测试技术 (1)
王伯雄四、周期信号的频域描述在有限区间上，一个周期信号 x（ t）当满足狄里赫利条件 *时可展开成傅里叶级数：
式中，
注意,an是 n或 nω 0的偶函数,a-n=an； 而 bn
则是 n或 nω 0的奇函数，有 b-n=-bn 。
1
00
0 )s i nc o s(
2)( n nn tnbtna
atx(2.12)
2/ 2/ 0c o s)(2 T Tn t d tntxTa?
(2.13)
2/ 2/ 0s in)(2 T Tn t d tntxTb?(2.14)
信号 x（ t） 的另一种形式的傅里叶级数表达式：
式中，
An称信号频率成分的幅值,φ n称初相角。
注意,An是 n或 nω 0的偶函数,A-n=An； 而 bn则是
n或 nω 0的奇函数，有 φ -n=-φ n 。
比较式（ 2.12）和式（ 2.15），可 见,
1
0
0 )c o s (
2)( n nn tnA
atx（ 2.15）
)(
22
n
n
n
nnn
a
b
ar c t g
baA
n＝ 1,2,…… （ 2.16）
nnn
nnn
Ab
Aa
s in
c o s n＝ 1,2,…… （ 2.17）
小结与讨论
1,式中第一项 a0/2为周期信号中的常值或直流分量 ；
2,从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、
二次谐波、三次谐波,……,n次谐波 ；
3,将信号的角频率 ω 0作为横坐标，可分别画出信号幅值 An和相角 φ n随频率 ω 0变化的图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。
4,由于 n为整数，各频率分量仅在 nω 0的频率处取值，因而得到的是关于幅值 An和相角 φ n的离散谱线。
周期信号的频谱是离散的 !
例 1 求图 2.11所示的周期方波信号 x（ t） 的傅里叶级数。
解：
信号 x（ t） 在它的一个周期中的表达式为：
根据式（ 2.13）和（ 2.14）有：
图 2.11 周期方波信号
2
0,1
0
2
,1
)( T
t
tT
tx
2/ 2/ 0 0c o s)(2 T Tn t d tntxTa?
注意：本例中 x(t)为一奇函数，而 cosnω 0t为偶函数，两者的积 x(t)cosnω 0t也为奇函数，而一个奇函数在上、下限对称区间上的积分值等于零。
根据式（ 2.12），便可得图 2.11所示周期方波信号的傅里叶级数表达式为：
6,4,2,0
,5,3,1,
4
c os1
2
)c os(
1
c os
12
s i ns i n)1(
2
s i n)(
2
2/
00
0
0
2/0
0
2/
0
0
0
2/
0
2/
2/
0
n
n
n
n
n
tn
n
tn
nT
t dtnt dtn
T
t dtntx
T
b
T
T
T
T
T
T
n
)5s i n513s i n31( s i n4)( 000 ttttx
图 2.12 周期方波信号的频谱图奇、偶函数的傅里叶系数计算特点
x(t)为奇函数由于 x(-t)=-x(t)，因此，
由式（ 2.16）进而有
),2,1(s i n)(4
0
2/
0 0
nt d tntxTb
a
T
n
n
（ 2.18）
),2,1(
,
2
)12(
n
mm
bA
n
nn
为整数）（
（ 2.19）
x(t)为偶函数由于 x(-t)=x(t)，因而有进而有图 2.14 偶函数例，图中函数为对称于纵轴的三角波
)2,1,0(c o s)(4
0
2/
0 0
nt d tntxTa
b
T
n
n
（ 2.20）
)2,1(,
n
mm
aA
n
nn
为整数）（
（ 2.21）
傅里叶级数表达成指数函数的形式由欧拉公式可知,
代入式（ 2.12）有：
令则或
)(
2
s in
)(
2
1c os
tjtj
tjtj
eejt
eet
（ 2.22）
1
0 00 )(
2
1)(
2
1
2)( n
tjn
nn
tjn
nn ejbaejba
atx
3,2,1
2
)(
2
1
)(
2
1
0
0
