四、测试系统的动态特性
（一）线性系统的数学描述；
（二）用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性 ；
（三）测试系统对典型激励的响应函数 ；
（四）测试系统对任意输入的响应 ；
（五）测试系统特性参数的实验测定 ；
测试技术 (6)
王伯雄
（一）线性系统的数学描述动态测量中，测试装置或系统本身应该是一个线性的系统,
我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理 ；
在动态测试中作非线性校正还比较困难 。
线性系统的输入 ——输出之间的关系,
x(t)为系统输入； y(t)为系统输出； An,…a 0,bm,…b 0
为系统的系统的物理参数，若均为常数，方程便是常系数微分方程，所描述的系统便是线性定常系统或线性时不变系统。
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
011
1
1
011
1
1
(2.144)
线性时不变系统的基本性质
叠加性如有 x1(t) →y 1(t),x2(t) →y 2(t);则有
x1(t)+ x2(t) →y 1(t)+ y2(t)。 (2.145)
比例性如有 x(t) →y(t),则对任意常数 a,均有
ax(t) →ay(t) (2.146)
微分特性如有 x(t) →y(t),则有
积分特性如有 x(t) →y(t),则当系统初始状态为零时，有
dt
tdy
dt
tdx? (2.147)
tt dttydttx 00 (2.148)
频率保持性如有 x(t) →y(t),若 x(t)=x0ejωt,
则 y(t)=y0ej(ωt+φ)。
证明：按比例性有其中,ω为某一已知频率。
根据微分特性有两式相加有
tytx 22 (2.149)
2
2
2
2
dt
tdy
dt
txd? (2.150)
222222 dt tdytydt txdtx (2.151)
由于 x(t)=x0ejωt,则因此式（ 2.151）左边为零,亦即由此式（ 2.151）右边亦应为零，即解此方程可得唯一的解为其中 φ为初相角。
tx
ex
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txd
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tj
2
0
2
0
2
2
2
0222 dt txdtx?
0222 dt tydty?
tjeyty 0
(二 )用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性
1,传递函数若 y(t)为时间变量 t的函数，且当 t≤0时，
有 y(t)=0，则 y(t)的拉普拉斯变换 Y(s)定义为式中 s为复变量,s=a+jb,a>0。
若系统的初始条件为零，对式（ 2.144）作拉氏变换得
0 dtetysY st (2.152)
0111 01
1
1
bsbsbsbsX
asasasasY
m
m
m
m
n
n
n
n
将输入和输出两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数 H(s)，即传递函数特性：
传递函数 H(s)不因输入 x(t)的改变而改变，它仅表达系统的特性 ；
由传递函数 H(s)所描述的一个系统对于任一具体的输入
x(t)都明确地给出了相应的输出 y(t)；
等式中的各系数 an,an-1,…,a1,a0和 bm,bm-1,…,
b1,b0是一些由测试系统本身结构特性所唯一确定了的常数。
01
1
1
01
1
1
asasasa
bsbsbsb
sX
sYsH
n
n
n
n
m
m
m
m
(2.153)
2,频率响应函数对于稳定的线性定常系统，可设 s=jω，亦即原
s=a+jb中的 a=0,b= ω,此时式（ 2.152）变为上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。
我们有
H(jω)称测试系统的频率响应函数。
频率响应函数是传递函数的特例。
频率响应函数也可对式（ 2.144）作傅立叶变换来推导得到，请自行推导。
0 )()( dtetyjY tj (2.157)
)(
)(
)(
01
1
1
01
1
1
jX
jY
ajajaja
