测试技术 (3)
王伯雄
（四）功率信号的傅里叶变换只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换，即 。
有限平均功率信号，它们在 (-∞,∞)
区域上的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的，即满足利用 δ 函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。
0)( 2 dttx
2/ 2/ 2 )(1lim TTT dttxTP
(2.95)
1.单位脉冲函数
在 Δ 时间内激发有一矩形脉冲 p Δ (t)，的幅值为，
面积为 1。当 Δ→0 时，该矩形脉冲 p Δ (t)的极限便称为单位脉冲函数或 δ 函数。
性质：
（ 1）
（ 2）
0,0
0,)(
t
tt? (2.96)
1)()(
tdt?
(2.97)
图 2.36 矩形脉冲函数与 δ函数
由 δ 函数的两条性质式 (2.96)和 (2.97),可得其中 x(t)在 t=t0时是连续的。
单位脉冲函数 δ(t) 的傅里叶变换,
即
)()()( 00 txdttttx? (2.99)
1)()()( dtettFX tj (2.100)
1)(?t? (2.101)
图 2.37 δ(t)及其傅里叶变换
时移单位脉冲函数 δ(t -t0)的傅里叶变换对：
常数 1的傅里叶变换对：
图 2.38 δ(t-t0)及其傅里叶变换图 2.39 常数 1及其傅立叶变换
0)( 0 tjett
(2.102)
)(2 00tje (2.103)
)(21 (2.104)
单位脉冲函数 δ(t) 与任一函数 x(t)的卷积证明：
推广可得
)(
)()(
)()()()(
tx
dtx
txtttx
)()()()()( txtxtttx (2.105)
)()()()()( 000 ttxtxtttttx (2.106)
图 2.41 x(t-t1)与 δ(t-t0)的卷积
2.余弦函数欧拉公式：
余弦函数的频谱：
正弦函数的频谱：
图 2.42 正、余弦函数及其频谱
)()(s in 000 jt (2.111)
)()(c o s 000t (2.110)
2c o s
00
0
tjtj eet (2.109)
3.周期函数周期函数 x(t) 的傅里叶级数形式：
式中
x(t)的傅立叶变换为：
一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。
n
tjn
n eCtx 0)(
dtetxTC tjnT Tn 0)(1 2
2
n
n
n
tjn
n
n
tjn
n
nC
eFC
eCF
txFX
)(2
][
][
)]([)(
0
0
0
(2.117)
例 12 单位脉冲序列求它的傅里叶变换。
解：将 x(t)表达为傅里叶级数的形式于是有对式（ 2.119）两边作傅里叶变换得根据式（ 2.117）可得亦即
tjnn eCtx 0)(?
TdtetTdtetxTC tjnT Ttjnn 1)(1)(1 00 2
2
]1[)( 0
n
tjne
TFX
n T
nTX 2),(2)( 00
n
kTttx )()(? (2.118)
n
tjne
Ttx 0
1)(? (2.119)
n n
nkTt )()( 00 (2.120)
一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为（在频域中的）一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为 ω 0=2π/T,且各脉冲分别位于各谐波频率 nω 0=n2π/T 上,n=0,± 1,± 2,… 。
图 2.47 周期脉冲序列函数及其频谱七、随机信号描述
（一）概述
（二）随机过程的主要特征参数
1,均值、均方值和方差
2,概率密度函数和概率分布函数
（一）概述
随机信号特点：
– 具有不能被预测的瞬时值；
– 不能用解析的时域模型来加以描述；
– 能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。
描述随机信号必须采用概率统计的方法。
– 样本函数,随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察,记作 xi(t)。
– 样本记录,在有限时间区间上的样本函数。
– 随机过程,同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为 {x(t)}。
),(,),(),()( 21 txtxtxtx i? (2.121)
对随机过程常用的统计特征参数：
– 均值、均方值、方差、概率密度函数、
概率分布函数和功率谱密度函数等。
– 均值：
– 均方值：
这些特征参数均是按照集平均来计算的，
即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。
分类：
– 平稳随机过程 ；
– 非平稳过程。
N
i
iNx txNt
1
11 )(
1lim)(?
Ni iNx txNt 1 1212 )(1lim)(?
