? （ 一 ） 竖曲线设计限制因素
1,缓和冲击
汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为,
二、竖曲线的最小半径
,R13VRva
22
a13
VR 2?
根据试验，认为离心加速度应限制在 0.5～ 0.7m/s2比较合适。我国,标准,规定的竖曲线最小半径值，相当于
a=0.278 m/s2。
6.3,6.3
2
m i n
2
m i n
VLVR 或
2,时间行程 不过短
最短应满足 3s行程 。
2.12.16.3
m i n
m i nm i n
VLRVtVL 则
3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻凹形竖曲线：下穿立交
4,凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
（二）凸形竖曲线最小半径和最小长度
凸形竖曲线最小长度 应以满足视距要求为主 。
按竖曲线长度 L和停车视距 ST的关系分为两种情况 。
1,当 L<ST时：
211121211 2
22 tRhdR
t
R
dh,则 2
222
2222
2 222 tRhdR
t
R
dh,则
ltRhldt 21111 2
,2 2111 tRhlt
2
11 l
l
Rht
)(2)( 22222 lLtRhlLdt
Rd2
21 A
B
2
22 lL
lL
Rht
视距长度,
有极小值）(2 2121 lLRhLlRhtLtS T
令
,0?dldST
21
1
hh
hl
解此得
2
)(
2)(
2
212
21
LhhLhh
L
RS
T?
42)(22 221
m in
TT S
hhSL
2)1.2.1(2)(2 2221 hh
m inm in LR?
最小半径：
2,当 L>ST:
11
21
1 22 RhdR
dh,则
22
22
2 22 RhdR
dh,则
)(2 2121 hhRddS T
4)(2
2
2
21
2
m in
TT S
hh
SL?
)(2 21
2
hh
SR T
凸形竖曲线最小半径和最小长度,
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的
3秒行程 。
设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力,
确定凹竖曲线半径时,应以离心加速度为控制指标 。
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形竖曲线的最小半径,长度,除满足缓和离心力要求外,还应考虑两种视距的要求：一是保证夜间行车安全,前灯照明应有足够的距离；二是保证跨线桥下行车有足够的视距 。
,标准,规定竖曲线的最小长度应满足 3s行程要求 。
6.36.313
2
m in
22?V
LVaVR 或
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形 竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的 3秒行程 。
三、逐桩设计高程计算变坡点桩号 BPD
变坡点设计高程 H
竖曲线半径 R
1,纵断面设计成果：
H
R
2,竖曲线要素的计算公式：
变坡角 ω= i2- i1
曲线长,L=Rω
切线长,T=L/2= Rω/2
外 距：
R2
TE 2?
x
竖曲线起点桩号,QD=BPD - T
竖曲线终点桩号,ZD=BPD + T
y
x
三、逐桩设计高程计算
R
xy
2
2
纵 距：
HT
HS
y
Hn
BPDn
BPDn-1
Hn-1
ini
n-1
in+1Lcz1
Lcz-BPDn-1
3,逐桩设计高程计算切线高程,)( 11 nnnT BPDL c ziHH
Lcz2
HT
)( nnnT BPDL c ziHH
直坡段上,y=0。
x——竖曲线上任一点离开起 （ 终 ） 点距离；
R
xy
2
2
其中,y——竖曲线上任一点竖距 ；
设计高程,HS = HT ± y
（ 凸竖曲线取,-”,凹竖曲线取,+”）
3,逐桩设计高程计算切线高程,)( 11 nnnT BPDL c ziHH
)( nnnT BPDL c ziHH
以变坡点为分界计算：
上半支曲线 x = Lcz - QD
下半支曲线 x = ZD - Lcz
以竖曲线终点为分界计算：
全部曲线 x = Lcz - QD
[例 4-3]：某山岭区一般二级公路,变坡点桩号为 k5+030.00，
高程 H1=427.68m,i1=+5%,i2=-4%,竖曲线半径 R=2000m。
试计算竖曲线诸要素以及桩号为 k5+000.00和 k5+100.00处的设计高程 。
解,1,计算竖曲线要素
ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0,为凸形 。
曲线长 L = Rω=2000× 0.09=180m
切线长
9021802 LT
外 距
03.220002 902 22 RTE
竖曲线起点 QD＝ （ K5+030.00） - 90 = K4+940.00
竖曲线终点 ZD＝ （ K5+030.00） + 90 = K5+120.00
2．计算设计高程
K5+000.00：位于上半支
横距 x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝ 60m
竖距
90.020002 602
22
11?
R
xy
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05× (5000.00 - 5030.00)
= 426.18m
设计高程 HS = HT- y1 = 426.18 - 0.90=425.18m
（凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
① 按竖曲线终点分界计算：
横距 x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝ 160m
竖距
40.620002 1602
22
2
2 R
xy
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05× (5100.00 - 5030.00)
= 431.18m
设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
② 按变坡点分界计算：
横距 x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝ 20m
竖距
10.02 0 0 02 20R2xy
22
22?
切线高程 HT = H1 + i2（ Lcz - BPD）
= 427.68 - 0.04× (5100.00 - 5030.00)
= 424.88m
设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m
作业：
某二级公路一路段有三个变坡点,详细资料如下：
变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
K12+450 172.513 5000
+950 190.013 4000
K13+550 173.513 3000
试计算 K12+700～ K13+300段 50m间隔的整桩号的设计高程值 。
1,缓和冲击
汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为,
二、竖曲线的最小半径
,R13VRva
22
a13
VR 2?