bjbjbjb
jH
n
n
n
n
m
m
m
m
(2.158)
传递函数和频率响应函数 的区别
– 在推导传递函数时，系统的初始条件设为零。
而对于一个从 t=0开始所施加的简谐信号激励来说，采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两部分组成：由激励所引起的、反映系统固有特性的 瞬态输出 以及该激励所对应的系统的 稳态输出 。
– 对频率响应函数 H(jω)，当输入为简谐信号时，
在观察的时刻，系统的瞬态响应已趋近于零，
频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信号的 稳态输出 。
用频率响应函数不能反映过渡过程，必须用传递函数才能反映全过程。
将频率响应函数 H(jω)写成幅值与相角表达的指数函数形式，有：
式中
A(ω)为复数 H(jω)的模,称之为系统的幅频特性； φ(ω)
为 H(jω)的幅角，称之为系统的相频特性。
将 H(jω)用实部和虚部的组合形式来表达：
P(ω)和 Q(ω)均为 ω的实函数,则
)()()()( AeAjH j (2.159)
jH
X
YA)( (2.160)
xyjH a r g (2.161)
jQPjH (2.162)
22 QPA (2.163)
伯德图
– 将自变量 ω用对数坐标表达，幅值
A(ω)用分贝（ dB）
数来表达，所得的对数幅频曲线与对数相频曲线称为伯德（ Bode）
图。
图 2.59 一阶系统 H(jω)=1/(1+jτω)的伯德图
乃奎斯特图
– 将系统 H(jω)的实部
P(ω)和虚部 Q(ω)分别作为坐标系的横坐标和纵坐标，画出它们随 ω变化的曲线，且在曲线上注明相应频率。
图 2.60 一阶系统 H(jω)=1/(1+jτω)的乃奎斯特图
3,一阶、二阶系统的传递特性描述将式（ 2.153）中分母分解为 s的一次和二次实系数因子式（二次实系数式对应其复数极点），
即则
任何一个系统均可视为是由多个一阶、二阶系统的并联。也可将其转换为若干一阶、二阶系统的串联。
222
11
01
1
1
2 ninii
rn
ii
r
in
n
n
n
n
sspsa
asasasa
2
1 221 2
rn
i ninii
iir
i i
i
ss
s
ps
qsH
(2.164)
同样，根据式（ 2.158），一个 n阶系统的频率响应函数 H(jω)仿照式（ 2.164）也可视为是多个一阶和二阶环节的并联（或串联）：
2
1
22
1
2
1
22
1
2
2
rn
i
niini
ii
r
i i
i
rn
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i
j
j
pj
q
jj
j
pj
q
jH
(2.165)
一阶惯性系统若系统满足则称该系统为一阶测试系统或一阶惯性系统。
令
K=b0/a0－系统静态灵敏度 ;
τ=a1/a0－系统时间常数 。
作拉氏变换，有故系统的传递函数为
txbtya
dt
tdya
001
(2.166)
sKXsYs 1? (2.168)
1 sKsX sYsH? (2.169)
例：右图示出一液柱式温度计，则输入与输出间有下述关系
R－传导介质的热阻；
C－温度计的热容量。
两边作拉普拉斯变换，并令 τ＝ RC（ τ为温度计时间常数），则有系统的传递函数,
系统的频率响应函数,
dt
tdTC
R
tTtT oio (2.170)
sTsTssT ioo
11 ssT sTsH
i
o
(2.171)
11 jjH (2.172)
图 2.61 液柱式温度计液柱式温度计的传递特性是一个一阶惯性系统特性。系统传递特性的幅频与相频特性分别为,
2
1
1
jHA
(2.173)
a r c t a n jH (2.174)
图 2.62 一阶系统的幅频与相频特性图图 2.63示出另外两个一阶系统的例子，由系统的相似性理论可知，它们都具有与图 2.61所示液柱式温度计相同的传递特性，请自行加以推导验证。
图 2.63 一阶系统
（ a）忽略质量的单自由度振动系统
（ b） RC低通滤波电路
二阶系统这便是二阶系统的微分方程式。
令
：系统静态灵敏度；
：系统无阻尼固有频率（ rad/s）；
：系统阻尼比。
并对式（ 2.159）两边作拉普拉斯变换得
txbtya
dt
tdya
dt
tyda
0012
2
2
(2.175)
0
0abK?