n
a
C
jbaC
jbaC
nnn
nnn
（ 2.23）
3,2,1)(
110
00
neCeCCtx
n
tjnn
n
tjnn（ 2.24）
,2,1,0)( 0
neCtx
n
tjnn? （ 2.25）
求傅里叶级数的复系数 Cn
Cn是离散频率 nω 0的函数，称为周期函数 x(t)
的离散频谱。 Cn一般为复数，故可写为且有
,2,1,0)(1
s i n)(c o s)(
1
2/
2/
2/
2/ 0
2/
2/ 0
0
ndtetx
T
t d tntxjt d tntx
T
C
T
T
tjn
T
T
T
Tn
（ 2.26）
CjCeCC njnn n ImRe （ 2.27）
nnn CCC 22 ImRe （ 2.28）
n
n
n C
Ca rc tg
Re
Im （ 2.29）
离散频谱的两个重要性质
每个实周期函数的幅值谱是 n（或 nω 0） 的偶函数 。
当周期信号有时间移位 τ 时，其振幅谱不变，
相位谱发生± nω 0τ 弧度的变化。
周期信号的频谱的特点
周期信号的频谱是离散谱；
周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处；
周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。
解：根据式（ 2.26）有例 2 求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为 T，
脉冲宽度为 τ，如图 2.16所示。
图 2.16 周期矩形脉冲
,2,1,0
2
2
s in
2
s in
2
1
1
)(
1
0
0
0
0
2/
2/
0
2/
2/
2/
2/
0
0
0
n
n
n
T
n
n
T
jn
e
T
dte
T
dtetx
T
C
tjn
tjn
T
T
tjn
n
由于 ω 0=2π/T,代入上式得定义则式（ 2.36）变为根据式（ 2.25）可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为
,2,1,0,
s in
n
T
n
T
n
T
C n
（ 2.36）
x
xxc d ef s in)(s in? （ 2.37）
,2,1,0,2s i ns i n 0 nncTTncTC n
（ 2.38）
n
tjn
n
tjn
n eT
nc
TeCtx 00 s i n)(
（ 2.39）
图 2.17 周期矩形脉冲的频谱（ T=4τ）
通常将 0≤ω ≤ 2π/T 这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽,用符号 ΔC 表示：
我们来考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形 。
1C
(2.40)
图 2.18 信号脉冲宽度与频谱的关系信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形,
图 2.19 信号周期与频谱的关系五、周期信号的功率一个周期信号 x（ t）的功率为,
将式（ 2.15）代入式（ 2.41），有根据正交函数的性质,式（ 2.41）展开后的结果为：
上式等号右端的第一项表示信号 x（ t）的直流功率，而第二项则为信号的各次谐波的功率之和。
2/ 2/ 2 )(1 TT dttxTP
（ 2.41）
2/
2/
2
1
0
0 c o s
2
1 T
T n nn
dttnAaTP
（ 2.42）
2
1
2
02/
2/
2
2
1
2)(
1
n
n
T
T A
adttx
TP
（ 2.43）
又因为,故式（ 2.43）又可写为
式 (2.43)和式 (2.44)称巴塞伐尔（ Parseval）定理。
它表明,周期信号在时域中的信号功率等于信号在频域中的功率。
定义周期信号 x（ t）的功率谱为其中 Pn表示信号第 n个功率谱点。
功率谱的性质,
– Pn是非负的；
– Pn是 n的偶函数；
– Pn不随时移 τ 而改变。
nn AC 2
1?
