，能用微积分方法求解 变力作用下 的简单质点动力学问题．
三 理解惯性系与非惯性系的概念，
了解惯性力的概念．
2-1 牛顿三定律
1、第一定律（惯性定律）
任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
“原理”不可证明。
时,恒矢量?v?0?F?
如物体在一参考系中不受其它物体作用，
而保持静止或匀速直线运动，这个参考系就称为 惯性参考系．
惯性和力的概念；
t
m
t
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二 牛顿第二定律动量为 的物体，在合外力的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外力．
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当 时，
为 常量
cv
m
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合外力
(1) 瞬时 关系
(2) 只适用于 质点注意注,为 A处曲线的曲率半径．
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自然坐标系中
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直角坐标系中
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zz maF?
3、牛顿第三定律两个物体之间作用力 和反作用力,
沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．
F? ＇F?
2112 FF
（物体间相互作用规律）
12F
21F?
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'G?
地球例 分析物体间的相互作用力作用力与反作用力特点：
(1)大小相等、方向相反，分别作用在不同物体上,同时存在、同时消失,
它们不能相互抵消．
(2)是同一性质的力．
注意总之：牛顿定律 阐明 了“力”、“质量”,“
惯性”的概念。
适用 于：惯性系、低速、宏观物体关羽和张飞比力气话说三国时期，刘备、关羽、张飞“桃园三结义”
之后，张飞对自己排在第三位总感到不服气。有一天，
兄弟三人饮酒聚会，张飞喝了不少酒，趁着酒劲提出要与关羽比力气，想出出这口气。
他提出：谁能把自己提起来，谁的力气就大。说罢，他用双手紧抓自己的头发，使劲向上提。尽管他使出了最大的力气，憋得满脸黑紫，甚至把头发都拔掉了一大把，结果还是不能使自己离开地面。最后便气呼呼地坐到自己的椅子上去了。
关羽想了一下，找来一根绳子，把绳子的一端拴在自己腰上，另一端跨过一个树杈，双手使劲向下拉，
结果身体慢慢离开了地面。关羽胜了。
所以不论谁都不能用这种方法把自己的身体提起来。关羽因为把绳子跨在树杈上，通过树杈使他的身体受到向上的力的作用，因此能把自己提起来。
张飞为什么失败呢？让我们作一个受力分析，张飞用手向上拉自己的头发，手给头发一个向上的力，但头发同时也给手一个向下的反作用力，这两个力大小相等，方向相反，都是作用在张飞自己身上,
力学的基本单位物理量 长度 质量 时间单位名称 米 千克 秒符号 m kg s
国际单位制规定了 七个基本单位．
２ -2 力学量的单位和量纲一、基本量和导出量被选作独立规定单位的物理量称为 基本量
，它们的单位叫 基本单位 ；其它量叫 导出量,其单位叫 导出单位 。
1 m是光在真空中 (1/299 792 458)s时间间隔 内所经路径的长度．
1s是铯的一种同位素 133 Cs原子发出的一个特征频率光波周期的 9 192 631 770倍．
,千克标准原器” 是用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，保存在巴黎度量衡局中．
力学还有 辅助量,弧度 rad．
其它力学物理量都是 导出量．
长度 L(m) 时间 T(s) 质量 M(kg)
电流 (A) 物质的量 (mol) 热力学温度 (k)
发光强度 坎德拉 (cd) 角度（ RAD）
立体角（球面度）
二、国际单位制九个基本量及基本单位：
2
21
r
mmGF?
一 万有引力引力常数
2211 kgmN1067.6G
m1 m2
r
重力,mgP?
2r
Gmg E?
2sm80.9 -
2R
Gmg E?地表附近
2-3 几种常见的力
mg
二 弹性力常见弹性力 有：正压力、张力、弹簧弹性力等．
kxF弹簧弹性力
—— 胡克定律由物体形变而产生的．
N?