平稳随机过程,
– 过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。严格地说便是：如果对于时间 t的任意 n个数值 t1,t2,…,tn和任意实数 ε,随机过程 {x(t)}的 n维分布函数满足关系式
– 对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程称为 各态历经过程 。
– 工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的许多都具有各态历经性。
,2,1
),,,;,,,(),,;,,( 21212121
n
tttxxxFtttxxxF nnnnnn(2.124)
（二）随机过程的主要特征参数
1,均值、均方值和方差
对于一个各态历经过程 x(t)，其均值 μ x定义为
E[x]——变量 x的数学期望值；
x(t) ——样本函数 ；
T——观测的时间。
均值 μ x表示信号的常值分量。
随机信号的均方值 ψ x2定义为
E[x2]——变量 x2的数学期望值。
均方值描述信号的能量或强度 。 Ψ x2的平方根称均方根值 xrms 。
dttxTxE TTx )(1lim][ 0? (2.125)
dtxxTxE TTx )(1lim][ 2022?
随机信号的方差 σ x2定义为
方差 σ x2表示随机信号的波动分量，方差的平方根 σ x称为标准偏差。
μ x,σ x2,ψ x2之间的关系为
随机过程的均值、方差和均方值的估计公式为：
dttxT XTTx 202 ])([1lim (2.127)
222 xxx (2.128)
dttxT Tx )(1? 0?
(2.129)
dttxT Tx )(1 202? (2.130)
dttxT xTx 202 ]?)([1 (2.131)
概率密度函数
– 概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间（ x,x+Δx ）内的概率对 Δx 比值的极限值。
– 概率密度函数 p(x)则定义为：
2.概率密度函数和概率分布函数
x
xxtxxPxp
x?
])([lim)(
0
(2.134)
x
T
Tx
T
x?
0
lim (2.135)
概率分布函数
– 概率分布函数 P(x)表示随机信号的瞬时值低于某一给定值 x的概率，即式中 Tx’为 x(t)值小于或等于 x的总时间。
概率密度函数与概率分布函数间的关系
T
TxtxPxP x /lim])([)(
dx
xdP
x
xPxxPxp
x
)()()(lim)(
0
dxxpxP )()(
(2.137)
(2.138)
(2.139)
利用概率密度函数还可来识别不同的随机过程。
图 2.51 典型随机信号的概率密度函数图
（ a） 正弦信号 （ 初始相角为随机量 ） （ b） 正弦加随机噪声
（ c） 窄带随机信号 （ d） 宽带随机信号功率谱分析王伯雄功率谱分析一、自功率谱密度函数二、巴塞伐尔（ Parseval）定理三、互功率谱密度函数四、自谱和互谱的估计五、工程应用一、自功率谱密度函数设 x(t)为一零均值的随机过程，且 x(t)中无周期性分量，则其自相关函数 Rx(τ)在当
τ→∞ 时有该自相关函数 Rx(τ)满足傅里叶变换的条件 。对作傅里叶变换可得其逆变换为
0)(xR
dR x )(
deRfS fjxx 2
（ 4.137）
dfefSR fjxx 2（ 4.138）
Sx(f)为 x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱或功率谱。
功率谱 Sx(f)与自相关函数
Rx(τ)之间是傅里叶变换对的关系，亦即
式（ 4.137）和（ 4.138）称为维纳 ——辛钦（ Wiener-
Khintchine）公式。
由于 Rx(τ)为实偶函数，因此亦为 Sx(f)实偶函数。
)()( fSR xFT
IF T
x
图 4.83 单边功率谱和双边功率谱当 τ=0时，根据自相关函数 Rx(τ)和自功率谱密度函数 Sx(f)的定义，可得
Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信号的平均功率；
Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，
故也称为功率谱。
dffSdttxTR xT T
Tx
22
2
1lim0 （ 4.139）
二、巴塞伐尔（ Parseval）定理设有变换对：
按频域卷积定理有令 k=0，有又令 h(t)=x(t)，得
)()( fXtx?
)()( fHth?