n
n
n
n
T
T CCCdttxTP
2
1
22
0
2/
2/
2 2)(1 （ 2.44）
,2,1,0,2 nCP nn
（ 2.45）
六、非周期信号的频域描述
（一）傅里叶变换与连续频谱
（二）能量谱
（三）傅里叶变换的性质
（四）功率信号的傅里叶变换
（一）傅里叶变换与连续频谱设 x（ t）为 (-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式：
式中将式（ 2.50）代入式（ 2.49）得当 T→∞ 时，区间 (-T/2,T/2)变成 (-∞,∞),
另外，频率间隔 Δω=ω 0=2π/T 变为无穷小量，
离散频率 nω 0变成连续频率 ω 。
n
tjn
n eCtx 0)(
(2.49)
2/ 2/ 0)(1 TT tjnn dtetxTC? (2.50)
n
tjnT
T
tjn edtetx
Ttx
002/
2/ )(
1)((2.51)
由式（ 2.51）得到将式（ 2.52）中括号中的积分记为：
它是变量 ω 的函数。则（ 2.52）式可写为：
将 X(ω) 称为 x（ t）的傅里叶变换，而将 x(t)
称为 X(ω) 的逆傅里叶变换，记为：
dedtetx
edtetxdtx
tjtj
tjtj
)(
2
1
)(
2
)(
(2.52)
dtetxX tj )()(
(2.53)
deXtx tj)(2 1)( (2.54)
)()(?Xtx? (2.55)
非周期函数 x（ t）存在有傅里叶变换的 充分条件 是 x（ t）在区间 (-∞,∞) 上绝对可积，即但上述条件并非 必要条件 。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
若将上述变换公式中的角频率 ω 用频率 f来替代，则由于 ω=2πf,式（ 2.53）和（ 2.54）
分别变为
dttx )(
dtetxfX ftj?2)()( (2.56)
dfefXtx ftj?2)()( (2.57)
小结：
– 从式（ 2.57）可知，一个非周期函数可分解成频率 f连续变化的谐波的叠加。式中 X(f)df的是谐波 ej2πf 的系数，决定着信号的振幅和相位。
– X(f)或 X(ω) 为 x(t)的连续频谱。
– 由于 X(f)一般为实变量 f的复函数，故可将其写为将上式中的 (或,当变量为 ω 时）称非周期信号 x(t)的幅值谱,φ(f)
（或 φ(ω) ）称 x(t)的相位谱。
)()()( fjefXfX (2.59)
)( fX )(?X
例 4 求图示单边指数函数的频谱。
解：由式（ 2.56）有于是
fja
dtee
dtete
dtetxfX
ftjat
ftjat
ftj
2
1
)(
)()(
0
2
2
2
22 )2(
1)(
fafX
a
fa rc tgf 2)(
图 2.21 单边指数函数
e-atξ(t) (a>0)
图 2.22 单边指数函数 e-atξ(t) (a>0)的频谱例 5 图 2.23所示为一矩形脉冲（又称窗函数或门函数），用符号 gT(t)表示：
求该函数的频谱。
解：
图 2.23 矩形脉冲函数
其它,0
2,1)(
Tt
tg T
2
s in
2
2
s in
1
1
)()(
2/2/
2/
2/
T
cT
T
T
T
ee
j
dte
dtetgG
TjTj
T
T
tj
tj
TT
(2.59)
其幅频谱和相频谱分别为,
可以看到，窗函数 gT(t)
的频谱 GT(ω) 是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个 π
弧度。
2s in TcTG T (2.60)
0
2
s in,
0
2
s in,0
)(
Tc
Tc
(2.61)
)(s in)(?ctre c t? (2.62)
图 2.24 矩形脉冲函数的频谱 GT(ω)
矩形脉冲函数与 sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用 rect（ t）表示矩形脉冲函数则有：
（二）能量谱一个非周期函数 x（ t）的能量定义为将式（ 2.54）代入上式可得对于实信号 x(t)，有,式
(2.64)变为
dttxE )(2 (2.63)
dXX
ddtetxX
dtdeXtx
dttxE
tj
tj
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
)(
)(
2
(2.64)
)()( * XX
dX
dXX
dXXE
2
*
)(
2
1
)()(
2
1
)()(
2
1
由此最后得式（ 2.64）亦称巴塞伐尔方程或能量等式。它表示，一个非周期信号 x(t)在时域中的能量可由它在频域中连续频谱的能量来表示。
式（ 2.64）亦可写成其中，,
称 S(ω) 为 x(t)的能量谱密度函数，简称能量谱函数。
dXdttxE 22 )(2 1)( (2.65)
0
0
2
2
)(
)(
1
)(
2
1
dS
dX
dXE
(2.66)
2)()( XS?
