测试技术 (5)
王伯雄六、快速傅里叶变换（ FFT）
离散傅里叶变换的计算公式为：
式中
N个点的 X(k)需做 N2次复数乘法和 N(N-1)次复数加法。
而做一次复数乘法需要做四次实数相乘和两次实数相加，做一次复数加法需要做两次实数相加。
例,N=1024时，则需要总共 1,048,576次复数乘，
即 4,194,304次实数乘法。
11 2,N
on
nk
N
N
on
nkNj WnxenxkXD F T?
11 2 11,N
ok
nk
N
N
ok
nkNj WkX
NekXNnxI D F T
1,,1,0 Nk? 1,,1,0 Nn?
（ 4.202）
（ 4.203）
NjN eW?2
快速傅里叶变换 (FFT,Fast Fourier
Transform)算法的本质,充分利用因子 WN的周期性和对称性。
对称性：
周期性：
FFT算法的基本思想：避免运算中的重复运算，
将长序列的 DFT分割为短序列的 DFT的线性组合，从而达到整体降低运算量的目的。
效果：使原来的 N点 DFT的乘法计算量从 N2次降至为 N/2log2N次，如 N=1024，则计算量现在为 5120次，仅为原计算量的 4.88% 。
nkN
Nnk
N WW
2
nkNnkNN WW
（ 4.204）
（ 4.205）
时间抽取基 2算法对式 (4.202)，令 N=2M,将 x(n)序列分割成长度各为 N/2的奇序列和偶序列，即令 n=2r
和 n=2r+1,,r=0,1,…,N/2-1则式（ 4.202）
重写为式中这是因为
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
122
122
122
N
or
rk
N
N
or
k
N
rk
N
N
or
N
or
r
N
rk
N
WrxWWrx
kWrxWrxkX
（ 4.206）
NjNj
N eeW
42
2
2
2
2
22
22
N
NjNj
N WeeW
令则式（ 4.206）可改写为而因此将式（ 4.209）完整地写成
12
2
12,1,02
N
or
rk
N NkWrxkA?
12
2
12,,1,012
N
or
rk
N NkWrxkB?
（ 4.207）
（ 4.208）
1,1,0 NkkBWkAkX kN?（ 4.209）
kBkNBkAkNA 22
12,2,1,0
2
2
Nk
kBWkANkX
kBWkAkX
Nk
N
k
N
（ 4.210）
又因为,因此最终可得12NNW
12,2,1,02
Nk
kBWkANkX
kBWkAkX
k
N
k
N
（ 2.211）
图 4.98 分割一次后的 A(k),B(k)及 X(k)之间的关系（ N=8）
按照上述思路继续对 A(k)和 B(k)作奇偶序列分解。
令 r=2l,r=2l+1,l=0,1,…,N/4-1，则有：
令则
14
0 42
12
0 4
14
0
12
2
14
0
2
2
244
244
N
l
lk
N
k
N
N
l
lk
N
N
l
kl
N
N
l
lk
N
WlxWWlx
WlxWlxkA
14,,1,04
4
14
NkWxkC kN
N
o
（ 4.212）
14,,1,024
4
14
NkWxkD kN
N
o
（ 4.213）
14,1,02 NkhDWkCkA kN?（ 4.214）
14,1,04 2 NkkDWkCNkA kN?（ 4.215）
同样，令则有：
14,1,014
4
14
NkWxkE kN
N
o
14,1,034
4
14
NkWxkF kN
N
o
（ 4.216）
（ 4.217）
14,1,02 NkkFWkEkB kN?（ 4.218）
14,1,04 2 NkkFWkENkB kN?（ 4.219）
对于一个 N=8的序列，此时的 C(k),D(k),E(k)和
F(k)均已为两点的序列，无需再分，此时有图 4.99 FFT时间抽取算法信号流图 （ N=8）
C(0)=x(0)+x(4),E(0)=x(1)+x(5)
C(1)=x(0)-x(4),E(1)=x(1)-x(5)
D(0)=x(2)+x(6),F(0)=x(3)+x(7)
D(1)=x(2)-x(6),F(1)=x(3)-x(7)
在 FFT的整个运算过程中，每两个等式的运算过程可以用一个形似蝴蝶结的,X”形结构图来表示，八个等式对应于四个蝶形结构，因此这种信号流程图称为 FFT的蝶形运算流程图，将这种运算的基本单元称为蝶形运算单元。
图 4.100 蝶形运算单元时间抽取算法的规律：
1,分级运算：将 N个点的序列逐次对分，直至分到 N/2个两个点的序列为止。
图 4.101 8点 FFT时间抽取算法信号流图
2,蝶形运算单元组每一级上的 N/2个蝶形单元可分为若干组，我们称之为蝶形运算单元组，每一组中的蝶形单元有着相同的结构和 Wr因子分布。
3,Wr因子的分布
Wr因子分布的一般规律为：
其中 m为级次。
12,,1,0,12 mr rW m?
