测试技术 (4)
王伯雄
4.8 数字信号处理数字信号处理：利用计算机或专用信号处理设备，以数值计算的方法对信号作采集、变换、综合、估值与识别等处理。
一、离散傅里叶变换（ DFT）
二、离散傅里叶变换的性质三、采样定理四、泄漏与加窗处理五,栅栏效应六、快速傅里叶变换（ FFT）
一、离散傅里叶变换（ DFT）
对于一个非周期的连续时间信号 x(t)
来说，它的傅里叶变换应该是一个连续的频谱 X(f)，其运算公式根据第二章的内容有
dtetxfXFT ftj?2:
dfefXtxI F T ftj?2,
（ 4.169）
（ 4.170）
图 4.87 傅里叶变换的几种类型对于无限连续信号的傅里叶变换共有四种情况,
对于非周期连续信号 X(t)，频谱 X(f)是连续谱；
对于周期连续信号，傅里叶变换转变为傅里叶级数，因而其频谱是离散的；
对于非周期离散信号，其傅里叶变换是一个周期性的连续频谱；
对于周期离散的时间序列，其频谱也是周期离散的 。
结论：
若 x(t)是周期的，频域中 X(f)必然是离散的，
反之亦然。
若 x(t)是非周期的，则 X(f)一定是连续的，
反之亦然。
第四种亦即时域和频域都是离散的信号，
且都是周期的，给我们利用计算机实施频谱分析提供了一种可能性。
对这种信号的傅里叶变换，我们只需取其时域上一个周期（ N个采样点）和频域一个周期（同样为 N个采样点）进行分析，
便可了解该信号的全部过程。
DFT的定义：对有限长度的离散时域或频域信号序列进行傅里叶变换或逆变换，得到同样为有限长度的离散频域或时域信号序列的方法，便称为离散傅里叶变换（ DFT）或其逆变换（ IDFT）。
离散傅里叶变换的公式：
式中
x(n)和 X(k)分别为 和 的一个周期，此处将 Δt和 f0均归一化为 1。
nkNN
on
N
on
nkNj WnxenxkX
11 2?
1 1
2 11 N
oK
N
oK
nk
N
nkNj WkX
NekXNnx
（ 4.175）
（ 4.176）
NjN eW?2
)(? tnx? )(? 0kfX
离散傅里叶变换意义：可以对任意连续的时域信号进行采样和截断并对其作离散傅里叶变换的运算，得到离散的频谱，该频谱的包络即是对原连续信号真正频谱的估计。
离散傅里叶变换的过程：
时域采样；
时域截断；
频域采样。
图 4.88 离散傅里叶变换的图解过程 （一）
图 4.88 离散傅里叶变换的图解过程（二）
图 4.88 离散傅里叶变换的图解过程（三）
三、采样定理混叠（ aliasing）：若采样率过低即采样间隔大，
则系列的离散时间序列可能不能真正反映原始信号的波形特征，在频域处理时会出现频率混淆现象。
图 4.89 不同采样率对采样信号产生的影响（一）
图 4.89 不同采样率对采样信号产生的影响（二）
采样定理：为避免混叠产生，要求的采样频率 fs必须高于信号频率成分中最高频率 fmax
的两倍，即乃奎斯特（ Nyquist）频率：在给定的采样频率 fs条件下，信号中能被分辨的最高频率。
只有低于乃奎斯特频率的频率成分才能被精确地采样，亦即为避免频率混淆，应使被分析信号的最高频率 fmax低于乃奎斯特频率。
max2 ffs?
（ 4.192）
2
s
Nyq
ff? （ 4.193）
图 4.90 混叠产生的条件四、泄漏与加窗处理图 4.91 余弦信号加窗截断造成的泄漏现象抑制或减小泄漏效应的方法：选择性能更好的特殊窗来替代矩形窗，亦即加窗处理。
评价窗函数的性能指标：
1,3dB带宽 B：它是主瓣归一化的幅值下降至 -3dB
时的带宽。归一化 |W(f)|=20lg|W(f)/W(0)|，
带宽 B的单位为 Δω或 Δf。
2,旁瓣幅度 A(dB)，表示为最大旁瓣峰值 Asmax与主瓣峰值 Am之比，即 20lg(Asmax/Am)。
3,旁瓣峰值衰减率 D（ dB/decade），表示为最大旁瓣峰值与相距十倍频处的旁瓣峰值之比，也是以分贝表示。
理想的窗函数应具有最小的 B和 A以及最大的 D。
图 4.93 常用窗函数的时域图像图 4.94 常用窗函数的频谱五、栅栏效应栅栏效应：若信号中某频率成分的频率 fi等于，
k/T即它与输出的频率采样点相重合，那么该谱线便可被精确地显示出来；反之若 fi与频率采样点不重合，便得不到显示，所得的频谱便会产生误差。
频率分辨率 Δf：两条谱线间的距离。
当被分析的时域信号长度 T（即窗宽 T=NTs）
和采样频率 fs被确定之后，则频率分辨 Δf也被确定：
TN
ff s 1 （ 4.201）
例：对余弦信号 cos2πf0t作 DFT。
图 4.96 周期信号作整周期截取的 DFT（一）
图 4.96 周期信号作整周期截取的 DFT （二）
图 4.97 周期函数作非整周期截取的 DFT
结论：
对周期信号作整周期截取是获取正确频谱的先决条件。