)(*)()()( fHfXthtx?
dffkHfXdtethtx ktj )()()()( 2?
dffHfXdtthtx )()()()(
dffXfXdttx )()()(2
x(t)为实函数，故 X(-f)=X*(f)，于是有
巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总能量等于它在频域中计算的总能量。
式（ 4.140）又称信号能量等式。 |X(f)|2称能量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上信号的平均功率可计算为自谱密度函数与幅值谱之间的关系为
dffXdffXfXdttx 2*2 （ 4.140）
dffxTdttxTP
T
T
TT
22
2
2 1lim1lim
（ 4.141）
21lim fxTfS Tx
（ 4.142）
对于单边功率谱
G(f) 也应满足巴塞伐尔定理，故有由此规定
Gx(f)的图形如图 4.83
中所示。
dffGdffSP xx
（ 4.143）
0)(2)( ffSfG xx
图 4.83 单边功率谱和双边功率谱
根据信号功率（或能量）在频域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机、
宽带随机和白噪声等几种类型。
窄带过程的功率谱（或能量）集中于某一中心频率附近，宽带过程的能量则分布在较宽的频率上，而白噪声过程的能量在所分析的频域内呈均匀分布状态。
三、互功率谱密度函数若互相关函数 Rxy(τ)满足傅里叶变换的条件,则定义 Rxy(τ)的傅里叶变换为信号 x(t)和 y(t)的互功率谱密度函数，简称互谱密度函数或互谱。
根据维纳 —辛钦关系，互谱与互相关函数也是一个傅里叶变换对，即因此 Sxy(f)的傅里叶逆变换为：
dR xy )(
dfeRS ftjxyxy 2 （ 4.145）
)()( fSR xyFTIF Txy
dfefSR fjxyxy 2 （ 4.146）
定义信号 x(t)和 y(t)的互功率为因此互谱和幅值谱的关系为正如 Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当 x和 y的顺序调换时,Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据 Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳 —辛钦关系式，不难证明：
其中
dffXfY
T
dttytx
T
P
T
T
TT
*
2
2
1lim
1lim
（ 4.147）
fXfYTfS Txy *1lim （ 4.148）
fSfSfS yxxyxy * （ 4.149）
)()(1lim * fYfXTfS txy
Sxy(f)也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取只含非负频率的单边互谱 Gxy(f)，
由此规定自谱是 f的实函数，而互谱则为 f的复函数，
实部 Cxy(f)称为共谱，虚部 Qxy(f)称为重谱，即写为幅频和相频的形式：
02 ffSfG xyxy （ 4.150）
fjQfCfG xyxyxy
（ 4.151）
fC
fQ
a r c t gf
fQfCfG
efGfG
xy
xy
xy
xyxyxy
fj
xyxy
xy
22
（ 4.152）
四、自谱和互谱的估计定义功率谱亦即自谱的估计值互谱的估计为
21? fXTfS x? （ 4.153）
fYfXTfS xy *1? （ 4.154）
fXfYTfS yx *1? （ 4.155）
五、工程应用
1,求取系统的频响函数线性系统的传递函数 H(s)或频响函数
H(jω)十分重要，在机器故障诊断等多个领域常要用到它。
例 1：机器由于其轴承的缺陷而在机器运行中会造成冲击脉冲信号，此时若用安装在机壳外部的加速度传感器来接收时，必须考虑机壳的传递函数。
例 2：当信号经过一个复杂系统被传输时，系统各环节的传递函数便必须要加以考虑。
一个线性系统的输出 y(t)等于其输入 x(t)和系统的脉冲响应 h(t)的卷积，即根据卷积定理，上式在频域中化为式中 H(f)即为系统的频响函数。
thtxty *? （ 4.162）
fXfHfY （ 4.163）
通过自谱和互谱来求取 H(f)：
对式（ 4.163）两端乘以各自的复共轭并取期望值有
上式反映出输入与输出的功率谱密度和频响函数间的关系；
式中没有频响函数的相位信息，因此不可能得到系统的相频特性。
fSfHfS xy 2? （ 4.164）
如果在式（ 4.163）两端乘以 x(f)的复共轭并取期望值，则有
由于 Sx(f)为实偶函数，因此频响函数的相位变化完全取决于互谱密度函数的相位变化。
式（ 4.165）将输入、输出的相位关系完全保留了下来，且在这里输入的形式并不一定限制为确定性信号，也可以是随机信号。
fXfXfHfXfY **
fSfHfS xxy （ 4.165）
通常一个测试系统往往受到内部和外部噪声的干扰。从而输出也会带入干扰。
输入信号与噪声是独立无关的，因此它们的互相关为零。
结论：在用 互谱 和 自谱 求取系统频响函数时不会受到系统干扰的影响。
2,旋转机械振动特性检测
– 旋转机械的转轴部件从起动、升速到额定转速的过程共经历了全部转速的变化，