图 2.27 矩形脉冲函数的能量谱曲线及能量表示
(三 )傅里叶变换的性质
1,对称性（亦称对偶性）
2,线性
3,尺度变换性
4,奇偶性
5,时移性
6,频移性（亦称调制性）
7,卷积
8,时域微分和积分
9,频域微分和积分
1,对称性（亦称对偶性）
若有则有
2,线性如果有则
)()(?Xtx?
)(2)( xtX (2.67)
)()( 11?Xtx?
)()( 22?Xtx?
)()()()( 2121 bXaXtbxtax (2.68)
3,尺度变换性如果有则对于实常数 a，有
若信号 x（ t）在时间轴上被压缩至原信号的
1/a，则其频谱函数在频率轴上将展宽 a倍，
而其幅值相应地减至原信号幅值的 1/|a|。
信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。
)()(?Xtx?
aXaatx?1)( (2.69)
图 2.29 窗函数的尺度变换
（ a=3）
4,奇偶性
x(t)为时间 t的实函数
x(t)为偶函数（ x(t)=x(-t)）,X(ω) 为 ω
的实、偶函数；
x(t)为奇函数（ x(t)=-x(-t)）,X(ω) 为
ω 的虚、奇函数；
x(t)为时间 t的实函数
)()(,)()(
)(Im)(Im),(Re)(Re
XX
XXXX (2.73)
)()()( * XXtx (2.74)
5,时移性如果有则例 8 求图 2.30所示矩形脉冲函数的频谱 。
解：该函数的表达式可写为可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至 t0点位置所形成。则幅频谱和相频谱分别为
)()(?Xtx?
0)()( 0 tjeXttx
(2.75)
图 2.30 具有时移 t0的矩形脉冲
TttAr e c ttx 0)(
02)(s in)( ftjefTcATfX
0)(s in,2
0)(s in,2)(
)(s in)(
0
0
fTcft
fTcftf
fTcATfX
图 2.31 具有时移的矩形脉冲函数的幅频和相频谱图形
6,频移性（亦称调制性）
如果有则
ω 0 —— 常数。
)()(?Xtx?
)()( 00 Xetx tj (2.76)
图 2.32 x(t)cosω0t的频谱
7,卷积
时域卷积如果有则式中 x(t)*h(t)表示 x(t)与 h(t)的卷积。
频域卷积如果有则
)()(?Xtx?
)()(?Hth?
)()()()( HXthtx (2.79)
)()(?Xtx?
)()(?Hth?
)()(2 1)()( HXthtx (2.81)
证明,（ 时域卷积 ） 根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知,
代入上式得
dthxthtx )()()()(
(2.80)
ddtethx
dtdthxethtxF
tj
tj
)()(
)()()()(
jtj eHdteth
)()(
)()(
)()(
)()()()(
XH
dexH
deHxthtxF
j
j
图 2.34 卷积的图解
8,时域微分和积分如果有则以及条件是 X(0)=0。
证明,(1)
n阶微分的傅里叶变换公式：
)()(?Xtx?
)()( Xjdt tdx? (2.87)
t Xjdttx )(1)( (2.88)
deXtx tj)(2 1)(
dejXdt tdx tj)(2 1)(
)()( Xjdt tdx?
)()( Xjdt txd nnn? (2.89)
(2) 设函数 g(t)为其傅里叶变换为 G(ω) 。由于利用 (2.87)得或亦即
t tdtxtg )()(
)()( txdt tdg?
)()( XGj?