4,数据排列顺序从图 4.101可见，变换后的输出序列 X(k)按正序排列，但在输入端序列的排列次序不是原来的自然顺序，而变成了 0,4,2,6，
1,5,3,7。
图 4.102 数据整序方法
（ a）奇偶分解整序 （ b）码位倒置整序
2.3 测试系统特性分析王伯雄
2.3 测试系统特性分析一、概述二、测量误差三、测试系统的静态特性四、测试系统的动态特性五、测试系统实现精确测量的条件六、测试系统的负载效应一、概述信号与系统紧密相关。
被测的物理量亦即信号作用于一个测试系统，
而该系统在输入信号亦即激励的驱动下对它进行,加工,,并将经,加工,后的信号进行输出。
输出信号的质量必定差于输入信号的质量。
受测试系统的特性影响；
受信号传输过程中干扰的影响。
一个测试系统与其输入、输出之间的关系,
1,若已知输入量和系统的传递特性，则可求出系统的输出量。
2,已知系统的输入和输出量，求系统的传递特性。
3,已知系统的传递特性和输出量，来推知系统的输入量。
希望输入与输出之间是一种一一对应的确定关系，
因此要求系统的传递特性是线性的。
对于静态测量，系统的线性特性要求并非是必须的，采取曲线校正和补偿技术来作非线性校正较为容易。
对于动态测量,对测试装置或系统的线性特性关系的要求便是必须的。在动态测量的条件下，非线性的校正和处理难于实现且十分昂贵。
图 2.52 测试系统框图二、测量误差定义：
误差 E是指示值与真值或准确值的差：
E=xm-x (2.142)
xm－指示值；
x－真值或准确值。
校正值或修正值 B是与误差 E的数值相等但符号相反的值,
B=x-xm (2.143)
分类一（根据误差的性质）：
系统误差：
定义：每次测量同一量时，呈现出相同的或确定性方式的那些测量误差。
产生原因：由标定误差、持久发生的人为误差、不良仪器造成的误差、负载产生的误差、系统分辨率局限产生的误差等因素所产生。
随机误差：
定义：每次测量同一量时，其数值均不一致、但却具有零均值的那些测量误差。
产生的原因有：测量人员的随机因素、设备受干扰、
实验条件的波动、测量仪器灵敏度不够等。
过失误差或非法误差：
意想不到而存在的误差。
如实验中因过失或错误引起的误差，实验之后的计算误差等。
随机误差具有明显的统计分布特性。常常采用统计分析来估计该误差的或然率大小。
系统误差则不可以用统计方法来处理，因为系统误差是一个固定的值，它并不呈现一种分布的特征。
系统误差和随机误差常常同时发生。
图 2.53 系统误差与随机误差
(a)系统误差大于随机误差 (b)随机误差大于系统误差分类二（根据测量的类型 ）：
静态误差：
定义：用来确定时不变测量值的线性测量仪器，
其传递特性为一常数。而相应的非线性测量仪器的输入 —— 输出关系是用代数方程或超越方程来描述的。因而所产生的误差一般仅取决于测量值大小而其本身不是时间的函数。这种误差称静态误差。
动态误差：
定义：在测量时变物理量时，要用微分方程来描述输入 —— 输出关系。此时产生的误差不仅取决于测量值的大小，而且还取决于测量值的时间过程。将这种误差称动态误差。
三、测试系统的静态特性当被测量是 恒定的,或是 慢变的 物理量时,涉及到系统的静态特性。
静态特性包括：
1,重复性；
2,漂移；
3,误差；
4,精确度；
5,分辨率；
6,线性度；
7,非线性。
1,重复性（亦称精度）：
表示由同一观察者采用相同的测量条件、方法及仪器对同一被测量所做的一组测量之间的接近程度。
表征测量仪器随机误差接近于零的程度。
2,漂移：
仪器的输入未产生变化时其输出所发生的变化。
由仪器的内部温度变化和元件的不稳定性引起。
3,误差：
仪器的误差有两种表达方式：
绝对误差：用专门的测量单位来表示；
相对误差：表达为被测量的一个百分比值，或表达为某个专门值比如满量程指示值的一个百分比。