因此在各个转速下的振动状态可用来对机器的临界转速、固有频率和阻尼比等各参数进行辨识。
– 起动和停车过程则包含了丰富的信息。
是常规运行状态下所无法获得的。
–,瀑布图法”：在机械振动或停车过程中将不同转速下振动的功率谱图迭加而形成的一种图。
图 4.85 旋转机械的瀑布图
由图可见机器的回转频率 n(r/min)及其各次谐波下谱峰高度，由此来得出机器的临界转速、
固有频率及阻尼比等数据。
从图可见，机器临界转速约为 4000r/min，机器振动的高次谐波分量很小，主要是回转频率处的谱峰，因此可判断转子存在有较严重的失衡。
此外还可看到图中频率 60HZ处有一谱峰值，
它不随转速升高而改变，判断为电源的脉动干扰。
4.5相关分析一、相关二、互相关函数与自相关函数三、相关函数的工程意义及应用一、相关
相关：用来描述一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字特征。
图 4.75 变量 x和 y的相关性
（ a）精确相关 （ b）中等程度相关 （ c）不相关
评价变量 x和 y间线性相关程度的经典方法：
– 协方差 σxy：
式中,E表示数学期望值；
μx=E[x]为随机变量 x的均值；
μy=E[y]为随机变量 y的均值；
– 相关函数 ρxy：
式中 σx,σy分别为 x,y的标准偏差，而 x和 y的方差 σx2和
σy2则分别为
N
i
yixiN
yxxy
yxN
yxE
1
1lim
（ 4.112）
11 xy
yx
xy
xy
（ 4.113）
22 xx xE
22 yy xE
（ 4.114）
（ 4.115）
利用柯西 —许瓦兹不等式可知 |ρxy|≤1。
当 ρxy=1时，所有数据点均落在 y-μy=m(x- μx)
的直线上，因此 x,y两变量是理想的线性相关。
当 ρxy=0时,(xi-μx)与 (yi-μy)的正积之和等于其负积之和，因而其平均积 σxy为 0，表示 x,y
之间完全不相关。
222 yxyx yExEyxE （ 4.116）
二、互相关函数与自相关函数对于各态历经过程，可定义时间变量 x(t)和 y(t)
的互协方差函数为式中称 x(t)与 y(t)的互相关函数，自变量 τ称为时移。
yxxy
T
xxT
yxxy
R
dttytx
T
tytxEC
0
1
lim
（ 4.117）
TTxy dttytxTR 01lim （ 4.118）
当 y(t) ≡x(t)时，得自协方差函数其中称为 x(t)的自相关函数。
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两者的频率相同，但丢掉了相角信息。
同频相关，不同频不相关。
2
0
1lim
xx
T
xxTx
R
dttxtx
T
C
（ 4.119）
TTx dttxtxTR 01lim （ 4.120）
图 4.76 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （ b）互相关函数例 1 求正弦函数 x(t)=Asin(ωt+υ)的自相关函数。
解：正弦函数 x(t)是一个均值为零的各态历经随机过程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。
令 ωt+υ=θ,则 dt=dθ/ω,由此得
正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率信息，但失去了原信号的相位信息。
自相关函数可用来检测淹没在随机信号中的周期分量。
0
0
0
0
])(s i n [)s i n (1
)()(1lim)(
T
T
Tx
dtttA
T
dttxtx
T
R
c o s2)s i n (s i n2)( 2202 AdAR x
自相关和互相关函数的估计 和
具有限个数据点 N的相关函数估计的数字处理表达式则为：
)(xR )(xyR
Tx dttxtxTR 01
Txy dttytxTR 01
（ 4.130）
（ 4.131）
11? N
on
x rnxnxNrR
11? N
on
xy rnynxNrR
Nrr,,2,1,0
（ 4.132）
（ 4.133）
三、相关函数的工程意义及应用
不同类别信号的辨识图 4.78 典型信号的自相关函数
相关滤波图 4.79 相关滤波频谱分析仪原理框图
相关测速和测距图 4.80 相关法测量声传播距离图 4.81 带钢测速系统
测量流速和流量图 4.82 相在法测定流量
王伯雄
（四）功率信号的傅里叶变换只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换，即 。
有限平均功率信号，它们在 (-∞,∞)
区域上的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的，即满足利用 δ 函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。
0)( 2 dttx
2/ 2/ 2 )(1lim TTT dttxTP
(2.95)
1.单位脉冲函数
在 Δ 时间内激发有一矩形脉冲 p Δ (t)，的幅值为，
面积为 1。当 Δ→0 时，该矩形脉冲 p Δ (t)的极限便称为单位脉冲函数或 δ 函数。
性质：
（ 1）
（ 2）
0,0
0,)(
t
tt? (2.96)
1)()(
tdt?