根据试验，认为离心加速度应限制在 0.5～ 0.7m/s2比较合适。我国,标准,规定的竖曲线最小半径值，相当于
a=0.278 m/s2。
6.3,6.3
2
m i n
2
m i n
VLVR 或
2,时间行程 不过短
最短应满足 3s行程 。
2.12.16.3
m i n
m i nm i n
VLRVtVL 则
3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻凹形竖曲线：下穿立交
4,凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
（二）凸形竖曲线最小半径和最小长度
凸形竖曲线最小长度 应以满足视距要求为主 。
按竖曲线长度 L和停车视距 ST的关系分为两种情况 。
1,当 L<ST时：
211121211 2
22 tRhdR
t
R
dh,则 2
222
2222
2 222 tRhdR
t
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ltRhldt 21111 2
,2 2111 tRhlt
2
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l
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)(2)( 22222 lLtRhlLdt
Rd2
21 A
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2
22 lL
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视距长度,
有极小值）(2 2121 lLRhLlRhtLtS T
令
,0?dldST
21
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42)(22 221
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2)1.2.1(2)(2 2221 hh
m inm in LR?
最小半径：
2,当 L>ST:
11
21
1 22 RhdR
dh,则
22
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2 22 RhdR
dh,则
)(2 2121 hhRddS T
4)(2
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)(2 21
2
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SR T
凸形竖曲线最小半径和最小长度,
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的
3秒行程 。
设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力,
确定凹竖曲线半径时,应以离心加速度为控制指标 。
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形竖曲线的最小半径,长度,除满足缓和离心力要求外,还应考虑两种视距的要求：一是保证夜间行车安全,前灯照明应有足够的距离；二是保证跨线桥下行车有足够的视距 。
,标准,规定竖曲线的最小长度应满足 3s行程要求 。
6.36.313
2
m in
22?V
LVaVR 或
（ 三 ） 凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形 竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的 3秒行程 。
三、逐桩设计高程计算变坡点桩号 BPD
变坡点设计高程 H
竖曲线半径 R
1,纵断面设计成果：
H
R
2,竖曲线要素的计算公式：
变坡角 ω= i2- i1
曲线长,L=Rω
切线长,T=L/2= Rω/2
外 距：
R2
TE 2?
x
竖曲线起点桩号,QD=BPD - T
竖曲线终点桩号,ZD=BPD + T
y
x
三、逐桩设计高程计算
R
xy
2
2
纵 距：
HT
HS
y
Hn
BPDn
BPDn-1
Hn-1
ini
n-1
in+1Lcz1
Lcz-BPDn-1
3,逐桩设计高程计算切线高程,)( 11 nnnT BPDL c ziHH
Lcz2
HT
)( nnnT BPDL c ziHH
直坡段上,y=0。
x——竖曲线上任一点离开起 （ 终 ） 点距离；
R
xy
2
2
其中,y——竖曲线上任一点竖距 ；
设计高程,HS = HT ± y
（ 凸竖曲线取,-”,凹竖曲线取,+”）
3,逐桩设计高程计算切线高程,)( 11 nnnT BPDL c ziHH
)( nnnT BPDL c ziHH
以变坡点为分界计算：
上半支曲线 x = Lcz - QD
下半支曲线 x = ZD - Lcz
以竖曲线终点为分界计算：
全部曲线 x = Lcz - QD
[例 4-3]：某山岭区一般二级公路,变坡点桩号为 k5+030.00，
高程 H1=427.68m,i1=+5%,i2=-4%,竖曲线半径 R=2000m。
试计算竖曲线诸要素以及桩号为 k5+000.00和 k5+100.00处的设计高程 。
解,1,计算竖曲线要素
ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0,为凸形 。
曲线长 L = Rω=2000× 0.09=180m
切线长
9021802 LT
外 距
03.220002 902 22 RTE
竖曲线起点 QD＝ （ K5+030.00） - 90 = K4+940.00
竖曲线终点 ZD＝ （ K5+030.00） + 90 = K5+120.00
2．计算设计高程
K5+000.00：位于上半支
横距 x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝ 60m
竖距
90.020002 602
22
11?
R
xy
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05× (5000.00 - 5030.00)
= 426.18m
设计高程 HS = HT- y1 = 426.18 - 0.90=425.18m
（凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
① 按竖曲线终点分界计算：
横距 x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝ 160m
竖距
40.620002 1602
22
2
2 R
xy
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
= 427.68 + 0.05× (5100.00 - 5030.00)
= 431.18m
设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
② 按变坡点分界计算：
横距 x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝ 20m
竖距
10.02 0 0 02 20R2xy
22
22?
切线高程 HT = H1 + i2（ Lcz - BPD）
= 427.68 - 0.04× (5100.00 - 5030.00)
= 424.88m
设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m
作业：
某二级公路一路段有三个变坡点,详细资料如下：
变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
K12+450 172.513 5000
+950 190.013 4000
K13+550 173.513 3000
试计算 K12+700～ K13+300段 50m间隔的整桩号的设计高程值 。