)(1)( XjG?
t Xjdttx )(1)(
9,频域微分和积分如果有则进而可扩展为和式中若 x(0)=0，则有
)()(?Xtx?
d
dXtjtx )()( (2.91)
n
nn
d
Xdtxjt
)()()( (2.92)
dXtxjttx )()(1)()0(
(2.93)
dXx )(21)0(
dXjttx )()(
(2.94)
王伯雄四、周期信号的频域描述在有限区间上，一个周期信号 x（ t）当满足狄里赫利条件 *时可展开成傅里叶级数：
式中，
注意,an是 n或 nω 0的偶函数,a-n=an； 而 bn
则是 n或 nω 0的奇函数，有 b-n=-bn 。
1
00
0 )s i nc o s(
2)( n nn tnbtna
atx(2.12)
2/ 2/ 0c o s)(2 T Tn t d tntxTa?
(2.13)
2/ 2/ 0s in)(2 T Tn t d tntxTb?(2.14)
信号 x（ t） 的另一种形式的傅里叶级数表达式：
式中，
An称信号频率成分的幅值,φ n称初相角。
注意,An是 n或 nω 0的偶函数,A-n=An； 而 bn则是
n或 nω 0的奇函数，有 φ -n=-φ n 。
比较式（ 2.12）和式（ 2.15），可 见,
1
0
0 )c o s (
2)( n nn tnA
atx（ 2.15）
)(
22
n
n
n
nnn
a
b
ar c t g
baA
n＝ 1,2,…… （ 2.16）
nnn
nnn
Ab
Aa
s in
c o s n＝ 1,2,…… （ 2.17）
小结与讨论
1,式中第一项 a0/2为周期信号中的常值或直流分量 ；
2,从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、
二次谐波、三次谐波,……,n次谐波 ；
3,将信号的角频率 ω 0作为横坐标，可分别画出信号幅值 An和相角 φ n随频率 ω 0变化的图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。
4,由于 n为整数，各频率分量仅在 nω 0的频率处取值，因而得到的是关于幅值 An和相角 φ n的离散谱线。
周期信号的频谱是离散的 !
例 1 求图 2.11所示的周期方波信号 x（ t） 的傅里叶级数。
解：
信号 x（ t） 在它的一个周期中的表达式为：
根据式（ 2.13）和（ 2.14）有：
图 2.11 周期方波信号
2
0,1
0
2
,1
)( T
t
tT
tx
2/ 2/ 0 0c o s)(2 T Tn t d tntxTa?
注意：本例中 x(t)为一奇函数，而 cosnω 0t为偶函数，两者的积 x(t)cosnω 0t也为奇函数，而一个奇函数在上、下限对称区间上的积分值等于零。
根据式（ 2.12），便可得图 2.11所示周期方波信号的傅里叶级数表达式为：
6,4,2,0
,5,3,1,
4
c os1
2
)c os(
1
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12
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2
s i n)(
2
2/
00
0
0
2/0
0
2/
0
0
0
2/
0
2/
2/
0
n
n
n
n
n
tn
n
tn
nT
t dtnt dtn
T
t dtntx
T
b
T
T
T
T
T
T
n
)5s i n513s i n31( s i n4)( 000 ttttx
图 2.12 周期方波信号的频谱图奇、偶函数的傅里叶系数计算特点
x(t)为奇函数由于 x(-t)=-x(t)，因此，
由式（ 2.16）进而有
),2,1(s i n)(4
0
2/
0 0
nt d tntxTb
a
T
n
n
（ 2.18）
),2,1(
,
2
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n
mm
bA
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nn
为整数）（
（ 2.19）
x(t)为偶函数由于 x(-t)=x(t)，因而有进而有图 2.14 偶函数例，图中函数为对称于纵轴的三角波
)2,1,0(c o s)(4
0
2/
0 0
nt d tntxTa
b
T
n
n
（ 2.20）
)2,1(,
n
mm
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nn
为整数）（
（ 2.21）
傅里叶级数表达成指数函数的形式由欧拉公式可知,
代入式（ 2.12）有：
令则或
)(
2
s in
)(
2
1c os
tjtj
tjtj
eejt
eet
（ 2.22）
1
0 00 )(
2
1)(
2