王伯雄
4.8 数字信号处理数字信号处理：利用计算机或专用信号处理设备，以数值计算的方法对信号作采集、变换、综合、估值与识别等处理。
一、离散傅里叶变换（ DFT）
二、离散傅里叶变换的性质三、采样定理四、泄漏与加窗处理五,栅栏效应六、快速傅里叶变换（ FFT）
一、离散傅里叶变换（ DFT）
对于一个非周期的连续时间信号 x(t)
来说，它的傅里叶变换应该是一个连续的频谱 X(f)，其运算公式根据第二章的内容有
dtetxfXFT ftj?2:
dfefXtxI F T ftj?2,
（ 4.169）
（ 4.170）
图 4.87 傅里叶变换的几种类型对于无限连续信号的傅里叶变换共有四种情况,
对于非周期连续信号 X(t)，频谱 X(f)是连续谱；
对于周期连续信号，傅里叶变换转变为傅里叶级数，因而其频谱是离散的；
对于非周期离散信号，其傅里叶变换是一个周期性的连续频谱；
对于周期离散的时间序列，其频谱也是周期离散的 。
结论：
若 x(t)是周期的，频域中 X(f)必然是离散的，
反之亦然。
若 x(t)是非周期的，则 X(f)一定是连续的，
反之亦然。
第四种亦即时域和频域都是离散的信号，
且都是周期的，给我们利用计算机实施频谱分析提供了一种可能性。
对这种信号的傅里叶变换，我们只需取其时域上一个周期（ N个采样点）和频域一个周期（同样为 N个采样点）进行分析，
便可了解该信号的全部过程。
DFT的定义：对有限长度的离散时域或频域信号序列进行傅里叶变换或逆变换，得到同样为有限长度的离散频域或时域信号序列的方法，便称为离散傅里叶变换（ DFT）或其逆变换（ IDFT）。
离散傅里叶变换的公式：
式中
x(n)和 X(k)分别为 和 的一个周期，此处将 Δt和 f0均归一化为 1。
nkNN
on
N
on
nkNj WnxenxkX
11 2?
1 1
2 11 N
oK
N
oK
nk
N
nkNj WkX
NekXNnx
（ 4.175）
（ 4.176）
NjN eW?2
)(? tnx? )(? 0kfX
离散傅里叶变换意义：可以对任意连续的时域信号进行采样和截断并对其作离散傅里叶变换的运算，得到离散的频谱，该频谱的包络即是对原连续信号真正频谱的估计。
离散傅里叶变换的过程：
时域采样；
时域截断；
频域采样。
图 4.88 离散傅里叶变换的图解过程 （一）
图 4.88 离散傅里叶变换的图解过程（二）
图 4.88 离散傅里叶变换的图解过程（三）
三、采样定理混叠（ aliasing）：若采样率过低即采样间隔大，
则系列的离散时间序列可能不能真正反映原始信号的波形特征，在频域处理时会出现频率混淆现象。
图 4.89 不同采样率对采样信号产生的影响（一）
图 4.89 不同采样率对采样信号产生的影响（二）
采样定理：为避免混叠产生，要求的采样频率 fs必须高于信号频率成分中最高频率 fmax
的两倍，即乃奎斯特（ Nyquist）频率：在给定的采样频率 fs条件下，信号中能被分辨的最高频率。
只有低于乃奎斯特频率的频率成分才能被精确地采样，亦即为避免频率混淆，应使被分析信号的最高频率 fmax低于乃奎斯特频率。
max2 ffs?
（ 4.192）
2
s
Nyq
ff? （ 4.193）
图 4.90 混叠产生的条件四、泄漏与加窗处理图 4.91 余弦信号加窗截断造成的泄漏现象抑制或减小泄漏效应的方法：选择性能更好的特殊窗来替代矩形窗，亦即加窗处理。
评价窗函数的性能指标：
1,3dB带宽 B：它是主瓣归一化的幅值下降至 -3dB
时的带宽。归一化 |W(f)|=20lg|W(f)/W(0)|，
带宽 B的单位为 Δω或 Δf。
2,旁瓣幅度 A(dB)，表示为最大旁瓣峰值 Asmax与主瓣峰值 Am之比，即 20lg(Asmax/Am)。
3,旁瓣峰值衰减率 D（ dB/decade），表示为最大旁瓣峰值与相距十倍频处的旁瓣峰值之比，也是以分贝表示。
理想的窗函数应具有最小的 B和 A以及最大的 D。
图 4.93 常用窗函数的时域图像图 4.94 常用窗函数的频谱五、栅栏效应栅栏效应：若信号中某频率成分的频率 fi等于，
k/T即它与输出的频率采样点相重合，那么该谱线便可被精确地显示出来；反之若 fi与频率采样点不重合，便得不到显示，所得的频谱便会产生误差。
频率分辨率 Δf：两条谱线间的距离。
当被分析的时域信号长度 T（即窗宽 T=NTs）
和采样频率 fs被确定之后，则频率分辨 Δf也被确定：
TN
ff s 1 （ 4.201）
例：对余弦信号 cos2πf0t作 DFT。
图 4.96 周期信号作整周期截取的 DFT（一）
图 4.96 周期信号作整周期截取的 DFT （二）
图 4.97 周期函数作非整周期截取的 DFT
结论：
对周期信号作整周期截取是获取正确频谱的先决条件。