4,精确度：
测量仪器的指示值和被测量真值的符合程度，通过所宣称的概率界限将仪器输出与被测量的真值关联起来。
精确度是由诸如非线性、迟滞、温度变化、漂移等一系列因素所导致的不确定度之和。
5,灵敏度：
单位被测量引起的仪器输出值的变化。
灵敏度有时亦称增益或标度因子。
6,分辨率：
当一个被测量从一个相对于零值的任意值开始连续增加时，使指示值产生一定变化量所需的输入量的变化量 。
如果指示值不是连续的，将指示的不连续步距值称作分辨率 。
数显式仪器的分辨率是指显示值最后一位数的数距。
图 2.54 分辨率概念不同意义的例子
7,线性度
第一种定义：
用理论刻度的端点值来确定参考直线。一个无抑零范围的测量仪器的这条直线规定为穿过零点和最大值的终点。线性度按误差限的概念定义为最大的偏离量并以示值范围的百分比给出 。
第二种定义：
用定标测量点来描述参考直线。采用线性回归技术来求出该直线，使得测量值偏离该直线的误差平方之和为最小值。而最大的偏离量则按照测量的不确定度的定义给出。测量不确定度规定为在某个概率之下不被超过的误差值。
第一种定义主要用于描述以系统误差为主的测量仪器或系统；
第二种定义用于以随机误差为主的测量系统。
图 2.55 线性度的两种意义
8.迟滞、回差和弹性后效
9,零点稳定性
在被测量回到零值且其它变化因素（如温度、
压力、湿度、振动等）被排除之后，仪器回到零指示值的能力。
王伯雄六、快速傅里叶变换（ FFT）
离散傅里叶变换的计算公式为：
式中
N个点的 X(k)需做 N2次复数乘法和 N(N-1)次复数加法。
而做一次复数乘法需要做四次实数相乘和两次实数相加，做一次复数加法需要做两次实数相加。
例,N=1024时，则需要总共 1,048,576次复数乘，
即 4,194,304次实数乘法。
11 2,N
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（ 4.202）
（ 4.203）
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快速傅里叶变换 (FFT,Fast Fourier
Transform)算法的本质,充分利用因子 WN的周期性和对称性。
对称性：
周期性：
FFT算法的基本思想：避免运算中的重复运算，
将长序列的 DFT分割为短序列的 DFT的线性组合，从而达到整体降低运算量的目的。
效果：使原来的 N点 DFT的乘法计算量从 N2次降至为 N/2log2N次，如 N=1024，则计算量现在为 5120次，仅为原计算量的 4.88% 。
nkN
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2
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（ 4.204）
（ 4.205）
时间抽取基 2算法对式 (4.202)，令 N=2M,将 x(n)序列分割成长度各为 N/2的奇序列和偶序列，即令 n=2r
和 n=2r+1,,r=0,1,…,N/2-1则式（ 4.202）
重写为式中这是因为
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令则式（ 4.206）可改写为而因此将式（ 4.209）完整地写成
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1,1,0 NkkBWkAkX kN?（ 4.209）
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又因为,因此最终可得12NNW
12,2,1,02