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2)( n
tjn
nn
tjn
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C
jbaC
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（ 2.23）
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110
00
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n
tjnn
n
tjnn（ 2.24）
,2,1,0)( 0
neCtx
n
tjnn? （ 2.25）
求傅里叶级数的复系数 Cn
Cn是离散频率 nω 0的函数，称为周期函数 x(t)
的离散频谱。 Cn一般为复数，故可写为且有
,2,1,0)(1
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1
2/
2/
2/
2/ 0
2/
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0
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T
t d tntxjt d tntx
T
C
T
T
tjn
T
T
T
Tn
（ 2.26）
CjCeCC njnn n ImRe （ 2.27）
nnn CCC 22 ImRe （ 2.28）
n
n
n C
Ca rc tg
Re
Im （ 2.29）
离散频谱的两个重要性质
每个实周期函数的幅值谱是 n（或 nω 0） 的偶函数 。
当周期信号有时间移位 τ 时，其振幅谱不变，
相位谱发生± nω 0τ 弧度的变化。
周期信号的频谱的特点
周期信号的频谱是离散谱；
周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处；
周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。
解：根据式（ 2.26）有例 2 求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为 T，
脉冲宽度为 τ，如图 2.16所示。
图 2.16 周期矩形脉冲
,2,1,0
2
2
s in
2
s in
2
1
1
)(
1
0
0
0
0
2/
2/
0
2/
2/
2/
2/
0
0
0
n
n
n
T
n
n
T
jn
e
T
dte
T
dtetx
T
C
tjn
tjn
T
T
tjn
n
由于 ω 0=2π/T,代入上式得定义则式（ 2.36）变为根据式（ 2.25）可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为
,2,1,0,
s in
n
T
n
T
n
T
C n
（ 2.36）
x
xxc d ef s in)(s in? （ 2.37）
,2,1,0,2s i ns i n 0 nncTTncTC n
（ 2.38）
n
tjn
n
tjn
n eT
nc
TeCtx 00 s i n)(
（ 2.39）
图 2.17 周期矩形脉冲的频谱（ T=4τ）
通常将 0≤ω ≤ 2π/T 这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽,用符号 ΔC 表示：
我们来考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形 。
1C
(2.40)
图 2.18 信号脉冲宽度与频谱的关系信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形,
图 2.19 信号周期与频谱的关系五、周期信号的功率一个周期信号 x（ t）的功率为,
将式（ 2.15）代入式（ 2.41），有根据正交函数的性质,式（ 2.41）展开后的结果为：
上式等号右端的第一项表示信号 x（ t）的直流功率，而第二项则为信号的各次谐波的功率之和。
2/ 2/ 2 )(1 TT dttxTP
（ 2.41）
2/
2/
2
1
0
0 c o s
2
1 T
T n nn
dttnAaTP
（ 2.42）
2
1
2
02/
2/
2
2
1
2)(
1
n
n
T
T A
adttx
TP
（ 2.43）
又因为,故式（ 2.43）又可写为
式 (2.43)和式 (2.44)称巴塞伐尔（ Parseval）定理。
它表明,周期信号在时域中的信号功率等于信号在频域中的功率。
定义周期信号 x（ t）的功率谱为其中 Pn表示信号第 n个功率谱点。
功率谱的性质,
– Pn是非负的；
– Pn是 n的偶函数；
– Pn不随时移 τ 而改变。
nn AC 2
1?
