第 三 讲第 二 章 平 面
2.1 平面的投影一,平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
d●
d?
●
两平行直线
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
两相交直线平面图形
c?
●
●
●
a
b
c
a?
b?
●
●
●
c●
●
●
●
●
●
a
b
a?
b?
c?
b
●
●
●
●
●
●
a
c
a?
b?
c?
二、平面的投影特性垂直 倾斜投 影 特 性
★ 平面平行投影面 —— 投影就把实形现
★ 平面垂直投影面 —— 投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面 —— 投影类似原平面实形性类似性积聚性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性平行
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面投影面平行面一般 位置 平面特殊 位置 平面垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面
c?c?
⑴ 投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？
a
b
c
a?
b? b?
a?
类似性 类似性积聚性铅垂面γ
β
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影为类似形。
X
Y
Z
V
H
W
O
a' ( b‘ )
c'
b
c a
d
a"
b"
c"
d"
a' ( b' )
a
b
a"b"
X
Z
YH
Yw
O
(d')c'
d
c
d" c"
投影特征,1,V投影面积聚为一直线，具有积聚性；
2,H,W投影具有类似性。
正垂面
( d‘ )
B
A
C
D
X
Y
Z
V
H
W
O
a' b'
c'
b
c
a
d
a"
（ b“）
（ c"）d"
a' b'
a b
a"（ b"）
X
Z
YH
Yw
O
d' c'
d c
d"（ c"）
投影特征,1,W投影面积聚为一直线，具有积聚性；
2,H,V投影具有类似性。
侧垂面
d'
BA
D C
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
⑵ 投影面平行面积聚性 积聚性实形性 水平面投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
X
Y
Z
V
H
W
O
a' b'
c'
b( c )a (d)
a"
（ b“）
（ c"）d"
a' b'
a b
a"（ b"）
X
Z
YH
Yw
O
d' c'
(d) ( c )
d"（ c"）
投影特征,1,V投影面反映实形；
2,H,W投影积聚为直线。
正平面
d'
D
B
C
A
X
Y
Z
V
H
W
O
(a')
(b')c'
(b)
( c )
a
d
a"
b" d"
(a')
(b')
a (b)
a"
b"X
Z
YH
Yw
O
d'
c'
d ( c )
d"
c"
投影特征,1,H投影面反映实形；
2,V,W投影积聚为直线。
侧平面
d'
D
A
B
C c"
X
Y
Z
V
H
W
O
a'
b'
c'
b
c
a
a"
b"
c"
a'
b'
a
b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
c'
c
c"
投影特征,1,V,H,W投影具有类似性；
2、三个投影均小于空间平面 ABC。
B
A
C
⑶ 一般位置平面
a?
c?
b?
c?
a?
●
a
b
c
b?
例,正垂面 ABC与 H面的夹角为 45°,已知其水平投影及顶点 B的正面投影，求△ ABC的正面投影及侧面投影。
45°
三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：
⒈ 平面上取任意直线
●
●
M
N
A
B
●
M
若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线
，则此直线在该平面内。
a
b
c
b?
c?
a?
d?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试在平面内任作一条直线。
解法一,解法二：
有多少解？
有无数解！
n?
●
m?●
n●
m●
a
b
c
b?
c?
a?
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n?m?
n
m
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
⒉ 平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
a
c
a?
k?
b?
●
①
c?
面上取点的方法：
d?
d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解首先面上取线
k●
②
●
a
b
c
a?
b?
k? c?
k●
例 2：已知 E点是相交二直线 AB,BC表示的平面内的一点，并已知它的水平投影 e,作出它的正面投影 e'。
b
c
X O
a'
a
e'
e
c'
b'
1'
1
2'
2
分析思考：
E在相交二直线 AB,BC所确定的平面内，它必在该平面内的一条经过 E点的直线上。
方法一：作图步骤：
1、在水平投影上，过 e任意作一直线与直线 ab交于 1，与 bc交于 2；
2、求出相应的 1',2' ;
3、连接 1'2'，求出 e'。
2.2 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括 平行,相交 和 垂直 。
一、平行问题直线与平面平行平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。
包括
n?
●
●
a?
c?
b?
m?
a
b
c
m
n
例 1：过 M点作直线 MN平行于平面 ABC。
有无数解有多少解？
d?
d
例 2：判断下列直线 DE与平面 ABC是否平行。
a'
a
b
X
O
c'
c
d'
e'
d
e
b'
作图步骤：
1、过 b'作一直线平行与 d'e'交 a'c'于 f ';
f '
f
2、作 F点的水平投影 f ;
3、连接 bf，并判断 bf与 de是否平行。
结论：直线 DE与平面 ABC不平行。
分析思考：
在平面 ABC内，能否找到一条与 DE平行的直线。
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的 两相交直线 分别平行于另一平面上的 两相交直线,则这两平面相互平行。
② 若两 投影面垂直面相互平行，则它们 具有积聚性 的那组投影必相互平行。
c?
f?b?
d?
e?
a?
a
b
c
d e
f
f?
h?
a bc
d
e
f h
a?
b?
c?
d?
e?
a
c e
b
b?
a?
d?
d f
c?
f?
e?
k
h
k?
h?