2
0
a
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n
20
1
2 aa
a
sKXsYss
nn
12
2
2
(2.176)
系统的传递函数：
系统的频率响应函数则为,
1222
nn
ss
K
sX
sYsH
(2.177)
nn
nn
j
K
jj
K
X
Y
jH
21
1
2
2
2
2
(2.178)
图 2.64示出一个测力弹簧秤，
它是一个二阶系统。
设系统初始状态为零，亦
x0=0,fi=0。由牛顿第二定律得：
式中,
fi－施加的力（ N）；
x0－指针移动距离（ m）；
B－系统阻尼常数（ N/m/s）；
Ks－弹簧系数（ N/m）。
作拉普拉斯变换有图 2.64 测力弹簧秤
sFsXKsBsMs2
2
2
dt
xdMxK
dt
dxBf o
os
o
i (2.179)
(2.180)
令式（ 2.180）变为于是弹簧秤系统的传递函数
sra dMK sn /
MK
B
s2
)/(1 NmKK
s
sFsXss
nn
12
2
2
(2.181)
1222
nn
ss
K
sF
sXsH
(2.182)
系统的幅频特性为：
二阶系统的幅频曲线
2
2
22
41
1
nn
KjHA
(2.183)
系统的相频特性为：
2
1
2
a r c t a n
n
n
(2.184)
二阶系统的相频曲线二阶系统的伯德图和乃奎斯特图图 2.66 二阶系统的伯德图图 2.67 二阶系统的乃奎斯特图图 2.68示出了其它形式的二阶系统，根据系统相似性原理，它们具有与弹簧秤相同的传递函数和频率响应函数，请自行推导。
图 2.68 二阶系统例
（ a）质量弹簧阻尼系统（ b） RLC电路
（一）线性系统的数学描述；
（二）用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性 ；
（三）测试系统对典型激励的响应函数 ；
（四）测试系统对任意输入的响应 ；
（五）测试系统特性参数的实验测定 ；
测试技术 (6)
王伯雄
（一）线性系统的数学描述动态测量中，测试装置或系统本身应该是一个线性的系统,
我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理 ；
在动态测试中作非线性校正还比较困难 。
线性系统的输入 ——输出之间的关系,
x(t)为系统输入； y(t)为系统输出； An,…a 0,bm,…b 0
为系统的系统的物理参数，若均为常数，方程便是常系数微分方程，所描述的系统便是线性定常系统或线性时不变系统。
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(2.144)
线性时不变系统的基本性质
叠加性如有 x1(t) →y 1(t),x2(t) →y 2(t);则有
x1(t)+ x2(t) →y 1(t)+ y2(t)。 (2.145)
比例性如有 x(t) →y(t),则对任意常数 a,均有
ax(t) →ay(t) (2.146)
微分特性如有 x(t) →y(t),则有
积分特性如有 x(t) →y(t),则当系统初始状态为零时，有
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tt dttydttx 00 (2.148)
频率保持性如有 x(t) →y(t),若 x(t)=x0ejωt,
则 y(t)=y0ej(ωt+φ)。
证明：按比例性有其中,ω为某一已知频率。
根据微分特性有两式相加有
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2
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由于 x(t)=x0ejωt,则因此式（ 2.151）左边为零,亦即由此式（ 2.151）右边亦应为零，即解此方程可得唯一的解为其中 φ为初相角。
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(二 )用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性
1,传递函数若 y(t)为时间变量 t的函数，且当 t≤0时，
有 y(t)=0，则 y(t)的拉普拉斯变换 Y(s)定义为式中 s为复变量,s=a+jb,a>0。
若系统的初始条件为零，对式（ 2.144）作拉氏变换得
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将输入和输出两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数 H(s)，即传递函数特性：
传递函数 H(s)不因输入 x(t)的改变而改变，它仅表达系统的特性 ；
由传递函数 H(s)所描述的一个系统对于任一具体的输入
x(t)都明确地给出了相应的输出 y(t)；
等式中的各系数 an,an-1,…,a1,a0和 bm,bm-1,…,
b1,b0是一些由测试系统本身结构特性所唯一确定了的常数。
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(2.153)
2,频率响应函数对于稳定的线性定常系统，可设 s=jω，亦即原
s=a+jb中的 a=0,b= ω,此时式（ 2.152）变为上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。
我们有
H(jω)称测试系统的频率响应函数。
频率响应函数是传递函数的特例。
频率响应函数也可对式（ 2.144）作傅立叶变换来推导得到，请自行推导。
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传递函数和频率响应函数 的区别
– 在推导传递函数时，系统的初始条件设为零。
而对于一个从 t=0开始所施加的简谐信号激励来说，采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两部分组成：由激励所引起的、反映系统固有特性的 瞬态输出 以及该激励所对应的系统的 稳态输出 。
– 对频率响应函数 H(jω)，当输入为简谐信号时，
在观察的时刻，系统的瞬态响应已趋近于零，