n
n
n
n
T
T CCCdttxTP
2
1
22
0
2/
2/
2 2)(1 （ 2.44）
,2,1,0,2 nCP nn
（ 2.45）
六、非周期信号的频域描述
（一）傅里叶变换与连续频谱
（二）能量谱
（三）傅里叶变换的性质
（四）功率信号的傅里叶变换
（一）傅里叶变换与连续频谱设 x（ t）为 (-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式：
式中将式（ 2.50）代入式（ 2.49）得当 T→∞ 时，区间 (-T/2,T/2)变成 (-∞,∞),
另外，频率间隔 Δω=ω 0=2π/T 变为无穷小量，
离散频率 nω 0变成连续频率 ω 。
n
tjn
n eCtx 0)(
(2.49)
2/ 2/ 0)(1 TT tjnn dtetxTC? (2.50)
n
tjnT
T
tjn edtetx
Ttx
002/
2/ )(
1)((2.51)
由式（ 2.51）得到将式（ 2.52）中括号中的积分记为：
它是变量 ω 的函数。则（ 2.52）式可写为：
将 X(ω) 称为 x（ t）的傅里叶变换，而将 x(t)
称为 X(ω) 的逆傅里叶变换，记为：
dedtetx
edtetxdtx
tjtj
tjtj
)(
2
1
)(
2
)(
(2.52)
dtetxX tj )()(
(2.53)
deXtx tj)(2 1)( (2.54)
)()(?Xtx? (2.55)
非周期函数 x（ t）存在有傅里叶变换的 充分条件 是 x（ t）在区间 (-∞,∞) 上绝对可积，即但上述条件并非 必要条件 。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
若将上述变换公式中的角频率 ω 用频率 f来替代，则由于 ω=2πf,式（ 2.53）和（ 2.54）
分别变为
dttx )(
dtetxfX ftj?2)()( (2.56)
dfefXtx ftj?2)()( (2.57)
小结：
– 从式（ 2.57）可知，一个非周期函数可分解成频率 f连续变化的谐波的叠加。式中 X(f)df的是谐波 ej2πf 的系数，决定着信号的振幅和相位。
– X(f)或 X(ω) 为 x(t)的连续频谱。
– 由于 X(f)一般为实变量 f的复函数，故可将其写为将上式中的 (或,当变量为 ω 时）称非周期信号 x(t)的幅值谱,φ(f)
（或 φ(ω) ）称 x(t)的相位谱。
)()()( fjefXfX (2.59)
)( fX )(?X
例 4 求图示单边指数函数的频谱。
解：由式（ 2.56）有于是
fja
dtee
dtete
dtetxfX
ftjat
ftjat
ftj
2
1
)(
)()(
0
2
2
2
22 )2(
1)(
fafX
a
fa rc tgf 2)(
图 2.21 单边指数函数
e-atξ(t) (a>0)
图 2.22 单边指数函数 e-atξ(t) (a>0)的频谱例 5 图 2.23所示为一矩形脉冲（又称窗函数或门函数），用符号 gT(t)表示：
求该函数的频谱。
解：
图 2.23 矩形脉冲函数
其它,0
2,1)(
Tt
tg T
2
s in
2
2
s in
1
1
)()(
2/2/
2/
2/
T
cT
T
T
T
ee
j
dte
dtetgG
TjTj
T
T
tj
tj
TT
(2.59)
其幅频谱和相频谱分别为,
可以看到，窗函数 gT(t)
的频谱 GT(ω) 是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个 π
弧度。
2s in TcTG T (2.60)
0
2
s in,
0
2
s in,0
)(
Tc
Tc
(2.61)
)(s in)(?ctre c t? (2.62)
图 2.24 矩形脉冲函数的频谱 GT(ω)
矩形脉冲函数与 sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用 rect（ t）表示矩形脉冲函数则有：
（二）能量谱一个非周期函数 x（ t）的能量定义为将式（ 2.54）代入上式可得对于实信号 x(t)，有,式
(2.64)变为
dttxE )(2 (2.63)
dXX
ddtetxX
dtdeXtx
dttxE
tj
tj
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
)(
)(
2
(2.64)
)()( * XX
dX
dXX
dXXE
2
*
)(
2
1
)()(
2
1
)()(
2
1
由此最后得式（ 2.64）亦称巴塞伐尔方程或能量等式。它表示，一个非周期信号 x(t)在时域中的能量可由它在频域中连续频谱的能量来表示。
式（ 2.64）亦可写成其中，,
称 S(ω) 为 x(t)的能量谱密度函数，简称能量谱函数。
dXdttxE 22 )(2 1)( (2.65)
0
0
2
2
)(
)(
1
)(
2
1
dS
dX
dXE
(2.66)
2)()( XS?