N
m
三、摩擦力 (frictional force)
静摩擦力：
滑动摩擦力：
Nf 000
Nf
方向,与物体相对滑动趋势的方向相反方向,与物体相对运动的方向相反
F F
判断下列情况中的摩擦力：
拔河比赛只是比力气吗？
根据牛顿第三定律（即当物体甲给物体乙一个作用力时，物体乙必然同时给物体甲一个反作用力，
作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上），对于拔河的两个队，甲对乙施加了多大拉力，乙对甲也同时产生一样大小的拉力。可见，
双方之间的拉力并不是决定胜负的因素。
拔河比赛比的是什么？很多人会说：
当然是比哪一队的力气大喽！实际上，
这个问题并不那么简单。
比如，脚使劲蹬地，在短时间内可以对地面产生超过自己体重的压力。再如，人向后仰，借助对方的拉力来增大对地面的压力，等等。 其目的都是尽量增大地面对脚底的摩擦力，以夺取比赛的胜利。
对拔河的两队进行受力分析就可以知道，只要所受的拉力小于与地面的最大静摩擦力，就不会被拉动。因此,增大与地面的摩擦力就成了胜负的关键 。 首先,穿上鞋底有凹凸花纹的鞋 子，能够增大摩擦系数，使摩擦力增大； 还有 就是队员的体重越重，对地面的压力越大，
摩擦力也会增大。大人和小孩拔河时，大人很容易获胜，
关键就是由于大人的体重比小孩大。
另外，在拔河比赛中，胜负在很大程度上还取决于人们的技巧。
一 解题步骤
已知力求运动方程
已知运动方程求力二 两类常见问题
Far
raF
隔离物体 受力分析 建立坐标列方程 解方程 结果讨论
2-4 牛顿定律的应用举例问 绳和铅直方向所成的角度 为多少？空气阻力不计．
Ｐ 40书例 3 如图摆长为 的圆锥摆,细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度为 的匀速率圆周运动．
m
l
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解
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2
nT s i n mrmaF
0c o sT PF?
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2a r c c o s?
越大,也越大?
s inlr?另有
lm ωF 2T?
PFc o sT
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l
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m m
利用此原理，可制成蒸汽机的调速器
（如图所示）
v?
rF
解 取坐标如图
marFmg v?π6B
P?
y
P43例 5 一质量,半径的球体在水中静止释放沉入水底,已知阻力,
为粘滞系数，求,
)(tv
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t
o
L,3 vv?bmt
一般认为 ≥
解,以地面为参考系，并选用自然坐标系。分析受力列方程,
μNf
dt
dv
m
t
maf
R
v
m
n
maN
2
例,光滑的水平桌面上放置一半径为 R 的固定圆环，物体紧贴环的内侧做圆周运动，其摩擦系数为,开始时物体的速率为 。试求 t时刻物体的速率。
0v
P51作业 19
O
R
v? f?
N?
综合有：
dt
dvv
R?
2
分离变量进行积分，并注意初值条件，有：
t v
v v
dv
dt
R 0 2
0
t
R
v
v
v
0
0
1
*2-6 非惯性系、惯性力 (自学 )
一、非惯性系地面观察者,物体水平方向不受力，所以静止在原处。
车里观察者,物体水平方向不受力，为什么产生了加速度？
m-a
a
定义,相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。
地面为参考 系,
m保持静止 F=0，运动符合牛顿定律车参考系,
m以 a0向左运动,运动不符合牛顿定律在非惯性系引入虚拟力或惯性力
00 amF
在非惯性系 S '系
amFF 0
二 惯性力大小
00 aF m?
方向与 的方向相反
0a
mF F
惯
ω
R
作匀角速转动的参考系中的惯性力注意,惯性力 不是作用力,
没有施力物体，是 虚拟力 。
例,一匀加速运动的车厢内，观察单摆，平衡位置和振动周期如何变化？ （加速度 a0,摆长 l,质量 m）
a0
S S '?
mg
ma0
解,在 S '系
22
0 gaa
平衡位置
g
a 01 t a n?
周期
a
lT
g
lT 22
章小结一、牛顿三定律
Ｐ 48作业,1;3;4;10;14;18;19。
习题课第一类问题,已知力关于时间的变化关系
F=F（ t），和初始条件，求 a,v,x。
例,质量为 m 的物体，在 F=F0?kt 的外力作用下沿 x 轴运动，已知 t=0 时，
x0=0,v0=0,求：物体在任意时刻的加速度 a，速度 v 和位移 x 。
解,maF m
Fa
dtm ktFdv 0
dt
dv?
m
ktF 0
dtm ktFdv
tv?