频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信号的 稳态输出 。
用频率响应函数不能反映过渡过程，必须用传递函数才能反映全过程。
将频率响应函数 H(jω)写成幅值与相角表达的指数函数形式，有：
式中
A(ω)为复数 H(jω)的模,称之为系统的幅频特性； φ(ω)
为 H(jω)的幅角，称之为系统的相频特性。
将 H(jω)用实部和虚部的组合形式来表达：
P(ω)和 Q(ω)均为 ω的实函数,则
)()()()( AeAjH j (2.159)
jH
X
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xyjH a r g (2.161)
jQPjH (2.162)
22 QPA (2.163)
伯德图
– 将自变量 ω用对数坐标表达，幅值
A(ω)用分贝（ dB）
数来表达，所得的对数幅频曲线与对数相频曲线称为伯德（ Bode）
图。
图 2.59 一阶系统 H(jω)=1/(1+jτω)的伯德图
乃奎斯特图
– 将系统 H(jω)的实部
P(ω)和虚部 Q(ω)分别作为坐标系的横坐标和纵坐标，画出它们随 ω变化的曲线，且在曲线上注明相应频率。
图 2.60 一阶系统 H(jω)=1/(1+jτω)的乃奎斯特图
3,一阶、二阶系统的传递特性描述将式（ 2.153）中分母分解为 s的一次和二次实系数因子式（二次实系数式对应其复数极点），
即则
任何一个系统均可视为是由多个一阶、二阶系统的并联。也可将其转换为若干一阶、二阶系统的串联。
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(2.164)
同样，根据式（ 2.158），一个 n阶系统的频率响应函数 H(jω)仿照式（ 2.164）也可视为是多个一阶和二阶环节的并联（或串联）：
2
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(2.165)
一阶惯性系统若系统满足则称该系统为一阶测试系统或一阶惯性系统。
令
K=b0/a0－系统静态灵敏度 ;
τ=a1/a0－系统时间常数 。
作拉氏变换，有故系统的传递函数为
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001
(2.166)
sKXsYs 1? (2.168)
1 sKsX sYsH? (2.169)
例：右图示出一液柱式温度计，则输入与输出间有下述关系
R－传导介质的热阻；
C－温度计的热容量。
两边作拉普拉斯变换，并令 τ＝ RC（ τ为温度计时间常数），则有系统的传递函数,
系统的频率响应函数,
dt
tdTC
R
tTtT oio (2.170)
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11 ssT sTsH
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(2.171)
11 jjH (2.172)
图 2.61 液柱式温度计液柱式温度计的传递特性是一个一阶惯性系统特性。系统传递特性的幅频与相频特性分别为,
2
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(2.173)
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图 2.62 一阶系统的幅频与相频特性图图 2.63示出另外两个一阶系统的例子，由系统的相似性理论可知，它们都具有与图 2.61所示液柱式温度计相同的传递特性，请自行加以推导验证。
图 2.63 一阶系统
（ a）忽略质量的单自由度振动系统
（ b） RC低通滤波电路
二阶系统这便是二阶系统的微分方程式。
令
：系统静态灵敏度；
：系统无阻尼固有频率（ rad/s）；
：系统阻尼比。
并对式（ 2.159）两边作拉普拉斯变换得
txbtya
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(2.176)
系统的传递函数：
系统的频率响应函数则为,
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(2.177)
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X
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21
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(2.178)
图 2.64示出一个测力弹簧秤，
它是一个二阶系统。
设系统初始状态为零，亦
x0=0,fi=0。由牛顿第二定律得：
式中,
fi－施加的力（ N）；
x0－指针移动距离（ m）；
B－系统阻尼常数（ N/m/s）；
Ks－弹簧系数（ N/m）。
作拉普拉斯变换有图 2.64 测力弹簧秤
sFsXKsBsMs2
2
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i (2.179)
(2.180)
令式（ 2.180）变为于是弹簧秤系统的传递函数
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MK
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(2.182)
系统的幅频特性为：
二阶系统的幅频曲线
2
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(2.183)
系统的相频特性为：
2
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(2.184)
二阶系统的相频曲线二阶系统的伯德图和乃奎斯特图图 2.66 二阶系统的伯德图图 2.67 二阶系统的乃奎斯特图图 2.68示出了其它形式的二阶系统，根据系统相似性原理，它们具有与弹簧秤相同的传递函数和频率响应函数，请自行推导。
图 2.68 二阶系统例
（ a）质量弹簧阻尼系统（ b） RLC电路