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N
（ 2.211）
图 4.98 分割一次后的 A(k),B(k)及 X(k)之间的关系（ N=8）
按照上述思路继续对 A(k)和 B(k)作奇偶序列分解。
令 r=2l,r=2l+1,l=0,1,…,N/4-1，则有：
令则
14
0 42
12
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（ 4.212）
14,,1,024
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（ 4.213）
14,1,02 NkhDWkCkA kN?（ 4.214）
14,1,04 2 NkkDWkCNkA kN?（ 4.215）
同样，令则有：
14,1,014
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14,1,02 NkkFWkEkB kN?（ 4.218）
14,1,04 2 NkkFWkENkB kN?（ 4.219）
对于一个 N=8的序列，此时的 C(k),D(k),E(k)和
F(k)均已为两点的序列，无需再分，此时有图 4.99 FFT时间抽取算法信号流图 （ N=8）
C(0)=x(0)+x(4),E(0)=x(1)+x(5)
C(1)=x(0)-x(4),E(1)=x(1)-x(5)
D(0)=x(2)+x(6),F(0)=x(3)+x(7)
D(1)=x(2)-x(6),F(1)=x(3)-x(7)
在 FFT的整个运算过程中，每两个等式的运算过程可以用一个形似蝴蝶结的,X”形结构图来表示，八个等式对应于四个蝶形结构，因此这种信号流程图称为 FFT的蝶形运算流程图，将这种运算的基本单元称为蝶形运算单元。
图 4.100 蝶形运算单元时间抽取算法的规律：
1,分级运算：将 N个点的序列逐次对分，直至分到 N/2个两个点的序列为止。
图 4.101 8点 FFT时间抽取算法信号流图
2,蝶形运算单元组每一级上的 N/2个蝶形单元可分为若干组，我们称之为蝶形运算单元组，每一组中的蝶形单元有着相同的结构和 Wr因子分布。
3,Wr因子的分布
Wr因子分布的一般规律为：
其中 m为级次。
12,,1,0,12 mr rW m?
4,数据排列顺序从图 4.101可见，变换后的输出序列 X(k)按正序排列，但在输入端序列的排列次序不是原来的自然顺序，而变成了 0,4,2,6，
1,5,3,7。
图 4.102 数据整序方法
（ a）奇偶分解整序 （ b）码位倒置整序
2.3 测试系统特性分析王伯雄
2.3 测试系统特性分析一、概述二、测量误差三、测试系统的静态特性四、测试系统的动态特性五、测试系统实现精确测量的条件六、测试系统的负载效应一、概述信号与系统紧密相关。
被测的物理量亦即信号作用于一个测试系统，
而该系统在输入信号亦即激励的驱动下对它进行,加工,,并将经,加工,后的信号进行输出。
输出信号的质量必定差于输入信号的质量。
受测试系统的特性影响；
受信号传输过程中干扰的影响。
一个测试系统与其输入、输出之间的关系,
1,若已知输入量和系统的传递特性，则可求出系统的输出量。
2,已知系统的输入和输出量，求系统的传递特性。
3,已知系统的传递特性和输出量，来推知系统的输入量。
希望输入与输出之间是一种一一对应的确定关系，
因此要求系统的传递特性是线性的。
对于静态测量，系统的线性特性要求并非是必须的，采取曲线校正和补偿技术来作非线性校正较为容易。
对于动态测量,对测试装置或系统的线性特性关系的要求便是必须的。在动态测量的条件下，非线性的校正和处理难于实现且十分昂贵。
图 2.52 测试系统框图二、测量误差定义：