0
00
积分：
20
2 tm
kt
m
Fv
由 dt
dxv?
v d tdx?有
dttmktmFdx
tx
)2( 20
00
320
62 tm
kt
m
Fx
第二类问题,已知力关于位置的变化关系
F=F（ x），和初始条件，求 a,v,x。
例,一质量为 m 的物体，最初静止于 x0
处,在力 F=? k/x2 的作用下沿直线运动，
试证明,物体在任意位置 x 处的速度为
0
112
xxm
kv
证明,maF 2x
k
由于 a 中不显含时间 t，要进行积分变量的变换，由于 a 是 x 的函数，在上式右边上下同乘 dx,
2mx
ka
dt
dxv?
dx
dvv?
dx
dx
dt
dv
m
Fa?
2mx
k
dt
dv?
dx
mx
kv d v x
x
v
2
0 0
两边积分
0
2 11
2 xxm
kv
则
0
112
xxm
kv
证毕则 dxmx
kv d v
2
质量为 m的小球用轻绳 AB,BC连接。试求剪断绳子 AB前后的瞬间，绳 BC中张力之比。
例 1
解：
T1
mg
F
剪断前是静力学问题小球受的合力为零
T2
mg
剪断后是动力学问题绳子剪断瞬间小球的速度为 0，法向加速度为 0，故该方向合力为 0
C
A B?
mmgTc o s1
2c o s Tmg
得
221 c o s:1,?TT
质量为 m 的质点沿 X 轴正方向运动。设质点通过坐标为 x 的位置时其速度等于 kx ( k为比例系数 )。求,1) 作用于质点的力 F； 2) 质点从 x1位置出发，运动到 x2位置所需要的时间。
例 2
解,1) 动力学问题
xkkvtxktva 2dddd xmkmaF 2
2) 运动学问题
kxtx?dd 2
1
2
1
dd t
t
x
x
tkxx
2
1
12 ln
1
x
x
ktt
例 3,铅直平面内的圆周运动。如图所示，长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球，另一端系于定点 o 。
开始时小球处于最低位置。
若使小球获得如图所示的初速 v0，小球将在铅直平面内作圆周运动。求小球在任意位置的速率 v 及绳的张力 T。
o
0v
l
m
P39例 2选讲
P
gm
Tno
0v
l
解,由题意知，在 t=0 时，小球位于最低点，速率为 v0。在时刻 t 时，小球位于
P 点，轻绳与铅直成? 角，速率为 v。此时小球受重力 mg 和绳的拉力 T 作用。由于绳的质量不计，故绳的张力就等于绳对小球的拉力。 建立自然坐标系,
r
v
mmaF
dt
dv
mmaF
nn
2
由牛顿第二定律
nmamgTc o s
mamg s i n
有
由（ 1）式右边上下同乘
si n dddtdvmmg
o
v
P
gm
Tn
l
d
,dtdlv?其中：
两边同乘 l, dglv d v s i n
dtdvm? (1)
2
r
vm?
(2)
dglv d vvv si n00
)1( c o s)(21 202glvv
)1( c o s220glvv
将上式代入（ 2）式：
)c o s32(
2
0?gg
l
vmT
c o smgT?
2
r
vm?
得
o
v
P
gm
Tn
l
dglv d v s i n
例 4 质量为 m 的物体在摩擦系数为? 的平面上作匀速直线运动，问当力 F与水平面成?角多大时加速度最大？
F
解：
maNFc os
0s i n mgFN?
联立求解：
mgFFma s i nc o s
o x
y
gm
f
N
y
f
F
x
gm
N
o
0?
d
da
ar c t g
有极大值有极大值。a
mgFFma s i nc o s
数学知识可得,
0c o ss i n FF即,
5,一个水平的木制圆盘绕其中心竖直轴匀速转动 。 在盘上离中心 r=20cm处放一小铁块,如果铁块与木板间的静摩擦系数,求圆盘转速增大到多少时,铁块开始在圆盘上移动？
4.0?s?
解,对铁块进行分析 。
它在盘上不动时,是作半径为 r的匀速圆周运动,
具有法向加速度图中 是静摩擦力。
2?ra n?
sf
x
选讲结果说明,圆盘转速达到 42.3 r/ min时,
铁块开始在盘上移动 。
由于即由此得
x