(2.97)
图 2.36 矩形脉冲函数与 δ函数
由 δ 函数的两条性质式 (2.96)和 (2.97),可得其中 x(t)在 t=t0时是连续的。
单位脉冲函数 δ(t) 的傅里叶变换,
即
)()()( 00 txdttttx? (2.99)
1)()()( dtettFX tj (2.100)
1)(?t? (2.101)
图 2.37 δ(t)及其傅里叶变换
时移单位脉冲函数 δ(t -t0)的傅里叶变换对：
常数 1的傅里叶变换对：
图 2.38 δ(t-t0)及其傅里叶变换图 2.39 常数 1及其傅立叶变换
0)( 0 tjett
(2.102)
)(2 00tje (2.103)
)(21 (2.104)
单位脉冲函数 δ(t) 与任一函数 x(t)的卷积证明：
推广可得
)(
)()(
)()()()(
tx
dtx
txtttx
)()()()()( txtxtttx (2.105)
)()()()()( 000 ttxtxtttttx (2.106)
图 2.41 x(t-t1)与 δ(t-t0)的卷积
2.余弦函数欧拉公式：
余弦函数的频谱：
正弦函数的频谱：
图 2.42 正、余弦函数及其频谱
)()(s in 000 jt (2.111)
)()(c o s 000t (2.110)
2c o s
00
0
tjtj eet (2.109)
3.周期函数周期函数 x(t) 的傅里叶级数形式：
式中
x(t)的傅立叶变换为：
一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。
n
tjn
n eCtx 0)(
dtetxTC tjnT Tn 0)(1 2
2
n
n
n
tjn
n
n
tjn
n
nC
eFC
eCF
txFX
)(2
][
][
)]([)(
0
0
0
(2.117)
例 12 单位脉冲序列求它的傅里叶变换。
解：将 x(t)表达为傅里叶级数的形式于是有对式（ 2.119）两边作傅里叶变换得根据式（ 2.117）可得亦即
tjnn eCtx 0)(?
TdtetTdtetxTC tjnT Ttjnn 1)(1)(1 00 2
2
]1[)( 0
n
tjne
TFX
n T
nTX 2),(2)( 00
n
kTttx )()(? (2.118)
n
tjne
Ttx 0
1)(? (2.119)
n n
nkTt )()( 00 (2.120)
一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为（在频域中的）一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为 ω 0=2π/T,且各脉冲分别位于各谐波频率 nω 0=n2π/T 上,n=0,± 1,± 2,… 。
图 2.47 周期脉冲序列函数及其频谱七、随机信号描述
（一）概述
（二）随机过程的主要特征参数
1,均值、均方值和方差
2,概率密度函数和概率分布函数
（一）概述
随机信号特点：
– 具有不能被预测的瞬时值；
– 不能用解析的时域模型来加以描述；
– 能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。
描述随机信号必须采用概率统计的方法。
– 样本函数,随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察,记作 xi(t)。
– 样本记录,在有限时间区间上的样本函数。
– 随机过程,同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为 {x(t)}。
),(,),(),()( 21 txtxtxtx i? (2.121)
对随机过程常用的统计特征参数：
– 均值、均方值、方差、概率密度函数、
概率分布函数和功率谱密度函数等。
– 均值：
– 均方值：
这些特征参数均是按照集平均来计算的，
即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。
分类：
– 平稳随机过程 ；
– 非平稳过程。
N
i
iNx txNt
1
11 )(
1lim)(?
Ni iNx txNt 1 1212 )(1lim)(?