OX
m?
m
由于 ek不平行于 ac,
故两平面不平行。
例：判断平面 ABDC与平面 EFHM是否平行，
已知 AB∥CD∥EF∥MH
直线与平面相交，其 交点是直线与平面的共有点。
二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交要讨论的问题：
● 求 直线与平面的 交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
● ●
例：求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn的交点即为 K点的水平投影。
① 求交点
② 判别可见性由水平投影可知，
KN段在平面前，故正面投影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
作图 用线上取点法
⑴ 平面为特殊位置
a b
cm
n
c?
n?b?
a?
m?
k?
●
k
●
1?(2?)
2●
1●
●
1?(2?)
k
m(n)
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析直线 MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，
故交点 K的水平投影也积聚在该点上。
① 求交点
② 判别可见性点 Ⅰ 位于平面上，在前；点 Ⅱ 位于 MN上，在后。故 k?2?为不可见 。
k?●
2 ●
1●
作图 用面上取点法
●
⒉ 两平面相交两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
① 求 两平面的 交线方法,⑴ 确定两平面的 两个共有点。
⑵ 确定 一个共有点及交线的方向。
只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：
判别可见性。
可通过正面投影直观地进行判别。
a
b
c
d
e
f
c?
f?
d?
b? e?a? m?(n?)
空间及投影分析平面 ABC与 DEF都为正垂面,它们的 交线为一条正垂线,两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于 OX轴 。
① 求交线
② 判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面
ABC在上，其水平投影可见。
n●
m●
●
能 !
如何判别？
例：求两平面的交线
MN并判别可见性。
⑴
能否不用重影点判别？
c?
d?
e?
f?
a?
b?
a
b
cd
e
f
⑶ 投影分析
N点的水平投影
n位于 Δdef的外面，
说明点 N位于 ΔDEF所确定的平面内，但不位于 ΔDEF这个图形内。
所以 ΔABC和
ΔDEF的交线应为 MK。
n●
n?
●
m?
●
k●
m●
k?
●
互交
c?
d?
e?
f?
a?
b?
a
b
cd
e
f
互交
m●
k●
k?
●
m?
●
课外作业：
2-1
2-2（ 1）（ 2）（ 4）
2-3（ 1）
2-4（ 1）（ 3）
2-5（ 1）（ 2）（ 3）
2.1 平面的投影一,平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
d●
d?
●
两平行直线
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
两相交直线平面图形
c?
●
●
●
a
b
c
a?
b?
●
●
●
c●
●
●
●
●
●
a
b
a?
b?
c?
b
●
●
●
●
●
●
a
c
a?
b?
c?
二、平面的投影特性垂直 倾斜投 影 特 性
★ 平面平行投影面 —— 投影就把实形现
★ 平面垂直投影面 —— 投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面 —— 投影类似原平面实形性类似性积聚性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性平行
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面投影面平行面一般 位置 平面特殊 位置 平面垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面
c?c?
⑴ 投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？
a
b
c
a?
b? b?
a?
类似性 类似性积聚性铅垂面γ
β
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影为类似形。
X
Y
Z
V
H
W
O
a' ( b‘ )
c'
b
c a
d
a"
b"
c"
d"
a' ( b' )
a
b
a"b"
X
Z
YH
Yw
O
(d')c'
d
c
d" c"
投影特征,1,V投影面积聚为一直线，具有积聚性；
2,H,W投影具有类似性。
正垂面
( d‘ )
B
A
C
D
X
Y
Z
V
H
W
O
a' b'
c'
b
c
a
d
a"
（ b“）
（ c"）d"
a' b'
a b
a"（ b"）
X
Z
YH
Yw
O
d' c'
d c
d"（ c"）
投影特征,1,W投影面积聚为一直线，具有积聚性；
2,H,V投影具有类似性。
侧垂面
d'
BA
D C
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
⑵ 投影面平行面积聚性 积聚性实形性 水平面投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
X
Y
Z
V
H
W
O
a' b'
c'
b( c )a (d)
a"
（ b“）
（ c"）d"
a' b'
a b
a"（ b"）
X
Z
YH
Yw
O
d' c'
(d) ( c )
d"（ c"）
投影特征,1,V投影面反映实形；
2,H,W投影积聚为直线。
正平面
d'
D
B
C
A
X
Y
Z
V
H
W
O
(a')
(b')c'
(b)
( c )
a
d
a"
b" d"
(a')
(b')
a (b)
a"
b"X
Z
YH
Yw
O
d'
c'
d ( c )
d"
c"
投影特征,1,H投影面反映实形；
2,V,W投影积聚为直线。
侧平面
d'
D
A
B
C c"
X
Y
Z
V
H
W
O
a'
b'
c'
b
c
a
a"
b"
c"
a'
b'
a
b
a"
b"
X
Z
YH
Yw
O
c'
c
c"
投影特征,1,V,H,W投影具有类似性；
2、三个投影均小于空间平面 ABC。
B
A
C
⑶ 一般位置平面
a?
c?
b?
c?
a?
