第 二 讲
a
a? a?
b?b?
b
●
●
●
●
●
●
1.2 直线的投影两点确定一条直线，将两点的 同名投影 用直线连接，
就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性
B
A
●
●
●
●
a
b
直线垂直于投影面投影重合为一点积 聚 性直线平行于投影面投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面投影比空间线段短
ab=AB.cos?
●
●
A
B
●
●
a b
A
M
B●
a≡b≡m●
●
●
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般 位置 直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊 位置 直线垂直于某一投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。
（ 1）投影面倾斜线
V
H
a'
a
a"
b
b"
W
b'
X Y
Z
A
B
x?y
z
a' b' =ABcos?
ab=ABcos?
a" b" =ABcos?
— AB与 W面夹角投影特性：
三投影均与投影轴倾斜，
且都小于实长。
— AB与 H面夹角
— AB与 V面夹角思考：已知线段三投影如何求空间线段的实长？
例 1：作出 AB线段的实长及对投影面的倾角 α,β,γ。
a'
b'
a
b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
分析思考：
α
ab
Δz TL
β
a'b'
Δy TL
γ
a"b"
Δx TL
Δy
β
Δz
α
TL TL
TL
Δx
γ
作图步骤：
1、作 α三角形求实长；
2、作 β三角形求实长；
3、作 γ三角形求实长。
例 2：已知直线 AB的投影 ab及 b'，倾角 β=30o，完成它的投影。
b
X O
a'
a
b'
分析思考：
β
a'b'
Δy TL
30o
a'b'
Δy TL60o
a'
作图步骤：
已知 β三角形为：
Δy
有多少解？有两解。
（ 2）投影面平行线正平线 — 平行于 V面，倾斜于 H面和 W面的直线；
水平线 — 平行于 H面，倾斜于 V面和 W面的直线；
侧平线 — 平行于 W面，倾斜于 H面和 V面的直线。
平行于某一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线。
定义：
V
H
a'
a
a"
b
b"
W
b'
X
Y
Z
A
B
a'
b'
ab
a"
b"
X
Z
YH
Yw
正平线
投影特性：
1,a' b' =AB
2,V面投影反映?,?
3,ab∥ OX,ab<AB,a"b" ∥ OZ,a"b"<AB
O
水平线
V
H
c'
c
c"
d
d"
W
d'
X
Y
C
D
c'd'
c
d
c" d"
X
Z
YH
Yw
β
γ
O
投影特性：
1,cd=CD
2,H面投影反映 β,?
3,c'd' ∥ OX,c'd' <CD,c"d" ∥ OYw,c"d" <CD
Z
V
H
e'
e
e"
f
f "
W
f '
X
Y
E
F
Z侧平线
e'
f '
e
f
e"
f "
X
Z
Yw
β
α
O
投影特性：
1,e"f "=EF
2,W面投影反映 α,β
3,e' f ' ∥ OZ,e' f ' <EF,ef ∥ OYH,ef<EF
YH
投影面平行线投影特性概括：
1、投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长和对其余两投影的倾角。
2、投影面平行线在它所倾斜的投影面上的投影短于实长且平行于相应的投影轴。
（ 3）投影面垂直线垂直于某一个投影面，而必与另两个投影面平行的直线。
定义：
正垂线 — 垂直于 V面，平行于 W面和 H面的直线；
铅垂线 — 垂直于 H面，平行于 V面和 W面的直线；
侧垂线 — 垂直于 W面，平行于 H面和 V面的直线。
正垂线
V
H
(a')
a
a"
b
b"
W
b'
X
Y
A
B
Z
(a') b'
a
b
a" b"
X
Z
Yw
O
YH
投影特性,1、正面投影 (a')b'积聚成一点；
2,ab和 a"b"反映实长，且 ab//OYH,a"b" //OYW。
铅垂线
V
H
c'
c
c"
(d)
d"
W
d'
X
Y
C
D
Z
c'
d'
c (d)
c"
d"
X
Z
Yw
O
YH
投影特性,1、水平投影 cd积聚成一点；
2,c'd'和 c"d"反映实长，且 c'd' //OZ,c"d" //OZ。
V
H
f '
f
e"
e
(f ")
W
e'
X
Y
F
E
f 'e'
fe
e" (f")
X
Z
YH
Yw
O
Z侧垂线投影特性,1、侧面投影 e"f "积聚成一点；
2,e'f '和 ef反映实长，且 e'f '//OX,ef//OX。
投影面垂直线投影特性概括：
1、投影面垂在线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。
2、投影面垂直线在它所平行的投影面上的投影反映实长且平行于同一根投影轴。
二、直线上的点
V
H
a'
a
a"
b
b"
W
b'
X
Y
A
B
Z
k
k"k'
a'
b'
a
b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
k'
k
k"
投影特性 1、点与直线的从属性投影后不变；
2、线段上的点分割线段所成两段之比值，投影后不变。
例：根据两投影，判断点 K是否在直线 AB上。
a'
b'
a
b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
k'
k
k"
两种方法：
方法一：求出直线和点的第三投影。
方法二：利用等比性。
ya
ya
yk
yk
结论：点 K不在直线 AB上。
三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置有几种情况？
平行相交交叉有三种
1、平行两直线
A
B
C
D
a
b
c
d
a'
b'
a
b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
d'
c'
d
c
d"
c"
空间两平行直线的投影必定互相平行。
反之，如果两直线在投影图上的各组同面投影都互相平行，则两直线在空间必定互相平行。
结论：
2、相交两直线
A
BC
D
a
b
d
K
k
a'
b'
a b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
d'
c'
d
c
d"
c"
k'
k
k"
若两直线相交，则它们的各组同面投影也必相交，且交点必定符合点的投影规律。
结论：
反之，若两直线的各组同面投影都相交，且交点又符合点的投影规律，则这两直线必相交。
3、交叉两直线
V
H
a'
a
b
b’
A
B
C
D
c'
d'
cd
Ⅰ
Ⅱ
1(2)
Ⅲ
Ⅳ
3'(4 ')
a'
b'
a
b
a"
b"X
Z
YH
Yw
O
d'
c'
d
c
d"
c"
1(2)
1'
2'
3
4
3'(4')
结论：
交叉两直线的各组同面投影可能都相交，但这些交点的位置不符合空间一点的投影规律。
例 1：判断下列两直线的相对位置。
a'
b'
a
b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
d'
c'
d
c
d"
c"
结论,AB,CD两直线，在空间是交叉的。
例 2：判断下列两直线的相对位置。
e'
f '
e
f
e"
f"
X
Z
YH
Yw
O
g'
h'
g
h
g"
h"
结论,EF,GH两直线，在空间是交叉的。
课外作业：
1-3（ 2）（ 3）
1-4（ 2）（ 4）
1-5（ 1）（ 3）
1-6
1-7（ 1）（ 2）