平稳随机过程,
– 过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。严格地说便是：如果对于时间 t的任意 n个数值 t1,t2,…,tn和任意实数 ε,随机过程 {x(t)}的 n维分布函数满足关系式
– 对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程称为 各态历经过程 。
– 工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的许多都具有各态历经性。
,2,1
),,,;,,,(),,;,,( 21212121
n
tttxxxFtttxxxF nnnnnn(2.124)
（二）随机过程的主要特征参数
1,均值、均方值和方差
对于一个各态历经过程 x(t)，其均值 μ x定义为
E[x]——变量 x的数学期望值；
x(t) ——样本函数 ；
T——观测的时间。
均值 μ x表示信号的常值分量。
随机信号的均方值 ψ x2定义为
E[x2]——变量 x2的数学期望值。
均方值描述信号的能量或强度 。 Ψ x2的平方根称均方根值 xrms 。
dttxTxE TTx )(1lim][ 0? (2.125)
dtxxTxE TTx )(1lim][ 2022?
随机信号的方差 σ x2定义为
方差 σ x2表示随机信号的波动分量，方差的平方根 σ x称为标准偏差。
μ x,σ x2,ψ x2之间的关系为
随机过程的均值、方差和均方值的估计公式为：
dttxT XTTx 202 ])([1lim (2.127)
222 xxx (2.128)
dttxT Tx )(1? 0?
(2.129)
dttxT Tx )(1 202? (2.130)
dttxT xTx 202 ]?)([1 (2.131)
概率密度函数
– 概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间（ x,x+Δx ）内的概率对 Δx 比值的极限值。
– 概率密度函数 p(x)则定义为：
2.概率密度函数和概率分布函数
x
xxtxxPxp
x?
])([lim)(
0
(2.134)
x
T
Tx
T
x?
0
lim (2.135)
概率分布函数
– 概率分布函数 P(x)表示随机信号的瞬时值低于某一给定值 x的概率，即式中 Tx’为 x(t)值小于或等于 x的总时间。
概率密度函数与概率分布函数间的关系
T
TxtxPxP x /lim])([)(
dx
xdP
x
xPxxPxp
x
)()()(lim)(
0
dxxpxP )()(
(2.137)
(2.138)
(2.139)
利用概率密度函数还可来识别不同的随机过程。
图 2.51 典型随机信号的概率密度函数图
（ a） 正弦信号 （ 初始相角为随机量 ） （ b） 正弦加随机噪声
（ c） 窄带随机信号 （ d） 宽带随机信号功率谱分析王伯雄功率谱分析一、自功率谱密度函数二、巴塞伐尔（ Parseval）定理三、互功率谱密度函数四、自谱和互谱的估计五、工程应用一、自功率谱密度函数设 x(t)为一零均值的随机过程，且 x(t)中无周期性分量，则其自相关函数 Rx(τ)在当
τ→∞ 时有该自相关函数 Rx(τ)满足傅里叶变换的条件 。对作傅里叶变换可得其逆变换为
0)(xR
dR x )(
deRfS fjxx 2
（ 4.137）
dfefSR fjxx 2（ 4.138）
Sx(f)为 x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱或功率谱。
功率谱 Sx(f)与自相关函数
Rx(τ)之间是傅里叶变换对的关系，亦即
式（ 4.137）和（ 4.138）称为维纳 ——辛钦（ Wiener-
Khintchine）公式。
由于 Rx(τ)为实偶函数，因此亦为 Sx(f)实偶函数。
)()( fSR xFT
IF T
x
图 4.83 单边功率谱和双边功率谱当 τ=0时，根据自相关函数 Rx(τ)和自功率谱密度函数 Sx(f)的定义，可得
Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信号的平均功率；
Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，
故也称为功率谱。
dffSdttxTR xT T
Tx
22
2
1lim0 （ 4.139）
二、巴塞伐尔（ Parseval）定理设有变换对：
按频域卷积定理有令 k=0，有又令 h(t)=x(t)，得
)()( fXtx?
)()( fHth?