●
a
b
c
b?
例,正垂面 ABC与 H面的夹角为 45°,已知其水平投影及顶点 B的正面投影，求△ ABC的正面投影及侧面投影。
45°
三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：
⒈ 平面上取任意直线
●
●
M
N
A
B
●
M
若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线
，则此直线在该平面内。
a
b
c
b?
c?
a?
d?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试在平面内任作一条直线。
解法一,解法二：
有多少解？
有无数解！
n?
●
m?●
n●
m●
a
b
c
b?
c?
a?
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n?m?
n
m
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
⒉ 平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
a
c
a?
k?
b?
●
①
c?
面上取点的方法：
d?
d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解首先面上取线
k●
②
●
a
b
c
a?
b?
k? c?
k●
例 2：已知 E点是相交二直线 AB,BC表示的平面内的一点，并已知它的水平投影 e,作出它的正面投影 e'。
b
c
X O
a'
a
e'
e
c'
b'
1'
1
2'
2
分析思考：
E在相交二直线 AB,BC所确定的平面内，它必在该平面内的一条经过 E点的直线上。
方法一：作图步骤：
1、在水平投影上，过 e任意作一直线与直线 ab交于 1，与 bc交于 2；
2、求出相应的 1',2' ;
3、连接 1'2'，求出 e'。
2.2 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括 平行,相交 和 垂直 。
一、平行问题直线与平面平行平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。
包括
n?
●
●
a?
c?
b?
m?
a
b
c
m
n
例 1：过 M点作直线 MN平行于平面 ABC。
有无数解有多少解？
d?
d
例 2：判断下列直线 DE与平面 ABC是否平行。
a'
a
b
X
O
c'
c
d'
e'
d
e
b'
作图步骤：
1、过 b'作一直线平行与 d'e'交 a'c'于 f ';
f '
f
2、作 F点的水平投影 f ;
3、连接 bf，并判断 bf与 de是否平行。
结论：直线 DE与平面 ABC不平行。
分析思考：
在平面 ABC内，能否找到一条与 DE平行的直线。
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的 两相交直线 分别平行于另一平面上的 两相交直线,则这两平面相互平行。
② 若两 投影面垂直面相互平行，则它们 具有积聚性 的那组投影必相互平行。
c?
f?b?
d?
e?
a?
a
b
c
d e
f
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h?
a bc
d
e
f h
a?
b?
c?
d?
e?
a
c e
b
b?
a?
d?
d f
c?
f?
e?
k
h
k?
h?
OX
m?
m
由于 ek不平行于 ac,
故两平面不平行。
例：判断平面 ABDC与平面 EFHM是否平行，
已知 AB∥CD∥EF∥MH
直线与平面相交，其 交点是直线与平面的共有点。
二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交要讨论的问题：
● 求 直线与平面的 交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
● ●
例：求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn的交点即为 K点的水平投影。
① 求交点
② 判别可见性由水平投影可知，
KN段在平面前，故正面投影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
作图 用线上取点法
⑴ 平面为特殊位置
a b
cm
n
c?
n?b?
a?
m?
k?
●
k
●
1?(2?)
2●
1●
●
1?(2?)
k
m(n)
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析直线 MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，
故交点 K的水平投影也积聚在该点上。
① 求交点
② 判别可见性点 Ⅰ 位于平面上，在前；点 Ⅱ 位于 MN上，在后。故 k?2?为不可见 。
k?●
2 ●
1●
作图 用面上取点法
●
⒉ 两平面相交两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
① 求 两平面的 交线方法,⑴ 确定两平面的 两个共有点。
⑵ 确定 一个共有点及交线的方向。
只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：
判别可见性。
可通过正面投影直观地进行判别。
a
b
c
d
e
f
c?
f?
d?
b? e?a? m?(n?)
空间及投影分析平面 ABC与 DEF都为正垂面,它们的 交线为一条正垂线,两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于 OX轴 。
① 求交线
② 判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面
ABC在上，其水平投影可见。
n●
m●
●
能 !
如何判别？
例：求两平面的交线
MN并判别可见性。
⑴
能否不用重影点判别？
c?
d?
e?
f?
a?
b?
a
b
cd
e
f
⑶ 投影分析
N点的水平投影
n位于 Δdef的外面，
说明点 N位于 ΔDEF所确定的平面内，但不位于 ΔDEF这个图形内。
所以 ΔABC和
ΔDEF的交线应为 MK。
n●
n?
●
m?
●
k●
m●
k?
●
互交
c?
d?
e?
f?
a?
b?
a
b
cd
e
f
互交
m●
k●
k?
●
m?
●
课外作业：
2-1
2-2（ 1）（ 2）（ 4）
2-3（ 1）
2-4（ 1）（ 3）
2-5（ 1）（ 2）（ 3）