误差 E是指示值与真值或准确值的差：
E=xm-x (2.142)
xm－指示值；
x－真值或准确值。
校正值或修正值 B是与误差 E的数值相等但符号相反的值,
B=x-xm (2.143)
分类一（根据误差的性质）：
系统误差：
定义：每次测量同一量时，呈现出相同的或确定性方式的那些测量误差。
产生原因：由标定误差、持久发生的人为误差、不良仪器造成的误差、负载产生的误差、系统分辨率局限产生的误差等因素所产生。
随机误差：
定义：每次测量同一量时，其数值均不一致、但却具有零均值的那些测量误差。
产生的原因有：测量人员的随机因素、设备受干扰、
实验条件的波动、测量仪器灵敏度不够等。
过失误差或非法误差：
意想不到而存在的误差。
如实验中因过失或错误引起的误差，实验之后的计算误差等。
随机误差具有明显的统计分布特性。常常采用统计分析来估计该误差的或然率大小。
系统误差则不可以用统计方法来处理，因为系统误差是一个固定的值，它并不呈现一种分布的特征。
系统误差和随机误差常常同时发生。
图 2.53 系统误差与随机误差
(a)系统误差大于随机误差 (b)随机误差大于系统误差分类二（根据测量的类型 ）：
静态误差：
定义：用来确定时不变测量值的线性测量仪器，
其传递特性为一常数。而相应的非线性测量仪器的输入 —— 输出关系是用代数方程或超越方程来描述的。因而所产生的误差一般仅取决于测量值大小而其本身不是时间的函数。这种误差称静态误差。
动态误差：
定义：在测量时变物理量时，要用微分方程来描述输入 —— 输出关系。此时产生的误差不仅取决于测量值的大小，而且还取决于测量值的时间过程。将这种误差称动态误差。
三、测试系统的静态特性当被测量是 恒定的,或是 慢变的 物理量时,涉及到系统的静态特性。
静态特性包括：
1,重复性；
2,漂移；
3,误差；
4,精确度；
5,分辨率；
6,线性度；
7,非线性。
1,重复性（亦称精度）：
表示由同一观察者采用相同的测量条件、方法及仪器对同一被测量所做的一组测量之间的接近程度。
表征测量仪器随机误差接近于零的程度。
2,漂移：
仪器的输入未产生变化时其输出所发生的变化。
由仪器的内部温度变化和元件的不稳定性引起。
3,误差：
仪器的误差有两种表达方式：
绝对误差：用专门的测量单位来表示；
相对误差：表达为被测量的一个百分比值，或表达为某个专门值比如满量程指示值的一个百分比。
4,精确度：
测量仪器的指示值和被测量真值的符合程度，通过所宣称的概率界限将仪器输出与被测量的真值关联起来。
精确度是由诸如非线性、迟滞、温度变化、漂移等一系列因素所导致的不确定度之和。
5,灵敏度：
单位被测量引起的仪器输出值的变化。
灵敏度有时亦称增益或标度因子。
6,分辨率：
当一个被测量从一个相对于零值的任意值开始连续增加时，使指示值产生一定变化量所需的输入量的变化量 。
如果指示值不是连续的，将指示的不连续步距值称作分辨率 。
数显式仪器的分辨率是指显示值最后一位数的数距。
图 2.54 分辨率概念不同意义的例子
7,线性度
第一种定义：
用理论刻度的端点值来确定参考直线。一个无抑零范围的测量仪器的这条直线规定为穿过零点和最大值的终点。线性度按误差限的概念定义为最大的偏离量并以示值范围的百分比给出 。
第二种定义：
用定标测量点来描述参考直线。采用线性回归技术来求出该直线，使得测量值偏离该直线的误差平方之和为最小值。而最大的偏离量则按照测量的不确定度的定义给出。测量不确定度规定为在某个概率之下不被超过的误差值。
第一种定义主要用于描述以系统误差为主的测量仪器或系统；
第二种定义用于以随机误差为主的测量系统。
图 2.55 线性度的两种意义
8.迟滞、回差和弹性后效
9,零点稳定性
在被测量回到零值且其它变化因素（如温度、
压力、湿度、振动等）被排除之后，仪器回到零指示值的能力。