)(*)()()( fHfXthtx?
dffkHfXdtethtx ktj )()()()( 2?
dffHfXdtthtx )()()()(
dffXfXdttx )()()(2
x(t)为实函数，故 X(-f)=X*(f)，于是有
巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总能量等于它在频域中计算的总能量。
式（ 4.140）又称信号能量等式。 |X(f)|2称能量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上信号的平均功率可计算为自谱密度函数与幅值谱之间的关系为
dffXdffXfXdttx 2*2 （ 4.140）
dffxTdttxTP
T
T
TT
22
2
2 1lim1lim
（ 4.141）
21lim fxTfS Tx
（ 4.142）
对于单边功率谱
G(f) 也应满足巴塞伐尔定理，故有由此规定
Gx(f)的图形如图 4.83
中所示。
dffGdffSP xx
（ 4.143）
0)(2)( ffSfG xx
图 4.83 单边功率谱和双边功率谱
根据信号功率（或能量）在频域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机、
宽带随机和白噪声等几种类型。
窄带过程的功率谱（或能量）集中于某一中心频率附近，宽带过程的能量则分布在较宽的频率上，而白噪声过程的能量在所分析的频域内呈均匀分布状态。
三、互功率谱密度函数若互相关函数 Rxy(τ)满足傅里叶变换的条件,则定义 Rxy(τ)的傅里叶变换为信号 x(t)和 y(t)的互功率谱密度函数，简称互谱密度函数或互谱。
根据维纳 —辛钦关系，互谱与互相关函数也是一个傅里叶变换对，即因此 Sxy(f)的傅里叶逆变换为：
dR xy )(
dfeRS ftjxyxy 2 （ 4.145）
)()( fSR xyFTIF Txy
dfefSR fjxyxy 2 （ 4.146）
定义信号 x(t)和 y(t)的互功率为因此互谱和幅值谱的关系为正如 Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当 x和 y的顺序调换时,Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据 Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳 —辛钦关系式，不难证明：
其中
dffXfY
T
dttytx
T
P
T
T
TT
*
2
2
1lim
1lim
（ 4.147）
fXfYTfS Txy *1lim （ 4.148）
fSfSfS yxxyxy * （ 4.149）
)()(1lim * fYfXTfS txy
Sxy(f)也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取只含非负频率的单边互谱 Gxy(f)，
由此规定自谱是 f的实函数，而互谱则为 f的复函数，
实部 Cxy(f)称为共谱，虚部 Qxy(f)称为重谱，即写为幅频和相频的形式：
02 ffSfG xyxy （ 4.150）
fjQfCfG xyxyxy
（ 4.151）
fC
fQ
a r c t gf
fQfCfG
efGfG
xy
xy
xy
xyxyxy
fj
xyxy
xy
22
（ 4.152）
四、自谱和互谱的估计定义功率谱亦即自谱的估计值互谱的估计为
21? fXTfS x? （ 4.153）
fYfXTfS xy *1? （ 4.154）
fXfYTfS yx *1? （ 4.155）
五、工程应用
1,求取系统的频响函数线性系统的传递函数 H(s)或频响函数
H(jω)十分重要，在机器故障诊断等多个领域常要用到它。
例 1：机器由于其轴承的缺陷而在机器运行中会造成冲击脉冲信号，此时若用安装在机壳外部的加速度传感器来接收时，必须考虑机壳的传递函数。
例 2：当信号经过一个复杂系统被传输时，系统各环节的传递函数便必须要加以考虑。
一个线性系统的输出 y(t)等于其输入 x(t)和系统的脉冲响应 h(t)的卷积，即根据卷积定理，上式在频域中化为式中 H(f)即为系统的频响函数。
thtxty *? （ 4.162）
fXfHfY （ 4.163）
通过自谱和互谱来求取 H(f)：
对式（ 4.163）两端乘以各自的复共轭并取期望值有
上式反映出输入与输出的功率谱密度和频响函数间的关系；
式中没有频响函数的相位信息，因此不可能得到系统的相频特性。
fSfHfS xy 2? （ 4.164）
如果在式（ 4.163）两端乘以 x(f)的复共轭并取期望值，则有
由于 Sx(f)为实偶函数，因此频响函数的相位变化完全取决于互谱密度函数的相位变化。
式（ 4.165）将输入、输出的相位关系完全保留了下来，且在这里输入的形式并不一定限制为确定性信号，也可以是随机信号。