图 2.27 矩形脉冲函数的能量谱曲线及能量表示
(三 )傅里叶变换的性质
1,对称性（亦称对偶性）
2,线性
3,尺度变换性
4,奇偶性
5,时移性
6,频移性（亦称调制性）
7,卷积
8,时域微分和积分
9,频域微分和积分
1,对称性（亦称对偶性）
若有则有
2,线性如果有则
)()(?Xtx?
)(2)( xtX (2.67)
)()( 11?Xtx?
)()( 22?Xtx?
)()()()( 2121 bXaXtbxtax (2.68)
3,尺度变换性如果有则对于实常数 a，有
若信号 x（ t）在时间轴上被压缩至原信号的
1/a，则其频谱函数在频率轴上将展宽 a倍，
而其幅值相应地减至原信号幅值的 1/|a|。
信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。
)()(?Xtx?
aXaatx?1)( (2.69)
图 2.29 窗函数的尺度变换
（ a=3）
4,奇偶性
x(t)为时间 t的实函数
x(t)为偶函数（ x(t)=x(-t)）,X(ω) 为 ω
的实、偶函数；
x(t)为奇函数（ x(t)=-x(-t)）,X(ω) 为
ω 的虚、奇函数；
x(t)为时间 t的实函数
)()(,)()(
)(Im)(Im),(Re)(Re
XX
XXXX (2.73)
)()()( * XXtx (2.74)
5,时移性如果有则例 8 求图 2.30所示矩形脉冲函数的频谱 。
解：该函数的表达式可写为可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至 t0点位置所形成。则幅频谱和相频谱分别为
)()(?Xtx?
0)()( 0 tjeXttx
(2.75)
图 2.30 具有时移 t0的矩形脉冲
TttAr e c ttx 0)(
02)(s in)( ftjefTcATfX
0)(s in,2
0)(s in,2)(
)(s in)(
0
0
fTcft
fTcftf
fTcATfX
图 2.31 具有时移的矩形脉冲函数的幅频和相频谱图形
6,频移性（亦称调制性）
如果有则
ω 0 —— 常数。
)()(?Xtx?
)()( 00 Xetx tj (2.76)
图 2.32 x(t)cosω0t的频谱
7,卷积
时域卷积如果有则式中 x(t)*h(t)表示 x(t)与 h(t)的卷积。
频域卷积如果有则
)()(?Xtx?
)()(?Hth?
)()()()( HXthtx (2.79)
)()(?Xtx?
)()(?Hth?
)()(2 1)()( HXthtx (2.81)
证明,（ 时域卷积 ） 根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知,
代入上式得
dthxthtx )()()()(
(2.80)
ddtethx
dtdthxethtxF
tj
tj
)()(
)()()()(
jtj eHdteth
)()(
)()(
)()(
)()()()(
XH
dexH
deHxthtxF
j
j
图 2.34 卷积的图解
8,时域微分和积分如果有则以及条件是 X(0)=0。
证明,(1)
n阶微分的傅里叶变换公式：
)()(?Xtx?
)()( Xjdt tdx? (2.87)
t Xjdttx )(1)( (2.88)
deXtx tj)(2 1)(
dejXdt tdx tj)(2 1)(
)()( Xjdt tdx?
)()( Xjdt txd nnn? (2.89)
(2) 设函数 g(t)为其傅里叶变换为 G(ω) 。由于利用 (2.87)得或亦即
t tdtxtg )()(
)()( txdt tdg?
)()( XGj?
)(1)( XjG?
t Xjdttx )(1)(
9,频域微分和积分如果有则进而可扩展为和式中若 x(0)=0，则有
)()(?Xtx?
d
dXtjtx )()( (2.91)
n
nn
d
Xdtxjt
)()()( (2.92)
dXtxjttx )()(1)()0(
(2.93)
dXx )(21)0(
dXjttx )()(
(2.94)