fXfXfHfXfY **
fSfHfS xxy （ 4.165）
通常一个测试系统往往受到内部和外部噪声的干扰。从而输出也会带入干扰。
输入信号与噪声是独立无关的，因此它们的互相关为零。
结论：在用 互谱 和 自谱 求取系统频响函数时不会受到系统干扰的影响。
2,旋转机械振动特性检测
– 旋转机械的转轴部件从起动、升速到额定转速的过程共经历了全部转速的变化，
因此在各个转速下的振动状态可用来对机器的临界转速、固有频率和阻尼比等各参数进行辨识。
– 起动和停车过程则包含了丰富的信息。
是常规运行状态下所无法获得的。
–,瀑布图法”：在机械振动或停车过程中将不同转速下振动的功率谱图迭加而形成的一种图。
图 4.85 旋转机械的瀑布图
由图可见机器的回转频率 n(r/min)及其各次谐波下谱峰高度，由此来得出机器的临界转速、
固有频率及阻尼比等数据。
从图可见，机器临界转速约为 4000r/min，机器振动的高次谐波分量很小，主要是回转频率处的谱峰，因此可判断转子存在有较严重的失衡。
此外还可看到图中频率 60HZ处有一谱峰值，
它不随转速升高而改变，判断为电源的脉动干扰。
4.5相关分析一、相关二、互相关函数与自相关函数三、相关函数的工程意义及应用一、相关
相关：用来描述一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字特征。
图 4.75 变量 x和 y的相关性
（ a）精确相关 （ b）中等程度相关 （ c）不相关
评价变量 x和 y间线性相关程度的经典方法：
– 协方差 σxy：
式中,E表示数学期望值；
μx=E[x]为随机变量 x的均值；
μy=E[y]为随机变量 y的均值；
– 相关函数 ρxy：
式中 σx,σy分别为 x,y的标准偏差，而 x和 y的方差 σx2和
σy2则分别为
N
i
yixiN
yxxy
yxN
yxE
1
1lim
（ 4.112）
11 xy
yx
xy
xy
（ 4.113）
22 xx xE
22 yy xE
（ 4.114）
（ 4.115）
利用柯西 —许瓦兹不等式可知 |ρxy|≤1。
当 ρxy=1时，所有数据点均落在 y-μy=m(x- μx)
的直线上，因此 x,y两变量是理想的线性相关。
当 ρxy=0时,(xi-μx)与 (yi-μy)的正积之和等于其负积之和，因而其平均积 σxy为 0，表示 x,y
之间完全不相关。
222 yxyx yExEyxE （ 4.116）
二、互相关函数与自相关函数对于各态历经过程，可定义时间变量 x(t)和 y(t)
的互协方差函数为式中称 x(t)与 y(t)的互相关函数，自变量 τ称为时移。
yxxy
T
xxT
yxxy
R
dttytx
T
tytxEC
0
1
lim
（ 4.117）
TTxy dttytxTR 01lim （ 4.118）
当 y(t) ≡x(t)时，得自协方差函数其中称为 x(t)的自相关函数。
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两者的频率相同，但丢掉了相角信息。
同频相关，不同频不相关。
2
0
1lim
xx
T
xxTx
R
dttxtx
T
C
（ 4.119）
TTx dttxtxTR 01lim （ 4.120）
图 4.76 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （ b）互相关函数例 1 求正弦函数 x(t)=Asin(ωt+υ)的自相关函数。
解：正弦函数 x(t)是一个均值为零的各态历经随机过程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。
令 ωt+υ=θ,则 dt=dθ/ω,由此得
正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率信息，但失去了原信号的相位信息。
自相关函数可用来检测淹没在随机信号中的周期分量。
0
0
0
0
])(s i n [)s i n (1
)()(1lim)(
T
T
Tx
dtttA
T
dttxtx
T
R
c o s2)s i n (s i n2)( 2202 AdAR x
自相关和互相关函数的估计 和
具有限个数据点 N的相关函数估计的数字处理表达式则为：
)(xR )(xyR
Tx dttxtxTR 01
Txy dttytxTR 01
（ 4.130）
（ 4.131）
11? N
on
x rnxnxNrR
11? N
on
xy rnynxNrR
Nrr,,2,1,0
（ 4.132）
（ 4.133）
三、相关函数的工程意义及应用
不同类别信号的辨识图 4.78 典型信号的自相关函数
相关滤波图 4.79 相关滤波频谱分析仪原理框图
相关测速和测距图 4.80 相关法测量声传播距离图 4.81 带钢测速系统
测量流速和流量图 4.82 相在法测定流量
